数学-2024年高考数学第一次模拟（新高考Ⅱ卷1全解全析）

2024年高考数学第一次模拟考试

高三数学（新高考II卷）•全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓

名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合要求的。

1.若复数二满足？(l+i)=2i,则|z|=()

A.V2B.2C.V3D.3

【答案】A

2,2

【解析】合2i(l)2i-2i

=l+i,

(l+i)(>i)

目=也.故选：A.

2.设集合N={x[(x+l)(x-4)<0},8={x|2x+a<0},且/c8={x|-l<x<3},贝!|。=()

A.6B.4C.-4D.-6

【答案】D

【解析】5=jx|x<-|p={x|-l<x<4},

VAr\B=[x\-X<x<3\,：.—|=3>**•a=-6,故选D.

3.已知等差数列｛%｝的前5项和品=35,且满足生=13%,则等差数列｛0“｝的公差为（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】D

【解析】1=5%+10d=35；%=q+4d=13%,解得〃=3,%=1.故选:D

4.从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为（）

3139

A.—B.-C.—D.—

102510

【答案】C

【解析】以点A为例，以点A为其中一个顶点的三角形有

△ABCQABDQABEQABFQACD/ACEQACFQADEQADFQAEF,共10个，

其中直角三角形为"BDQABEQACDQACFQADEQADF，共6个，

故所得三角形是直角三角形的概率为［=I.

5.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近

似看作一个圆台.现有一龙洗盆高15cm,盆口直径40cm,盆底直径20cm.现往盆内倒入水，当

水深6cm时，盆内水的体积近似为（）

A.1824cm3B.2739cm3C.3618cm3D.4512cm3

【答案】B

【解析】如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长EC与ED于点G.

根据题意，AB=20cm,CD=10cm,AC=15cm,EC=6cm,

设CG=xcm,EF=ycm

1°%歹x+6”

所以一=-----，—=----解得％=15,歹=14,

20x+1510x

所以jg(兀」42+兀.1()2+兀.14J0>6=872兀.2739(加3),故选：B.

sin2a

6.已知tan(a+£),tan(a-£)是方程/+4r3=0的两个实数根，则一返)

cos2。

A.-2B.-1C.—D.2

3

【答案】D

【解析】因为tan(e+0,tan(a-0是方程》2+4-3=0的两个实数根,

所以tan(a+/7)+tan(a-b)=-4,tan(a+/?)xtan(a-b)=-3,

sin2a_sin(a+/)+(&-6)sin(a+/)cos(a_/?)+cos(a+/7)sin(a_/7)

因为

cos2y0coscos(a+/)cos(a_/?)+sin(a+/7)sin(a一4)

tan(a+/?)+tan(a—尸)-4?

1+tan(cif+y0)-tan(6Z-y0)1+(-3)*

故选：D

7.已知直线/与圆12+/=8相切，与抛物线了2=以相交于48两点，以48为直径的圆过坐标

原点，则直线/的方程为()

A.x+y-4=0或歹+4=0B.x-y-4=0或x+y-4=0

C.x+2y+4=0^x-2y-4=0D.x—2y+4=0或x+2y+4=0

【答案】B

【解析】若直线/的斜率不存在，又直线/与圆=8相切，则直线/的方程为x=2收或

x=—2-\/2，

又直线与抛物线/=4x相交于48两点，贝！I直线/的方程为x=2收，此时可设/（2虚,为卜

8（2亚,-%）,且=4X2A/^=8&,

所以厉.砺=（20,为卜（2后,-%）=87；=8-8行*0,不符合题题意；

若直线/的斜率存在，设直线/得方程为y=h+，"，由直线/与圆/+/=8相切，

则圆心（0,0）到直线的距离为坐［=20，所以疗=8+8左2①，

设人/士,%、）,8（/%,%、）,则联立抛物线与直线方程I匕V=kx“+m得上2/+（2•-4、）x+/o=0,

\y=4x

A二(2左加一4『-4k2m2二-16ATW+16>0得km<1,

2km-4

所以玉+%=---p一，再/=

2

贝河.砺=x1x2+必必=x1x2+(AXj+m)(Ax2+机)=(1+左Xlx2+km(再+x2)+m

整理得：/+4g=0②，联立①②解得左=1,加=-4或左=-1,心=4,

所以直线/的方程为x-y-4=0或x+y-4=0.故选：B.

15--3-4

8.设〃=e4——，b=e4——，c=e3——，贝(I()

443

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】B

151i_1］1i

［解析］tz=e4——=e4----1,b=e4-(——)-1,c=e3----1

4443

令/(x)=e'—x—l,所以"x)=e'—l,

令/(x)=e'_l=0得x=0,

x<0时，/'(x)<0,/(x)单调递减，

x>o时,r(x)>o,/(X)单调递增，

所以/(}>/(：)，所以c>。，

令gOO=e-x)~(e-x+x)=ex-e-x-2x,

所以g\x)=e+ex-1>2丘・尸-2=0,

所以g(x)在(0,+8)单调递增,

g(J>g(O)=lT-0=0，

11-11

所以e'；〉(e4+?,

1i_1i

所以e4——l>e4+——1,

44

所以a>6,所以6<a<c,故选：B.

二'多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据

(单位：千克)全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则()

A.频率分布直方图中〃的值为0.04

B.这100名学生中体重不低于60千克的人数为20

C.这100名学生体重的众数约为52.5

D.据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25

【答案】ACD

【解析】由(0.01+0.07+0.06+4+0.02)x5=1,解得a=0.04,故选项A正确；

体重不低于60千克的频率为(0.04+0.02)x5=03,

所以这100名学生中体重不低于60千克的人数为0.3x100=30人，故选项B错误;

100名学生体重的众数约为*巨=52.5,故选项C正确；

因为体重不低于60千克的频率为0.3,而体重在［60,65)的频率为0.04x5=0.2,

所以计该校学生体重的75%分位数约为60+5x；=61.25,故选项D正确.

故选：ACD.

10.已知抛物线C：V=2px的焦点为尸，点尸(9,6)在c上，直线母"交C于另一点。，则

()

3

A.C的准线方程为x=lB.直线尸。的斜率为一

4

C..|Fg|.=2D.线段尸。的中点的横坐标为号41

【答案】BD

【解析】对A：•.•点尸（9,6）在抛物线C上，贝1118P=36,解得p=2,

故抛物线C的方程为/=4x,焦点厂（1,0）,准线x=-l,A错误；

对B：直线P2的斜率左=答=。，B正确；

9-14

对C直线P。的方程y=

r3L=1

联立方程y=W（xT）,解得［二二或9

即叫故同仁"+勺"+i=Mc错误；

1

对D：线段P。的中点的横坐标为9二+2=史，D正确；

2-9

故选：BD.

11.如图，棱长为2的正方体/BCD-44GA中，点E,F,G分别是棱40,CD的中点，则

()

A,直线4G,GE为异面直线

]_

B・VD「BEF

3

C-直线4G与平面所成角的正切值为:

D.过点比E,户的平面截正方体的截面面积为9

【答案】BC

【解析】对于A,连接EG,NC,4G，

由题意可知EG///C,因为ZC〃4G，所以EG〃4G，所以4G,C£共面,

故选项A错误；

对于B,连接］E,FB,EB,EF,D\B,

由题意可知。尸=1，ED=\,

所以七一弼=%人*F=；S,*/8=；xgxlxlx2=；,故选项B正确;

对于C,连接4。，

由正方体的性质可知。G,平面所以NG/Q即为直线4G与平面所成的角，则

DG1V2

tanZGA^D故选项C正确;

AtD_25/24

对于D,连接EF,FC“EB,BG，

根据正方体的性质可得即//3。，且跖=；5G，

所以平面EFG3即为过点比E,F的平面截正方体的截面，该四边形为梯形，其上底也，下底

为2行，高为强，所以截面面积为$=!＞＜（也+2后卜逑=2,故选项D错误；

221＞22

故选：BC

12.已知函数〃x）=2sin1龙+3（彳＞0,0＜。＜无）的部分图象如图1所示，M3分别为图象的最

高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于H,点C为该部分图象与x轴的交点.将绘有该图象

的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时|/同=屈，则下列四个结论正确的有（）

A./I=也

71

B.（p=一

3

C.图2中，ABAC=5

D.图2中，S是A42C及其内部的点构成的集合.设集合7={。£刈40归2},则T表示的区域的

面积大于:

4

【答案】AC

T-^-4

【解析】函数/（X）的最小正周期为‘一万一4,

在图2中，以点。为坐标原点，OC.方的方向分别为V、Z，轴的正方向建立如下图所示的空间

直角坐标系。-xTz，，

设点4（0/0）,则点［（0J"）、5（2,Z+2,0）,

|^5|=^(O-2)2+(Z+2-?)2+(2-O)2=VZF+4=710,因为2>0,解得力=百，故A正确;

所以，/(x)=V3sin^—+^j,贝！|/(O)=6sin0=V可得sin0=；

5兀

又因为函数/（X）在x=0附近单调递减，且0＜。＜兀，所以,故B错误;

(P=~6~

nt5兀nt5兀

因为/（。=esin一十一=6,可得sin一十一=1,

2626

又因为点A是函数〃x）的图象在了轴左侧距离了轴最近的最高点，则［+¥=］,可得:一,

2623

所以，/（x）=V3sin^y+y^|,

因为点C是函数“X）在了轴右侧的第一个对称中心，所以，牛+当=兀，可得%=:，

263

翻折后，则有/（。,-|,百］、46,，。）q。。。］、

所以，益=（e,2,-网，^C=（0,l,-V3）,

所以，在图2中，ZB-^C=0+2xl+(-V3)2=5,故C正确;

在图2中，设点0（x,%O）,\AQ\=<2,

可得/+卜+胃＜1,

一/、〒/厂\/口“，「TC-A^B2277V2

HC=（。」,。），陞=（82。），cos^C=p^p［=^-＞T*

IT

易知/A4'C为锐角，贝!JO＜/84C＜：,

4

所以，区域7是坐标平面x'Oy'内以点©为圆心，半径为|/'C|=1,且圆心角为484。的扇形及其

内部,

故区域T的面积Sr<：x?xl2=9,故D错误.

24o

故选：AC

第II卷(非选择题)

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知平面向量〃=(T,2),b=(m,-3),若£+25与Z共线，则加=.

【答案】j3

【解析】a=(-1,2),S=(OT,-3),贝!)2+2否=(-1+2%-4),

R+2B)〃Z,故4=2(-1+2加)，解得机=g

14.已知函数"x)=log4(4，+l)+日/eR)是偶函数，则心.

【答案】

I

【解析】由已知，/(-x)=log4(4-+l)-Ax,因为/(x)为偶函数，所以

/(-x)=/(x),即皿4(4-、+1)-皿4(4'+1)=2丘，对VxeR恒成立，

即log44-*=2丘，对WxeR恒成立，解得左=-；.

15.(x+J+lj(l-x)6的展开式中个的系数为(用数字作答).

【答案】10

【解析】|x+}+l}l-X)6=耳1-4+?1一X1+(l-X)6,

6r

(1-x)展开式的通项为Tr+l=q(-x)=COZ,

取r=2得到4=废(-1)2,2=15/；

取r=3得到n=仁(-1)3-x3=-20x3；

取r=4得到7；=C：(-1)，X4=15X4；

故d的系数为15-20+15=10.

16.若存在a>0,使得函数〃x)=3a21nx与g(x)=；x2+2ax-6的图象有公共点，且在公共点处

的切线也相同，贝!16的最大值为.

3-

【答案】-e3

2

【解析】/（X）=3/颐的定义域为（0,+8）,8（耳=；/+2G-6的定义域为区,

设两函数图象的公共点横坐标为%,则%>0,

,(无)=^L,g'(x)=x+2a,贝!]^-=毛+2°,即x：+2办()-3/=0,

X、0

解得/=。或-3。,

因为〃〉0,所以/=_3。<0（舍去），％0=Q>0满足要求,

且/(〃)=g(。)，即3/In。=；/-2/+6,

b=2"-3/InQ,Q>0,

令〃(a)=:/一3a2in。,a〉0,贝1!"(〃)=5〃-6aIna—3〃=2a(1—3Ina),

当0<a<£时，矶G>。，M。）单调递增，当时，"伍）<。，人⑷单调递减,

故〃（。）在心）处取得极大值，也是最大值，

<1^1223-32

53333

故力(a)1Mx=/zleJ=-e-3eIne--e,所以b的最大值为

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.（本小题满分10分）在①cos/=Z^，②6cosc=（2"c）cos8中任选一个作为已知条件,

2b

补充在下列问题中，并作答.

问题：在“3。中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

⑴求5；

⑵若“8C的外接圆半径为2,且cosNcosC='，求ac.

8

注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.

【解析】（1）选择条件①：

因为cos/=MU，在。BC中，由余弦定理可得=&*,

2b2bc2b

因为3e(0,%所以B=g.

选择条件②：

因为bcosC=（2。一c）cos5,在"BC中，由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2sin4cos5,

即sin（5+C=2sinZcos3,贝!|sinZ=2sin4cos3,

因为力£(0,兀)，所以sin/wO,贝！jcosB='，

2

因为未。兀)，所以8

(2)因为5=4,所以4+C=—贝(1cos(/+C)=-孑，

BPcosAcosC-sin^4sinC=-g,又cos4cosC=--,

113

所以sinNsinC=7-g==.因为“8C的外接圆半径R=2,

2oo

所以由正弦定理_可_得sinNsinC==aoc=g3,所以ac=6.

448

18.(本小题满分12分)已知数列｛%｝的各项均为正数，记S”为｛为｝的前〃项和，且

2S”=+an.

(1)求数列｛〃“｝的通项公式；

⑵记q=(-1)"anan+i,求数列｛c0｝的前〃项和7；.

【解析】(1)由2S“=端+。”得时，2sl=端一+%7

两式相减得2ali=aj-a"+an-%，整理得an+an_x=(a,+0-%)

因为。＞0,所以%-限=1(〃22),所以数列｛a“｝是以1为公差的等差数列

在2S”中令〃=1解得％=1

所以2=1+("T)=〃.

(2)当〃=2人时

Tn=-axa2+a2a3一+%%一。5a6-1—

+a2k-3a2k-\~a2k-\a2k+a2ka2k+\=2（%+。4。2左），

又。2，%，・・・，。2左是首项为2,公差为2的等差数列,

匚匚1、1左（2+2左）J2

以〃2+。4---a2卜~-----....=k+左7，

故7^=2F+2M所以北=^^

当〃=2左+1时

Tn=-axa2+a2a3一43%+。4a5-a5a6-1—

+。2"3。2左-1—a2k-\a2k+°2〃2左+11°2左+1°2氏+2=2(%+“4°2左)一°2左+1〃2左+2，

又的,。4，…，。2k是首项为2,公差为2的等差数列，-g发+1。2斤+2=-（2左+1乂2左+2）

所以2(〃2+〃4T----^a2k)~a2k+ia2k+2='(2+21)一(21+1)(21+2),

故q+1=-2伍+1）L所以北=二

当〃为偶数时，北=£1^；当〃为奇数时，7；=一（"；）".

19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中/DE-BCF,平面平面N8五E,四边形

/2CD是矩形，四边形48斤£是平行四边形，且48=4,BF=2,8c=26，以为直径的圆

经过点尸.

⑴求证：平面/O尸；

⑵求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值.

【解析】（1）以N8为直径的圆经过点尸，尸，叱，

•••四边形/BCD为矩形，所以1/8,

•••平面/8CD1平面/B/茁，平面平面/8万£=/8,/Du平面/3CD,

.■.AD^^ABFE,

■：BFu平面ABFE,ADLBF,

又•.•4Fu平面40尸，4Du平面40尸，AF[}AD=A,AF,40u平面4DP,

,_L平面40尸；

(2)AD_L平面A8尸E,又•.•/尸u平面A8FE,AEABFE,

AD±AE,AD1AF,

XvAEUBF,AF±AE,则40、AE、4F两两互相垂直,

以点A为原点，/£为x轴，4尸为了轴，4D为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

•，-AB=4,BF=2,BC=2拒,，AD=26,

在Rt^AFB中，由勾股定理得AF=^AB--BF2=A/42-22=273，

则点4（0,0,0）,D（0,0,2A/3）,F（0,273,0）,5（-2,273,0）,<7卜2,26,2班）,

贝！］皮=（一2,26,0）,CF=（2,0,-2V3）,AD=（0,0,273）,方=卜2,2百,0）.

设平面48CD的法向量为4=（再,必/1）,平面。£尸的法向为J=（%,%/2）,

2后=0-2%2+=0

则得

-2X]+2y=02X2-2#>Z[=0

取』=(百,1,0),M=(V3,1,1),

设平面DEF与平面ABCD的夹角为。,

4275

贝1|cos。=

2x75-5

所以平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值为手.

20.（本小题满分12分）市教育局计划举办某知识竞赛，先在A,B,C,。四个赛区举办预

赛，每位参赛选手先参加“赛区预赛”，预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛.赛区预赛的

具体规则如下：每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题.方式一：每轮必答2个

问题，共回答6轮，每轮答题只要不是2题都错，则该轮次中参赛选手得20分，否则得0分，各

轮答题的得分之和即为预赛得分；方式二：每轮必答3个问题，共回答4轮，在每一轮答题中，

若答对不少于2题，则该轮次中参赛选手得30分，如果仅答对1题，则得20分，否则得0

分.各轮答题的得分之和即为预赛得分.记某选手每个问题答对的概率均为。

(1)若p=g,求该选手选择方式二答题晋级的概率；

(2)证明：该选手选择两种方式答题的得分期望相等.

【解析】(1)该选手选择方式二答题，记每轮得分为X,

则X可取值为0,20,30,

131

且尸（X=0）=/P（X=20）=w，P（X=30）=-

记预赛得分为y,

P（Y>100）=P（Y=120）+F（r=1,10）+P（r=100）

...该选手所以选择方式二答题晋级的概率为言.

12o

(2)该选手选择方式一答题：

设每轮得分为则占可取值为0,20,

且尸(J=0)=(l_p)2,尸(J=20)=l_pq=0)=20_p2

.•.£©=20°（2-0,

设预赛得分为乂，则4=6。，

E(Z)=E(60)=6E⑷=120p(2-p).

该选手选择方式二答题：

设每轮得分为7,则，可取值为0,20,30,且

尸(？=0))=(l-p)3,

尸《=20)=3p(lM

P(7=3O)=3p2(i_0+/,

.,.£(<)=60/?(1-^)2+30[3/?2(1-^)+^3]=30/7(2-/?).

设预赛得分为不，则天=47

£化)=矶47)=4£(7)=120川2-0,

因为E(、)=E化)，所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等.

21.(本小题满分12分)已知函数/(x)=(x-l)ln(x-2)-a(x-3),fleR.

⑴若。=1,讨论〃x)的单调性；

(2)若当x＞3时，/(力＞0恒成立，求。的取值范围.

【解析】(1)的定义域为(2,+动，当a=l时，/(x)=(x-l)ln(x-2)-x+3,

y—I1

f(x)=In(x-2)H------1=ln(x-2)+

x—2x—2

^g(x)=ln(x-2)+—!—，则g'(x)=W1x-3

x—Z(7)2

令g'(x)=O,解得x=3,

当xe(2,3)时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

当xe(3,+oo),g，(x)>0,g(x)单调递增.

所以，g(x)min=g(3)=l>0,则g(x)=/'(x)>0对任意的x>2恒成立,

所以，函数/(x)的单调递增区间为(2,+s),无递减区间.

(2)解：当x＞3时，/(力＞0恒成立等价于ln(x-2)-小心＞0在(3,+⑹上恒成立,

X—1

设=In(x-2^-a^X＞3),

12ax?-2(a+l)x+4a+l

则力'(%)=

x—2x-1)-(x-2)(x-l)2

设0(x)=—2(Q+1)X+2Q+1(X>3),

则。(x)图象为开口向上，对称轴为X=a+1的抛物线的一部分，

当a(2时，a+1＜3,夕(x)在(3,+co)单调递增，且°(3)=4—2a20,

所以，^(x)＞0,即〃'(x)N0,则函数力⑴在(3,+8)上单调递增,

又因为〃(3)=0,所以为吊＞0在(3,+8)恒成立,满足题意；

当。＞2时，a+1＞3,。(3)=4-2。＜0,

所以方程。(x)=0有两相异实根，设为X1、*2，且再＜々，则不＜3＜七,

当