2024年河南省名校高三数学下学期5月模拟联考试卷附答案解析

年河南省名校高三数学下学期5月模拟联考试卷全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（

）A．16 B．30 C．24 D．183．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．4．已知椭圆的右焦点为，短轴长为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（

）A．3 B．4 C．1 D．25．设为数列的前项和，若，则（

）A．4 B．8 C． D．6．若，且，则（

）A． B． C． D．7．设，则（

）A． B． C． D．8．已知为双曲线的左焦点，为左支上的点，为右顶点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在复平面内，设为坐标原点，复数对应的点分别为，，若，则可能是（

）A． B． C． D．10．已知为函数的极值点，则（

）A．B．是偶函数C．的图象关于直线对称D．在区间上单调递增11．已知圆台的上下底面半径分别为1，2，高为，为下底面圆的一条直径，为上底面圆的一条弦，且，则（

）A．圆台的体积为B．圆台的母线与下底面所成角为C．当，，，不共面时，四面体的外接球的表面积为D．的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中，的系数为．（用数字作答）13．已知的内角，，的对边分别为，，，，，若为中点，则．14．已知函数点，在曲线上（在第一象限），过，的切线相互平行，且分别交轴于，两点，则的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．已知函数，且在处的切线方程是．(1)求实数，的值；(2)求函数的单调区间和极值．16．甲、乙两个班级之间组织乒乓球友谊赛，比赛规则如下：①两个班级进行3场单打比赛，每场单打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分；②若其中一队累计分达到6分，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未能决出最终胜负，则进行一场双打比赛，双打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分．已知每场单打比赛甲班获胜的概率为，每场比赛无平局，不同场次比赛之间相互独立．(1)求进行双打比赛的概率；(2)设随机变量为比赛场次，求的分布列及数学期望．17．如图，在四棱锥中，平面平面，且．

(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值．18．在平面直角坐标系中，已知点，点（不位于轴左侧）到轴的距离为．(1)求点的轨迹方程；(2)若圆与点的轨迹有且仅有一个公共点，求的最大值；(3)在（2）的条件下，当取最大值，且时，过作圆的两条切线，分别交轴于两点，求面积的最小值．19．已知为单调递增的正整数数列，给定整数，若存在不全为0的，使得，则称为阶维表示数．(1)若，求的通项公式，判断2024是否为3阶3维表示数，并说明理由；(2)已知，是否存在，使得同时是0阶维表示数，1阶维表示数，…，阶维表示数．若存在，求出；若不存在，请说明理由．1．B【分析】根据指数函数性质和一元二次不等式的解法求出集合，然后由集合的并集运算可得.【详解】由指数函数的值域可得，解不等式得，所以.故选：B．2．C【分析】利用分层随机抽样及已知，求出三个班级分配到的优秀学生人数即得.【详解】甲、乙、丙三个班级人数比为，由分层随机抽样，三个班级优秀学生名额分别为8，6，10，所以高三年级三个班优秀学生总人数为人.故选：C3．A【分析】根据半径求底面周长，由弧长公式可得母线长，然后可得侧面积.【详解】因为底面半径，所以底面周长，又圆锥母线长，所以圆锥侧面积．故选：A．4．D【分析】利用椭圆的几何性质得到关于的方程组，解之即可得解.【详解】依题意，椭圆短轴长为，得，则，又的最大值是最小值的3倍，即，所以，所以，则其焦距为.故选：D5．B【分析】根据的关系可得递推公式，利用递推公式可得.【详解】当时，，所以，整理得，所以.故选：B．6．D【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算，再根据和角公式计算即可.【详解】因为，又，即，则，所以，故.故选：D7．A【分析】利用正余弦函数及对数函数的单调性分别判定与c的大小即可.【详解】因为在上单调递增，所以，又定义域上单调递增，所以，而在上单调递减，所以，所以.故选:A8．A【分析】利用给定条件结合余弦定理得到齐次方程，求解离心率即可.【详解】如图，设的焦距为，则，由，可知，设的右焦点为，则，由余弦定理得，整理得，所以，离心率为，故A正确.故选：A．9．ACD【分析】设，根据复数的四则运算以及几何意义可得，再结合向量垂直的坐标表示分析求解.【详解】设，则，可知，即，若，则，整理得所以或，对比选项可知ACD正确，B错误.故选：ACD．10．ABC【分析】由是导函数的零点，可得判断A选项；由解析式判断奇偶性判断选项B；利用函数对称性的特征判断选项C；由正弦型函数的单调性判断选项D.【详解】为函数的极值点，，由可得，A选项正确；由于，所以是偶函数，B选项正确；，所以的图象关于直线对称，C选项正确；由于的正负未知，所以在区间的单调性不确定，D选项错误，故选：ABC．11．ACD【分析】对于A选项，直接套用公式计算即可，对于B选项，先做出圆台的轴截面进行判断，对于C选项，当与异面时，外接球的轴截面大圆刚好是圆台轴截面的外接圆，根据几何关系确定圆心即可计算判断，对于D选项，需要建立空间直角坐标系，进行用坐标法计算取值范围.【详解】对于A选项，圆台体积为，A选项正确；对于B选项和C选项，先做出轴截面：根据几何关系，可知圆台的母线与下底面所成角为，B选项错误；对C选项，当与异面时，外接球的轴截面大圆刚好是圆台轴截面的外接圆，由几何关系得出，即下底面圆心刚好为四面体的外接球球心，则外接球半径为2，表面积为，C选项正确.对选项D，需建立空间直角坐标系，由，可知，不妨设，，则，所以，所以，D选项正确.故选：ACD12．6【分析】因式分解得，分别由和通项相乘得，根据可得.【详解】，的展开式通项为，的展开式通项为，，令，得，所以的系数为．故答案为：613．【分析】根据余弦定理可得，即可利用向量的模长求解.【详解】由余弦定理，，将代入解得，因为，所以，所以．故答案为：14．【分析】利用给定条件得到，再把目标式化为一元函数，求导研究最值即可.【详解】易知，设，则，设切线斜率为，则，所以，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以的最小值为，所以的最小值为．故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是利用给定条件得到，然后把目标式表示为，求导得到单调性，再求最值即可．15．(1)，(2)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调区间，从而求出极值.【详解】（1）因为，所以，又在处的切线方程为，所以，，解得，．（2）由（1）可得定义域为，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则在处取得极小值，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，因此极小值为，无极大值．16．(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算即可求解；（2）的可能取值为3，4，求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可.【详解】（1）设进行双打比赛为事件A，甲班前3场获胜2场为事件，乙班前3场获胜2场为事件，所以，所以，所以．所以进行双打比赛的概率为；（2）的可能取值为3，4，，由（1）可知，，的分布列为：34，所以的数学期望为．17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先由线段关系证，结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂直；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.【详解】（1）由题意，则，因为，所以，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因为平面，所以，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，所以，，设平面的一个法向量，则，令，得，设平面的法向量，则，令，得，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的正弦值为．18．(1)(2)2(3)32【分析】（1）设，利用两点距离公式及点线距离计算即可；（2）联立圆与C方程计算即可；（3）设坐标，含参表示圆的切线方程，利用直线与圆的位置关系及同解方程得，利用三角形面积公式结合基本不等式计算最小值即可.【详解】（1）设，则，所以，两边平方可得，整理得，所以点的轨迹方程C为；（2）依题意，联立圆与，可得，解得或，由于仅有一个公共点，所以，解得，所以的最大值为2；（3）不妨设，显然，则直线，直线，依题意直线PA与圆相切，所以，整理可得，同理可得，显然，所以a，b为关于的一元二次方程的两根，所以，则，则面积为，当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为32．

【点睛】思路点睛：第三问设点坐标，利用斜截式表示圆的切线方程，根据直线与圆的位置关系得出同解方程，消元转化再结合基本不等式计算即可.19．(1)，2024是3阶3维表示数，理由见解析(2)当时，不存在不全为0的使结论成立，当时，【分析】（1）利用给定递推关系求出，在利用给定定义判断3阶3维表示数即可.（2）利用给定定义结合分类讨论思想求解即可.【详解】（1）由于，因此的奇数项与偶数项