2025版高考数学一轮总复习考点突破第1章集合常用逻辑用语不等式第3讲不等关系与不等式考点2不等式的性质及应用

不等式的性质及应用角度1不等式的性质1.(多选题)已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中一定成立的是(ABD)A．a＋c>b＋d B．a－d>b－cC.eq\f(a,c)>eq\f(b,d) D．eq\r(ac)>eq\r(bd)[解析]对于A，因为a>b>0，c>d>0，所以a＋c>b＋d成立；对于B，因为a＋c>b＋d，所以a－d>b－c成立；对于C，举反例，如a＝6，b＝2，c＝3，d＝1，可知eq\f(a,c)＝eq\f(b,d)，故C错误；对于D，因为a>b>0，c>d>0，所以ac>bd>0，故eq\r(ac)>eq\r(bd)成立．故选ABD.2．若a，b，c∈R，则下列命题为假命题的是(B)A．若a>b，则eq\r(3,a)>eq\r(3,b)B．若a>b，则ac2>bc2C．若a<b<0，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)D．若ac2<bc2，则a<b[解析]利用不等式的性质，逐项分析、判断作答．a>b，则a－b＝(eq\r(3,a))3－(eq\r(3,b))3＝(eq\r(3,a)－eq\r(3,b))[eq\r(3,a)2＋eq\r(3,a)eq\r(3,b)＋(eq\r(3,b)2)]>0，而(eq\r(3,a))2＋eq\r(3,a)eq\r(3,b)＋(eq\r(3,b))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,a)＋\f(1,2)\r(3,b)))2＋eq\f(3,4)(eq\r(3,b))2>0，因此eq\r(3,a)－eq\r(3,b)>0，即eq\r(3,a)>eq\r(3,b)，A正确；a>b，当c＝0时，ac2＝bc2，B错误；a<b<0，有ab>0，两边同时除以ab，则有eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，C正确；ac2<bc2，则c≠0，此时c2>0，于是a<b，D正确．故选B.3．(多选题)(2024·长沙调研)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列不等式中正确的是(AC)A.eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab) B．|a|＋b>0C．a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b) D．lna2>lnb2[解析]由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，可知b<a<0.A中，因为a＋b<0，ab>0，所以eq\f(1,a＋b)<0，eq\f(1,ab)>0.故有eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)，即A正确；B中，因为b<a<0，所以－b>－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；C中，因为b<a<0，又eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则－eq\f(1,a)>－eq\f(1,b)>0，所以a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)，故C正确；D中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2>lna2，故D错误．由以上分析，知A，C正确．名师点拨：1．在判断一个关于不等式命题的真假时，先把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并根据性质判断命题的真假，有时还要用到其他知识，如本例中幂函数、对数函数的性质等．2．在应用不等式的性质时，不可以强化或弱化不等式成立的条件，如“同向不等式”才可以相加，“同向正数不等式”才可以相乘．3．在不等关系的判断中，赋值法是非常有效的方法．角度2利用不等式的性质求范围问题1.已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是(－4,2),3x＋2y的取值范围是(1,18)，eq\f(x,y)的取值范围是.[解析]∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6,∴1<3x＋2y<18.由2<y<3，得eq\f(1,3)<eq\f(1,y)<eq\f(1,2)，当0<x<4时，0<eq\f(x,y)<2，当x＝0时，eq\f(x,y)＝0，当－1<x<0时，0<－x<1，∴0<－eq\f(x,y)<eq\f(1,2)，∴－eq\f(1,2)<eq\f(x,y)<0，综上－eq\f(1,2)<eq\f(x,y)<2.[解析]设3x＋2y＝λ(x－y)＋μ(x＋y)，即3x＋2y＝(λ＋μ)x＋(μ－λ)y，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝3，,μ－λ＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝\f(5,2)，))∴3x＋2y＝eq\f(1,2)(x－y)＋eq\f(5,2)(x＋y)．∵－1<x－y<4,2<x＋y<3，∴－eq\f(1,2)<eq\f(1,2)(x－y)<2,5<eq\f(5,2)(x＋y)<eq\f(15,2)，∴eq\f(9,2)<eq\f(1,2)(x－y)＋eq\f(5,2)(x＋y)<eq\f(19,2).故3x＋2y的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，\f(19,2))).名师点拨：利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．【变式训练】1．(角度1)(多选题)(2023·张家口一模)若a>b，则下列不等式中正确的有(AB)A．a－b>0 B．2a>2bC．ac>bc D．a2>b2[解析]对于A，因为a>b，所以a－b>0，故A正确；对于B，因为a>b，且指数函数y＝2x在R上单调递增，所以2a>2b，故B正确；对于C，若c<0，则ac<bc，故C错误；对于D，当a＝1，b＝－2时，a2<b2，故D错误．选AB.2．(角度1)(多选题)(2023·泰州调研)若a>b>0>c，则(ABD)A.eq\f(c,a)>eq\f(c,b) B．eq\f(b－c,a－c)>eq\f(b,a)C．ac>bc D．a－c>2eq\r(－bc)[解析]对于A，因为a>b>0，所以eq\f(1,b)>eq\f(1,a)>0，又c<0，∴eq\f(c,a)>eq\f(c,b)，A正确；对于B，a(b－c)－b(a－c)＝(b－a)c>0，∴a(b－c)>b(a－c)，两边除以a(a－c)，∴eq\f(b－c,a－c)>eq\f(b,a)，B正确；对于C，由幂函数y＝xc(c<0)，得ac<bc，C错；对于D，由已知得，ac<bc，∴－ac>－bc，又a－c＝a＋(－c)≥2eq\r(－ac)>2eq\r(－bc)，∴D正确．故选ABD.3．(角度2)若1<α<3，－4<β<2，则eq\f(α,2)－β的取值范围是.[解析]由1<α<3得eq\f(1,2)<eq\f(α,2)<eq\f(3,2)，由－4<β<2得－2<－β<4，所以eq\f(α,2)－β的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(11,2))).4．(角度2)已知－3<a<－2,3<b<4，则eq\f(a2,b)的取值范围为(A)A．(1,3) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(9,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))