湖南省湘潭市2024届高三年级下册3月质量检测数学试题（解析版）

湖南省湘潭市2024届高三下学期3月质量检测数学试题

一、选择题

2

A=(x|x-4x+3<0)B=(x|lg(x-l)<o|AD

1.设集合L兀l冈'则&5=()

A.{邓<x<2}B,{x[2<x<3}

C.{x[l<x<3}D.{x[0<x<2}

K答案』A

k解析U由无2-4X+3<0，解得1<X<3,所以A={x[l<x<3},

因为0<x—1<1,所以5={x[l<x<2},故AcB={x[l<x<2}.

故选：A

2.已知随机变量X服从N(0.5,c?),若P(XW0.3)=0.3,则P(0.3<X<0.7)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

k答案』C

K解析工由题意可得P(0.3WXW0.5)=0.5—0.3=02,

所以P(0.3<X<0.7)=2P(0.3<X<0.5)=0.4.

故选：c.

3.已知z为复数，若力+i为实数，则复数z在复平面内对应的点的轨迹方程为()

A.2x-y=0B.(x-1)2+y2=1

C.y+l=0D.x+l=0

K答案XD

k解析D设z=x+yi(x,yeR),则zi+i=(x+yi)i+i=(x+l)i—y,

因为0+i为实数，所以x+l=0.

故选：D.

4,设等差数列{%}的前几项和为S“，若为=8,S3=18,则其=()

A.34B.35C.36D.38

（答案IB

1解析]因为｛%,｝是等差数列，设其公差为d,

因为S3=〃[+〃2+/=3al=18,贝U%=6,

所以2d=g-g=2,则d=l,

所以%=9,S5=邑+%=18+8+9=35.故选：B.

5,回50。+sin70。丫的值为（）

1+cos20

13

A.1B.£C.-D.2

22

k答案』C

K解析X®n50°+sin7°°sin(^60°-10°^+sin(^60°+10°

1+cos20°l+2cos*210°-1

_（2sin60°cosl0°y_3cos210°_3故诜:c

2cos210°2cos2102

6.实验课上，小明将一个小球放置在圆柱形烧杯口处固定（烧杯口支撑着小球），观察到小

球恰好接触到烧杯底部，已知烧杯的底面半径为2,小球的表面积为25兀，若烧杯的厚度不

计，则烧杯的侧面积为（）

A.兀B.2兀C.3兀D.4兀

k答案》D

K解析工设小球的半径为乙则S=4兀/=25兀，解得r=*，

2

设圆柱的高为〃，由勾股定理可得户=22+0—»2,解得丸=1或〃=4（舍去），

所以烧杯的侧面积为27ix2xl=47i.故选：D.

7.已知/（%）是定义域为R的偶函数，当无之0时，/（x）=（x+a）L-jj，若/（%）有

且仅有3个零点，则关于x的不等式的解集为（）

A(-co,-2)O(2,+co)

C.(-00,-3)o(3,+00)D.(-co,-4)o(4,+00)

（答案』A

K解析》因为了⑺为偶函数，有且仅有3个零点,

2

，即（）（

所以/（0）=。0+a0—I=0,解得a=O,

33

此时当xNO时，/（%）=,所以“尤）的零点为—2,0,—,满足题意,

22

Q

又当xNO时，/（%）X3-3X2+-

4

a991

由/(x)>f,得工3—3/+—%——>0,即x—，解得工〉2,

I42

又/a）为偶函数，所以I的解集为（-8,-2）J（2,+8）,

故选：A.

8.己知圆。的半径为1,A,B,C为圆。上三点,满足=则0C・（AC+3C）的

取值范围为（）

A.[1,2]B.[1,3]C.2D.一,3

P2

[答案』B

k解析I依题意,取A3的中点为。,

,|(9C|=1,OCOD=lx^cosZCOD=—cosZCOD,

2

所以OC•(AC+BC)=2OCDC=2OC(OC-OD)

-2

=2OC—2OC・OD=2—cos/COD，

因为cosNC8e[—1,1],所以00（4。+8。）=2—«）5/。0。€口,3].故选：B.

二、选择题

9.潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测

站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为，=40«[0%+三]+6（其中A>0,

。>0）,其中y（单位：m）为港口水深，x（单位：h）为时间（OWxW24）,该观测站

观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h,且中午12点的水深为8m,为保证安全，

当水深超过8m时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（）

71

A.co=—

6

B.最高水位为12m

C.该港口从上午8点开始首次限制船只出入

D.一天内限制船只出入的时长为4h

K答案?AC

T兀71

K解析』对于A,依题意一=—=6,所以。=:，故A正确；

2co6

兀7CI

（-xl2+-1+6=8,

解得A=4,

所以最高水位为10m,故B错误；

「兀兀）

对于CD,由上可知y=4cos[qX+1J+6,

令》28,解得8Vx<12或者20<x<24,

所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h,故C正确，D错误.

故选：AC.

10.己知圆锥SO的侧面展开图为一个半圆，AC为底面圆。的一条直径，AC=2,B为

圆。上的一个动点（不与A,C重合），记二面角S—A3—O为a,S-BC-O为0,则

（）

A.圆锥SO的体积为走兀

3

B.三棱锥S-ABC的外接球的半径为也

2

C.若a=。,则30_L平面&4c

D.若tanc=2tan，，则tana=JI?

(答案1ACD

k解析》设底面半径为人母线长为/，则2“=位，即/=2厂，

由AC=2,则&4=SC=/=2,则SO=A/22—俨=也,

所以圆锥S0的体积为』x兀义产乂石二且兀，故A正确；

33

设三棱锥S-ABC外接球的球心为O',在SO上，设球的半径为R,_0'0C中,

(A/3-7?)2+12=7?2,解得：尺=乎，故B错误；

如下图，取的中点MN,连结SM,0M,SN,0N,0B

因为5L4=SB=SC,OA=OB=OC,

所以SN1BC,ONIBC,

所以NSMO=i,4SN0=0

若£=/?,则QW=QV,即5C=AB,

所以A6C是等腰直角三角形,

所以OBJ_AC,因为SO,平面ABC,OBu平面ABC,

所以SOLO5,且ACSO=O,AC,SOu平面封c,

所以03_1_平面&1（7,故C正确；

一

如上图m，tancr=SO,tan£o=SO,

OMON

SO2SO1i

因为tana=2tan分，所以---=,则ON=2OAf,即一A3=2x—BC

OMON22

则AS=25C,且AC=2,所以3C=述，则。加=@

55

由力m='=淮=后痂「下诉

所以OM、后，故D正确.

T

故选：ACD

H.已知耳，工为双曲线c：三―尸=“；1>0）的左、右焦点，点河（1,6卜茜足

MFXMF2=Q,N为双曲线C的右支上的一个动点，O为坐标原点，贝U（）

A.双曲线C的焦距为4

B.直线加工与双曲线C的左、右两支各有一个交点

C.△可（?〃的面积的最小值为1

兀

D.ZONM<-

2

（答案XACD

k解析》对于A,因为西.Mg=。，所以班，“8，

则Ma=|Q£|=|°E|=2,又|跖?|=9与=2,

22

所以c=2,双曲线C:土—匕=1的焦距2c=4,故A正确；

22

对于B,由A知，6（2,0）,双曲线渐近线方程为y=±x,

则直线MF］的斜率为避二2=—6<—1,

1-2

所以直线与双曲线的右支有两个交点，故B错误；

对于C,因为左ow=G，设直线/:>=+与双曲线右支相切,

y=A/3X+m

联立1冗2y2,消去y,得2元2+2百蛆+2+加2=0，

［22

则A=（2鬲）2—8（2+加）=0,解得利=一2或者机=2（舍去），

1-2-01

则直线与/之间的距离为d=j—=1,

V3+1

所以ANOM的面积最小值为-\OM\-d=l,故C正确；

2

对于D,以|0州|为直径的圆的方程为［x—L］+y--=1,

II2,

由C可知，直线/:y=«x-2与双曲线右支的切点为（0,1）,

此时，其圆心到直线/:丁=氐-2的距离为

d

V3+1

又直线ON与/两平行线之间的距离为1,所以切点（百,1）到圆心的距离大于1,

TT

即双曲线上的点都在圆外，所以NOM0<一,故D正确.故选：ACD.

2

三、填空题

12.在（2+x）3（l—x）的展开式中，x的一次项的系数为（用数字作答）.

［答案工4

k解析》因为（2+x）3的展开通项公式为％+i=G23f，（rW3/eN）,

所以x的一次项的系数为C；22+（―1）C；23=12-8=4.

故K答案U为：4.

13.已知产为抛物线Cy2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，过/且斜率为1的直线交

抛物线C于A,8两点，直线AO,B0分别交抛物线C的准线于P,。两点，若AO=WP，

BO=piOQ,则2+〃=.

K答案X6

X=土=2x

K解析X设人(%,%),5(%2，%)，贝I£p>同理〃=—11

5P

P

Dx=y—

设直线AB:x=y+2,联立直线AB与抛物线12,

22o

b=2px

可得,2-2py_p2=0,A=4/?2+4p2>0,

则X+%=2'%%EP。，

/22、

2L2L2

所以2(西+々)~212P+2p)y;+yl(%+%)?-2%%6P2.

4+〃=----------=--------------=2—=---------2--------=一7=O

PPPPP

故K答案》为：6.

14.已知函数/(x)=x-alnx(a>0),记函数y=/(x),y=/(/(力)的值域分别为

M,N,若NM,则。的取值范围是.

［答案工(0,1)

I［解析U因为/(x)=x—alnx(a>。)，贝1|八］)=1-0=--，

XX

当xe(O,a)时，/'(x)<O,/(x)单调递减，

当xe(a,+8)时，/'(x)〉O,/(x)单调递增,

所以当X=。时，/(x)取得极小值，也是最小值/(a)=a-alna,

所以M={y[y>a-a\na},

当a—alna<0时，M=N,不符合题意，

当a—alna>0,即0<a<e时，

令于3=t,则y=/(/(%))=/(。，t>a-a\na,

因为NM,所以必有/(a—alna)>/(a),

显然不可能有a-alna<a,否则A/=N,不符合题意,

所以a-alna>a,解得0<°<1,

所以。的取值范围是(0,1).故K答案》为：(0,1).

四、解答题

15.2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”，设立全民健身日(FitnessDay)是适应人

民群众体育的需求，促进全民健身运动开展的需要.某学校为了提高学生的身体素质，举行

了跑步竞赛活动，活动分为长跑、短跑两类项目，且该班级所有同学均参加活动，每位同学

选择一项活动参加.

长跑短跑

男同学3010

女同学a10

若采用分层抽样按性别从该班级中抽取6名同学，其中有男同学4名，女同学2名.

(1)求。的值以及该班同学选择长跑的概率;

(2)依据小概率值a=0.01的独立性检验，能否推断选择跑步项目的类别与其性别有关?

n(ad—be?

附：z2其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.001

Xa3.8416.63510.828

解：（1）因为采用分层抽样按性别从该班级中抽取6名同学，其中有男同学4名，女同学2

名，所以男女同学的比例为2:1,则型土W=2,故。=10,

〃+10

该班同学选择长跑的概率为——"士电2

—30+10+10+103

（2）依题意，完善2x2列联表，如下，

长跑短跑总计

男同学301040

女同学101020

总计402060

零假设Ho:选择跑步项目类别与学生性别无关,

60x(30x10-10x10)2=15=375<

40x20x40x204

根据小概率值a=0.01的独立性检验，没有充分证据推断出Ho不成立,

因此可以认为Ho成立，即认为选择跑步项目类别与学生性别无关.

16.设各项都不为0的数列｛4｝的前〃项积为7；,T=2^-a,4=2.

（1）求数列｛4｝的通项公式;

（2）保持数列｛4｝中的各项顺序不变，在每两项应与知+1之间插入一项2（4+1-火）（其

中左=1,2,3,…），组成新的数列也｝,记数列也｝的前几项和为S"，若S">2023,求〃的

最小值.

解：（1）因为（=2^-a

5-1)5-2)2"T〃

当时，T=2—,两式相除可得——-

n-\n-1n

un-l

因a,产0,所以a,_i=2"T,

又q=2,所以4=2".

（2）依题意，S2"=a1+2（%—。1）+。2+2（%—出）++Q〃+2（%+i-〃拉）

=q+电++。九+2（%-％+%-电++。八+1一为）

=%+外++。八+2（。八+I-q）=。]+%++"八+2%+1-2%

=202）+2什2_4=3.2"+1_6,易知犷?"｝随着九增大而增大，

1-2

当〃=8时，4=3-28+i-6=1530<2023,

当”=9时，工8=3-29+i—6=3066>2023,

而S"=S[6+%=$+为=1530+512=2042>2023,综上，〃的最小值为17.

17.在三棱台A4G—A3。中，JRC为等边三角形，AB=2A4=2,J_平面ABC,

M,N分别为A3,AC的中点，

(1)证明：平面3。£四//平面AMN；

(2)若A51.AC1,设。为线段上的动点，求4。与平面所成的角的正弦值

的最大值.

(1)证明：在三棱台4用。1—A3C中，AB=2\BX=2,N为AC的中点，

所以4£=CN,且A£//CN,则四边形AGCN为平行四边形，所以cc"/AN,

又ANU平面ANM,CG<Z平面AM0,所以GC〃平面AN70,

因为M,N分别为AB，AC的中点，所以BC//MN,

又MVu平面ANM,5C(z平面AN70,所以8C〃平面ANM,

因为3Cu平面BCC&I,QCU平面BCCiBi,CBcCQ=。，

所以平面BCC、B\//平面%MN；

(2)解：连接卸7，45人。1，。?7,

因为平面ABC,且A&U平面AAGC,所以平面ABC1平面A41clC,

因为A5c为等边三角形，N为AC的中点，所以3NJ_AC,

又平面ABCc平面A41c。=ACBNu平面ABC,

所以BN，平面A41clC,又AC】u平面441clC,所以BN，A£,

又AB_LAC］，43cB双=3,网,肮(=平面BNA,所以AC】_L平面

又ANu平面3NA，则AG，AN,故四边形AAN£为正方形，A&=1,

以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系,

则A(O,O,1)，G(LO,1),C(2,O,O),5(1,"O),

则CC；=(—1,0,1),BC=(1,-A/3,0),AC=(2,0,—1),

不妨设DC=ABC=(2,-A/32,0)(2e[0,1]),

则4。=4。-。。=(2-4凤-1),

n-CC=0

设平面3CG瓦的一个法向量为〃=(x,y,z),贝叫}

n-BC=0

~X+2=0

得<厂，令y=i,可得〃=(6,1,6)，

x-yJ3y=0

|A/3(2-2)+732-A^|

则卜os〃，4£)|二73<721

同A方V7X7(2-A)2+3A2+1A/7X7(2A-1)2+4-14

当且仅当2=1时取"=”，所以与平面BCC出1所成角的正弦值的最大值为答.

18.己知椭圆C：?+/=l（a〉6〉0）的离心率为巧,。为坐标原点，耳，心为椭圆

C的左、右焦点，点P在椭圆C上（不包括端点），当尸鸟，耳居时，△尸片鸟的面积为主8,

一-"2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设点4（0,1）,8（0,—1）,直线Q4,PB分别与椭圆C交于异于点P的M、N两点，

记直线尸0,的斜率分别为左,左2,求人上的值，

222

解：（1）当月时，将X=C代入椭圆方程可得c二+v当=1,解得|y|=bL,

aba

c_

a2

由题意得＜1b23A/3-

—•2c—二----

2a2

〃2=Z72+c2

22

解得a=2指*=占,0=3,所以C的方程为土+匕=1.

123

⑵设加（七,％）川（%2，%），？（％0，%），

由于4（0,1）,8（0,—1）在椭圆C的内部，所以直线PA,P3都与椭圆C有两个交点，

直线PA:y=^^x+l,直线P3:y=

y=—―-x+1

联立《，毛，消去〉整理可得（2—%）/+/（%—l）x—x：=O,

工+厂-1

1123

所以玉玉；=-~Y°，故再=/c，

2-%%-2

则M=上又一^+1=卡，故

xo%-2%-21%-2%-2J

y=y°+1x+l

联立《,”,消去y整理可得（为+2）d—%（为+1卜—兀：=0,

厂"-1

1123

x

所以尤2%=」^故"--7nT

为+2%+2

/、

Z%+L1x%1.2%L+32%+3

贝uy2=-^4-=-^v,故N-

%%+2%+2%+2%+2,

2y0-3।2%+3

故心2%+2_分；—12：.

2xx

菁一尤2o।o2y0x02%

为―2%+2

又尤=：，所以左芯=&[_¥、]=_；，

/玉）（2ylJ2

19.已知函数/（X）=xlnx—"|x2-1,«eR.

（1）当a=l时，求/（x