【初中数学】期末复习课（四）+第四章　图形的相似+课件+北师大版数学九年级上册+

总复习期末复习课期末复习课（四）（第四章图形的相似）数学九年级上册BS版知识梳理典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01知识梳理

等于

ad

＝

bc

ad

＝

bc

2.平行线分线段成比例.基本图形：（“日”型，“A”型，“X”型）图1图2图3

3.相似三角形的判定及性质.（1）相似三角形的判定.①判定一：两角分别相等的两个三角形相似（最常用的判定）.②判定二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.③判定三：三边成比例的两个三角形相似.④相似多边形的判定：每个角对应相等，每条边对应成比例的

多边形相似.（2）相似三角形（多边形）的性质.①相似三角形对应

的比、对应

⁠的比和对

应

的比都等于相似比.②相似三角形（多边形）的周长比等于

，面积比等

于

⁠.高

角平分线

中线

相似比

相似比的平方

4.相似三角形的几种常见模型.模型图形“平行线”型

“斜交”型（∠1＝∠2）

“垂直”型

5.图形的位似.（1）一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点

P

，

P

'所

在的直线都经过同一点

O

，且有

OP

'＝

k

·

OP

（

k

≠0），那么这

样的两个多边形叫做

⁠.（2）位似多边形除具有相似多边形的所有性质外，还具有下列

性质：①对应顶点的连线经过

；②对应边平行或

在同一条直线上；③对应顶点到位似中心的距离之比等于

⁠

⁠.位似多边形

位似中心

相

似比

数学九年级上册BS版02典例讲练类型一

成比例问题

如图，

AD

是△

ABC

的中线，点

E

是

AD

上的一点，且3

AE

＝

AD

，

CE

的延长线交

AB

于点

F

.

若

AF

＝12cm，则

AB

＝

⁠cm.60

【思路导航】过点

D

作

FC

的平行线，可由平行线分线段成比例

得到线段的比值，再结合已知条件就可求得线段

AB

的长.【解析】如图，过点

D

作

FC

的平行线

DG

，与

AB

交于点

G

.∵

AD

是△

ABC

的中线，根据平行线等分线段定理（或中位线性质），得

BG

＝

FG

.

根据平行线分线段成比例定理，得

AF

∶

AG

＝

AE

∶

AD

.

∵

AF

＝12cm，3

AE

＝

AD

，∴

AG

＝36cm.∴

FG

＝36－12＝24（cm）.∴

BG

＝

FG

＝24cm.∴

AB

＝

AG

＋

BG

＝36＋24＝60（cm）.故答案为60.

【点拨】遇到线段比值问题时，首先考虑构造平行线，构造出

“A”型、“X”型斜交型或“垂直”型，再根据平行线分线段

成比例求出线段的长.同时，一些特殊位置点，例如中点，是中

考填空题常考内容.我们要学会联想中点在解决几何问题中的两

个重要内容：分线段长（中位线）和面积.

1.如图，已知直线

a

，

b

被三条互相平行的直线

l1，

l2，

l3所截，

AB

＝3，

BC

＝2，则

DE

∶

DF

＝

⁠.（第1题图）3∶5

2.如图，在等腰三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，点

P

在

BC

边上的高

AD

上，且2

AP

＝

PD

，

BP

的延长线交

AC

于点

E

.

若

S△

ABC

＝

10，则

S△

ABE

＝

，

S△

DEC

＝

⁠.（第2题图）2

4

类型二

相似三角形的判定与性质

如图，在△

ABC

中，

AC

＝12，

AB

＝15，

BC

＝18，点

D

是

BC

边上一点，

AC2＝

BC

·

CD

，连接

AD

，点

E

，

F

分别是

BC

，

AB

上的点（点

F

不与点

A

，

B

重合），∠

CFE

＝∠

B

，

CF

与

AD

相交于点

G

.

（1）求

AD

，

BD

的长；（2）求证：△

BEF

∽△

AFG

.

【思路导航】（1）由

AC2＝

BC

·

CD

，可求得

CD

的长，进而可

求得

BD

的长，再证明△

ABC

∽△

DAC

，由相似三角形的性质

可求出

AD

的长；（2）由（1）可得∠

B

＝∠

BAD

，再根据已知

条件证明∠

BEF

＝∠

AFG

，即可证明△

BEF

∽△

AFG

.

（2）证明：由（1）可知，

AD

＝

BD

＝10.∴∠

B

＝∠

BAD

.

∵∠

BEF

＋∠

B

＝∠

AFG

＋∠

CFE

，∠

B

＝∠

CFE

，∴∠

BEF

＝∠

AFG

.

∴△

BEF

∽△

AFG

.

【点拨】在几何解答题中，若题目中出现乘积式，则应该想到

的是相似三角形的性质；若又含有平方，则考虑存在共边，即

子母型相似，再从图形入手.

2.如图，在Rt△

ABC

中，已知∠

A

＝90°，

AB

＝20cm，

AC

＝

15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边

FG

在边

BC

上，另两个顶点

E

，

H

分别在边

AB

，

AC

上.（1）求△

ABC

的

BC

边上的高；

答图（2）求正方形

EFGH

的边长.

类型三

相似三角形的实际应用

如图，某水平地面上建筑物的高度为

AB

，在点

D

和点

F

处

分别竖立高是2m的标杆

CD

和

EF

，两标杆相隔8m，并且建筑

物

AB

、标杆

CD

和

EF

在同一竖直平面内.从标杆

CD

后退2m到

点

G

处，在点

G

处测得建筑物顶端

A

和标杆顶端

C

在同一条直线

上；从标杆

EF

后退4m到点

H

处，在点

H

处测得建筑物顶端

A

和标杆顶端

E

在同一条直线上.求建筑物

AB

的高度.【思路导航】由已知条件得到

AB

∥

CD

∥

EF

，于是有△

CDG

∽△

ABG

，△

EFH

∽△

ABH

，再利用相似三角形对应边成比例

的性质即可计算出

AB

的长度.

【点拨】构造相似三角形，利用其性质解决问题.

如图，一电线杆

AB

的影子分别落在了地上和墙上.同一时刻，

小明竖起1m高的直杆

MN

，量得其影长

MF

为0.5m.量得电线杆

AB

落在地上的影子

BD

长3m，落在墙上的影子

CD

的高为2m.

你能利用小明测量的数据计算出电线杆

AB

的高吗？解：如答图，过点

C

作

CG

⊥

AB

于点

G

，则

GC

＝

BD

＝3m，

GB

＝

CD

＝2m.∵∠

NMF

＝∠

AGC

＝90°，

NF

∥

AC

，∴∠

NFM

＝∠

ACG

.

∴△

NMF

∽△

AGC

.

∴

AG

＝6m.∴

AB

＝

AG

＋

GB

＝6＋2＝8（m）.答图故电线杆

AB

的高为8m.答图类型四

图形的位似

如图，

在△

ABC

中，

已知

A

，

B

两个顶点在

x

轴的上方，

点

C

的坐标是（1，0），以点

C

为位似中心，在

x

轴的下方作

△

ABC

的位似图形△

A

'

B

'C

，使它与△

ABC

的相似比为2∶1.设

点

B

的横坐标是

a

，则点

B

的对应点

B

'的横坐标是

⁠.－2

a

＋3

【思路导航】设点

B

'的横坐标为

x

，表示出

BC

，

B

'

C

的水平距

离，再根据相似比列式计算即可.【解析】设点

B

'的横坐标为

x

，则点

B

，

C

间的水平距离为

a

－

1，

点

B

'，

C

间的水平距离为－

x

＋1.∵△

A

'

B

'

C

与△

ABC

的相

似比为2∶1，∴2（

a

－1）＝－

x

＋1.解得

x

＝－2

a

＋3.故答案

为－2

a

＋3.【点拨】在位似变换与坐标问题中，关键在于熟练运用数形结

合法，会在数与图之间转换.如此题中，将相似比为2∶1转化为

B

'

C

＝2

BC

，又转化为点

B

'，

C

的水平距离为点

B

，

C

水平距离

的2倍，最后转化为坐标之间的关系（等式）.

如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，已

知点

O

及△

ABC

的顶点均为网格线的交点.（1）在给定网格中，以点

O

为位似中心，将△

ABC

放大，得到

△

A

'

B

'

C

'，使

A

'

C

'＝3

AC

.

请画出△

A

'

B

'

C

'；（1）

解：如图，△

A

'

B

'

C

'即为

所求.（2）

B

'

C

'的长度为

，△

A

'

B

'

C

'的面积为

⁠.

9

类型五

相似三角形中的等积式

如图，已知四边形

ABCD

是平行四边形，

AE

⊥

BC

于点

E

，

AF

⊥

CD

于点

F

.

求证：（1）△

ABE

∽△

ADF

；（2）

CD

·

EF

＝

AC

·

AE

.

证明：（1）∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴∠

B

＝∠

D

.

∵

AE

⊥

BC

，

AF

⊥

CD

，∴∠

AEB

＝∠

AFD

＝90°.∴△

ABE

∽△

ADF

.

【点拨】证明等积式时，先将等积式化为比例式，再根据比例

式“横看”或“竖看”找到要证明的两个相似三角形.有时根据

比例式不能直接找到相似三角形，可能需要等线段替换或等比

替换，这需要多次尝试.

如图，在▱

ABCD

中，已知对角线

AC

与

BD

相交于点

O

，点

E

是

DB

延长线上的一点，且

EA

＝

EC

，分别延长

AD

，

EC

交于点

F

.

（1）求证：四边形

ABCD

是菱形；证明：（1）∵四边形

ABCD

是平行四边

形，∴

OA

＝

OC

.

又∵

EA

＝

EC

，∴

EO

⊥

AC

，即

BD

⊥

AC

.

∴▱

ABCD

是菱形.（2）若∠

AEC

＝2∠

BAC

，求证：

CE

·

CF

＝

AF

·

AD

.

类型六

相似三角形中的动点问题

如图，已知正方形

ABCD

的边长是1，点

P

是

CD

的中点，点

Q

是线段

BC

上一动点.当

BQ

的长度为多少时，以点

A

，

D

，

P

为顶