2023北京昌平区高一下学期期末数学试题及答案

2023北京昌平高一下（下）期末数学2023.7本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共分）一､选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.21+i1.复数z=的共轭复数z=（）A.1i−1+iB.11C.−i2211D.+i222.扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素.小明制作了一把如图所示的扇子，其半径为16cm，圆心π角为，则这把扇子的弧长为（）4A.6B.12πcmabC.18D.242，则ab=3.已知a,b均是单位向量，（）12A.1B.0C.D.14.已知角tanπ4P(−4)，则的顶点与坐标原点O重合，始边落在轴的非负半轴上，它的终边过点x(+)=（）343443A.−B.−C.D.35.在中，A30,AC===BC=3,AB3，则（）A.1B.2C.D.23π6.下列函数中，是偶函数且其图象关于点(,0)对称的是（）4()=fxx()=fxcosxA.B.()=fxsin4x()=fxcos2xC.D.7.如图，测量河对岸的塔高AB此，选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,AB垂直于平面BCD.现测得BCD=15,BDC=120,CD=20m，并在点C测得塔顶A的仰角为45，则塔高=（）206A.mB.10C.106m的部分图象如图所示，那么（D.203()=+)fxsin）x(0,0π)8.设函数15ππA.=,=B.==2123πD.=2,=πC.=2,=63ABCD−ABCD,MCC19.已知棱长为2的正方体是的中点，是正方形内（包括边界）的一NABCD1111个动点，且MN⊥BD，则线段MN长度的取值范围是（）33,3A.1,22B.C.3,22D.π3π()++P(cos,sin)A,sin,B,sin10.在平面直角坐标系中，点，3，则ABAP的最大值为（）32A.1B.C.D.23第二部分（非选择题共100分）二､填空题共6小题，每小题5分，共30分.cos65cos20+sin65sin20的值为__________.z=−2+i,z=3+z−z在复平面内对应的点位于第__________象限.1212.已知复数，则复数12是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断：a,b13.已知①b//；②a⊥；③a⊥b.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________.()14.已知正三角形的边长为2，点P满足AP=AB+AC，则BP=__________，=2__________.15.已知角,的终边绕原点O的顶点与坐标原点O重合，始边落在轴的非负半轴上.角x逆时针旋转后与角的终边重合，且cos+)=1，则角的一个取值为__________.⊥底面ABCD,==G为的中，底面ABCD是正方形，PA416.如图，在四棱锥P−P,B,D中点，M为△PBD内一动点（不与三点重合）.给出下列四个结论：π32①直线BC与PD所成角的大小为；②⊥；③GM的最小值为；④若AM=，则点432πM的轨迹所围成图形的面积是.6其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）ab()()).a31b12,c25c17.已知向量（1）求a,b的夹角；（2）求c的坐标.3()=−3cos2x+18.已知函数fxsinx.2（1）求()的最小正周期；fxπ（2）求()在区间fx[0,]x上的最大值及相应的的取值2π（3）若函数()在fx[,]m上是增函数，求的最小值.319.在中，bsinAacosB,a==2.（1）求B；（2）再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积.1A=−条件①：；2条件②：b=5.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.PD⊥平面ABCD，PD==E是棱20.如图，在四棱锥P−中，底面ABCD是正方形，P,CPD交平面于点F.上的动点（不与（1）求证：CD平面；（2）求证：平面PAD平面；⊥（3）若E是的中点，平面将四棱锥P−分成五面体PABEF和五面体，记它们的体积分别为1,V，直接写出V:V的值.122()满足：对于任意的xR，都有()=++()()，则称函数hxhx2πhxh2π21.已知定义域为R的函数()具有性质hxP.fx=2x,gx=x（1）判断函数()()是否具有性质P325π2fx=sinx+（2）已知函数()(),,，使函数具有性质()fx，判断是否存在2P？若存在，求出,的值；若不存在，说明理由；（3）设函数()具有性质P，且在区间2π上的值域为()(函数()=(())，f0,f2πgxsinfx.fx满足g(x+2π=gx)()，且在区间(0,2π)上有且只有一个零点.求证：()=f2π2π.参考答案第一部分（选择题共分）一､选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【分析】先利用复数的除法得到复数z，再求共轭复数.21+iz=【详解】解：因为复数，21−i)(+)(−)1i1i1i(2+z===1−i，所以所以z=1i，+故选：B2.【答案】B【分析】根据给定条件，利用弧长公式计算作答.π3π=12.【详解】因为扇形半径为16cm，圆心角为，所以弧长为44故选：B3.【答案】Dab=2【分析】将两边平方，再根据数量积得运算律即可得解.【详解】因为a,b均是单位向量，所以a=b=1，，则a)4，a又即a+b+2ab=4，所以ab=1.故选：D4.【答案】A【分析】利用诱导公式，结合三角函数定义求解作答.443tan=−tanπ(+)=tan=−，所以.【详解】依题意，3故选：A5.【答案】C【分析】直接利用余弦定理求解即可.【详解】在中，A30,AC==3,AB=3，3由余弦定理得BC2=AC2+AB2−2ACABA=3+9−233=3，2所以BC故选：C.=3.6.【答案】D【分析】利用偶函数排除两个选项，再由对称性判断作答.()=fxx【详解】对于A，函数是奇函数，A不是；对于Cf(x)=sin4x是奇函数，C不是；ππ2对于Bf(x)=cosx()=fxcosx0，即的图象不关于点是偶函数，而f()==442π(,0)对称，B不是；4πππ对于D，函数f(x)=cos2xf()==0，即()=fxcos2x(,0)是偶函数，的图象关于点对称，424D是.故选：D7.【答案】C【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合等腰三角形的性质求解作答.【详解】在△BCD中，BCD=15,BDC=120,CD=20m，则CBD45，=320CD20sin120sin452=BC===106，由正弦定理得：，于是sinCDBsinCBD22在Rt△中，=90,ACB=45，因此106，==所以塔高AB106m=故选：C8.【答案】C5ππ2ππ−4=T=4=T==2，利用最值点即可得=【分析】根据周期可得.1265ππ62π−=2【详解】根据图象可知，126π,1π3ππ()=(fxsin2x+)得sin+=+=1+2π,kZ,将6代入32ππ所以=+2π,kZ，由于0，所以取k=，故=0，π66故选：C9.【答案】B【分析】根据给定条件，确定点N的轨迹，再求出MN的范围作答AC,AM，如图，.ABCD−ABCD中，连接1【详解】在正方体111显然1⊥平面平面ABCD，则1⊥BD，又AC⊥BD，ABCD，BDAC=C,AC,⊥且平面ACM，因此BD平面ACM，11而点M平面ACM，且MN⊥BD，于是平面ACM，点，N平面ACM又点N平面ABCD，平面ACM平面ABCD=AC，因此点N在线段上，，则CMCC在△ACM中，ACM=，由于是M的中点，1从而CM=AM=CM2+AC2=12+(22)=3，2所以线段MN长度的取值范围是故选：B.10.【答案】B【分析】根据向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变换，即可由三角函数的有界性求解最值.π3π()++P(cos,sin)A,sin,B,sin【详解】由，3可得AB=+−,sin+−sin=−sin+,+,AP=(−,sin−sin)6336，π6−cos++πABAP=−sin+()sin−sin)所以6π1ππ=sin−−+sin+−=sin−−+，6π66232sin−−=1时，ABAP取最大值故当，6故选：B第二部分（非选择题共100分）二､填空题共6小题，每小题5分，共30分.212【答案】##22【分析】根据余弦的和差角公式即可求解.2()=cos45【详解】cos65cos20sin65sin206520+=−=，22故答案为：212.【答案】三z−z1【分析】先求出，然后求出其在复平面对应的坐标，从而可得答案2z=−2+i,z=3+【详解】因为，12z−z=−2+i−3+=−5−i()所以，12z−z1(−−)，位于第三象限，1所以复数在复平面内对应的点为2故答案为：三13.【答案】①②③【分析】根据空间直线和平面平行垂直的判定定理及性质定理推理得出结论.【详解】若①②③，=c，理由：设过b有一个平面，使得，b，=c，b//c，又a⊥，c，可得ac，⊥又b//c，∴a⊥b．若①③②，由b//，a⊥b，可得a/或a与相交或a，故①③不能推出②.若②③①，由a⊥，a⊥b，可得b//或b，故②③不能推出①.故答案为：①②③.14.【答案】①.1②.3【分析】由向量等式可得P为BC边的中点，由此求解作答.(AB+AC)，则点AP=PBP=1，【详解】正的边长为2为BC边的中点，所以233CAP=30，APAC|AP||AC|cos30=22=3.22故答案为：；33π−15.【答案】8=+.【分析】利用终边相同的角可得，再借助余弦函数的性质求解作答43π3π=++)=+)=1，则+=2π,kZ，【详解】依题意，，因此4，当k3π443π3π解得=π−,kZ=0时，=−，88所以角的一个取值为−.83π−故答案为：816.【答案】①②④【分析】根据异面直线所成的角即可判断①，根据空间中的垂直关系转化即可证明AG⊥平面，即可求证线线垂直进而判断②，根据点到面的距离为最小值，利用等体积法即可求解③，根据圆的面积即可判断④.【详解】由于//，所以PDA即为直线BC与PD所成的角或其补角，π⊥ABCD,ABCDPA⊥ADPA=AD=1，所以=由于PA底面平面，所以,又，①正4确；由于PA底面⊥ABCD,CD平面ABCD，所以⊥,又⊥CD,PAAD=,,AD平面PAD，所以CD⊥平面PAD,取PD中点为N，连接,NG,由于G为的中点，所以NG//CD，所以NG⊥平面平面PAD，PD平面平面PADANG，则，则NG⊥PDPD⊥AG，又PAAD1，==PDN⊥中点为，所以,ANNG=N,AN,NGPD⊥ANG，AG平面ANG，所以,AC⊥BD,BD⊥,PAAC=,,AC,AG，所以BD平面平面⊥,平面所以,⊥PDBD=D,PD,BDAG⊥平面，所以平面,MB平面,所以⊥，故②正确；当GM⊥平面时，GM最小，设此时点G到平面的距离为h，11111=V=111=P−1G−=D−=V=V,D−P−224431211所以G−=Sh=,312133由于===2+2=2，故△PBD为等边三角形，S=22=,2221313所以G−=h=h=，故③错误；321263由③得点G到平面的距离为，不妨设G在平面的投影为H,63所以点C到平面的距离为,33由于被平分，所以A到平面的距离为,33由②知AG⊥平面，所以,H,G三点共线，即AH=，3223226又AM=，所以=AM2−AH2=−=,223626π因此点M的轨迹围成的图形是以点H为圆心，以为半径的圆，所以面积为π=，故④正66确.故答案为：①②④【点睛】方法点睛：本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、异面直线所成角和点到面的距离的求解、截面面积的求解问题；求解点到面的距离的常用方法是采用体积桥的方式，将问题转化为三棱锥高的问题的求解或者利用坐标系，由法向量法求解..三､解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）π17.1）；4（2）c(2,4)或=c=(4).）利用数量积和模求出向量夹角作答.（2）设出c的坐标，利用给定条件列式求解作答.【小问1()=1,2,b)，则ab31125，|a|a+=2==+22=5，向量因此10,|b|12cosa,=0a,bπ，而，则a,b，|a10524π所以a,b的夹角为【小问2.4c⊥a−b)(()−=(−)ab21cab2x−y=0，即y=2x，设c(x,y)，而=，由，得x=y=4，联立解得x=−y=−4或，c25x2+y2=25由，得所以c(2,4)或=c=(4).π18.1）；πf(x)=1，x=（2）（3）；12π−.）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数周期公式求解作答.（2）利用（1）中解析式，求出相位所在区间，结合正弦函数性质求解作答.（3）求出()的单调递增区间，再借助集合包含关系列式作答.fx【小问1123123π()=依题意，函数fx−(2x−=2−cos2xsin(2x−=sin2xsin2x3)，222π所以函数()的最小正周期为T=fx=π.2【小问2ππππ2π()=fxsin(2x−−−由（1）知，)，当x]时，2x，32333πππ2x−=x=()取得最大值1，fx时，函数当，即3212πf(x)=1，x=所以.12【小问3ππππ()=fxsin(2x−−−+,kZ，由（1）知，)，由2k2x2k3232π5ππ5πk−xk+,kZfx()在−[k,k+](k得，即函数上单调递增，12121212πππ5πππ因为函数()在上是增函数，则k=0,[,][−，因此−m，fx[,],]331212123πm所以的最小值是−.π19.1）B=43−332（2）选①；选②6）利用正弦定理化边为角，即可得解；（2）选①，先利用平方关系求出三角形的面积公式即可得解.sinA，结合已知求出，再根据两角和得正弦公式求出sinC，再根据b选②，先求出sin,A，再根据两角和得正弦公式求出sinC【小问1，再根据三角形的面积公式即可得解.因为bsinA=aB，由正弦定理得sinBsinA=sinAB，又sinA0，所以tanB=1，πBπ()，所以B=又；4【小问212πcosA=−,A(π)A=选①，因为，所以，23由bsinAacosB,a==2，22aBsinA232得b===，332321+−26−2(+)==则sinCsinAB=，222241212336−23−3所以S=absinC=2=246选②，bsinAacosB,a==2,b=5，22πaB522A得sinA=2，故，==4b5525则A=，552255231010(+)=+=所以sinCsinAB=，52211310103所以S=absinC=25=.22220.1）证明见解析2）证明见解析V:V=3:5（3）12）由线面平行的判定定理可证；（2）由线面垂直的性质定理和判定定理先得AB平面⊥PAD，再由面面垂直的判定定理得证；（3）连结、DE，将五面体分割成三棱锥EADF和四棱锥EABCD，分别求出体积，−−可求2，再由V，可解此题.1【小问1ABCDCDAB，由底面是正方形，知又CD平面，平面，AB所以CD平面；【小问2ABCD⊥，由底面是正方形，可知又PD平面AD平面ABCD，PD平面ABCD，且ADPADAB⊥ABCD，AB平面ABCD⊥，所以，，所以AB平面⊥，又平面，所以平面PAD平面；⊥【小问3连结、DE，由（1）CD平面，CD平面，平面ABE平面PCD=EF,得∥CD，即，又由（2）AB平面⊥PAD，可得EF⊥平面PAD，由题意，E是的中点，21313112135，33131383又V，P所以V，15V:V=1:=3:5.123()=具有性质；()=不具有性质P.fx2xgxx21.1）函数P（2）=2，=0（3）证明见解析）利用定义判断即可；（2）假设函数()具有性质P，可求出=0，进而可得=2，从而可得()=fxfxsin2x，再根据定义进行验证，即可得到答案；（3）由由函数()具有性质P及（2）可知，fxf(0)=0，进而可得fx()在2π的值域为π，kZ且k0，由g(x)在区间(0,2π)上有且只有一个零点可证明当k2时不符合题意，再求解当k=1时与()是以为周期的周期函数矛盾，从而可得【小问12πk=2，即可证明.gx因为f(x)=2x，则(+)=+=+，又()=fx2π2(x2π)2x4πf2π4π，fx+2π=f(x)+f(2π)所以()()=具有性质P；fx2x，故函数因为g(x)=x，则(+)=gx2πcos(x2π)cosx，又g(2π)=cos2π=1，+=g(x)+g(2π)=x+1g(x+2π)()=gxx，故不具有性质P.【小问2若函数()具有性质P，则(+)=f02π+，即f(0)sin=0=，fxf(0)f(2π)