2024高考数学一模试题与答案 (四)

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的：

1.已知复数Zi=2-3i,z2=izi，则Zi+Z2的实部为

A.-1B.5C.1D.5

2.拖物线y2=［久的准线方程为

A.y=—七B"=—：C"=一七D.y=一：

3.若奇函数/"(%)=?£:1'"：；则9(-10)=

+Igx,%>0,

A.-102B.102C.-101D.101

4.现有一个圆台形的杯子,杯口的内径为8cm,杯底的内径与杯中盛满溶液时的液面高度均为

10cm,当杯中盛满溶液,且该溶液的密度p=1g/cn?时,杯中溶液的质量为

.2440?r门800TT八610TT门6507r

A.二一gB.—gC.—gD.二一g

5.现有6个不同的生肖吉祥物,分1个给老师,其他5个分给3位学生,每位学生至少分到1个,则

这6个生肖吉样物的分配方法共有

A.360种B.900种C.720种D.1800种

6.已知向量a,b满足|a+b|=2,|a—b|=|2a+b|,则|a|的最大值为

A.2V3B.2C.3V2D.4

7.已知函数/'（久）=4sinxcos久,g（久）=sin2x—75cos2%的定义域均为R,则

A.当"x)取得最大值时,g(%)取得最小值

B.当gO)取得最大值时,/(久)=一1

C./Q)与g(x)的图象关于点6,0)对称

D./(%)与g(%)的图象关于直线％=/对称8.已知函数/(%)=%3(In%)2—m(%2+%)lnx+/恰有4

个零点,则m的取值范围是

A.0)B.(-30)C.£)D.(-总+oo)

二、选择题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.

全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.江西省2017年到2022年常住人口变化图如图所示,则

A.江西省2017年到2022年这6年的常住人口在2019年取得最大值

B.江西省2017年到2022年这6年的常住人口的极差为148.70万

C.江西省2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为4527.98万

D.江西省2017年到2022年这6年的常住人口的第80百分位数为4647.60万

10.在等差数列｛斯｝中，a3+a4+a8-15,下列结论正确的是

A.&5是定值B.｛an｝的前9项和为54

C.a2a8的最大值为25D.若a2a8>0,则工+&的最小值为白

0.2CLQ1U

11.已知曲线C：y=Vl-(kl-l)2,斜率为左的直线2经过点4(3,3),下列结论正确的是

A.。的周长为兀

B.若/与C恰有3个公共点,贝㈱的取值范围为(空骨,1)

C.若/与C恰有2个公共点,贝冰的取值范围为(告券U｛1,号斗

D.若，与C恰有1个公共点,则k的取值范围为(|,丝券)U(1,3)U{三|底}

12.如图,在边长为4的正方形ABC。中剪掉四个阴影部分的等腰三角形,其中。为正方形对角线的

交点,0E=0E'=OF=。/=0G=0G'=OH=0H,将其余部分折叠围

成一个封闭的正四棱雉，若该正四棱雉的内切球半径为T，则该正四棱雉的

表面积可能为，gLJi^JG，

A.12B.4+4V5

C.8D.5+2V5A

三、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.若集合A=(x\x2—2x—24<0},B—{x|m2<x<m2+2),AQB—0,则的最小值为

14.若随机变量X〜6(100,p)(0<p<I),且D(X)=16,则E(X)=

15.请写出一个同时满足下列两个条件的函数:"x)=

(1)/(%)-/(-%)=-x2;(2)函数y="在(0,+8)上单调递增.

16.已知双曲线C的两个焦点为％,F2，P为C上一点，|P%|=\F1F2\,^PF1F2=36°,则C的离心率为

四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

如图,在梯形ABC。中,=5,/.CBD=60°.

(1)若sinNBC。=；求。。的长；

4

(2)若ZD=2,求cosZ-ABD.

入

18.(12分)

如图,在四棱雉P-4BCD中,底面4BCD为正方形,AB=3,PD=4,PC=5.4

(1)证明：平面PC。_L平面PAD

(2)若1PA,DE=2EC,求直线BE与平面PCD所成角的正弦值.

19.(12分)

已知某地居民中青少年、中年人、老年人的人数比例为3:4:3,假设该地居民选择寒假旅游地相

互独立,且他们寒假去江西庐山、三清山旅游的概率如下表所示：

青少年中年人老年人

只去庐山旅游0.10.30.2

只去三清山旅游0.20.20.3

庐山、三清山都去旅游0.050.10.1

(1)若从该地居民(仅指青少年、中年人、老年人)中任选一人，求此人寒假去庐山旅游的概率；

(2)若甲、乙分别是该地居民中的一位中年人、老年人，记这两人中寒假去三清山旅游的人数为X,

求X的分布列.20.(12分)

已知点4(1,2),4(2,3),设4Xan,bn)OGN*),当心3时,线段的中点为%%关于直线

y=》的对称点为4.例如,％为线段&&的中点,则为

(1)设4=an+1+bn+1-an-bn,证明：｛%｝是等比数列.

(2)求数列｛册+以｝的通项公式.

21.(12分)

过点P作无轴的垂线,垂足为E,且该垂线与抛物线/=-4y交于点F,|PE『+\EF\=1.记动点P的轨

迹为曲线C.

(1)试问。为何种圆锥曲线?说明你的理由.

(2)圆Q是以点Q(L0)为圆心,r(0<r<1)为半径的圆,过点B(0,-1)作圆Q的两条切线,这两条切

线分别与C相交于点M,N(异于点B).当r变化时,是否存在定点G,使得直线MN恒过点G?若存在，

求G的坐标;若不存在,请说明理由.

22.(12分)

已知函数/'(%)=(1+x)m—rnx—G(―1,+oo),m>0且mH1.

⑴讨论/O)的单调性；

⑵若vxe(o,§u1,7i^,asinx<(1+cos2x)sinx,求a的取值范围;

(1—Vsinx)(1-Jsin%)•••(!—Vslnx)

(3)证明:当xe(0,§u兀)，且nGN,n>2Bt,>5恒成立•

(1—sinx)n-1

1.B【解析】本题考查复数的运算与复数的实部，考查数学运算的核心素养.

因为Z2=3+21,所以Z]+Z2=5—i,所以Z1+Z2的实部为5.

2.C【解析】本题考查抛物线的准线方程,考查数学运算的核心素养.

因为2p=；，所以p=：,所以抛物线V=1的准线方程为x=-

D6D1Z

3.A【解析】本题考查函数的奇偶性与函数求值,考查数学运算的核心素养.

因为g(-10)+1=f(-10)=-/(10)=-(100+1)=一101,所以g(-10)=-102.

4.C【解析】本题考查圆台体积的实际应用，考查直观想象与数学运算的核心素养.

当杯中盛满溶液时,溶液的体积U=2义10X(42+4X5+52)=牛cn?,此时杯中溶液的质量

.6107T

m=pVT=g.

5.B【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查应用意识.

分三步,先分1个给老师,共有玛种分法,再把剩余的5个分成3组,共有幽会种分组方法,最后

将分好组的吉祥物分给3位学生,共有A弄中分法,故这6个生肖吉祥物的分一方法共有玛•

c式抖•A|=900种.

6.D【解析】本题考查平面向量的数量积与模,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

因为|a—b|=|2a+b|,所以|a-b|2=|2a+b|2,即a?—2a-b+b2=4a2+4a-b+b2,整理得

a2+2a-b=0.又|a+b|=2,所以|a4-b|2=4,即a?+2a-b4-b2=4,所以b2=|b|2=4,即

|b|=2.又|a+b|=2,所以当a与b反向时，|a|取得最大值,且最大值为2+2=4.

7.D【解析】本题考查三角恒等变换与三角函数的图象及其性质，考查数学运算与逻辑推理的核心

素养.

/(%)=2sin2x,g(x)=2sin(2x-当/(%)取得最大值时,2%=]+2/OT(/CGZ),则g(x)=1,A

错误.，

当9。)取得最大值时,2%一J=3+2/OT(/CGZ),则2x=言+2/OT(/CeZ)J(x)=1,B错误.因为

3LO

/管-%)=2sin得一2%)=2sin\n-(2x-=2sin(2x=g(x),所以/(%)与g(K)的图象

关于直线％=g对称,C错误,D正确.“,

8.B【解析】本题考查函数的零点与导数的应用，考查直观想象与逻辑推理的核心素养以及化归与

转化的数学思想.

1/7

令/(无)=(xlnx—m)(x2lnx—m)=0,得=In%=zn或=2]n%=m.设函数g(%)=xlnx,则g(%)=

1+In%.当0Vx<:时,g'(x)<0,当x>:时,g(x)>0,所以g(x)min=9Q)=一j.当

x-0时,g(久)t0.

设函数/i(x)=x2\nx,则/i'(x)=2x\nx+x-x(21nx+1).当0<x<3时,/i(%)<0,当

、Ve

%>京时,/l'(x)>0,所以/l(K)min=八仁)=一看当％一0时，八(“)T0.

作出9(x)=%也久与拉(x)=/in%的大致图象,如图所示.由图可知，当—(<m<0时,直线y=m

与这两个函数的图象各有两个交点,且这些交点各不相同，此时/(久)恰有4个零点.

9.ABD【解析】本题考查统计的图表、极差、中位数、百分位数,考查数据处理能力.

由图可知,A正确.将江西省2017年到2022年这6年的常住人口(单位:万)按照从小到大的顺序

排歹U为4517.40,4518.86,4527.98,4622.10,4647.60,4666.10,贝U极差为4666.10-4517.40=

148.70万，中位数为452798；4622.10=4575.O4万,B正确,C错误.因为6X0.8=4,8,所以第80百

分位数为4647.60万,D正确.

10.ACD【解析】本题考查等差数列的性质与基本不等式，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.

因为+&4+。8=3a5=15,所以&5=5,则｛an｝的前9项和为9a5=45,A正确,B错误.因为

2

Vx,y6R,xy<(g)，所以a2a8<(民产)=(«5)=25,当且仅当a?-a8-5时，等号成立,C

正确.一一

^©+£)32+08)=卷(5+

因为。2+他=2a5=10,a2a8>°，所以做>0,a8>0,

存管)/(5+4)号,当且仅当3=詈，即=2a2W时,等号成立,D正确.

11.BC【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查直观想象与数学运算的核心素养.

由y=J1一(团一1)2,得(|出一1)2+y2=i(y>o),则曲线C表示两个关于y轴对称的半圆弧(半

径为1),且左半圆的圆心为F(-l,0),右半圆的圆心为B(l,0),曲线C与％轴的交点为

£)(-2,0),0(0,0),E(2,0).

故曲线。的周长为2mA错误.若直线士y=政工一3)+3与左半圆柜切,则旱等=1,解得k=

4k2+i

与学,由图可知人=与等.若直线/:丫=以久一3)+3与右半圆相切,则早等=1,解得

1515V/c2+l

2/7

k=6±”,由图可知k=62：.若直线2：y—k(x—3)+3经过点D,则k=|.若直线2:y-k(x—

3)+3经过点。,则k=1.若直线Z:y=k(x-3)+3经过点E,则k=3.若[与C恰有1个公共点,则

k的取值范围为(|,亨)U(1,3]U{王祥},D错误.若/与C恰有2个公共点,贝心的取值范围为

(三等u{l，W4,C正确.若/与C恰有3个公共点，则k的取值范围为(空|£1)田正确.

12.BC【解析】本题考查立体几何中的翻折问题与四棱雉的内切球,考查空间想象能力与运算求解

能力.

设翻折前4E'=x(0<%<2),则翻折后EF=V2x,斜高。M=2A/2-y%,该四棱雉的高0。'=

V0M2-O'M2=V8-4x,

[)H1Hc

则VO-EFGH=I。。',S四边形EFGH=gxV8-4xx2x2=当，2-x.

该四棱雉的表面积S=S正方形ABCD一4s=16-4x|x2x(4—2%)=8x.

因为该正四棱雉的内切球半径为(所以如产=即“应二菽=1,

则久3-2/+1=O-1)(/一x-1)=0,解得x=1或％=[3(负根舍去)，

故S=8或4+4V5.

13.6【解析】本题考查集合的交集与一元二次不等式的解法,考查逻辑推理与数学运算的核心素

养.

因为a-{x\-4<x<6],m2>0,所以租2>6,所以?TI?的最小值为6.

14.20【解析】本题考查二项分布的期望与方差,考查数学运算的核心素养.

3/7

因为X〜B(100,p),所以。(X)=100p(l-p)=16,解得p=春或右因为0<p<提所以p=所以

E(X)=100p=20.

15.xe，(答案不唯一，形如无凝(。〉1)均可)【解析】本题以开放题的形式考查函数的解析式与性

质,考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.

因为谈•a~x=l,/(x)"(一%)=-%2,所以可设/O)=xax,则y=卓=ax.因为函数y=§在

(0,+8)上单调递增,所以a>1,所以/■(>)=xa\a>1)满足这两个条件.16.雪【解析】本题考

查双曲线的离心率,考查逻辑推理与直观想象的核心素养.如图,在线段F/2上取一点4使得

\PA\=\PF\.因为。，所以乙。,所以

2|PFI|=|F1F2|,ZPF1F2=36P&Q==72

Z4PF1=72°-36°=36°,所以|P4|=|叫|=\PF2].

易知△%比与相似，则|我得11=|月产需|=K?2黯l=9为”精H221"设叫1=/IP&I=%

则有2=B，则4——1=o,解得'=苧(负根舍去)，所以。的离心率e=£=引=।=

xyyyy2a2a|PFi|—IPF2I

x1+V5「

|吗|__x__.___3+近

\PF\-\PF\一百一巨-1+V5_―2

r2y21

17.解：⑴在△BCQ中，由正弦定理得熹=缶,

BDsin乙CBD_5sin60°

则C。=10V3.

sin乙BCD-1

4

⑵因为4D〃3C,所以乙=Z.CBD=60°.

由余弦定理得ZB?=BD2+AD2-2BD-AD-cosZ.ADB=19,

则ZB=V19,

/炉+如一业4V19

所以cosZ-ABD=1

2ABBD19

18.(1)证明:在正方形ZBCD中，CD=AB=3.

因为+PD2=PC2,所以CD1PD.

在正方形Z3C0中,CD1AD.

因为PDHAD=D,所以CT)1平面R4D

又CDu平面尸CD,所以平面尸CD1平面PAO.

(2)解：由⑴知CD1平面P/O,则2。1PA,则281PA.

因为201PAfAD1AB,ABnPA=A,所以ZO1平面PZB.

4/7

以4为坐标原点，前,通的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角我系,则

P(0,五,0),B(3,0,0),E(2,0,3),C(3,0,3),£)(0,0,3).设平面PC。的法向量为m=(x,y,z),DC=

(3,0,0),丽=(0,一夕,3),则

Cm-DC—3x—0,

(m-PD=-V7y+3z=0,

令z=V7,得m=(0,3,V7).

因为成=(-1,0,3),所以cos〈m,尿)=需蠢=蒜=噤，

所以直线BE与平面PCD所成角的正弦值为嚓.

41)

19.解：(1)由表可知该地居民中青少年寒假去庐山旅游的概率为0.1+0.05=0.15,.

该地居民中中年人寒假去庐山旅游的概率为0.3+0.1=0.4,

该地居民中老年人寒假去庐山旅游的概率为0.2+0.1=0.3,

所以根据全概率公式可得,此人寒假去庐山旅游的概率为0.15X三+0.4X+0.3X

3+4+33+4+3

0.295.

3+4+3

(2)由表可知该地居民中中年人、老年人寒假去三清山旅游的概率分别为0.2+0.1,0.3+0.1,即

0.3,0.4.X的可能取值为0,1,2,

则X的分布列为

X012

p0.420.460.12

【注】第⑴问中,得到所求概率为0.15x备+0.4x++0.3x熹,但最后的结果计算错

误，扣.''」

20.(1)证明：当71GN*时，线段4ndi+1的中点为%+2,4+2(也产，"±1),

_byi+:Ti+l

“+22'7日cIk—。九+匕71+。鹿+1+瓦1+1

,一a„+a但册+2+

n+1bn+2=--------------------

(3+2=—2—，

a

所以“+2+%+2~n+l~^n+1=-即+1+”1―即“十］――-|cn.因为q=的+勿-％一瓦=

2,所以｛4｝是以2为首项，一［为公比的等比数列.

/［、？！—1/1\Tl-l

(2)解：由(1)知％=2x(-］),即a几+i+bn+1—an—bn=2x-j,

5/7

则口2+为一的一瓦=2x(-,&3+仇_a2一勿=2x(—,,an+bn—an_]—bn_i—2x

(-旷…，

01(l\n~2'

将以上各式相加得册+b-（«1+瓦）=2_1+++(一5)

nI

一广

=2xx(-

133V2/

因为+瓦=3,所以册+=y--1X

当n=1时，%+/=3也符合上式，故册+b=y-X1

nr

21.解：(1)设P(%,y),则0),尸(久,一《)，

则|PE|=\y\,\EF\=|-Y|=7.

因为|PE『+|EF|=1,所以=+y2=1,所以。为椭圆.

4

（2）由题可知切线的斜率存在,设切线方程为y=kx-1,圆Q:O-+y2=r2（0<r<1）,则

-^===r,整理得（1—r2）/c2—2k+1—r2—0.

设切线BM,BN的斜率分别为的水2（备丰心），贝味1，心是上述方程的两根，由韦达定理得的e=1.

'y—k±x—1,

设M（%i，yi）N（%2，y2），由■+y2_]得(1+4般)*2_8k]X=0.

的”一处一

因为％0,所以％41

1W1=—i+4/cf

1+4七1

同理可得“提4超-1因为的心=1,所以冷=能，丫2=a号,

1+4号

4一好4吊-1

所以\受要8-8吊_kj+1■,所以直线MN的方程为y-寝久一卫

~24说一24kl-1.十4/C]l+4/C|>

好+41+4好

无一品）+需，整理得丫=kj+1

即y二一久+|.

令％=0,得y=故存在定点G(0，)满足题意.

22.⑴解：/'(％)=m(l+x)m-1—m=m[(l+%)m-1—1].由为>—1,得x+1>0