河南省新乡市2023-2024学年高三第二次模拟考试数学试题（含答案解析）

河南省新乡市2023-2024学年高三第二次模拟考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设z=2=+4i,贝!()

1-31

A.-1+iB.-1-iC.1-iD.1+i

2.在中，内角A,B,C的对边分别为“，b,c,且。=7,6=3,c=5,则

()

A.“3C为锐角三角形B.“BC为直角三角形

C.ABC为钝角三角形D.的形状无法确定

3.已知直线x+2y+2=0与抛物线C：/=ax的图象相切，则C的焦点坐标为()

A.[-；,。]B.(-1,0)CD.(1,0)

4.已知COS6=L,则COS36=()

4

111155

A.-----B.—C.—D.—

161666

5.老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至

少分得一本，则不同的分法有()

A.248种B.168种C.360种D.210种

6.函数〃x)=[x]被称为取整函数，也称高斯函数，其中[可表示不大于实数x的最大

整数.若V〃7€(0,+8),满足[疔+[司(竺则X的取值范围是()

m

A.[-1,2]B.(-1,2)C.[-2,2)D.(-2,2]

7.已知函数满足1(x+y+l)=[(x)+7'5),则下列结论一定正确的是()

A.〃x)+l是奇函数B.是奇函数

C.〃尤)-1是奇函数D./(x+1)是奇函数

8.已知圆锥"。的底面半径为百，高为1,其中。为底面圆心，AB是底面圆的一条

直径，若点P在圆锥的侧面上运动，则万•方的最小值为()

93

A.—B.—C.—2D.—1

42

二、多选题

试卷第1页，共4页

9.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在把时相对于平衡位置的高度〃（单位：cm）

由关系式〃=/sin(&+e),te[O,+e)确定，其中/>0,<w>0,9©(0,兀|.小球从最

高点出发，经过2s后，第一次回到最高点，则（）

B.。=兀

C.t=3.75s与f=10s时的相对于平衡位置的高度力之比为注

2

D.t=3.75s与/=10s时的相对于平衡位置的高度h之比为g

10.已知加eR,集合/={（x,y）帆x+y-l=0},2={（x,y）|2加x+2y-9=0},

C=^(x,y)|x2+y2+2x-4j/+l=0j,D=|(x,j)|x2+j2-2x=01,则下列结论一定成立

的是（）

A.AcB=0B.4cCw0C.BC\C=0D.CcD=0

22

11.如图，已知双曲线C：1-与=1（。>0,8>0）的左、右焦点分别为4（-3,0）,

ab

巴（3刀），点A在C上，点B在了轴上，A,F2,B三点共线，若直线的斜率为百,

直线』片的斜率为一%8,则（）

11

C.片的面积为166D.月内接圆的半径为百

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.已知一平面截球O所得截面圆的半径为2,且球心O到截面圆所在平面的距离为1,

则该球的体积为.

18

13.若一组数据4,。2，〃3，〃4，。5的平均数为3,方差为了，则%,。2，〃3，“4，

牝，9这6个数的平均数为,方差为.

2\x<0,

14.已知函数”x)=421nxg(x)=f+2尤-42,AeR,若关于x的方程

-------,x>0,

/(g(x))=X有6个解，则X的取值范围为.

四、解答题

15.如图，在三棱锥尸-43C中，平面上4C,平面48C,S.PA=PC,PA1AB.

P

B

(1)证明：/3工平面R4C；

(2)若尸Z=/B=/C=2,点”满足而=3同7，求二面角尸一/C-M■的大小.

16.己矢―口,朦.

⑴记“=%-，证明数列也｝是等比数列,并求也｝的通项公式;

(2)求｛%｝的前2〃项和立,并证明2邑">«2„+1-2.

17.根据国家电影局统计，2024年春节假期(2月10日至2月17日)全国电影票房为

80.16亿元，观影人次为1.63亿，相比2023年春节假期票房和人次分别增长了18.47%

和26.36%,均创造了同档期新的纪录.2024年2月10日某电影院调查了100名观影者，

并统计了每名观影者对当日观看的电影的满意度评分(满分100分)，根据统计数据绘

制得到如图所示的频率分布直方图(分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100]).

试卷第3页，共4页

频率

(1)求这100名观影者满意度评分不低于60分的人数；

(2)估计这100名观影者满意度评分的第40百分位数(结果精确到0.1)；

(3)设这100名观影者满意度评分小于70分的频率为Pi，小于80分的频率为必，若甲、

乙两名观影者在春节档某一天都只观看一部电影，甲观看A,3影片的概率分别为。2,

1-2,乙观看A,5影片的概率分别为月，当天甲、乙观看哪部电影相互独立,

记甲、乙这两名观影者中当天观看A影片的人数为X,求X的分布列及期望.

22

18.已知A,3分别是椭圆M：%J1(a>6>0)的左、右顶点,C为M的

上顶点，尸是M上在第一象限的点，|/C|=VL直线尸/,的斜率分别为勺，k2,

JEL.

⑴求M的方程;

PEPD

(2)直线NC与AP交于点D,。尸与x轴交于点£,求wwk的取值范围.

EDJTC

19.定义：若函数/(x)图象上恰好存在相异的两点尸，。满足曲线y=/(x)在尸和。处

的切线重合，贝麻尸，。为曲线y=〃x)的“双重切点”，直线尸。为曲线y=/(x)的“双

重切线”.

⑴直线y=2x是否为曲线〃x)=/+1的“双重切线”，请说明理由；

(2

QX__<0

(2)已知函数g(x)=je%'-'求曲线>=g(x)的“双重切线”的方程；

Inx,x>0,

(3)已知函数%(x)=sinx,直线尸。为曲线的“双重切线”，记直线尸。的斜率所有

可能的取值为左，左2，…,后〃，若左1〉左2〉左(:3,4,5,…,几)，证明：7r<飞~.

伤占

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】

根据复数除法运算即可求解.

【详解】“鲁(2+4i)(l+3i)_-10+10i

(l-3i)(l+3i)―10--

故z=-1—i,

故选：B

2.C

【分析】

根据余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.

【详解】由于cos/='+"-"2=32+52-72=9+25-49-0

2bc3030

故A为钝角，进而三角形为钝角三角形

故选：C

3.C

【分析】

联立直线与抛物线方程，利用相切有A=0求得。，从而得解.

[x+2y+2—0

【详解】依题意，联立[2=6，消去X，得「+2*+2。=0,

则A=4q2—8。=0,由awO,所以。=2,

故抛物线C方程为必=2x,则其焦点坐标为G，o)

故选：C.

4.A

715

【分析】根据题意，求得cos29=-4sin?**,结合cos39=cos(28+。)，代入即可求解.

816

171S

【详解】因为cosO=—,Rj^cos20=2cos20-l=--,sin2^=l-cos20=—,

4816

则cos30=cos(20+0)=cos20cos0-sin20sin3=(2cos20-1)cos6-2sin?6cos0,

故选：A.

答案第1页，共14页

5.D

【分析】

根据分类加法原理，结合组合、排列的定义进行求解即可.

【详解】根据题意进行分类：

第一类：甲、乙、丙每人分得2本，N=C；C；C；=15x6x1=90(种)；

第二类：甲分得2本，乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3分，

%=C：C；C；A；=15x4x1x2=120(种).

所以由分类加法计数原理可得共有N=2+乂=90+120=210种不同的分法.

故选：D.

6.C

【分析】

根据基本不等式求解最值，即可根据一元二次不等式求解-2V[x]Vl,即可根据取整函数的

定义求解.

【详解】Vme(O,+^)Z£±l=m+l>2,当且仅当优=1时取等号，

mm

由[x]2+[x]<之里可得[X]2+[x]<2^([.r]+2)([r]-l)<0,

m

所以一2W[x]41,故一2Vx<2,

故选：C

7.B

【分析】

利用赋值法推得〃x)+/(-2-x)=0,从而得到〃x)的对称性，再利用函数图象平移的性质

可判断B,举反例排除ACD,由此得解.

【详解】因为〃x+y+i)=/(x)+〃y),

令x=y=-l,可得=+则〃-1)=0；

令y=-2-x,则/(-1)=f(x)+/(-2一x)=0,

故/⑴的图象关于点(-1,0)对称，

则/(x-l)的图象关于点(0,0)对称，即是奇函数，故B正确；

答案第2页，共14页

对于C,令x=y=o,可得〃1)=〃0)+/(0),则/(0)=；/■⑴，

当了⑴k2时，40)-1/0,此时〃月-1不可能是奇函数，

由于无法确定了⑴的值，故/(x)-1不一定是奇函数，故C错误；

对于AD,取/'(x)=x+l,满足题意，但易知D错误；

故选：B.

8.A

【分析】

由济.丽=(次-西.(砺-西=苏［GJ,囱最小时，万.丽有最小值，求囱的

最小值即可.

【详解】圆锥同。的底面半径为百，高为1，其中。为底面圆心，A8是底面圆的一条直径,

则有况=-砺，|。/=|。8卜百,

点尸在圆锥MO的侧面上运动，

则刀.而=(方-函•(丽-函=04-05-(E+碍^OP+OP^OP(国，

wi最小时，方.而有最小值，|加|的最小值为。点到圆锥母线的距离，

R3M0/中，OA=也,OM=l,则NM=2,。点到M4的距离OD=丝丝•=走,

AM2

则烟的最小值为正，瓦丽的最小值为(字］一(6『=一%

2\)

故选:A

9.BC

【分析】

根据周期求出。，代入f=0得到。，从而得到函数解析式，再代入数据即可判断CD.

【详解】

答案第3页，共14页

对于AB,由题可知小球运动的周期T=2s,又。>0,所以—=2,解得刃=兀，

3

当t=0s时，Asm(p=A,又9€(0,可，所以夕=：,故A错误，B正确；

对于CD,贝!J/z=/sin(7i/+]]=NCOSTU,

所以/=3.75s与t=10s时的相对于平衡位置的高度之比为

/cos(兀x3.75)J°s丁=cos(R=2,故C正确D错误.

/cos(7ixl0)coslOncosO2

故选：BC.

10.AB

【分析】

根据集合代表的含义，结合直线过定点以及直线与圆的关系，圆与圆的关系，即可结合选项

逐一求解.

【详解】/={(》/)加+尸1=0}表示过定点(0,1),且斜率为-加的直线的点构成的集合，

8={(羽田|2必+2了-9=0}表示过定点(0,£|且斜率为一加的直线的点构成的集合，

C={(xj)卜2+/+2x-4y+l=0}表示圆心为卜1,2),半径为r=2的圆上的点构成的集合,

。={(”)卜2+/-2工=0}表示圆心为(1,0),半径为%=1的圆上的点构成的集合，

对于A,集合48中的直线平行，故ZcB=0,故A正确，

对于B,由于(I?+1+0-4+1<0,故(0』)在圆f+/+2x-4y+1=0内，

故经过点(0,1)的直线与圆相交，NcCw0,故B正确，

对于C,由于+0-4x|+l>0,故在圆x2+/+2x-4y+l=0外，

故当经过点，,|)的直线与圆相离时，此时/cC=0,故C错误，

对于D,由于J(-l-以+22=2「e(r-br+1)，故两圆相交，CcD手(Z>,D错误，

故选：AB

11.ABD

【分析】

根据斜率以及双曲线的对称性可得48居&为等边三角形，即可根据同角关系与和差公式求

答案第4页，共14页

解三角函数值，进而利用正弦定理求解|"；|=14,|4闾=10,由双曲线定义可得2a=4,进

而根据选项即可逐一求解，

【详解】对于A,依题意，直线取；的斜率为百，所以乙姐乙=；,又忸周=忸闾,

所以△明心为等边三角形，故忸用=忸同=内周=2c=6,NBF再=j,

在AAF'F?中，tan/6片/=卡>0,ZF2FXA为锐角,

••/Z777A5百/Z7Z7彳11

..44二,cos-ZiA—,

济四・彳.(71G1113#5

所以SIIL4=sm----ZKFA=——x---------x------=-----,

(321421414

根据正弦定理可得匠?=

S1IL4sinZF］尸sinZF2FiA

6二|四|二。

即30一G一56，解得|皿|=14,|/阊=10,

ITT1T

所以2a=4,即a=2力=y/c2—a2=卡，

22

所以双曲线。的方程为土-2=1,

45

对于AB,C的渐近线方程为y=±日X,|4B1=6+10=16,故AB正确;

对于C,A/BF；的面积为］忸耳卜|/可sin］=Jx6x16xsin§=ads',故C错误;

对于D,△/片片的面积为LX6X14X2=156,

214

15唐国

所以△/“内接圆的半径为915,故口正确.

故选：ABD,

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用三角函数的知识与正弦定理求得|/周,|/巴|,

从而得到双曲线C的方程，从而得解.

1-20V5K

3

【分析】

利用球的截面圆性质求得球的半径，再利用球的体积公式即可得解.

答案第5页，共14页

【详解】由球的截面圆性质可知球的半径R=配工=石，

则该球的体积为多x(石)3=3遇.

故答案为：型叵.

3

13.48

【分析】

利用平均数公式与方差公式求解即可.

【详解】依题意，知这6个数的平均数为土井=4,

6

又!［斗；-5X31=T，得=63,

3Ii=l43Z=1

所以这6个数的方差为［£^+92-6x42］=＞(63+92-6x42)=8

故答案为：4；8.

【分析】

令g(x)=t,根据/(x)的图象可知，/(x)等于常数的解最多只有3个，根据g(x)图象性质

可知，g(x)等于常数的解最多只有2个，若/'(g(x))=4有6个解，需要/(。=彳有3个解,

g(x)=f有2个解，根据/(X)图象先求出0＜力＜±,再得出彳和/'«)=九中最小解之间的等

e

式关系，而后结合g@)的值域即可建立关于X的不等式，最后构造关于4的函数，求导求

单调性即可解不等式，进而得出结果.

【详解】令g(x)=t,由函数/(X)的图象可知，方程/⑺=2(2为常数)最多有3个解，

/⑺在(-*0］上单调递增，

当，＞0时，/«)=2(1丁),则/⑺在(0同上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

所以f=e处取得极大值，即极大值为/(e)=必=2,如下图：

ee

答案第6页，共14页

故结合图象可得0<2<一,且方程2的三个解中最小的解为/=10g22.

e

又g(x)=/+2x-4/l=(x+l)2-4/1-1,在(-8,-1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增,

所以g(x)最小值为g(T)=-42-l,即当此-42-1时，g(x)=/有2个零点，

log4>-4Z-1

所以使关于X的方程/(g(x))=4有6个解，则L2；2,

、e

log24>-4Z-1,即42+log22+1>0,令〃(丸)=42+log22+1,

易知〃(4在(0,+8)上单调递增，又《：卜0,所以42+log22+l>0的解集为

综上所述，2的取值范围为

故答案为：(wq)

【点睛】方法点睛：本题考查复合函数零点个数问题，此类题目一般做法为：

(1)先根据解析式画出两个函数图象；

(2)令复合函数内函数为；

(3)结合函数图象及零点个数，分析外函数根的个数以及自变量对应的取值范围；

(4)再确定内函数根个数及对应参数取值范围；

(5)解出参数范围即可.

15.(1)证明见解析

【分析】

(1)由面面垂直的性质定理得证线面垂直后可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明

结论成立；

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角.

【详解】⑴

答案第7页，共14页

过尸作尸。_L/C于点。，平面尸/C_L平面4BC,且平面P/CPl平面/3C=/C,尸。u平

面"C,

故尸。_L平面/3C.又/Bu平面R4C,PD±AB.

又PALAB,PAC\PD=P,PDu平面上4C,/2u平面上4C,

所以工平面R4C,

(2)

由(1)48/平面B4C,/Cu平面川C,故48//C,

以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系/一初z,

则4(0,0,0),5(2,0,0),P-C(0,2,0),

故丽=(2,-i,-6),丽=；丽=殍)，所以加(15,邛)，

次=(0,2,0),而=§,|,孚)

设平面的法向量比=(%//),

m-AC=2y=0

则一E222氏八，令z=l有，故应=(-6,0,1),

m-AM=—xH——yH——,攵=0

〔333

平面P4C的法向量方二(2,0,0),

m-AB2A/3_V|

贝Ucos〈成,/5〉=

2^2~~2

又二面角P-/C-"所成角为锐角，

二面角尸-NC-M所成角的余弦值为角的大小为二.

1

16.(1)证明见解析;bn=6-.

33

(2)S2„-X6"-n-J；证明见解析.

答案第8页，共14页

【分析】

(1)结合递推公式利用等比数列的概念即可证明并求得通项公式;

(2)利用递推公式将$20用6"得前"项和来表示，即$2.=3(4+N+4+…+»)-〃，

14

进而利用等比数列的前〃项和公式即可求解；令c“=2S功-出用+2=(x6"-2〃+",并用

c„+I-cn=6"-2>°可得单调性，从而即可证明2s202%,+「2・

【详解】(1)证明：由题意可知，342TM+3=3(2*7)+3=6,

aa

2n-l2n-l，2〃-1。2〃-1

所以数列｛4｝是首项4=4=1,公比为6的等比数列.

于是b“=6,

(2)由题意可知，?"-2。2〃-1-1，所以

S2n=%+4+%+…+a2„=S+4+…+a2„i-)+G+%+…+4")

=(4+%+•■■+%“T)+(现一1+蜀一1+…+4“T-1)

=3(4+%+■♦•+%T)-〃=39+%+4+…+6“卜«

令g=2$2“-a2n+l+2=|x6"-2n-|-6"+2=|x6"-2?十1，

cn+1-CK=1x6向-2G+1)+gx6"-2«+3=6"_2>0,

所以数列｛c”｝单调递增，故c£q=O,即2凡.2%「2.

17.(1)70

(2)63.3

⑶分布列见解析；1.4

【分析】

答案第9页，共14页

(1)利用频率分布直方图的频率与频数公式即可得解；

(2)利用频率分布直方图中百分位数的计算方法即可得解;

(3)先求得2,再利用独立事件的概率公式分别求得X的取值对应的概率，从而得解.

【详解】(1)由图可知，满意度评分不低于60分的频率为>(0.010+0.020)x10=0.7,

所以这100名观影者满意度评分不低于60分的人数为0.7*100=70.

(2)0^/(0.010+0.020)x10=0.3<0.4,(0.010+0.020+0.030)x10=0.6>0.4,

所以这100名观影者满意度评分的第40百分位数位于第三组，

04-03

则这100名观影者满意度评分的第40百分位数的估计值为60+cc”"X10«63.3.

0.030x10

(3)由图可知，“=1-(0.02+0.015+0.005)x10=0.6,同理。2=0.8,

而X的可能取值为0,1,2,

则尸(X=0)=(1-0)(1-")=02x0.4=0.08,

P(X=1)=p?(l-pJ+Oi(1-02)=0.8x0.4+0.6x0.2=0.44,

P(X=2)=p2p}=0.8x0.6=0.48,

所以X的分布列为

X012

P0.080.440.48

故£(X)=0x0.08+1x0.44+2x0.48=1.4.

丫2

18.(1)±-+/=1

(2)(2,+co)

【分析】

(1)根据题意，得到关于6的方程组，解之即可得解；

(2)分别联立直线8尸与椭圆方程、直线8P与直线NC方程，求得尸，。的坐标，从而将所

求转化为尸，。的纵坐标的表达式，从而得解.

【详解】(1)依题意，设尸(%,%),显然解-a,0),8Q0),C(0,6),

答案第10页，共14页

九二/22b12(a2-x；)

贝U桃?=—又｝*1,即「

xQ+aXQ—aXQ_o2

2不

所以k、k,=-11即Bn=b=_1①,

a"4a24

由|NC|=6,得/+。2=5②,

联立①②，解得。=2,6=1,

所以椭圆M的方程为匕+/=1,

4-

(2)由(1)得4-2,0),8(2,0),C(0,l),

设直线BP的方程为y=Kx-2),

因为点P位于第一象限，所以左〈自，=-；，

y=k(x-2)

联立2_，整理得(4r+1卜2-16/》+16/-4=0，

彳+N=

则辱+2=署丁所以“=片,则处=左国-2)=-

所以P

V—10—11

又直线NC的方程为匚=%,即y=：x+l,

x—22

V——X+14左+24k)

所以联立,2解得。

2k-l,2k-lJ

y=k(x-2)

\PE\\PD\_\PE\\PD\_ypyD-yP_yD-yP

nV"—"—'-

1^1\PC\\PC\\PB\1一力力l-yp

4月4k

2左一1+4左2+1=16二一8

]+-%一.-2一4_1

4k2+1k2

8

1,11

因为左<一一，所以/>—,0(节<4,0<4-

24k

答案第11页，共14页

出业

'\PB\\PC\

IPEIIPDI

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，将焉•"转化为尸，。的纵坐标的比值，从

It'oII\

而得解.

19.(1)是，理由见解析；

x

(2)y=-；

e

(3)证明见解析.

【分析】

(1)根据题意，利用直线的斜率与导数的几何意义求得切点，再分别求切线方程验证即可.

(2)求出函数g(无)的导数，并设出切点尸(士,乂),0(尤2,%),求出尸处的切线方程，再利

用“双重切线”的定义求出切线方程.

(3)利用“双重切线”的定义，分别设出配质对应的切点，分别利用导数的几何意义得到对

JT

应切点之间的关系，再构造函数尸(xhtanxr+M-'VxvO),利用导数结合零点存在性

定理确定判尸(x)的零点所在区间，然后借助不等式性质推理即得.

【详解】⑴

/(x)=x3+1的定义域为(-8,0)。(0,+8),求导得/⑴=3/-)，直线y=2x的斜率为2,

令r(x)=3x2-1=2,解得x=±l,不妨设切点尸(一1,一2),0(1,2),

则点P处的切线方程为V+2=2(x+l),即y=2x,

点。处的切线方程为>-2=2(》-1),即y=2x,

所以直线V=2x是曲线=/+：的“双重切线”.

x

e--x<oe*,x<°

(2)函数g(x)={e'—,求导得g'(x)={i,

显然函数y=e'在(-8,o)上单调递增，函数y=:在(0,+8)上单调递减,

设切点尸(国,乂),0卜2，%)，则存在,1<0<人，使得/'(再)=/"2)，

则在点P处的切线方程为y-(e&-2)=炉(》-%)，在点。处的切线方程为

e

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y-inx2=-(x-x2),

因此,2,消去巧可得e'—xg'+再---F1=0,

e』一e』'i—2=ln%—1。