第02讲 相似三角形的判定与性质（知识解读+真题演练+课后巩固）（原卷版）

第02讲相似三角形的判定与性质1.了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2.进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力；3.理解并掌握相似三角形的性质，注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上；4.灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算；5.运用相似三角形的性质解决综合问题。知识点1相似三角形的相关概念在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.注意：

(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.知识点2相似三角形的判定1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.注意：

此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

注意：

要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

知识点3相似三角形的性质性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.性质3：相似三角形周长的比等于相似比如图一：∽，则由比例性质可得：图一性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方如图二，∽，则分别作出与的高和，则图二注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.知识点4相似三角形的性质与判定综合【题型1相似三角形的概念】【典例1】（2022秋•郯城县校级期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B． C． D．【变式1】（2023春•梁溪区校级期末）下列两个三角形不一定相似的是（）A．两个等边三角形 B．两个顶角是120°的等腰三角形 C．两个全等三角形 D．两个直角三角形【题型2三边对应成比例，两三角形相似】【典例2】如图，已知．求证：．【变式2】（2023•瑶海区三模）如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC＝，BC＝；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【典例3】（2022秋•铜仁市期末）如图，D，E分别为AB，AC边上两点，且AD＝5，BD＝3，AE＝4，CE＝6．求证：△ADE∽△ACB．【变式3-1】（2022秋•泉州期末）如图，AB、CD相交于点O，已知OA＝3，OD＝4，OB＝2，OC＝1.5．求证：△AOD∽△COB．【变式3-2】（2023•海淀区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝8，EC＝2．求证：△ADE∽△ACB．【变式3-3】（2022秋•商南县期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝3，AC＝12．（1）求CD的长．（2）求证：△ABE∽△ACB．【题型4两角对应相等，两三角形相似】【典例4】（2023•平潭县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连结DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．【变式4-1】（2023•凤庆县二模）如图，AC为菱形ABCD的对角线，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC．求证：△ACD∽△ABE．​【变式4-2】（2023•涵江区一模）如图，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，BD相交于点O，OB＝OC，求证：△ABC∽△DCB．【变式4-3】（2023•越秀区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上的点（不与点B，点C重合），连接DE并延长，交AB的延长线于点F．求证：△CDE∽△AFD．【题型5相似三角形的性质】【典例5】（2022秋•昌图县期末）已知两个相似三角形的相似比是1：3，那么它们的面积比是（）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1【变式5-1】（2023•南明区校级模拟）若两个相似三角形的对应高的比为3：5，则它们对应周长的比为（）A．3：5 B．9：25 C．1：3 D．1：5【变式5-2】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（）A．75° B．105° C．60° D．45°【变式5-3】（2023•江安县一模）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC＝，则DE的长为（）A． B． C． D．【变式5-4】（2023•泸县一模）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】【典例6】（2023•蕉城区校级一模）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．【变式6-1】（2022春•成武县期末）如图在△ABC中，D为AB边上一点，且△CBD∽△ACD．（1）求∠ADC度数；（2）如果AC＝4，BD＝6，求CD的长．【变式6-2】（2023春•海阳市期末）如图，在正方形ABCD中，CD＝4，在BC边上取中点E，连接DE，过点E做EF⊥ED与AB交于点G，与DA的延长线交于点F．（1）求证：△BEG∽△CDE；（2）求△AFG的面积．【变式6-3】（2022秋•细河区期末）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．（1）求证：△ADE∽△DBE；（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长．【典例7】（2023春•梁溪区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）若AB＝8，AD＝6，求CD的长．【变式7-1】（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．（1）证明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．【变式7-2】（2022秋•普兰店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AC＝3，BC＝4，求BD的长．【典例8】（2023春•烟台期末）如图，在△ABC中，BC＝12，高AD＝6，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，求AN的长．【变式8】（2022秋•江都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝9，BC＝15．（1）求BC边上的高AD的长度；（2）正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上，求正方形EFGH的边长．1．（2023•雅安）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（）A．4 B．6 C．8 D．102．（2023•恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，，BF＝8，则DE的长为（）A． B． C．2 D．33．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（）A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.24．（2022•达州）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（）A．9 B．12 C．15 D．185．（2022•贵阳）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，则△ADC与△ACB的周长比是（）A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：46．（2022•邵阳）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件，使△ADE∽△ABC．7．（2023•南通）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，则＝．8．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为．9．（2023•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝．10．（2023•江西）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ＝m．11．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝（结果用含k的代数式表示）．12．（2022•北京）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，则AE的长为．13．（2022•东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为．14．（2022•菏泽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．15．（2023•邵阳）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．（1）证明：△ABC∽△DEB．（2）求线段BD的长．1．（2022秋•榆树市期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD＝2BD，则的值为（）A． B． C． D．2．（2023•泸县校级模拟）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．3．（2022秋•东莞市期末）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA＝3：4，EF＝3，则CD的长为（）A．4 B．7 C．3 D．124．（2023•霍林郭勒市模拟）如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（）A．21 B．28 C．34 D．425．（2022秋•北碚区校级期末）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．126．（2023•博山区一模）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（）A．5 B．6 C． D．7．（2022秋•河东区期末）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，DE、AC交于点F，则的值为（）A．1 B． C． D．8．（2023•河东区模拟）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（）A． B． C． D．9．（2023•翠屏区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（）A． B． C． D．10．（2023春•肥城市期末）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：911．（2022秋•亳州期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（2022秋•宛城区校级期末）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为．13．（2023•山丹县模拟）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．14．（2023•兰山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为．15．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGD，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为．16．（2023•西城区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，则AE的长为．17．（2022秋•渠县校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则线段EF的长为．18．（2022秋•启东市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠ADB．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．19．（2022秋•芙蓉区校级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ACD∽△BFD；（2）当tan∠ABD＝1，AC＝3