2022年河北省迁西县一中高三（最后冲刺）数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止.某考

生一次发球成功的概率为。（0＜。＜1）,发球次数为X,若X的数学期望石（X）＞1.75,则"的取值范围为（）

2.已知直线/："一丫一3左+1=0与椭圆。]：。+]=1（。〉。〉0）交于4、B两点,与圆。2：（%—3）2+（y—1『=1

交于C、。两点.若存在左e[—2,—1],使得AC=DB，则椭圆G的离心率的取值范围为（）

3.若（1—x）2°i9=%+q（x+l）++/019（尤+1）2°19，xeR，则。「3+?.32++4。19.的值为（）

2019201920192019

A.-1-2B.-1+2C.1-2D.1+2

4.直三棱柱A3C—A与C中，CA=CC,=2CB,AC±BC,则直线6G与人与所成的角的余弦值为（）

石褥2y/53

A.Jt＞•----lz・-----U•

5355

5.函数/（x）=sin＞0）的图象向右平移三个单位得到函数y=g（x）的图象，并且函数g（x）在区间上

1263

单调递增，在区间[工，工]上单调递减，则实数。的值为（）

32

735

A.-B.-C.2D.-

424

6,已知集合M=｛乂x=3〃,〃£N*｝,N=｛乂％=22〃£N*｝,将集合MDN的所有元素从小到大一次排列构成一

个新数列｛或｝，则C1+C2+C3+…+。35=（）

A.1194B.1695C.311D.1095

2x+y>4

7.设X,y满足<X—yN—1,则2=工+丁的取值范围是()

x-2y<2

A.[—5,3]B.[2,3]C.[2,+00)D.(—8,3]

8.ABC的内角A,3,C的对边分别为a,4c,若(24-与85。=0853,则内角C=()

TI7171

A.-B.—C.—D.—

6432

9.已知抛物线产=4x的焦点为F,抛物线上任意一点P,且PQLy轴交y轴于点Q,则PQ-P尸的最小值为()

11

A.——B.——C.-1D.1

42

14

10.公比为2的等比数列｛4｝中存在两项心,，%,满足[机％=32。/,则1—的最小值为()

mn

95413

A.—B.—C.—D.—

73310

11.已知函数〃x)=2cosx-sin[x+£)+meR)的部分图象如图所示.则/=()

x.\

12.已知/(用e=-^±是定义在R上的奇函数，则不等式/(*一3)</(9--)的解集为()

e'+a

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-4,3)D.(-3,4)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在平面直角坐标系x0y中，若函数在x=L处的切线与圆GF2x+/。=()存在公共点,

则实数〃的取值范围为.

14.设函数.f(x)='+2019,¥-°,则满足/(V-4)>/(一3尤)的x的取值范围为______.

2020,^>0'7

15.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果

把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成种不

同的音序.

16.验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止OCR）,由用户肉眼识

别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登

录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0,1,2,9中的五个数字随机组成.将

中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532,12543）,已知某人收到了一个“钟

型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在ABC中，ZB=-,cosC=—.

43

（1）求cosA的值；

（2）点。为边上的动点（不与C点重合），设=求X的取值范围.

18.（12分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习

惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环

保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）卫

生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息

规律状况类.经过数据整理，得到下表：

卫生习惯状垃圾处理状体育锻炼状心理健康状膳食合理状作息规律状

况类况类况类况类况类况类

有效答卷份数380550330410400430

习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6

假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.

（1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；

（2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具

备两类良好习惯的概率；

（3）利用上述六类习惯调查的排序，用“短=1”表示任选一位第左类受访者是习惯良好者，“短=0”表示任选一位第

4类受访者不是习惯良好者（左=1,2,3,4,5,6）.写出方差3，%D4,。短的大小关系.

19.（12分）某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习

惯的了解程度.在每一轮游戏中，主持人给出A,B,C,。四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后

由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排除的序号依次为XAXBXSD,家长猜测的序号依次为小如明加，其中

22

XAXBXSD和对叫加都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义随机变量X=(XA-JA)2+(XB-JB)+(xc-Jc)+

(XB-JD)2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.

(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.

(i)求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；

(ii)求X的分布列(简要说明方法，不用写出详细计算过程)；

(2)若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X<4,请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说

明理由.

20.(12分)如图，在三棱柱ABC—A用G中，"L平面ABC,AB±AC,且AB=AC=AB=2.

(1)求棱A/与所成的角的大小；

(2)在棱与C上确定一点P,使二面角P-A3-4的平面角的余弦值为乎.

22

21.(12分)已知用(-1,0),且(1,0)分别是椭圆C:J+2=l,(a〉6〉O)的左焦点和右焦点，椭圆C的离心率为

ab

立，AB是椭圆。上两点，点M满足卸0=工痴.

52

⑴求C的方程；

⑵若点M在圆Y+V=1上，点。为坐标原点，求Q4.03的取值范围.

22.(10分)已知数列｛4｝的前〃项和为S,,且点(”,Sj[eN*)在函数了=2旬-2的图像上;

(1)求数列｛q｝的通项公式；

⑵设数列也｝满足：伉=0,bn+i+b„=an,求也｝的通项公式；

(3)在第(2)间的条件下，若对于任意的“eN*,不等式d<%么+1恒成立，求实数X的取值范围;

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据题意，分别求出P（X=1）,P（X=2）,P（X=3）,再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可

【详解】

232

由题可知P（x=l）=p,P（X=2）=（1-p）p,p（X=3）=（l-jp）jp+（l-jp）=（l-jp）,则

E（X）=P（X=l）+2尸（X=2）+3P（X=3）=〃+2（l-p）p+3（l-p）2>1.75

解得P>"|或P<g，由°w（O,l）可得

答案选A

【点睛】

本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功

2.A

【解析】

由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到A,3坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率左与A,8坐标的关系，由

此化简并求解出离心率的取值范围.

【详解】

设4>1，乂）,3（孙％），且线/:依-y-3左+1=0过定点（3,1）即为G的圆心,

%+%2=%c+%=2x3=6

因为AC=DB，所以<

、%+%=%+%=2x1=2

b2xf+a2yf=a2b2

又因为<所以厅（片—%；）=~a（y；—£），

b2x1+a2y1=a2b2

所以21二匹=—卫.受±殳，所以左=—驾e[—

%]-x2ayY+y2a-

所以所以之所以（l—e2）e

a2133ja2[33」,）

所「65

所以ee-.

故选：A.

【点睛】

本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而

不求”的目的，大大简化运算.

3.A

【解析】

2019

取x=—1,得至!=22°19,取光=2,则4+4.3+g-32++a2019.3=-1,计算得到答案.

【详解】

019

取X=—1,得至U旬=2~89;取尤=2,则%+。],3+“2.3~++G2O19,3"=—1.

故。「3+4.32++«2019-32019=-1-22019.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，取尤=-1和％=2是解题的关键.

4.A

【解析】

设CA=CG=2CB=2,延长4耳至。，使得4四=4。，连BD,Cp,可证A31/ABD,得到（或补角）

为所求的角，分别求出8G，A3]，G。，解GBD即可.

【详解】

设G4=CG=2C3=2,延长4耳至。，使得4耳=耳£）,

连8D,CQ,在直三棱柱ABC—A与G中，AB/ZA^AB^^B,,

：.AB//BXD,AB=BQ,四边形ABDBt为平行四边形，

:.ABJ/BD,:.NC[BD（或补角）为直线BQ与A片所成的角，

在心△BCG中，BC[=]CC；+BC2=布,

在RxZ\ABC中，A1Bl=/A。；+B]C；—cos/耳AG=~~^=,

在AC。中，

C|Z>2=402+4。2—2A£.AQcosZBi4G=4+20-16=8,

在中，AB】=JW+\.BD=AB]=3,

BC：+BD2-C]D25+9-875

在BQ。中，cosNC[BD=

2BQBD6百一5

故选：A.

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题.

5.C

【解析】

由函数/(x)=sin°x(0>>0)的图象向右平移。个单位得到g(x)=sin[a^x--^)}=sin^a)x-C-'),函数g(x)在

JTJTJ7T1I7T1

区间上单调递增，在区间

633232

上单调递减，可得x=g时，g(x)取得最大值，即(ox3—皆)=会+2版，keZ,6y>0,当左=0时，解得6y=2,

故选C.

点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”

冗冗JTJT-TT

的规律求解出g(x),根据函数g(x)在区间上单调递增，在区间-y,-上单调递减可得x=§时，g(x)取

得最大值，求解可得实数。的值.

6.D

【解析】

确定｛%｝中前35项里两个数列中的项数，数列｛2”｝中第35项为70,这时可通过比较确定｛3"｝中有多少项可以插入

这35项里面即可得，然后可求和.

【详解】

〃=35时，2x35=70,3〃<70,“W3,所以数列｛g｝的前35项和中，俨｝有三项3,9,27,｛2〃｝有32项，所以

32x3]

+。2+。3+…+C35=3+9+27+32x2H----——x2=1095.

故选：D.

【点睛】

本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前〃项和公式是解题基础.解题关键是确定数列｛%｝的前35项中有

多少项是｛272｝中的，又有多少项是｛3"｝中的.

7.C

【解析】

首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中z的取值范围.

【详解】

2x+y>4

由题知x,y满足丁2-1,可行域如下图所示,

x-2y<2

可知目标函数在点4(2,0)处取得最小值,

故目标函数的最小值为z=;v+y=2,

故2=光+丫的取值范围是[2,木》).

故选:D.

【点睛】

本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题.

8.C

【解析】

由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得.

【详解】

V(2«-b)cosC=ccosB,由正弦定理可得(2sinA-sinB)cosC=sinCcosB,

:.2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,

1兀

三角形中sinAw0,.,.cosC=—,

23

故选：C.

【点睛】

本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键.

9.A

【解析】

"V"12

设点则点Q(0,y),F(l,0),利用向量数量积的坐标运算可得P0Pb=n(y2—2)二，利用二次函

4

数的性质可得最值.

【详解】

[y2)

解：设点P一,y，则点Q(o,y)，F(I,O),

(4J

(,2、(2\

：.PQ=三,0,PF=1-y^,-y,

44

IJI7

PQPF=-—,QJI,

7

当寸=2时，尸取最小值，最小值为

故选：A.

【点睛】

本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.

10.D

【解析】

根据已知条件和等比数列的通项公式，求出牡〃关系，即可求解.

【详解】

册册~a\2m+n2=32〃j，:.m+n=7,

145I413

当根=1,〃=6时，一+—=一,当根=2,〃=5时，一+—=一,

mn3mnIQ

1441419

当m=3,〃=4时，一+—=一,当加=4,〃=3时，一+一二一,

mn3mn12

一14111495

当根=5,〃=2时，——F—=一,当根=6,〃=1时，一+一=一,

mn5mn6

14日413

一十一最小r值为二.

mn10

故选:D.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式，注意私〃为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.

11.C

【解析】

由图象可知/-1，可解得m=-1，利用三角恒等变换化简解析式可得/(x)=sin2x+£,令/(九)=0,即可

求得％.

【详解】

2乃

依题意，f-1,BP2cos^--sin—+m=-1,

36

解得根=—g；因为=2cosx-sin[x+^]—；=2cosx[*sinx+；cosx—g

=A/3sin%cosx+cos2x--=sin2x+—cos2%=sin12%+工)

222I

TTTT77r

所以2%+—=2Qr+—,当左=1时，x=—.

6206

故选:C.

【点睛】

本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量，考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用，难度

一般.

12.C

【解析】

由奇函数的性质可得。=1,进而可知/(X)在R上为增函数，转化条件得x-3<9-必，解一元二次不等式即可得解.

【详解】

因为=是定义在衣上的奇函数，所以+=

1-1

e-1z，x-19

即——+9一=0,解得a=l,即=P~-=1—--,

e+a1八//+1,+1

e

易知/（%）在R上为增函数.

又了（无一3）</（9—炉），所以x_3<9-V，解得—4<x<3.

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（0』」2,笆）

【解析】

利用导数的几何意义可求得函数/（尤）=历广◎在处的切线,再根据切线与圆存在公共点，利用圆心到直线的距离

满足的条件列式求解即可.

【详解】

解：由条件得到尸（%）='-a

X

又/⑴=-=a

所以函数在x=l处的切线为y=（l-。）（六1）-。=（1-a）x-\,

即（1-。）六广1=0

圆C方程整理可得：（尤―l『+y2=a

即有圆心C（l,0）且a>0

|l-a-l|厂

所以圆心到直线的距离d=/=I,\\,

4（1-“）一+17CT-2a+2

即6《\//一2。+2・解得或0<aWl,

故答案为：（0』［2,+8）.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题，同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题，属

于基础题.

14.

【解析】

当时，函数单调递增，当尤>0时，函数为常数，故需满足好一4>—3%,且—3x<0,解得答案.

【详解】

。>+2019,%<0

/«=，当尤<0时，函数单调递增，当x>0时，函数为常数，

2020,x>0

/(炉一4)>/(-3x)需满足炉一4>—3x，且—3尤<0,解得%>1.

故答案为：

【点睛】

本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

15.1

【解析】

按照“角”的位置分类，分“角”在两端,在中间，以及在第二个或第四个位置上，即可求出.

【详解】

①若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有2x3xAfx£=24种；

②若“角”在中间，则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；

③若“角”在第二个或第四个位置上，则有2国8=8种；

综上，共有24+8=32种.

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查利用排列知识解决实际问题，涉及分步计数乘法原理和分类计数加法原理的应用，意在考查学生分类讨论

思想的应用和综合运用知识的能力，属于基础题.

5

16.—

36

【解析】

首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是7的事件数，根据古典概型概率计算

公式计算出所求概率.

【详解】

根据“钟型验证码”中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是4,5,6,7,8,9.

当中间是4时，其它4个数字可以是0』,2,3,选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所

以方法数有C：xC；=6种.

当中间是5时，其它4个数字可以是0」,2,3,4,选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），

所以方法数有C；xC；=10x3=3（m

当中间是6时，其它4个数字可以是0』,2,3,4,5,选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一）,

所以方法数有。卜盘=15乂6=90种.

当中间是7时，其它4个数字可以是01,2,3,4,5,6,选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯

一），所以方法数有C；xC；=21x10=210种.

当中间是8时，其它4个数字可以是0」,2,3,4,5,6,7,选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法

唯一），所以方法数有C；xC；=28x15=420种.

当中间是9时，其它4个数字可以是0」,2,3,4,5,6,7,8,选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排

法唯一），所以方法数有36x21=756种.

所以该验证码的中间数字是7的概率为,““??--------=空=2.

6+30+90+210+420+756151236

故答案为：——

【点睛】

本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中

档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

172

⑴嗔巫⑵—,+co

3

【解析】

（1）先利用同角的三角函数关系求得sinC,再由cosA=cos求解即可;

ADDC…ADsinC2〜

(2)在AOC中，由正弦定理可得----------厕2=------=----------------=------------------，再由

sinCsinZDACDCsinZDAC3sinZDAC

0<ZDACOABAC求解即可.

【详解】

解：(1)在ABC中，cosC—

所以cosA=cosn-------C=-cos——\-C=sin—sinC-cos—cosC

I4JUJ44

V22V2V52V2-V10

=-------X----------------X-------=------------------------

23236

(2)由(1)可知cosA=4后一顺＜0,所以

62

AD口。，所以八殁一‘in。=2

在AOC中，因为

sinCsinZDACDCsinZDAC3sinZDAC

因为0<〃4。<44。,所以sinZDACe(0,1],

所以2e—,+coj.

【点睛】

本题考查已知三角函数值求值，考查正弦定理的应用.

18.(1)0.104(2)0.766(3)。短=>D统

【解析】

(1)设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者"的事件为4,根据古典概型求出即可;

(2)设该区“卫生习惯状况良好者“，"体育锻炼状况良好者“、"膳食合理状况良好者”事件分别为A,B,C,设事

件E为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“，则

P(E)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC),求出即可;

(3)根据题意，写出即可.

【详解】

(1)设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者”的事件为A,

有效问卷共有380+550+330+410+400+430=2500(份)，

其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是400x0.65=260人,

故P(A)=丽=0]。4；

(2)设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、"膳食合理状况良好者”事件分别为A,B,C,

根据题意，可知尸(A)=0.6,(B)=0.8,P(C)=0.65,

设事件E为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“

贝(]P(E)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=0.6x0.8x0.35+0.6x0.2x0.65+0.4x0.8x0.65+0.6x0.8x0.65

=0.168+0.078+0.208+0.312

=0.766.

所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯至少具备2个良好习惯的概率为0.766.

(3)%>D^>D&&>D^>DJ.

【点睛】

本题考查了古典概型求概率，独立性事件，互斥性事件求概率等，考查运算能力和事件应用能力，中档题.

19.(1)(i)?(ii)分布表见解析；(2)理由见解析

【解析】

(1)(0若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有禺=24种等可

能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游

戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率.

(ii)根据(i)的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列.

(2)假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=7,三轮游戏结果

o

都满足“XV4”的概率为工<二一，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解.

2161000

【详解】

(1)(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，

则家长对小孩的排序是随意猜测的，

先考虑小孩的排序为XB,XC,XD为1234的情况，家长的排序有父=24种等可能结果，

其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：

2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,

93

二家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P=—=~.

248

基小孩对四种食物的排序是其他情况，

只需将角标A,B,C,。按照小孩的顺序调整即可，

假设小孩的排序XA,XB,XC,切为1423的情况，四种食物按1234的排列为AC03,

再研究yAyBycyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，

.••他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为9.

O

5)根据⑴的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况,

列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，

X的分布列如下表：

X02468101214161820

1111111]_111

P

248246121212624824

(2)这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.

理由如下：

假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由(D可知，在一轮游戏中，

P(XV4)=P(X=0)+P(X=2)=-,

6

三轮游戏结果都满足“X<4”的概率为(3)3=」<亮，

这个结果发生的可能性很小，

.•.这位家长对小孩饮食习惯比较了解.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

20.(1)|(2)P(l,3,2)

【解析】

试题分析：(1)因为ABLAC,AiB,平面ABC,所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y

轴，以过A,且平行于BAi的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=AiB=2求出所要用到的点的坐标，求出棱

AAi与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AAi与BC所成的角的大小；

(2)设棱BiCi上的一点P,由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABAi的一个法向量，把二

面角P-AB-Ai的平面角的余弦值为2叵，转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标.

5

试题解析：

解（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系,

则C(2,0,0),5(0,2,0),4(0,2,2),Bx(0,4,2),

A4,=(0,2,2),30=301=(2,-2,0).

71ABe--4_I

°=所画=京机-5，

7T

故A4与棱所成的角是

(2)P为棱4G中点，

设4尸=2配=（24-240）,则尸（24,4—24,2）.

设平面PAB的法向量为々=(无,y,z),AP=(22,4-22,2),

[n.-AP-0[x+3y+2z=0[z=-Ax

则《n<n《，

々.AB=0[2y=0[y=0

故飞=(1,0,-2)

而平面A5A的法向量是n2=（1,0,0）,则cos勺,n2=

解得4=（,即P为棱与G中点，其坐标为P（l,3,2）.

点睛：本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求二面角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:

（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面

的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理

结论求出相应的角和距离.

21.(1)—+^=1；(2)4'5)

54

【解析】

(1)根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中a/,c的关系，即可求得”,仇c的值，进而得椭圆的标准方程.

(2)设出直线的方程为y=^+〃?，由题意可知"为邳中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出

西+%2,再%2，由判别式/>0可得5左2+4〉加2；由平面向量的线性运算及数量积定义，化简Q4.O3可得

1一2

。4。3=1-代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点"的坐标，代入圆的方程必+9=1，化简可得

「左2+4),代入数量积公式并化简，由换元法令f=代入可得。4。5=1-20%

—五记丁(51)(25-9)

1____3____?(20r-8)

再令s=7及0=5-25,结合函数单调性即可确定9。+m+5。的取值范围'即确定(5」1)(25,9)的取值范围'

因而可得。4.03的取值范围.

【详解】

22

(1)/^(-LO),F2(1,0)分别是椭圆C:=+与=1,(a〉6〉0)的左焦点和右焦点,

ab

则c=l,椭圆C的离心率为逝,

5

贝！Ie=£=!=^^解得a=6>

aa5

所以庐=Q2_02-5-1=4>

22

所以C的方程为土+匕=1.

54

(2)设直线A5的方程为>="+w，点M满足3M=万84,则"为中点，点M在圆/+>2=1上，设

4(药,％),5(%2，%)，

y=kx+m

联立直线与椭圆方程f2,化简可得(5左2+4)12+1。^?71%+5根2—2。二。，

—+—=；

154

—10km5相2—20

所以有+%2-

5左2+4

则A=（10切?）2—4x（5左2+4）x（5n?-20）>0,化简可得5k2+4>w2,

而。4O3=（OM+MA）（OM+MB）

=OM~+OMMB+MAOM+MAMB

22

=OM-MB

,I西+巧%（西+元2）+2"4m

M为rA4B中点，则为=」^^=力-5k—m，加=L:一=——

25左2+425左2+4

点以在圆f+y2=i上，代入化简可得.2..1M+4）

111

—25M5+16

上2+15左2+4—/森

OAOB=1-------x80x

所以4

令代+1,则。4。5d2。=」）（25」9）‘

I《20%—8）20-8s

令s=；,0<s〈］,则（51）（257-9）

（5-5）（25-95）

25--

4（5-25）

-（5-5）（25-95）

令口=5—2s,o«3,5）,贝！Js=^^

4（5-2s）_16。_16

所以（5-5）（25-95）=（5+颂5+9。）=/产工Q'

CD

16r43

因为/(O)=9O+—+50在oe[3,5)内单调递增，所以一十25+50〔不'记

3

（5z-l）（25z-9）12516

所以OA.05d20x小胃-8）e11

（5-1）（25-9）~4Ui

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程求法，直线与椭圆的位置关系综合应用，由韦达定理研究参数间的关系，