2024年新高考数学重点二轮冲刺复习模考真题演练（新教材新高考）直线与圆小题

专题17直线与圆小题

解题秘籍

1.点到直线的距离公式

点户（不，几），直线/：Ax+3y+c=o,点至U直线的距离为：,」盘+为。：）

\77A2+B2

2.两条平行线间的距离公式

1{:Ax+By+Ct=0,。：Ax+By+C2=0,d=J0』

VA2+B2

3.直线与圆的位置关系

直线/：>=h+6,圆C：（x-t?）2+（y_6）2=/

△>0,相交d<r,相交

代数关系A=0,相切，几何关系<d=r，相切

△<0,相离d>?"，相离

4.圆上一点的切线方程

222

x+_y=，在pl,%）处的切线方程为：xx0+yy0=r

（尤-4+（y-6）2=/在°伉,%）处的切线方程为：（无一尤0）（尤_4）+（,一%）（,_6）=/

5.圆与圆的位置关系

设圆G的半径为4,设圆C2的半径为4,两圆的圆心距为d

若1>4+2，两圆外离，若1=可+々，两圆外切，若1=卜-寸，两圆内切

若以一臼<[<?;+0两圆相交，若0<d<k-目，两圆内含，若d=。，同心圆

两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；

两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；

两圆内含，公切线的条数为。条；

6.弦长公式，直线与圆交于A,B两点，设4占,％）,B（x2,y2）,有：

则|=J1+笈2Jx]—1=J1+E•J（X]+x,）~—4号々

或：恒同=/1+[，民一％|=/1+[-"（%+%）2-4%上

模拟训练

一、单选题

（2223•南昌•三模）

1.若a为实数，则“＜2=1”是“直线/1：依+_¥+2=0与直线/2：工+叶-3-4=0平行”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

（2223•深圳•二模）

2.若过点"（2,1）的直线/与圆O:Y+y2=8交于A,8两点，则弦最短时直线/的方

程为（）

A.2x-y-3=0B.%+y-3=0

C.%+2y-4=0D.2x+y-5=0

（2223•茂名•二模）

3.已知直线/：y=丘与圆C:（x-2y+（y-l）2=l,则“0＜々＜■”是“直线/与圆C相交”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不

必要条件

（2223•石嘴山•二模）

4.已知直线/：Ax+y—2=0（左£R）是圆C：f+/一6%+2y+9=0的对称轴，则左的

值为（）

A.—1B.—C.—D.1

33

（22-23下•河北•一模）

5.直线/：依+外-4=0与圆=4相切，则（。-3）2+（6-4）2的最大值为（）

A.16B.25C.49D.81

（2223•白山•一模）

6.已知圆C:尤2+y2-4x—6y+12=0与直线/：x+y-l=0,P,。分别是圆C和直线/

上的点且直线尸。与圆C恰有1个公共点，则|P@的最小值是（）

A.用B.25/2C.77-1D.272-1

试卷第2页，共8页

（2223•济宁•三模）

7.若直线履-y+1-2左=0与圆c：（x-l）2+y2=4相交于A,8两点,贝力4歹的最小

值为（）

A.2^3B.272C.73D.0

（2223•通州•三模）

8.过直线>=天上的一点尸作圆（x_5y+（y-l）2=2的两条切线心/切点分别为A段

当直线4，4关于'对称时，线段外的长为（）

A.4B.20C.76D.2

（22-23下•葫芦岛•一模）

9.定义在区间（。,空上的函数y=2cos尤的图象与y=3tanx的图象的交点为p,过点p

作尸/PLx轴于点B,直线BP与产situ的图象交于点尸2,则线段P/P2的长为（）

A.-B.-C.1D.-

3325

（22・23•海口•一模）

10.已知直线2x-y+r=0与圆C：（x+1）2+（j-3）2=r2（r>0）交于A,8两点，且

线段A3关于圆心对称，贝〃=（）

A.1B.2C.4D.5

（23•24上•永州•一■模）

11.在平面直角坐标系中，过直线2尤->-3=。上一点尸作圆C:/+2x+y2=i的两条

切线，切点分别为43，则sin/APB的最大值为（）

A2卡口2百c加门后

A.---D.---C.D.

5555

（22-23下•益阳•三模）

12.直线y=x+8与曲线尤=71二手恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（）

A.-\<b<y[2B.-y[2<b<-l

C.-1<AV1或Z?=—\/^D.-5/2<b<1

（2223•酒泉•三模）

13.若直线后-y-3=0分别与x轴，,轴交于A,8两点，动点尸在圆V+（>-1）2=1

上，贝IJ尸面积的取值范围是（）

A.[V2,3V2]B.[6,2g]C.[73,373]D.1263回

(2223•龙岩•二模)

14.已知M是圆C：Y+y2=2上一个动点，且直线心机原-3)-"(>-2)=0与直线/2：

n(x-2)+m(y-3)=0(m,nsR,疗+/2o)相交于点p,则俨”|的最小值是()

A.4夜B.3亚C.272D.逝

(22-23下•山东•一模)

15.由点尸(-3,0)射出的两条光线与《：(》+1)2+丁=1分别相切于点A,B,称两射

线以，尸8上切点右侧部分的射线和优弧AB右侧所夹的平面区域为I。的“背面”.若

U：(尤-iy+(yT)2=l处于］。1的“背面”，则实数r的取值范围为()

A.-2^<r<2^B.--+l<f<--1

33

C.-1<Z<1D.

33

二、多选题

(2223海口•一模)

16.如图所示，该曲线W是由4个圆：(x-l)2+y2=l,(x+l)2+/=l,f+(y+炉=1,

f+(y-1『=1的一部分所构成，则下列叙述正确的是()

A.曲线卬围成的封闭图形面积为4+2%

B.若圆尤2+;/=/&>0)与曲线W有8个交点，则企VrW2

C.8。与。£的公切线方程为工+，一1-0=。

D.曲线W上的点到直线x+y+5应+1=0的距离的最小值为4

(23-24上•湖北•一模)

17.已知〃>0,Z?>0,直线4：%+(〃-4)y+l=0,12：2Zzx+y—2=0,>1/2,则

()

A.0<ab?2B.a2+4Z?2>8

试卷第4页，共8页

114

C.a1+b2>5D.------1---->—

a+12b5

（22・23•葫芦岛•二模）

18.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的圆的方程为()

A.(x-2)2+(y-l)2=5B.(x-2)2+(y-3)2=13

C.(x-gy+(y-g)2=22D.(x-|-)2+(y-l)2=-|

(22-23下•湖南•二模)

19.已知点P在圆G：(x-2f+y2=4上，点。在圆C2：/+y2+2x-8y+13=0上，则

()

A.两圆外离B.|PQ|的最大值为9

C.|PQ|的最小值为1D.两个圆的一条公切线方程为

3%—4y+4=0

(23-24上•浙江•一模)

20.已知直线/：ffu+yT-2〃?=0与圆0：尤2+/=严有两个不同的公共点人，

则()

A,直线/过定点(2,1)B.当r=4时，线段A3长的最小值为

2A/TT

C.半径r的取值范围是(o,否］D.当r=4时，0402有最小值为-16

(2223•哈尔滨•三模)

21.在平面直角坐标系xOy中，已知定点4(0,1),8(3,1),动点尸满足|网=2户用，

记动点P的轨迹为曲线C,直线/：丘-y+2-3k=0化eR),则下列结论中正确的是(

A.曲线C的方程为(x—4，+(y—1)2=4

B.直线/与曲线C相交

C.若直线/被曲线C截得的弦长为26，则左=-2

D.忸P|的最大值为3

(2223•荷泽•三模)

22.已知点4(1,0),3(-2,0)动点尸满足用=2,则下面结论正确的为()

A.点P的轨迹方程为（x+3）?+y2=4B.点P到原点。的距离的最大值为5

C.面积的最大值为4D.P4PB的最大值为18

（22-23下•长沙•二模）

23.已知圆C:（x-2）2+（y-3）2=4,恒过点A（L3）的直线/与圆C交于尸,。两点.下列

说法正确的是（）

A.|PQ|的最小值为2忘B.PCPQ^[6,8]

C.CPCQ的最大值为-2D.过点C作直线/的垂线，垂足为点8,

则点B的运动轨迹在某个定圆上

（23-24上•宁波•一模）

24.设。为坐标原点，直线x+〃沙-m-2=0过圆四：/+；/-8犬+6'=0的圆心且交圆

于P,Q两点，则（）

A.|尸。=5B.m=g

C.△OPQ的面积为5占D.OMYPQ

（22・23•保定•二模）

25.已知直线/:履一y-左=0,圆〃：/+;/+m+小+1=0的圆心坐标为（2,1）,则下

列说法正确的是（）

A,直线/恒过点（1,0）

B.D=Y,E=-2

C.直线/被圆M截得的最短弦长为2班

D.当左=1时，圆M上存在无数对点关于直线/对称

（2223•张家口•一模）

26.已知O为坐标原点，过点尸（-5,0）的直线/与圆/+丁=9交于A,8两点，M为4

8的中点，下列选项正确的有（）

A.直线/的斜率上的取值范围是[

B.点M的轨迹为圆的一部分

C.尸为定值

D.PAPB为定值

（23-24上•长春•一模）

试卷第6页，共8页

x-l,（x>0）

27.已知/（x）=h八,下列说法正确的是（）

-（x<0）

A.7'（x）=l时，x=2

B.若方程/（元）="有两个根，则—l<a<0

C.若直线履+丫一左一1=。与>=/（尤）有两个交点，贝1|左22或0<左<1

D.函数g（x）=/（/（x））+l有3个零点

三、填空题

（22-23下•天津•一模）

28.直线x+y-l=O与圆/+9-2丈+4>+1=0相交，所得的弦的长为.

（2223•梅州三模）

29.写出一个过点P（4,0）且与直线/：y=x相切的圆的方程：.

（2223•深圳•二模）

30.过点（1,1）且被圆V+y2-4x-4y+4=0所截得的弦长为20的直线的方程

为.

（22-23下•大庆•二模）

31.直线/经过点A（机,2）,若直线/与直线y=x+l平行，贝卜〃=.

（22。23•西安一模）

32.直线/:如一y+2-3机=O（mcR）与圆C:x2+y2-2y-15=0交于两点P、。，则弦长

|「。|的最小值是.

（22・23•惠州•一模）

33.过点尸（1,1）的弦A3将圆V+y2=4的圆周分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最

大，则|AB|=.

（23・24♦大理•一模）

34.已知圆C：尤2+y2-2x-4y+l=0,过点4（1,1）的相互垂直的两条直线分别交圆C于

点和P,Q,则四边形MQNP面积的最大值为.

（22・23•潍坊•三模）

35.己知圆C:/+V-4xcos0-4ysin（9=0,与圆C总相切的圆。的方程是.

（2223•烟台•二模）

36.已知实数满足02+/一4°+3=0,则/+（。+2）,的最大值为.

（22-23下•长沙•一模）

37.已知圆M:（X-4）2+/=16,过点刈2,0）的直线/与圆〃交于4,8两点，。是AB

的中点，则。点的轨迹方程为.

（22-23下•杭州•一模）

38.已知点P（3,4）,直线/与圆：尤2+y2=25交于两点，若一时为等腰直角三角

形，则直线/的方程为.（写出一条即可）

四、双空题

（22・23•衡水三模）

39.若圆G:f+y2=1和C?:炉+y?-l^ax-lay-5a=>J有且仅有一条公切线,

则。=；此公切线的方程为

（22-23下•湖北•二模）

40.曲线C:x2+y2=k+y|围成的封闭图形的面积为,若直线y=%（x-2）与C

恰有两个公共点，则％的取值范围为.

试卷第8页，共8页

参考答案：

1.A

【分析】根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果.

【详解】因为直线4：办+y+2=0与直线4：了+/-3=0平行的充要条件是

£=!且,即1="且一3。一/片2,解得a=l.

1a1-3-a

所以由充分必要条件的概念判断可知：

“4=1”是“直线/1：内+>+2=。与直线/2：工+冲-3-°=。平行”的充要条件.

故选：A

2.D

【分析】根据题意，由条件可知，当最短时，直线/LOM,即可得到勺，从而得到结果.

当AB最短时，直线/LOAf,所以勺衣0“=T.

又zOM所以吊=-2，

所以/的方程为1=-2(X-2),即2x+y-5=0.

故选：D

3.A

4

【分析】先利用直线/与圆C相交可得到。〈人<1,然后利用充分条件、必要条件的定义即

可求解

【详解】由圆C:(x-2)2+(y-l)2=l可得圆心(2,1),半径为1,

\2k-\\4

所以直线/与圆C相交o圆心(2,1)到直线/:履-y=。的距离d=解得0〈人<一,

止+i3

答案第1页，共23页

所以“0<女<也”是“直线/与圆C相交”的充分不必要条件.

3

故选：A

4.D

【分析】由已知条件，可知直线/过圆心，将圆的方程化为标准方程，求得圆心坐标，把圆

心坐标代入直线I的方程求得k.

【详解】由圆C：f+_/-6x+2y+9=0得，(x-3)2+(_y+l)2=1,表示以C(3,-l)为圆心、

半径等于1的圆.

由题意可得，直线/：辰+>-2=。经过圆C的圆心(3,-1),

故有3人—1—2=0,得Z=l.

故选：D.

5.C

【分析】利用圆与直线的位置关系得出。的方程，根据方程分析利用(。-3)2+3-4)2表示

的几何意义求解即可.

【详解】由直线/与圆。相切可得：

圆心。(0,0)到直线I的距离等于圆的半径，

故/+/=4,即点(。㈤在圆。上,

(a-3)2+(6-4了的几何意义为圆上的点(“力)与点(3,4)之间距离的平方，

由a2+b2=4圆心为(。,。),

因为3。+42>4,

所以点(3,4)在圆=4外，

所以点(“力)到点(3,4)的距离的最大值为圆心到(3,4)的距离与圆半径之和,

即"+厂=J"。)?+(4-+2=7，

所以(a-3>+S-4)2的最大值为7。=49.

故选：C.

6.A

答案第2页，共23页

［分析］|PQ|二J|C2『TC/f=J|C0『_1,|CQ|的最小值为圆心C(2,3)到直线的距离，可求

|尸@的最小值.

【详解】圆C:Y+V-4x-6y+12=0化为标准方程为C:(%-2)2+(j；-3)2=1,

则圆C的圆心为C(2,3),半径厂=1,则|CP|=1,

直线尸。与圆C相切，有|PQ|=J|CQ『一|C/f=J|C0『_1,

2+3-」万

因为点Q在直线/上，所以2。上则|PQ住不.

即|PQ|的最小值是行.

故选：A

7.B

【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再求出垂直于经过该定点的圆的直径的

弦长作答.

【详解】直线区7+1-21=0,即左(x—2)-(尸1)=0恒过定点—(2,1),

^(2-1)2+12=2<4,即点/在圆C内,

因此当且仅当时，IA例最小，

而圆C的圆心C(L0),半径r=2,|CM|=A/I,

所以IAB1m2"二两7=274^2=2A/2.

故选：B

8.C

【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点尸的连线垂直于直线'=》，利用这一

关系即可得到切线的长.

【详解】如图所示，圆心为C(5,l),连接CP,

答案第3页，共23页

因为直线4，4关于y=x对称，所以cp垂直于直线y=尤,

故|”|=粤=20,而|AC|=夜，

所以|PA|=J|C7f_|Atf=瓜

故选：C

9.C

【分析】设尸伉，九)，则用(5,。)，gl.sinx。)，所以线段4A的长为标1司，根据

2cos%=3tan/结合同角三角函数基本关系可计算sin/的值，即可求解.

【详解】设尸(4,兀)，则爪如0),由题意知ZcosxLStanxL^S,

COSX。

所以2cos2Xo-3sinxQ,

因为sin?/+cos?%=1,所以2(1—51112/0)=35111九0,

2

即2sinxo+3sinxo-2=O,所以(2sin/-l)(sinxo+2)=O,

所以sin%=g,

直线尸4与函数V=sinx的图象交于点6,可得鸟(x°,sinxo),

所以［鸟=kinxo|=；,

故选：C.

10.D

【分析】先求得圆心C的坐标，进而列出关于「的方程，解之即可求得「的值.

【详解】圆C:(*+1)2+(>-3)2=/的圆心。(-1,3),

由圆心C(-l,3)在直线2x—y+r=0上，可得—2-3+r=0,

答案第4页，共23页

解之得r=5.

故选：D

11.A

【分析】由题意圆C:x2+2x+y2=i的标准方程为C：(x+l)+y2=2,如图

2

smAAPB=sin2a=2sinacosa,又sin

|CP|一«W'所以

2

cosa=Vl-sina=,又由圆心到直线的距离可求出|CP|的最小值，进而求解.

【详解】如下图所示:

由题意圆C的标准方程为C:(x+l)+y2=2,sinZz4PB=sin2cr=2sincrcosa,

又因为向=J所以8s”NO1-3,

乂凶力CP\^|CP|2'所以N|CP|21

所以sinZAPB=2sinacosa-

1-2-0-31厂

又圆心c(-l,o)到直线2x-y-3=0的距离为d=J22+(_1)2二代,

所以|CP|2d=J?,所以不妨设/=向7，(°<%£|,

贝1,2网=2扃1-备］=2也《1-却=2卜［T」=加，

又因为/⑺在［of单调递增，所以当且仅当/=(即|c"=6,即当且仅当直线CP垂直已

知直线2x-y-3=0时，

答案第5页，共23页

sinZAPB有最大值(sinNAPB)二f1-1

\/max,54i+;=¥

故选：A.

12.B

【分析】y=x+b是斜率为i的直线，曲线行瓜刀是以原点为圆心1为半径的圆的右半圆，

利用点到直线距离公式，结合图形可得答案.

【详解】y=x+6是斜率为1的直线，

曲线尤=炉手是以原点为圆心1为半径的圆的右半圆，

画出它们的图象如图，

当直线与圆相切时，-yj=l=>b=->/2,b=V2（舍去），

当直线过（1,。）时，b=-l,

由图可以看出：

当-后T时，直线与半圆有两个公共点，

【分析】先求得点A、点B的坐标，进而求得MM,再求出圆上的点P到直线距离的最值,

代入三角形面积公式即可求得结果.

【详解】如图所示，

答案第6页，共23页

因为直线后—y—3=0与坐标轴的交点A(g,0),B(0,-3),贝!)|AB|=^^再=

圆/+(y_=］的圆心。为(0,J),半径为r=l,

则圆心C(o,l)到直线6X-y-3=0的距离为d=彳立，=2,

所以圆/+0-1)2=1上的点p到直线-3=0的距离的最小值为d-r=2-l=l,最大

距离为d+r=2+1=3,

所以一ABP面积的最小值为gx2代xl=g,最大值为:X2A/^X3=36,

即一ABP面积的取值范围为［后36］.

故选：C.

14.D

【分析】根据直线过定点及垂直关系确定尸轨迹，结合圆的位置关系求最值即可.

由两直线方程可知4、4分别过定点4(3,2)、5(2,3),且两直线互相垂直，

设的中点为。，则0(2.525),

如图所示，则两直线的交点尸的轨迹为以。为圆心A3为直径的圆0,|4回=后,|。。=乎,

可知两圆相离，设直线OC交圆。于E,交圆。于。，

答案第7页，共23页

显然=|0C|TCEHO"=乎_0=VL

故选：D

15.D

【分析】设过点p的切线方程为y=Mx+3),进而可得切线方程，利用新定义可求，的最值,

进而可求实数f的取值范围.

【详解】解：设过点尸的切线方程为y=Mx+3),

直线尸3的方程为y=-苧(尤+3),即X+A/§J+3=0,

O2：(Al>+(yT)2=l处于。]的“背面”，

与PB相切时f取最小值，由卜士L],解得y-拽或,=_2指，

3

结合图形可得t的最小值为一组,

3

同理与相切时可得f的最大值为/=空，

3

.空4t4空.

33

故选：D.

16.ACD

【分析】

A选项可将曲线卬围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同

的半圆，即可判断；

B选项可直接由图讨论判断对错；

C选项可由圆心到直线的距离等于半径，求出公切线；

答案第8页，共23页

D选项可先找到为B，»G的公切线方程为x+y+l+五=0，曲线卬上的点到直线

x+y+5VI+l=0的距离的最小值即为平行线间的距离.

【详解】

曲线卬围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，

所以其面积为2x2+2x%xa=4+2万，故A选项正确.

当厂=后时，交点为3,D,F,H；当厂=2时，交点为A,C,E,G；

当0<r<也或厂>2时，没有交点；当0<r<2时，交点个数为8,故B选项错误.

设BD与。E的公切线方程为>=履+7（左<。/>。），

由直线和圆相切的条件可得!!=1=>,

yjl+k2y/1+k2

解得k=-1,t=1+A/2（1-忘舍去），

则其公切线方程为y=-x+l+>/^,即x+y-应-1=0,故C选项正确.

同理可得。8，HG的公切线方程为x+y+l+&=0,

则两平行线的距离d=J---------=---------1=4.故D选项正确.

0

故选：ACD.

17.ABD

【分析】由乙，/2,得。+26=4,利用基本不等式和二次函数的性质，判断各选项中的不等

式是否成立.

【详角单】由/|，4，得2/>+。-4=0,即a+26=4,

a>0,b>0,则。+26=422J2ab,当且仅当a=2£>,即。=2,8=1时等号成立，

所以有0v"?2,A选项正确；

由。+26=4,有16=（a+26）2=a2+4b2+4ab<2（^a2+46?）,

当且仅当“=助，即。=2,b=l时等号成立，所以有"+4^28,B选项成立；

由。+2》=4,有。=4-26,a>0,b>0,则0<b<2,

22222

a+Z，=（4-2Z?）+/7=5&-16^+16,由二次函数性质可知，6=|时，"+从有最小值］,

答案第9页，共23页

C选项错误；

由a+2Z?=4,有(a+l)+2Z?=5,

111(2bQ+cI2b〃+4

---1--=-2+---+----->-2+2J---------

a+12b51a+12b)5\a+l2b5

当且仅当看=*,即“===时等号成立,D选项正确.

故选：ABD.

18.AB

【分析】可以把点代入圆的方程，验证点是否在圆上，再判断各选项.

【详解】对于A,点(0,0),(4,0),(4,2)在圆(尤-2)2+"-1)2=5上，故A正确;

对于B,点(0,0),(4,。),(—14)在圆(X-2)z+(y—3>=13上,故B正确;

对于C,点(0,0),(-1,1)都不在圆(尤-$2+"一手2=22上，故C错误；

QQ

对于D,点(4,0),(-1,1)都不在圆(x*)2+(y-l)2三上，故D错误；

故选：AB.

19.ABC

【分析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心和半径，再逐项分析.

【详解】圆6：小一2)2+丫2=4的圆心坐标42,0),半径r=2,

22

0C2:x+y+2x—8y+13=0,即(对+1)，+(y-4)?=4的圆心坐标G(—1,4),半径R=2,

所以圆心距|CC|=-2)2+(4-Op=5,

因为仁02|>尺+厂=4,所以两圆外离.故A正确;

因为尸在圆Ci上，。在圆CZ上，所以怛。|扁=(。2|-氏一r=1，归。k=口。2|+尺+厂=9,故

B、C正确；

因为圆，口C?(一1,4)至I］直线3元一4y+4=。的距离d==3*R,所以

V32+42

3x-4y+4=0不是两圆公切线，故D错误;

故选：ABC.

20.ABD

答案第10页，共23页

【分析】化简直线为m(x-2)+(y-l)=0,进而可判定A正确；利用弦长公式，求得A8的

最小值，可判定B正确；根据直线/与圆0有总有两个公共点，可得点M(2,l)在圆0内部,

可判定C不正确；结合向量的数量积的公式，以及直线与圆的位置关系，可判定D正确.

【详解】由直线/："比+y一1一2相=0,可化为相(x-2)+(y—l)=0,

由方程组=解得x=2,y=l,即直线/过定点M(2,l),所以A正确；

当厂=4时，圆。的方程为炉+丁=16,可得圆心。(0,0),

贝”。叫=君，可得线段长的最小值为2Jr2To叫2=2而,所以B正确；

因为直线/与圆。有总有两个公共点，可得点M(2,1)在圆0内部，

所以22+F</,解得r>4,所以C不正确；

当厂=4时，圆。的方程为炉+y，=16,

则OA-OB=|OA||OB|COSZAOB=16cosZAOB,

当直线/过圆心。(0，。)，止匕时/4。8=兀，可得cos/AOB的最小值-1,

所以0408有最小值为T6,所以D正确.

故选：ABD.

21.ABD

【分析】设P(x,y),代入1PH=2|尸口，得曲线C的方程判断选项A；由直线/过的定点，判

断直线/与曲线C的位置关系，验证选项B；由垂径定理求解七验证选项C；忸尸I的最大值

为B点到圆心距离加上半径，计算验证选项D.

【详解】对A,设动点P(x,y),由|网=2\PB\,则7%2+(y-l)2=2^-3/+(y-l)2，化

简得(x-4)2+(y—l)2=4,A选项正确;

对B,直线/：左(尤-3)-y+2=0过定点。(3,2),点。在圆C内，直线/与曲线C相交，B选项

正确；

|4左_1+2_3川_]

对C,弦长为，半径为2,故圆心(4,1)到直线的距离=庐石=1，即

dTF+i

即k+i|=JF1L解得％=o,c选项错误;

答案第11页，共23页

对D,由(x-4)2+(y-l)2=4,圆心C(4,l),半径为2,闷1mx=因+2=(4-3)+2=3,D

选项正确.

故选：ABD

22.ABD

【分析】设动点尸(％y),根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆

外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可

判断D选项.

..PAJ(x-l2)+y2

【详解】设动点,则由中=2得：y=2,

PBJ(x+2)»2

即(xT)2+y2=4[(x+2『+y2],

化简得：/+;/+6了+5=0,即(x+3)~+y2=4,所以A选项正确；

所以点尸轨迹是圆心为(-3,0),半径为2的圆，

则点尸到原点0的距离最大值为7(-3-0)2+(0-0)2+2=5,所以B选项正确；

又A,8和点P轨迹的圆心都在x轴上，且|AB|=3,

所以当圆的半径垂直于x轴时，_皿面积取得最大值gx3x2=3,所以C选项错误；

又PA,PB=(1_x,—y),(—2_x,_y)=(1_x)(—2_x)+y~=x2+y~+x_2,

因为y2=-M-6x-5(-5<x<-l),

所以=元一7(—5VxV—l),

贝|B4-P3V—5x(—5)-7=18,所以D选项正确；

故选：ABD.

23.BCD

【分析】由题意可得，当ACLPQ时，|PQ|取得最小值即可判断A,由平面向量数量积的

坐标运算即可判断BCD.

【详解】圆C:(x-2y+(y-3)2=4的圆心为C(2,3),半径为2,

又A(l,3)满足(1一2y+(3-3)z=l<4,所以4(1,3)在圆C内,

答案第12页，共23页

所以，当ACLPQ时，|PQ|取得最小值，如下图所示,

此时|AC|=l,|Pe|=2A/22-12=2/，所以A选项错误；

设3是PQ的中点，PC-Pg=PC-（2PB）=21PC|•|•cosZP=2PB"=-

由于20m-愀。、4,12T尸01416,所以PC.PQ=K|£e[6,8],B选项正确;

2222

CPCQ=,\cp[\ce|cosZPC2=|CP\\ce|,.JCP~|/+C呵Q|-1一PQ|=Q_IpoI

由于12W阂<16,-8<8-|pg|2<-4,所以CP.CQ=8T）e[-4,-2],

所以CPCQ的最大值为-2,C选项正确，D选项正确.

故选：BCD.

24.BC

【分析】对于A,整理圆的方程为标准方程，明确圆心与半径，可得答案；

对于B,由题意，将圆心代入直线方程，求得参数，可得答案；

对于C,利用点到直线的距离公式求得三角形的高，结合三角形的面积公式，可得答案;

对于D,根据两点求得斜率，利用垂直直线斜率的关系，可得答案.

【详解】由圆的方程Y+y2-8x+6y=0,

答案第13页，共23页

则(x-4y+(y+3)2=25,所以圆心M(4,—3),半径r=5,

易知|PQ|=10,故A错误；

将“(4,-3)代入直线方程尤+〃沙一加一2=0,贝i]4—3〃2-7"—2=0,解得加=g,故B正确；

将根=；代入直线方程x+〃7丫-%-2=0,整理可得直线方程2x+y-5=0,

|2x0+0-5|

原点到直线2尤+>-5=0的距离d1"=/r,且此为△OPQ底PQ上的高，

V22+l2

所以SV°2=；4|PQ|=；X石X10=5A/L故C正确；

Q_n3

由0(0,0)与M(4,-3),则直线OM的斜率k1=H，

由直线方程2x+y-5=0,则直线PQ斜率k2=-2,

3一

由4•右=3#T，则OAf与PQ不垂直，故D错误.

故选：BC.

25.ABD

【分析】求解直线系结果的定点判断A；圆的圆心求解D、E判断B；求解直线被圆截的弦

长判断C,利用圆的圆心到直线的距离判断D.

【详解】直线/：气一丁一左=0,恒过点(L0),所以A正确；

圆Af:尤?+y?+_Dx+Ey+1=0的圆心坐标为(2,1),£)=,E——2,所以B正确；

0Af:x2+j2-4.x-2y+1=0的圆心坐标为(2,1),圆的半径为2.

直线/:履-了-左=0,恒过点(1,0),圆的圆心到定点的距离为：0,

直线/被圆M截得的最短弦长为2"二=2无w，所以C不正确；

当％=1时，直线方程为：x-y-l=0,经过圆的圆心，所以圆M上存在无数对点关于直线/

对称，所以D正确.

故选：ABD.

26.ABD

【分析】利用直线和圆相交可求斜率范围，利用平面向量的数量积和直线与圆的位置关系即

得结果.

答案第14页，共23页

【详解】对于A选项，方法1：设A（HM）,矶%,%），直线/的方程为y=%（x+5）.

22

r_i_v=Q

由，一5）得（左？+1卜2+10左2%+25/-9=0,

所以A=100/—｛女2+1）（25左2-9）＞0,

解得—所以A正确；

44

方法2：如图，设直线/与圆的切点为工，T2,在直角三角形。工尸中，OP=5,OT\=3,

333

所以PZ=4,所以心4=：,由图形对称性可知＜左＜；,所以A正确；

对于B选项，由，45,可得,所以点M的轨迹是以0P为直径的圆的一部分,

故B正确；

对于C选项，由QWJ_MP,可得尸。•尸河=|PO||PM|cos/OPM=|PM『，

又16<|PM”25,所以C错误；

对于D选项，由(A?+1)Y+Wlcx+25k2-9=0,

,曰10二25k2-9

侍—为…广丁丁’

PA-=(&+5,%)♦(%+5,%)=(玉+5)(%+5)+，

又％=4(%+5),%=左(尤2+5),

所以

PAPB=(1C+1)(%+5)(X2+5)=伏2+1)[占9+5(尤1+%)+25]

=25k1-9-50^2+25k1+25=16.故D正确.

故选：ABD.

27.ABD

答案第15页，共23页

【分析】对A：分类讨论X求解即可；对B：方程"有两个根可以看作y=/(x)的图

象与直线y有两个不同交点，由图得a的取值范围；对C：直线船+，-左-1=0是以-左为

斜率且恒过A(l,l)的直线，结合y=/(x)的图象得到直线与y=/(%)有两个交点时斜率的范

围；对D：〃/。))=-1分/(*)20,/(尤)<0求解.

【详解】对A：当xNO时，/(x)=x-l=l,得x=2满足题意；

当x<0时，/(x)=—=1,得x=l不满足题意，故A正确.

x

对B：作出y=/(x)的图象，方程〃尤)=。有两个根可以看作y=/(元)的图象与直线y=a有

两个不同交点，由图知—lKa<0,故B正确.

对C：直线/：履+>-"1=0可化为y-1=-%(无T)，故直线/是以-左为斜率且恒过A。』)的

直线，

如图，4为过A(L1)与(。,-1)两点的直线，其斜率为2,

当/位于4时，直线/与>=〃尤)有两个交点，

4为过且与/°:y=x-l平行的直线，其斜率为1,

当/位于4时，直线/与>=/(x)只有一个交点，

4为过A。」)的水平直线，其斜率为0，

当/位于4时，直线/与y=/(x)只有一个交点，

"为过A(l，l)的竖直直线，其斜率不存在，

当/位于乙时，直线/与y=/(x)只有一个交点，

由图可知，要使直线丘+»-左-1=。与y=/(尤)有两个交点，

答案第16页，共23页

则/位于44之间或位于44之间,故-壮(0,1)1[2,g所以》e(Y,—2]J(—l,0),故C错

误.

〃尤)<。

对D：g⑺"(Q(x))+1=0,BP/(/(x))=-l,所以b⑴-1=-1或'-^―=-