第5章 二次根式（单元测试·综合卷）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

第5章二次根式（单元测试·综合卷）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023下·河北廊坊·八年级统考期末）下列二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是的选项是（

）A． B． C． D．2．（2021下·河北承德·八年级统考期末）计算：，则□中的数是（

）A．6 B． C．2 D．3．（2020·全国·八年级专题练习）若a为正数，则有（

）A．a＞ B．a＝ C．a＜ D．a与的关系不确定4．（2023下·天津·八年级校联考期中）将化简得（

）A． B． C． D．5．（2021·河北·统考中考真题）与结果相同的是（

）．A． B．C． D．6．（2021·山西·校联考三模）化简二次根式除了利用二次根式的性质外，还可以借助图形解释验证．如：化简时，我们可以构造如图所示的图形，其中图1是一个面积为8的正方形，图2是一个面积为2的正方形，根据两图的关系我们可以得到：．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（

）A．分类讨论 B．数形结合 C．公理化 D．类比7．（2022下·河北廊坊·八年级统考阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．8．（2023下·河北保定·八年级统考期中）要用栅栏围成如图所示的两个正方形鸡圈，它们的面积分别为，，则所需栅栏的总长度最少为（

）

A． B． C． D．9．（2021·全国·九年级专题练习）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（

）．A． B． C． D．10．（2022下·重庆开州·八年级统考期末）二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以；②若a是的小数部分，则的值为；③比较两个二次根式的大小：；④计算；⑤若，，且，则整数．以上结论正确的是（

）①③④ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③⑤填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023上·辽宁铁岭·九年级校联考阶段练习）当a取值范围为时，．12．（2022下·河北沧州·八年级统考期末）已知．（1）将化为最简二次根式是；（2）若，则“■”表示的数是．13．（2023下·吉林松原·八年级校联考期中）若与都是二次根式，那么．14．（2019上·浙江温州·七年级期中）请写出一个含字母a、b的三次单项式，满足下列两个条件：①当时，它的值是无理数；②当时，它的值是正整数．这个单项式可以是．15．（2022上·上海嘉定·八年级统考期中）若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是．16．（2022上·北京昌平·八年级统考期末）我们规定：如果实数a，b满足a＋b＝1，那么称a与b互为“匀称数”．（1）1－π与互为“匀称数”；（2）已知，那么m与互为“匀称数”．17．（2021下·河北沧州·八年级统考期中）在中与是同类二次根式的有个．已知，则yx＝．若的整数部分为x，小数部分为y，则＝．18．（2021·湖北黄冈·统考中考真题）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023上·山东枣庄·八年级校联考阶段练习）（1）计算：； （2）计算：．20．（8分）（2023上·河南新乡·九年级校考阶段练习）计算（1） （2）（10分）（2023下·山东威海·八年级统考期末）（1）若，求； （2）若，求的值．22．（10分）（2023上·福建漳州·八年级校联考期中）观察下列等式及其验证过程：，验证：，验证：（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想______．（2）针对上述等式反映的规律，写出用（为大于的整数）表示的等式并给予验证．23．（10分）（2023上·河南周口·八年级校考阶段练习）我们知道．是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：（1）的整数部分是_________，的小数部分是_________；（2）若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根；（3）若，其中是整数，且，求的值．24．（12分）（2022上·山东青岛·九年级统考期末）某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．【探究发现】；；；；；．【猜想结论】如果，，那么存在（当且仅当时，等号成立）．【证明结论】∵∴①当且仅当，即时，，∴；②当，即时，，∴．综合上述可得：若，，则成立（当且仅当时，等号成立）．【应用结论】（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？【拓展应用】（3）疫情期间，高速公路某检测站入口处，为了解决疑似人员的临时隔离问题，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），计划用钢丝网围成6间相同的长方形隔离房．如图，已知每间隔离房的面积为6m2．问：每间隔离房的长、宽各为多少米时，所用钢丝网长度最短？最短长度是多少？参考答案：1．B【分析】根据二次根式有意义的条件，A选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0；B选项保证被开放式大于等于0；C选项保证被开放式大于等于0，且坟墓不为0；D选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0，求出x的取值范围即可．解：A.中，的取值范围是，故此项不符合题意；B.中，的取值范围是，故此项符合题意；C.中，的取值范围是，且，故此项不符合题意；D.中，的取值范围是，故此项不符合题意；故选B．【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．2．D【分析】由可得，化简即可．解：∵∴＝＝故答案为：D【点拨】本题考查二次根式的运算，根据相关知识点解题是重点.3．D【分析】根据的取值范围，对和的大小关系分情况进行分类讨论即可解决．解：当时，；当时，；当时，；所以，与的关系不确定，故选：D．【点拨】本题考查了二次根式的意义和性质，解题的关键是：掌握二次根式的意义和性质．4．D【分析】根据二次根式的性质把原式进行化简即可．解：∵，∴．故选：D．【点拨】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解题的关键．5．A【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．解：∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0故选：A．【点拨】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．6．B【分析】根据数形结合思想的定义进行判断即可．解：显然，在题目描述过程中，构造了相应边长的正方形，将数字变化为图形来进行研究，这样的方法体现了数形结合的思想，故选：B．【点拨】本题考查数形结合的思想，理解并熟练运用数形结合的思想是解决数学问题的常用办法．7．A【分析】先根据二次根式的意义求出n，再求出m，最后根据负整数指数幂的运算法则得到最终解答．解：由题意可得：2n-5=5-2n=0，∴m=0+0+2=2，∴n-m=故选A．【点拨】本题考查二次根式和负整数指数幂的综合应用，熟练掌握二次根式有意义的条件及负整数指数幂的计算方法是解题关键．8．B【分析】先根据正方形面积公式求出两个相邻的正方形鸡圈的边长，再根据平移和长方形周长公式可求需要的栅栏的总长度．解：∵两个相邻的正方形鸡圈的面积分别为，，∴两个相邻的正方形鸡圈的边长是，，∴需要的栅栏的总长度是，故选：B．【点拨】本题考查了二次根式的应用，关键是求出两个相邻的正方形鸡圈的边长．9．C【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．解：由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是：故选：C．【点拨】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．10．D【分析】①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化；②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简；③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小；④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值；⑤与y可以利用分母有理化化简，可得出x与y互为倒数，故，然后观察方程特点，求得n的值．解：，故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①对；∵a是的小数部分，∴，∴，故②错误；∵，，又∵，，∴，∴，∴，∴，故③对；∵，故④错误；⑤∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，，，，，∵，∴，即，解得.故⑤正确．故选：D．【点拨】本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化,解决二次根式的化简、比较大小和运算的问题．11．【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可．解：当且时，成立，解得：，故答案为：．【点拨】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为0．12．【分析】（1）根据•（a≥0，b≥0）化简即可；（2）根据除数＝被除数÷商计算即可．解：（1）＝3；故答案为：3；（2）3．故答案为：．【点拨】本题考查了最简二次根式、二次根式的运算，熟练掌握计算法则是解题的关键．13．0【分析】根据二次根式有意义的条件可得，进而即可求解．解：∵与都是二次根式，∴∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．14．（答案不唯一）【分析】根据所给字母的值确定单项式的系数和次数即可．解：该单项式可以为，当时，==，是无理数；当时，==2，是正整数，故答案为：（答案不唯一）．【点拨】本题考查了单项式的定义，实数的混合运算，解题的关键是根据所给数值确定单项式的系数和次数．15．/【分析】根据“互为友好因式”的概念解答即可．解：由题意可得：的“互为友好因式”为：，故答案为：．【点拨】本题考查了定义新运算，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化的方法．16．【分析】（1）根据“匀称数”的概念可直接进行求解；（2）由题意易得，然后根据“匀称数”的概念可进行求解．解：（1）由题意易得：1－π与互为“匀称数”；故答案为；（2）∵，∴，∴m的“匀称数”为，∴与互为“匀称数”；故答案为．【点拨】本题主要考查二次根式的运算及实数的运算，熟练掌握二次根式的运算及实数的运算是解题的关键．17．291【分析】（1）先根据二次根式的基本性质化简每个二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可；（2）由于与互为相反数，根据二次根式的性质即可得到的值，然后求出，最后代入所求代数式即可求解；（3）首先估算的整数部分和小数部分，然后代入所求代数式计算即可求解．解：（1）∵，，，，∴与是同类二次根式的有、，共2个；（2）∵，∴，∴，；（3），∴的整数部分为，小数部分为，∴，故答案为：2，9，1．【点拨】此题主要考查了绝对值的性质，二次根式有意义的情况及无理数的估算能力，有一定的综合性，解题关键是利用限制条件解出变量的值．18．10【分析】先根据求出（为正整数）的值，从而可得的值，再求和即可得．解：，（为正整数），，，，，则，故答案为：10．【点拨】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．19．（1）3；（2）5．【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算即可求解；（2）利用完全平方公式、二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可求解．解：（1）；（2）．【点拨】此题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握完全平方公式、二次根式的性质是解题的关键．20．（1）1；（2）【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，（1）根据二次根式乘除运算法则进行计算即可；（2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可．（1）解：；（2）解：．21．（1）18；（2）【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据提公因式、完全平方公式把原式变形，代入计算即可；（2）根据完全平方公式把原式变形，计算即可．解：（1），，，，则；（2），，，，，．【点拨】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、加法法则是解题的关键．22．（1）；（2）（为大于的整数）【分析】（1）根据材料提示的运算方法即可求解；（2）根据材料提示，二次函数的性质化简即可求解；本题主要考查二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质，二次根式的混合运算等知识是解题的关键．（1）解：根据材料提示，，故答案为：．（2）解：根据题意得，，∵为大于的整数，∴，当时，；当时，；当（为大于的整数），；故上述等式反映的规律为（为大于的整数）．23．（1）3，；（2）；（3）11【分析】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握无理数的大小估算方法．（1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即