2023-2024学年北京市九中高二数学(下)期中考试卷附答案解析_第1页
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2023-2024学年北京市九中高二数学(下)期中考试卷(考试时间120分钟,试卷满分150分)2024.5一、单选题(共40分)1.已知数列满足,,则(

)A. B. C.2 D.2.已知甲盒中有2只红球,6只白球;乙盒中有5只红球,3只白球,则随机选一盒,再从该盒中随机取一球,该球是白球的概率为(

)A. B. C. D.3.已知等差数列的公差为2,前项和为,且成等比数列,则(

)A.36 B.18 C.72 D.94.二项式的展开式中,项的系数为(

)A. B. C.15 D.605.已知数列成等差数列,成等比数列,则的值是(

)A. B. C.-1 D.16.甲、乙、丙三人从足球、篮球、乒乓球、羽毛球这四门选修课中,每人任选一门参加,则不同的选择方案共有(

)种.A. B. C. D.7.若函数,则(

)A.1 B.2 C.3 D.48.已知函数的图象与直线相切于点,则(

)A.4 B.8 C.0 D.-89.某堆雪在融化过程中,其体积V(单位:)与融化时间t(单位:h)近似满足函数关系:(H为常数),其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为.那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的(

).A. B. C. D.10.若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,可以形成一个新的数列,再把所得数列按照同样的方法可以不断构造出新的数列.现将数列1,3进行构造,第1次得到数列1,4,3;第2次得到数列1,5,4,7,3;依次构造,第次得到数列1,.记,若成立,则的最小值为(

)A.6 B.7 C.8 D.9二、填空题(共25分)11.若甲、乙两名篮球运动员进行定点投球的命中率分别为,,现每人独立进行投篮1次,则两人恰好有1人命中的概率为.12.随机变量X的分布列如下表,若,则.13.过原点作曲线的切线,则切线的方程为.14.若正项数列满足,则称为“梦想数列”,已知数列为“梦想数列”,且,则.15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”,记为数列的前n项和.下列关于“斐波那契数列”的结论:①,②,③,④.其中,所有正确结论的序号是.三、解答题(共85分)16.在等差数列{}中,(1)求{}的通项公式;(2)若是公比为2的等比数列,,求数列{}的前n项和.17.某高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意情况,对20名学生进行问卷计分调查(满分100分),得到如图所示的茎叶图:(1)计算男生打分的平均分.再观察茎叶图,设女生分数的方差为,男生分数的方差为,直接指出与的大小关系(结论不需要证明);(2)从这20多学生中打分在80分以上的同学中随机抽取3人,求被抽到的女生人数的分布列和数学期望.18.已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)求函数的极值.19.随着人民生活水平的提高,人们对牛奶品质要求越来越高.某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶,在一地区进行了质量满意调查.现从消费者人群中随机抽取500人作为样本,得到下表(单位:人)老年人中年人青年人酸奶鲜奶酸奶鲜奶酸奶鲜奶满意100120120100150120不满意503030505080(1)从样本中任意取1人,求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率;(2)从该地区青年人中随机选取3人,以频率估计概率,记这3人中对酸奶满意的人数为,求的分布列与期望;(3)依据表中三个年龄段的数据,你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1,使得整体对鲜奶的满意度提升最大?(直接写出结果)注:本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值.20.已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;(2)讨论函数的单调性;(3)设,当时,函数的图象在函数的图象的下方,求的最大值.21.对于数列,,…,,记,.设数列,,…,和数列,,…,是两个递增数列,若A与满足,,且,,则称A,具有关系.(1)若数列A:4,7,13和数列:3,,具有关系,求,的值;(2)证明:当时,存在无数对具有关系的数列;(3)当时,直接写出一对具有关系的数列和.(本小问不用写解答过程)1.A【分析】根据数列的递推公式,由计算.【详解】数列满足,,则,.故选:A.2.D【分析】由全概率公式结合条件即得.【详解】由题意得,,故选:D.3.A【分析】、、成等比数列,可得,即,解得.再利用求和公式即可得出.【详解】、、成等比数列,,可得,解得则.故选:.【点睛】本题主要考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.4.D【分析】求出二项式展开式的通项,令,得,代入即可求解.【详解】因为二项式的展开式的通项公式为,,令,得,所以,即项的系数为60.故选:D5.A【分析】根据给定条件,利用等差数列性质、等比中项的意义列式计算即得.【详解】依题意,,所以.故选:A6.C【分析】依题意每人任选一门参加,可以分为3步完成,根据分步乘法原理,即可求得答案.【详解】甲、乙、丙三人从足球、篮球、乒乓球、羽毛球这四门选修课中,每人任选一门参加,可以分3步完成,每一步由1人选择一门选修课,每步均有4种选法,根据分步乘法计数原理,故共有种不同的选择方案,故C正确,其他选项均不符合题意.故选:C7.A【分析】求出函数的导数,再赋值计算即得.【详解】函数,求导得,当时,,所以.故选:A8.B【分析】根据导数的几何意义直接求解出的值,再根据点在直线上求解出的值,即可计算出结果.【详解】直线的斜率为4,直线与函数的图象相切于点,根据导数的几何意义即为切线的斜率,所以,又点在函数的图象上,同时也在切线上,所以,.则.故选:B.9.C【分析】根据题意可知,平均融化速度为,反映的是图象与坐标轴交点连线的斜率,通过观察某一时刻处瞬时速度(即切线的斜率),即可得到答案.【详解】解:平均融化速度为,反映的是图象与坐标轴交点连线的斜率,观察可知处瞬时速度(即切线的斜率)为平均速度一致,故选:C.【点睛】本题考查了图象的识别,瞬时变化率和切线斜率的关系,理解平均速度表示的几何意义(即斜率)是解题的关键.10.C【分析】根据规律确定的关系式,进而可得,即有的通项公式,求解即可得结果.【详解】由,,,,,则,则,则,当时,.当时,.故选:C.11.【分析】分别求解甲命中和乙命中两种情况求解即可.【详解】记两人恰好有1人命中为事件,则.故答案为:12.2【分析】由于分布列的概率之和为1,以及,列出关于的方程,再根据方差公式即可求出.【详解】由题意可知,∴,所以.故答案为:.13.【解析】求导得到设切点为,根据切线过原点,由求解.【详解】因为所以设切点为,因为切线过原点,所以,解得,所以,所以切线方程是,故答案为:【点睛】本题在考查导数的几何意义,属于基础题.14.##0.015625【分析】由“梦想数列”的定义可推导出,即数列为等比数列,再利用等比数列的通项求解.【详解】若数列为“梦想数列”,则,且,即,且,所以是以公比为的等比数列,则故答案为:15.①③④【分析】利用斐波那契数列的递推公式一一判定结论即可.【详解】对于①,由题意可知,所以①正确;对于②,显然,所以②错误;对于③,易知,所以,所以③正确;对于④,,,累加得,显然,所以④正确.故答案为:①③④.【点睛】关键点点睛:本题解决的关键是熟练掌握斐波那契数列的递推公式,并对其转化变形,从而得解.16.(1)(2)【分析】(1)设公差为,根据已知求出首项与公差,再根据等差数列的通项公式即可得解;(2)根据等差数列的通项求出数列的通项,即可得出数列{}的通项,再利用分组求和法即可得解.【详解】(1)解:设公差为,则,解得,则,所以,所以;(2)解:,因为是公比为2的等比数列,所以,所以,所以.17.(1)平均分为69;(2)分布列见解析,数学期望为.【分析】(1)结合茎叶图计算可得男生打的平均分为69;观察茎叶图可知女生打分比较集中,男生打分比较分散,故.(2)由题意可得的可能取值为1,2,3,结合超几何概型的概率公式即可求得分布列,然后计算可得数学期望.【详解】(1)解:男生打的平均分为:,观察茎叶图可知女生打分比较集中,男生打分比较分散,故.(2)因为打分在80分以上的有3女2男,所以的可能取值为1,2,3,,,,所以的分布列为:123.18.(1)单调增区间为和,单调减区间为(2)极大值16,极小值【分析】(1)对求导,利用导数与单调性的关系即可求解;(2)根据函数的单调性,求出函数的极值即可.【详解】(1)函数的定义域为,导函数,令,解得,则,随的变化情况如下表:200取极大值取极小值故函数的单调增区间为和,单调减区间为;(2)由小问1知,当时,函数取得极大值16;当时,函数取得极小值.19.(1)(2)分布列见解析,期望(3)青年人【分析】(1)根据表格数据,计算满意的概率;(2)由条件可知,,根据二项分布,求分布列和数学期望;(3)根据表格数据,结合每类人对鲜奶的满意度,即可作出判断.【详解】(1)设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为,样本总人数为500人,其中对酸奶满意人数为人,所以;(2)用样本频率估计总体概率,青年人对酸奶满意的概率,的取值为,,,,,,所以的分布列为0123的数学期望是.(3)青年人青年人总体人数最多,对鲜奶的满意度较低,所以鲜奶的满意度提高0.1,则人数提高最多,则整体对鲜奶的满意度会大幅提高.20.(1)(2)答案见详解(3)【分析】(1)对函数求导后,利用,求解即可;(2)对函数求导后,讨论的范围,考查的正负即可;(3)依题意,恒成立,不等式化为,构造函数,求得的最大值,令最大值小于零,即,构造函数,考查函数的单调性,进一步分析即可.【详解】(1)由题,函数的定义域为,则,,由于曲线在点处的切线与直线垂直,则,所以,解得,.(2),故当时,恒成立,则在上单调递增;当时,令,得,令,得,所以在上单调递增,在上单调递减.综上所述:当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.(3)依题知,当时,恒成立,即恒成立,化简为,设,则,当时,恒成立,故在单调递增,此时不符合题意;当时,,令,得,令,得,所以在单调递增,在单调递减,则恒成立,化为,设,则恒成立,则在上单调递增,又,且,,故的最大值为.【点睛】方法点睛:函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.21.(1);(2)证明见解析(3)不妨取数列1,4,6,7,9,12,14,15;数列2,3,5,8,10,11,13,16;【分析】(1)根据题中条件,列出方程组求解,即可得出结果;(2)由(1),得到对任意,都有,推出对任意,都能使数列,,,,,和数列,,,,,具有关系,即可证明结论成立;(3)不妨设四个连续的数为,推导出,且,同理可得另一组满足要求的数据,由数列新定义验证,即可得出结果.【详解】(1)由题意可得,,解得;(2)由(1),因为,对任意,都有,即,则,,和,,一组重新按从小到大顺序排列得到新数列A,,,和,,一组重新按从小到大顺序排列得到新数列,此时数列和数列满足,;当时,可得数列,,,,,和数列,,,,,具有关系;满足题意;当时,,,不能满足,当时,,不能满足,当时,数列A中的项按递增顺序排列为,,,,,;数列中的项按递增顺序排列为,,,,,;此时满足;综上,除和

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