江苏南京2023-2024学年高二年级上册期末考试数学模拟试卷及参考答案

高二期末考试数学模拟试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.记S为等差数列3｝的前n项和，若。河25,E57,则｛0｝的公差为（）

nn456n

A.1B.2C.3D.4

2.在沙物线y216x上到顶令与到焦卓距离相等的齐的坐标”（）

A.Q四,±2）B.（4直,2）C.12,4应）D.。±4挺）

3.若1加-1一泰）_/（1）=2,则可导函数/G）在x=l处的导数为（）

Ax->0M

A.-2B.-iC.1D.2

4.若直线于左x+1与圆％2+尸=1相交于45两点，且/AO5=60。（其中。为原点），则上的值为（）

A.-孚或4B.4C.或母D.梃

5.已知函数/Q）=zu+hu（eN*）的图象在点处的切线的斜率为a,则数列［二—］的前〃项

\nj）〃［aa|

nn+1J

和s为（）

n

A1口3〃2+5〃r,n3n2+5n

■T+i'2U+l）U+2）'4（W+1）'8（n+l）G+2）

6.6知点A（-2,0）,8（0,2）,若点C是圆型+产-2了=0上的动点,则口ABC面积的最小值为（）

A.3B.2C.3+72D.3-历

7.已演x县,y兀3贝也，的大小关系为（）

A.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x

8.已知歹，尸是双曲线C：E-21=1（a>0,。>0）的左、右焦点，过歹的直线与曲线C的左、右两支

12“2万21

分别交于A,8两点.若丽•里=0,卜邳，怛£|,四;|成等差数列，则双曲线的离心率为（）

A.当B.6C.gD.73

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知等差数列L｝的前w项和为S,满足a+a+a=21,S=25,下列说法正确的是（）

nn1235

A.在2〃+3B.S=一〃2+10几

C.L｝的最大值为SD.」一的前10项和为-£

〃5\aa99

nn+1J

10.下列说法正确的有（）

A.直线2尤+冲+1=0过定点,（。]

B.过点（2,0）作圆宜+（丫_1>=4的切线/,则/的方程为2x-y-4=0

C.圆舞+6-11=4上存在两个点到直线》+了-2=0的距离为2

D.若圆。：x2+y2-2y-3=0与圆O:尤2+尸-6龙-10y+〃7=0有唯一公切线，则相=25

12

11.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆

的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点/（3,0）,椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线

弓fG>0）与半圆交于点A,与半椭圆交于点3,则下列结论正确的是（）

A.椭圆的离心率是当

B.线段AB长度的取值范围是4,3+30]

C.口48尸面积的最大值是2G+）

4

D.口043的周长存在最大值

12.若直线彳=。与两曲线\=0、,=1仙分别交于人、8两点，且曲线>=3在A点处的切线为相，曲线〉=1内

在8点处的切线为“，则下列结论正确的有（）

A.存在ae（0,+oo）,使相〃”B.当根〃"时，|A.取得最小值

C.R邳没有最小值D.卜耳>ln2+log,e

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知椭圆工+工=1与双曲线三一”=1有共同的焦点，则m=.

2516m5

14.若直线+-%-生。（〃*。）将圆C:（尤-3）2+（y-2*=4的周长分为2：1两部分，则直线/的斜率

为.

15.数列｛。｝中，a=~—a--G>2,MeN*\且a=l,记数列3｝的前"项和为S,若3"（S+〃）44对

nn2〃T2nnn

任意的"eN*恒成立，则实数九的最大值为.

16已知函数优或=[2*：二：：：°',若尸（。=/2（»一4。）+3的零点个数为3,则实数。的取值范围是

Iin：,VJ

XX

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知以点展一1,2）为圆心的圆与直线/:x+2y+7=0相切.过点8（—2,0）的直线/，与圆A相交于

"，N两点.

（1）求圆A的标准方程；

（2）当代W|=2加时，求直线，的方程.

18.某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，

发现该商品每日的销售量/（x）（单位：千克）与销售价格尤（单位：元/千克）近似满足关系式

/G）二+b（x-6>,其中，3<x<6,a,b为常数，已知销售价格为4.5元/千克时，每日可售出22千

x-3

克，销售价格为5元/千克时，每日可售出11千克.

⑴求/（尤）的解析式；

（2）若该商品的成本为3元/千克，请你确定销售价格x的值，使得商家每日获利最大.

19.在等差数列中，a=4,S为｛a｝的前〃项和，S=55,数列/打茜足

n4nn10n

171717〃(〃+1)

logb+logbH----Flogb=----------.

21222n2

(1)求数列1｝和毋｝的通项公式；

nn

⑵求数列b｝的前〃项和T.

nnn

20.已知数列｛a或的前n项和为S薪2SS+nn+2mt3=aa.

⑴求a乐

(2)若幼『Ia先,对任意的1<n在10,ni€N*,bb+—>tt求tt的取值范围.

21.已知函数/(无)=汨1巾-；%2。€尺)有两个不同的零点.

⑴求实数。的取值范围；

⑵若方程/'(D旧>°)有两个不同的实数根X,X(X<x),证明：f'(x)+f'(x)<0.

121212

22.已知椭圆E:上+二=l(a>b>0)的离心率为正，焦距为2,过E的左焦点尸的直线/与E相交于A、

〃2。22

8两点，与直线龙=-2相交于点M.

(1)若M(-2,-l),求证：尸♦尸I；

(2)过点B作直线/的垂线机与£相交于C、D两点,与直线x=-2相交于点N.求

」_+」_+」_+_1_的最大值.

\MA\\MB\\NC\\ND\

高二期末考试数学模拟试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.记s为等差数列｛a｝的前n项和，若a57,则｛a｝的公差为（）

I4=S25,g

nn456

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

2.在沙物线y216x上到顶令与到焦S距离相等的”勺坐标”（)

A.M>/2,±27B.^±4V2,27C.《2,471）D.Q±4人)

【答案】D

3.若lim’H'l,则可导函数/G）在x=l处的导数为（）

Ax->0Ax

A.一2B.-1C.1D.2

【答案】A

4.若直线于人+1与圆尤2+尸=1相交于48两点，且=（其中。为原点），则上的值为（）

B.B

Ac.一声或加

-4^43

【答案】A

5.已知函数/Q)-nx+\nxiteN*）的图象在点11

处的切线的斜率为。，则数列的前"项

nnaa

nn+1

和S为（）

A._L.B3H2+5〃nD3〃2+5〃

cz

n+12(n+l)G+2)4(n+1)8(H+1)G+2)

【答案】C

6.已知点A(-2,0),8(0,2),若点C是圆x2+y2-2x=0上的动点,则口ABC面积的最小值为（）

A.3B.2C.3+0D.3-拉

【答案】D

7-已名x』4.贝!]x，y，z的大小关系为（）

女，z7r

A.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x

【答案】D

【分析】将X屏,yz兀：变为Inx3n2,lny14ne,lnz—Inn,构造函数¥（x）电汽（九>0）,利

71X

用导数判断函数的单调性，再结合inxlln2lln4,根据函数的单调性即可得出答案.

24

【详解】解：由工品,y兀3

=得1口1-4n2,Iny5ne,lnz—ln7i,

2e兀

令¥（x）.G>。），则令（x）3（尤>0）,

XX2

当0<x<e时，/'Q）>0,当x>e时，/，（x）<0,

所以函数/'（x）在（0,e）上递增，在L+8）上递减，

又因in》Lin2lln4,

24

e<3<4,且e,3,4c[e,+co）,所以/（e）>/（3）>f（4）,gplny>lnz>lnx,

所以y>z>龙.故选：D.

8.已知歹，/是双曲线c：三-21=1（a>0,fo>0）的左、右焦点，过尸的直线与曲线C的左、右两支

12。2匕21

分别交于A,B两点.若荏•此=0,陷|,怛FJ,绅,|成等差数列，则双曲线的离心率为（）

A.与B./5C.gD.73

【答案】C

【分析】由已知得再根据等差中项的含义则得到|明，怛工|A（|的三边比例，再利用双曲线

的定义可用。表示出|A<|，性£|,用勾股定理得出。，c的等式，从而得离心率.

【详解】•.•丽•丽=0,.-.ZABF=90°.

22

因为|AB|,陞J,卜号成等差数列，则设|A司=加，怛a=”，|A4|=z,

加2+n2-7234

则有｛~~,解得机-=z,n-z,则〃?："：z=3:4:5,

[m+z=2n55

可令|A£|5sc,|AS|3若怛口4x,.

设=得|AFj—|A<|=|吗卜怛<|=2a,即5x—=（3x+t）-4x=2a,

解得t3a,xa,.-.|BF|=4<7,|BF|=|AB|+|AF|=6fl,

由网p+忸号=归呼得（6a）2+（4a"=（2c）2,C2=13a2,C=-J13a>

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知等差数列%｝的前〃项和为S,满足=21,S=25,下列说法正确的是（）

nn1235

A.中2n+3B.S=一〃2+10〃

nn

C.4｝的最大值为SD.1」一］的前:L0项和为-2

〃5\aa99

nn+1J

【答案】BCD

10.下列说法正确的有（）

A.直线2尤+约+1=0过定点1;,oj

B.过点（2,0）作圆弁+。-1>=4的切线/,则/的方程为2x-y-4=0

C.圆工2+6-1>=4上存在两个点到直线》+〉-2=0的距离为2

D.若圆0:x2+y2-2y-3=0与圆。：型+尹-6x—10〉+加=0有唯一公切线，则用=25

12

【答案】AC

11.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆

的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点厂（3,0）,椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线

式1>0）与半圆交于点A,与半椭圆交于点8,则下列结论正确的是（）

A.椭圆的离心率是当

B.线段A3长度的取值范围是4,3+30]

C.口48万面积的最大值是2艰+1）

4

D.口043的周长存在最大值

【答案】AC

【分析】由题意可求得椭圆的。，"c,即可求得离心率，判断A；由图可直接确定线段AB长度的取值范围,

判断B；求出口42尸面积的表达式，利用基本不等式可求得其最值，判断C；表示出口。48的周长，根据其

表达式结合参数的范围可确定其是否存在最大值，判断D.

【详解】由题意得半圆的方程为尤2+/9（x<0）,

设半椭圆的方程为上+竺=l（a>b>0,x20）,由题意知1"一：，，a2=18,

42Z?2[C=3

••・半椭圆的方程为三+21=1（x20）,

189

对于A,3工3立，A正确；

a3V22

对于B,由图可知，当0时，k4―3+3匹；当f33时，k同一0,

所以线段48长度的取值范围是Q,3+3应），B错误.

对于CS=2\AB\xt,设A（x/）,则X2+/2=9,

△ABF211

•■-x=-V9-?2（0<?<3）,设；$+芸=1,.一2J18-2/2,

'''\AB\=^9-t2+718-2/2,

当且仅当/=短时等号成立，C正确.

2

对于D,口048的周长为|AO|+|A叫+|。坤3+（应+1）,9-"+J18-",

所以当t=0时,：口。43的周长最大，但是t不能取零,

所以口的周长没有最大值，D错误,

故选：AC

12.若直线x=a与两曲线丫=5、，=1内分别交于人、8两点，且曲线『3在人点处的切线为机，曲线>=11^

在3点处的切线为“，则下列结论正确的有()

A.存在。€(0,+8),使根〃“B.当根〃”时，„取得最小值

C.卜母没有最小值D.|AB|>ln2+loge

【答案】ABD

【详解】对于A选项，由直线尤=。与两曲线>=6,、y=lnx分别交于A、B两点可知。>0.

曲线y=e*上A点坐标Q©),可求导数y'=ex,则切线机斜率左=e。，

m

曲线〉=11^上8点坐标(0,111。)，可求得导数V=L则切线W斜率上=-.

xna

令k=k,fjjijQa=—,令g(x)=e*—(x>0),则g'(x)=exH>0,

m“axX2

所以，函数gG)在(0,£o)上为增函数，

因为g［；］=五-2<0,g(l)=e-l>0,

由零点存在定理，%使g(a)=0,即加>0,使k=k,gpmlIn,故A正确；

<2)mn

对于BC选项，|4叫e«-Ina,令MRe*-lnx,其中》>0,则〃(x)=ex-』=g(x),

由A选项可知，函数/?'(x)=g(x)在(0,位)上为增函数，

且〃出=袤一2<0,//(l)=e-l>0,

所以，存在a使得。(a)=0,即%=工，

oI2)oa

o

当0<x<a时，/zrG)<0,此时函数〃(%)单调递减，

o

当x〉a时，//(x)>0,此时函数Mx)单调递增，

0

故当无="时，/7(x)取最小值，即当时，取得最小值，故B正确，C错；

对于D选项，由叫=一可得〃=—Inti,则［AB］=e«0-Intz=_+a,

a001'min°〃°

00

令p(x)=x+—则函数0(%)在„

9上为减函数,

<0,g(ln2)=ein2———=2-loge>0，且g（a0）=0,

因为g

IIn22

又因为函数gG）在（。产）上为增函数，所以，"<ln2,

p(a)>p(ln2)ln2+^—

所以，\AB\e%-lna—+aln2+loge,D对.

min°〃°oIn2

0

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知椭圆三+二=1与双曲线三-丝=1有共同的焦点，则优=

2516m5

【答案】4

14.若直线/:如+出—加—生0金。0）将圆。:（％-3）2+（,一2）2=4的周长分为2：1两部分，则直线/的斜率

为.

3

【答案】。叱

13N2,neN）,且a=l,记数列｛〃｝的前几项和为S,若3入・（S+〃）《4对

15.数列｛。｝中，a—a

nin2〃T2

任意的"eN*恒成立，则实数九的最大值为

2

【答案】j

【解析】

1322,〃£N*)为变形为a+1=--(«+1),

由〃—a—又a+1=2.

n2〃T2n2n-11

所以数列｛。,+1｝是等比数列，首项为2,公比为j所以。

+1=2义，可得〃=2x

n

4,贝IJ3入・(S+«)<4,所以认1-n+n\<4,解得

所以长一%——n

32

1-

、1

------

1_(一')〃

1____1

入,71恒成立，而11?

当〃为奇数时，F7恒成立’等价于—r，所以九V：,

1+1+-3

2

min

当〃为偶数时，入w1_(_1)，恒成立,等价于"n；恒成立，而所以入Mi，

综上得入2所以实数九的最大值为：2，

2

故答案为：j.

2%+i—l,x(0,

16已知函数/Q)=，若/(x)=/2(x)_4(x)+3的零点个数为3,则实数。的取值范围是

—,x>0

【答案】Jo,-4)u3eH—,+oo

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知以点A(—1,2)为圆心的圆与直线/:%+2)；+7=。相切.过点8(—2,0)的直线/，与圆A相交于

M,N两点.

(1)求圆A的标准方程；

(2)当悭Ng2晒时，求直线'的方程.

【答案】⑴Q+l>+(y-2>=20；(2)x=—2或3x-4y+6=0.

【解析】(1)设圆A的半径为「，由题意知，

圆心到直线/的距离为dL；+4+7|2J5,即r=2J5

J12+22V

所以圆4的方程为5+1)2+。-2)2=20；

(2)当直线/'与x轴垂直时，直线方程为X=-2,即x+2=0,

点4到直线的距离为1,此时代阳|2,20=12晒,符合题意;

当直线厂与x轴不垂直时，设「三Yk(x+2),即近—y+2左=0,

取MN的中点0,连接A0,则AQLMN,

因为|MN|=2炳，所以|AQ卜历而=1，

If

又点A到直线I'的距离为性0=

&2+1，

仰一2|3

所以一L=l,解得％=:，所以直线厂方程为3x—4y+6=0.

Jk2+14

综上，直线/'的方程为x=-2或3x—4y+6=0.

18.某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查,

发现该商品每日的销售量广(工)(单位：千克)与销售价格双单位：元/千克)近似满足关系式

/G)二+b(x-6>,其中，3〈尤<6,a,b为常数，已知销售价格为4.5元/千克时，每日可售出22千

克，销售价格为5元/千克时，每日可售出11千克.

(1)求F(x)的解析式；

(2)若该商品的成本为3元/千克，请你确定销售价格x的值，使得商家每日获利最大.

【解析】(1)由题意可知，当x=4.5时，/(x)=22,

当x=5时，/G)=H,

'29,,

—a+-b=,

34解得葭，所以4)喂+8(，--(3,6),

即Hnj

~a+b=ll

12

(2)设每日销售该商品获利/7(x)元，则

心=(一)白+8(x叫=H68(X3—15X2+72x—108),

则l(x)=24Q-10X+24)=24(x—4)(x-6),令〃(X)=0,得…或x=6(舍去)，

所以xe(3,4)时，h'(x)>0,人(尤)为增函数，xe(4,6)时，/i,G)<0,/z(x)为减函数，

所以x=4时，人G)取得最大值，

44)38,所以销售价格定为4元/千克，商家每日获利最大

max

19.在等差数列公｝中，a=4,S为｛a｝的前〃项和，S=55,数列/卜茜足

n4nn10n

171717如+1)

logb+logb+•••+logb=---------.

21222n2

①求数列L｝和%｝的通项公式；

nn

⑵求数列(-1)"。b｝的前n项和T.

nnn

【答案】⑴。=〃，6=2“(2)T=-2-(3n+1)(-2)-

〃〃n9

【详解】(1)设等差数列M｝的公差为d,

n

a+3d=4\a

所以，解得JI,所以。=n

10a+45d=55\d=1〃

i

logb+logbH—+logb="S+D,①

21222n2

则当〃22时logb+logb+…+logb=——,②

21222n-12

①-②得：logb=n,则b=2〃,

2nn

而当〃=1时,log?i=l,贝吟=2,满足上式.所以仁2“.

(2)记C=(-l)nM-2n=M(-2)n,

n

T=(-2)i+2,(—2)2+3,(—2)3+...+(zi-1),(—2)n-i+n•(—2)〃n

-2T(—2)2+2•(—2)3+…+(〃-1)(—2)〃+〃(-2)〃+i

2

一2口-(-2)〃]

3T=(-2)i+(-2)2+(-2>+...+(-2>-〃(-2)〃+i—〃(一2)〃+i，

-i+2

-2-(3n+l)(-2)ni

1=-----------------------+-.

〃9

20.已知数列｛a点的前n项和为S薪2SS+nn+2nrt-3=aa^

(D求a福

(2)若I。先,对任意的1<n区10,n?€N*,b^+—>tt求tt的取值范围.

-n-5,n为奇数

【答案】(Da”⑵t<^.

-n+3,n为偶数

【详解】(1)由2Sn+n2+2n+3=Hn，

25门+]+(n+1)2+2(n+1)+5=an+i，

可得2an+i+2n+3=a.1一a/即+a0=—2n-3,

所以an+2+an+i=_2n-5,所以ar?—a”=一2,

令n=l,可得a1=一6,令n=2,可得a2=1,

所以n为奇数时，an=-6-2(u±l-l(=-n-5,

z-n-5,n为奇数

当n为偶数时，a=l-2(B-l(=-n+3,即a(―n+3,n为偶数

(2)因为bn=la2nl=|3-2n|,%=b2=1，

当nN2时，b=2n-3,令C=b+独，贝ij

nr1nb

un

当n>2时，C-C=b+药(

4

口—'n+1nn+1b\nbk

=2n—1+—(2n—3+=2----------,

2n-l12n-3v(2n-l)(2n-3)

所以C4<C3<C?=Cj当n24时，Cn+1>Cn，

所以3的最小值为C4=蓝，

所以twN

5

21.已知函数/Q)=xinx~~x2(oeR)有两个不同的零点.

⑴求实数。的取值范围；

(2)若方程/(D®>0)有两个不同的实数根G<x),证明：f'(x)+f'(x)<0.

121212

【答案】⑴0<。<4

e

⑵证明见解析

【详解】(1)令/G)=xlnx_/x2=”欣一多元)=0,得—即色=\nx

2x

设g(x)=酬,则g'G)=ITnx,则0<x<e时,g'G)>O,x>e时,gO<0.

XX2

故y=g(x)在x=e时取最大值g(e)=L

e

又xf0时，g(x)ff+°o时，g(x)f0,从而0<—<—,得0<〃<2；

2ee

(2)由f(x)=得，x\nx--X2=x\nx--X2,

1211212222

从而a(x+x)=2(xjn%|,又r(x)=l+hu—ax,x>0,

12x-X

12

\2(xInx-xInx)

/，(x)+r(x)=2Inx+lnx-tz(x+x

In%+lnx---1—L-2---2.

12121212x-X

1’2

(x+x)-(lnx-Inx)

=2--1-----2--------1--------2—

x—x

12

Ix+J］口］

即f<x)+r(x)=2一.(吟T吗)=2-1虫+/“三&式。1)'

12x—X%111,

12—1•一1127

X

2

设心=11*1式0,1)),易知(p，G)q-舟

故当(0,1)时，(p(x)<(p(l)=0,

cX1%1I%

2—1--1—1-+1,In—1-

所以当％e(o』)时，(p(x)=in4__Li_2<o,即旦_1_g>2,

X,尤X,[X]

22-i-+1-1--1

XX

22

所以「G)+/'(X)<o.

12

22.已知椭圆E:上+l(a>b>0)的离心率为立，焦距为2,过E的左焦点厂的直线/与E相交于A、

〃2/722

5两点，与直线％=-2相交于点M.

(1)若〃(-2,-1),求证：\MA\-\BF\=\MB\-\AF\；

(2)过点/作直线/的垂线加与E相交于。、。两点，与直线工=-2相交于点N.求

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