备考2024年新高考数学一轮复习-复数

复数

日题型目录

题型一复数的分类

题型二复数的几何意义

题型三复数模的计算

题型四复数模的几何意义

题型五复数的四则运算

题型六i的幕运算

题型七待定系数法求复数

题型八复数的三角表示（选学）

/典例集练

题型一复数的分类

例1.（2023春•江苏盐城•高三江苏省响水中学校考期中）已知复数z=机（m-1）+而为纯虚数，则实数m的值为（）

A.-IB.1C.1或-1D.一1或0

例2.（2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知i是虚数单位，复数z满足z（3+i）=|（2+i）］,则复

数z的共轨复数虚部为（）

举一m

练习1.（2023•全国•合肥一中校联考模拟预测）设，"©R,贝匕〃=2”是“=2+〃?1+」（3+4i）为纯虚数”的（）

2-i\55）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

练习2.（2022・高三单元测试）（多选）设z是复数，则下列命题中是真命题的是（）

A.若TZO,贝也不一定是实数B.若z2<0,则z是虚数

C.若z是虚数，则z'NOD.若z是纯虚数，则z2<0

练习3.（2023春•陕西宝鸡•高三统考期中）当实数m取什么值时，复数（病+2〃?-8）+（疗-2相）i是下列数？

⑴实数；

⑵虚数；

⑶纯虚数.

练习4.（江苏省无锡市等4地2023届高三三模数学试卷）已知i为虚数单位，复数z满足|z-2i|=|z|,贝」的虚部

为（）

A.-2B.-1C.1D.2

练习5.（2023春•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考期中）（多选）已知非零复数z”Z2,则下列运算结果一定为实

数的是（）

A.Z[+Z]B.z2-z2C.z；+z；D.zxz2+ZjZ2

题型二复数的几何意义

例3.（2023•江苏南通・统考模拟预测）已知复数z=（l+i>（〃?-2i）在复平面内对应的点落在第一象限，则实数加的

取值范围为（）

A.m>2B.0<m<2

C.—2<m<2D.m<—2

例4.（2023春•全国•高三专题练习）已知。为实数，若复数z=a?-3a-4+（a+l）i为纯虚数，则复数a-E在复平面

内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

第二及三

练习6.（2023・河北唐山・开滦第二中学校考模拟预测）已知复数4与z=4-2i在复平面内对应的点关于实轴对称，

则三=（）

1-1

A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l+3i

练习7.（2023・北京•高三专题练习）在复平面内，。是原点，向量OZ对应的复数是-1+i，将OZ绕点。按逆时针

7T

方向旋转f,则所得向量对应的复数为（）

4

A.-72B.-V2zC.-1D.-i

练习8.（江苏省南通市2023届高三高考前练习数学试卷）若二=i，复数z与1在复平面内对应的点分别为A,8,

Z+1

则朋=（）

A.2B.2A/2C.3D.4

练习9.（2023・湖北•统考模拟预测）若复数z所对应的点在第四象限，且满足Z2-2Z+2=0,则Z?=（）

A.1+iB.1-iC.-2iD.2i

练习10.（2023春•云南・高三云南师大附中校考阶段练习）在复平面中，点。为坐标原点，记OA，OC，A8表示

的复数分别为2+i,-1+2U-2i,记z为8c所表示的复数，则z-N=（）

A.25B.8C.5D.2+3?

题型三复数模的计算

例5.（2023春•内蒙古赤峰•高三校考阶段练习）若复数z满足z=l+i,|z?-4z|=.

例6.（2023春・福建厦门•高三厦门一中校考期中）i是虚数单位，已知2|=|。-2i|,写出一个满足条件的复数

co..

第二反三

练习11.（2023•安徽合肥・合肥市第八中学校考模拟预测）已知复数Z1=2+i,Z2=l-ai（aeR）,且z「弓为纯虚数,

则立=（）

Z2

A.6B.75C.1D.76

练习12.（2023•上海普陀•曹杨二中校考三模）己知i为虚数单位，复数z=i（l+3i）,则同=.

练习13.（2023・全国•高三专题练习）已知复数z满足|z+2i|=|z|,写出一个满足条件的复数z=.

练习14.（2023•全国•模拟预测）已知复数z=（a+2i）-（l+i）,|z|=Ji5,则a=（）

A.1B.0C.2D.±1

练习15.（2023•安徽蚌埠•统考三模）已知aeR,i为虚数单位，若复数z=i（a-i）,国=2,贝匹=.

题型四复数模的几何意义

例7.（2023.湖北黄冈.黄冈中学校考二模）已知复数z满足目=1,则|z+3-4i|国为虚数单位）的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

例8.（2023・山东烟台・统考二模）若复数z满足|z+31Tz-3|=4,贝1z+l］的最小值为（）.

A.3B.gC.2D.应

举一

练习16.（2023春・湖北襄阳•高三宜城市第一中学校联考期中）已知复数z满足2V|z|V20,则在复平面中z对应

的点所构成的图形的面积为.

练习17.（2023春•四川成都・高二统考期中）已知|z|=l,则|z-2-2i|（i为虚数单位）的最大值为（）

A.272-1B.V2-1

c.2V2+1D.V2+1

练习18.（2023・河南・洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知复数2满足卜+4=卜-1|,2在复平面内对应的点为（工»）,

则（）

A.x+y=OB.尤-y=0C.x=0D.y=0

练习19.（2023春・福建莆田•高三莆田第二十五中学校考期中）在复平面内，已知复数z满足|z-l|=|z+i|（i为虚

数单位），记z°=2+i对应的点为点Z。，z对应的点为点Z,则点Z。与点Z之间距离的最小值_________________

练习20.（2023・山西太原•太原五中校考一模）复平面内复数z满足|z-2|=1,贝中-i|的最小值为（）

A.1B.75-1C.75+1D.3

题型五复数的四则运算

例9.（2023•山东济宁・嘉祥县第一中学统考三模）若复数z=?为纯虚数，则实数。=（）

2+1

33

A.—B.—C.6D.—6

22

例10.（2023・湖北咸宁•校考模拟预测）复数z满足1+力+1=|3+可，则2=（）

A.-2-2iB.-2+2iC.2-2iD.2+2i

举一

练习21.（2023•河南郑州•洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知复数z满足z=3+i,则|z卜（）

1—1

A.1B.72C.73D.75

2-77i

练习22.（2023•云南保山・统考二模）如果复数一（其中i为虚数单位，b为实数）为纯虚数，那么1+历的模长

1+21

等于（）

A.72B.2C.1D.V3

练习23.（2023•江西・统考模拟预测）已知i为虚数单位，若复数z=上二，贝匹=（）

2-i

6363

A.2+iB.2—iC.—l—iD.-------i

5555

abz1-i

练习24.（2023•宁夏银川•校联考二模）规定运算,=ad-bc,若复数z满足=i,则z的值为（）

cdl+i1

A.1-iB.l+iC.2-iD.2+i

练习25.（2023•江苏•统考模拟预测）已知3+4i=z（l-2i）,则|z|=（）

A.y/2B.y/5C.V10D.5

题型六i的幕运算

例11.（2023•山东•模拟预测）若贝!Jzi°°+z5o+l=（）

A.1B.iC.-1D.-i

ii2+,2023_

例12.（2023•江西・江西省丰城中学校联考模拟预测）已知i为虚数单位，zJ+i+，则复数1在复平面上

1-i

所对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

举一

练习28.（2023・云南昆明・昆明一中校考模拟预测）己知复数z=1二，则z+z?+z3++z2023=（）

1-1

A.-1B.1C.-iD.i

2023

z=^^?+i.(5-i)

练习29.（2023•河南•校联考模拟预测）已知(1-i)2I则在复平面内，复数z所对应的点位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

产111

练习30.（2023・云南曲靖・统考模拟预测）已知复数2=~^—（i是虚数单位），则H=（）

l+2i|z|

A.亭B.与C.V5D.6

题型七待定系数法求复数

例13.（2023•浙江•校联考二模）已知复数z满足（z+2i）（z-2i）=2（i为虚数单位），贝|z=（）

A.±^/6iB.±V2iC.2iD.+A/6

例14.（2023・甘肃金昌・永昌县第一高级中学统考模拟预测）若复数z满足z+2^=2+i，其中i为虚数单位，则z=（）

22

A.3-2iB.2+3iC.——iD.-+i

33

第二及三

练习31.（2023春・湖南•高二校联考期中）已知复数z对应的点在复平面第一象限内，N是z的共轨复数，那么同时

满足z+彳=2和z-2=4的复数是（）

A.73+iB.1+V3z

C.1-iD.1+i

练习32.（2023•江西九江•统考三模）已知复数z满足z-（2+i）=N-4i,则|z|=（）

A.1B.y/2C.2D.2A/2

练习33.（2023・河南•模拟预测）已知复数z满足z2+z+l=0,则忖=（）

A.1C.V2D.1或0

练习34.（2023•江西南昌・统考三模）若虚数z使得z?+z是实数，贝也满足（）

A.实部是B.实部是:C.虚部是D.虚部是J

2/2/

2

练习35.（2023春•浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）若复数z满足z+-eR,则|z+i|的最小值为

Z

B.正

C.V2-1D.1

32

题型八复数的三角表示（选学）

例15.（2023•全国•高一专题练习）复数三瓦与下列复数相等的是（

)

例16.（2023春•湖北武汉•高三华中师大一附中校考期中）在复平面内，把与复数3-6对应的向量绕原点。按顺

时针方向旋转60。，则所得向量对应的复数为（用代数形式表示）.

举一

练习36.（2023・全国•高三专题练习）（多选）下列复数的三角形式正确的有（）

(兀..兀)

17

COS-^-+isin—B.cos—+isin—

A，2l126J2133；

3一（71)..(71、(71、..兀

c.一cos——+isin——D.3cos——\-ism—

2_I17〃LI6；6

练习37.（2022春.高三课时练习）把复数z=1+7^化三角形式为（）

AG兀「.兀CR一兀

A.2cos—+isin—Bn.-2cos—+isin—

l66\66

兀..兀

C.2cos—+isin—cD.-2ccos—7T+i•sm•—7T

I33,I33

练习38.（2022春.高三课时练习）求复数z=-l+6i的辐角的主值为.

练习39.（2022春•高三课时练习）已知复数Z1=2（cosS+isinS〕对应的向量绕原点逆时针旋转£后得到的向量对

应的复数为Z2，且z=z「Z2，贝!|z=（）

A.2+2后B.1+V3i

C.-2-2拘D.-1-V3i

jr

练习40.（2022春.高三单元测试）在复平面内，把复数-1+i对应的向量绕原点逆时针旋转;后所得向量对应的复

4

兀

数为4,绕原点顺时针旋转］5后所得向量对应的复数为z?

⑴求复数4/2；

（2）若复数z=五，求复数z.

专题6.3复数

日题型目录

题型一复数的分类

题型二复数的几何意义

题型三复数模的计算

题型四复数模的几何意义

题型五复数的四则运算

题型六i的幕运算

题型七待定系数法求复数

题型八复数的三角表示（选学）

/典例集练

题型一复数的分类

例1.（2023春•江苏盐城•高三江苏省响水中学校考期中）已知复数z=机（m-1）+而为纯虚数，则实数m的值为（）

A.-IB.1C.1或-1D.一1或0

【答案】B

【分析】根据纯虚数的定义求解.

【详解】因为z是纯虚数，所以°,解得加=1.

故选：B.

例2.（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知i是虚数单位，复数z满足z（3+i）=|（2+i）］,则复

数z的共轨复数虚部为（）

A.-B.士C.--D.--

2222

【答案】B

31

【分析】由复数的运算直接求解得到z==-：i,再由共物复数的概念求解即可.

22

【详解】由题知，z（3+i）=|（2+i）>5,z=^=（3^^.）=^）=|-^

・••复数Z的共轨复数为2=„.•.复数Z的共轨复数虚部为:，

222

故选：B.

举一反三

练习1.（2023•全国•合肥一中校联考模拟预测）设，“eR,贝也〃=2”是“二口+机（+口（3+4i）为纯虚数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】先利用复数运算对复数化简，再利用实部为零，虚部不为零解出加，最后确认是充要条件.

3+彳后_（3+叫（2+i）.6■-疗3+2疗.

【详解】依题意,2-i—（2-i）（2+i）-5+―5-1

34.3.417.

—+—1+—1------1—1

555555

,,3+m2i6-m-m23+2m2+7m.

故E

6-m-m2=0

若该式为纯虚数，则解得m=2.

3+2加2+7%40

故选：C.

练习2.（2022・高三单元测试）（多选）设z是复数，则下列命题中是真命题的是（）

A.若z2N0,贝也不一定是实数B.若z2<0,则z是虚数

C.若z是虚数，则z'NOD.若z是纯虚数，则z2<0

【答案】BD

【分析】因为Z是复数，可设Z=4+历，先表示出ZZ,再根据四个选项的条件逐项验证即可.

【详角军】设2=口+历（aeR,bcR）,贝I]z?=（a+bi）2=（片—/j+Zabi,

对于A,因为z2N0,所以必=0,因为Z2=4-6注0,可得6=0,即2=〃，所以z一定是实数，所以选项A错误;

对于B,因为z2<0,所以M=0,因为三=/一62<0,所以斫0且入°,即z=6i（bw0）,所以z是虚数，所以

选项B正确；

对于C,若z是虚数，贝”=0+历。20）,即z2=（a+6i）2=（a2—62）+2"i,若。力0,则z?为虚数，不能和0比

较大小，若a=0,则z2=-b2<0,均不满足z220,所以选项C错误;

对于D,若z是纯虚数，贝|a=0且g0,即z=0i（。20）,所以所以选项D正确.

故选：BD.

练习3.（2023春•陕西宝鸡•高三统考期中）当实数切取什么值时，复数（加+2m-8）+（病-2附i是下列数？

⑴实数；

⑵虚数；

⑶纯虚数.

【答案】（1）根=0或租=2

（2）片0且加中2

（3）m=-4

【分析】（I）令复数虚部等于0,即可求得答案；

（2）令复数的虚部不等于0,即可求得答案；

（3）根据纯虚数的概念，令实部等于0,虚部不为0,即可求得答案.

【详解】（1）由题意复数（川+2机一8）+（苏-2〃?）i,

当病一2根=0，即%=0或m=2时，所给复数是实数.

（2）当疗一2〃-0,即加中0且〃入2时，所给复数是虚数.

（3）当，彳+2'”即“2=-4时，所给复数是纯虚数.

\jn—2m^0

练习4.（江苏省无锡市等4地2023届高三三模数学试卷）已知i为虚数单位，复数z满足|z-2i|=|z|,贝」的虚部

为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】设2=。+历，6eR,根据复数模的计算公式得到方程，解得即可.

【详解】设2=。+历，a,b^R,则z-2i=a+（Z?-2）i,

因为|z-2i|=|z|,所以-2『='标+',则一2）2=.2+k，解得b=i,

所以复数z的虚部为1.

故选：C

练习5.（2023春•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考期中）（多选）已知非零复数4/2,则下列运算结果一定为实

数的是（）

A.4+Z]B.z2—z2C.z；+z；D.zxz2+ZjZ2

【答案】AD

【分析】由复数的乘法和加、减运算对选项一一化简，即可得出答案.

【详解】设复数4=a+Ai(a,Z;GR,Z?wO),Zj=a-bi,z2=c+di(c,dGR,dwO),z2=c-di,

对于A,4+4=〃+/?i+〃一历=2a,虚部为0,则Z+z1一定为实数，故A正确；

对于B,z2-z2=2di,虚部不为0,故Z2-Z2一定不为实数，故B不正确；

对于C,z；+z；=(。+历)2+(C+%)2="—廿+2abi+c2-d2+2cdi=a2-b2+c2-d2+(2ab+2cd}i,

若2"+2cdw0,则z：+z；不一定为实数，故C不正确；

对于D,Zjz2+ztz2=(<7+历)(£•_%)+(a+,

ac—cuh+bd+bd+ac+adi-bd+bd=2bd+2ac,故D正确.

故选：AD.

题型二复数的几何意义

例3.(2023•江苏南通・统考模拟预测)己知复数z=(l+i)-(m-2i)在复平面内对应的点落在第一象限，则实数〃?的

取值范围为()

A.m>2B.0<m<2

C.—2<m<2D.m<—2

【答案】A

【分析】化简z,根据z对应点所在象限列不等式，从而求得优的取值范围.

【详解】z=(l+i)-(m-2i)=m+2+(m-2)i,

对应点(〃7+2,〃7-2),

由于点(加+2,m-2)在第一象限，

fm+2>0

所以c八，解得%>2.

故选：A

例4.(2023春•全国•高三专题练习)已知。为实数，若复数z=/-3a-4+(a+l)i为纯虚数，则复数a-ai在复平面

内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】利用纯虚数的定义求出。，即可判断作答.

La2-3/7-4=0

【详解】因为复数Z-+(a+l)i为纯虚数，则小，0’解得"4,

所以复数4-4i在复平面内对应的点(4,T)位于第四象限.

故选：D

举一反三

练习6.(2023•河北唐山•开滦第二中学校考模拟预测)已知复数4与z=4-2i在复平面内对应的点关于实轴对称，

则三=()

1-1

A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l+3i

【答案】D

【分析】根据复数对应点的对称关系得Z=4+2i,应用复数除法化简目标式即得结果.

【详解】由z=4—2i对应点为(4,-2),则向对应点为(4,2),故Z]=4+2i,

所以2=2(2+1)=2(2+i)(l+i);世].

1-i1-i2

故选：D

练习7.(2023•北京•高三专题练习)在复平面内，。是原点，向量0Z对应的复数是-1+i，将OZ绕点。按逆时针

方向旋转£，则所得向量对应的复数为()

4

A.—^/2B.—yf2iC.—1D.—i

【答案】A

【分析】由复数的几何意义结合图象可得.

3

如图，由题意可知oz=(-M),oz与X轴夹角为1兀，

绕点O逆时针方向旋转:后Z到达X轴上4点，又卜|oz|=0,

所以Z1的坐标为(-板,0),所以对应的复数为一

故选：A.

练习8.(江苏省南通市2023届高三高考前练习数学试卷)若lz—3=i，复数z与I在复平面内对应的点分别为

Z+1

则圈=()

A.2B.2&C.3D.4

【答案】A

【分析】利用已知条件先求出z,根据复数的意义，分别写出A2坐标，再利用两点间的距离公式计算即可.

【详解】由二=inz-3=i(z+i),

z+i

2

所以Z=_7=l+i,

l-i

所以吃=l-i，

故z与I在复平面内对应的点分别为3(1,-1),

所以|=^(1-1)2+[1-(-1)]2=2,

故选：A.

练习9.(2023・湖北・统考模拟预测)若复数z所对应的点在第四象限，且满足d-2z+2=0,则z?=()

A.1+iB.l-iC.-2iD.2i

【答案】C

【分析】根据题意求出z,再根据复数Z所对应的点所在象限，即可求解.

【详解】因为复数z满足：z2-2z+2=o,即(Z-1)2=-1,

故z=l+i或z=l—i,

因为复数z所对应的点在第四象限，

故复数z=l—i,所以z2=-2i.

故选:C.

练习10.(2023春•云南・高三云南师大附中校考阶段练习)在复平面中，点。为坐标原点，记04,OC，表示

的复数分另U为2+i,-l+2i,l-2i,记z为8c所表示的复数，则z^=()

A.25B.8C.5D.2+3i

【答案】A

【分析】由复数的几何意义可得04=(2,1),OC=(-1,2),AB=(1,-2),求出z=-4+3i,再由共轨复数的定义和复数

的乘法运算化简即可得出答案.

【详解】因为OA，OC，钻表示的复数分别为2+i,-l+2i,l-2i

所以04=(2,1),OC=(-1,2),AB=(1,-2),

AC=OC-04=(-1,2)-(2,1)=(-3,1),

则BC=AC-A8=(-3,1)-(1,-2)=(-4,3),

那么z=T+3i,所以z-2=25.

故选：A.

题型三复数模的计算

例5.(2023春•内蒙古赤峰高三校考阶段练习)若复数z满足z=l+i,|Z2-4Z|=.

【答案】2底

【分析】化简Z2-4Z，然后用复数模的公式进行求解即可.

【详解】因为z=l+i,所以z2-4z=(l+i)2-4(l+i)=2i-4-4i=-4-2i,

所以|z2-4z|=V16+4=2A/5.

故答案为：26

例6.(2023春・福建厦门•高三厦门一中校考期中)i是虚数单位，已知3-2|=|。-2i|,写出一个满足条件的复数

(O..

【答案】①=l+i(答案不唯一，满足刃=a+ai(awR)均可)

【分析】运用复数的模的运算公式计算即可.

【详解】设刃=々+历，(a,beR),

贝U|0一2|=|(tz-2)+bi\=耳-2丫+及,|。-2i1=1。+S—2)i|=出+伯*，

因为|①一2|=|。一2i|,

所以J(a-2)2+〃=折+(6-2)2,解得：a=b,

所以①=a+ai,(«eR)

所以可以取。=l+i.

故答案为：o=l+i(答案不唯一，满足。=a+ai(aeR)均可).

举1-1反㈢

练习11.(2023•安徽合肥・合肥市第八中学校考模拟预测)已知复数z=2+i,Z2=l-ai(aeR),且彳马为纯虚数,

则丸=()

Z2

A.6B.6C.1D.瓜

【答案】C

【分析】根据复数的乘法运算法则化简Z「7,由纯虚数的概念求出。，由复数的除法运算以及复数的模长公式可得

结果.

【详解】复数Zi=2+i,Z2=~i,则】•马=(2+。。+*=(2—a)+(2a+l)i,

fa-2=0

依题意得，c,八，解得4=2,即z=l-2i,

[2〃+1wO

-4---_----2--+--i------(-2--+--i-)-(-l--+--2--i-)-_5_i—।.

z2l-2i(l-2i)(l+2i)一5一’

所以五二L

Z2

故选：c.

练习12.(2023•上海普陀・曹杨二中校考三模)已知i为虚数单位，复数z=i(l+3i),则同=.

【答案】M

【分析】根据复数的乘法运算求得z=-3+i,可得已根据复数模的计算即得答案.

【详解】由z=i(l+3i)可得z=-3+i,

故2=-3-i,.'.|z|=J(_3『+F=VlO,

故答案为：M

练习13.(2023.全国•高三专题练习)已知复数z满足|z+2i|=|z|,写出一个满足条件的复数z=.

【答案】1-i(答案不唯一，虚部为-1即可)

【分析】设复数z,代入复数的模的公式求解即可.

【详解】设2=。+为，(Q,Z?eR),

贝生+21|=卜+历+21|=1+9+2川=击2+e+2)2,

|z|=|i?+Z?i|=y]a2+b2,

：|z+2i|=|z|,J/+("2)2=,

Acr+(b+2^=cr+b2,化简得4b+4=0,解得6=-l.

满足条件的一个复数z=l-i(答案不唯一，虚部为-1即可).

故答案为：l-i(答案不唯一，虚部为-1即可).

练习14.(2023•全国•模拟预测)已知复数z=(a+2i)-(l+i),|W=&U,贝I]°=()

A.1B.0C.2D.±1

【答案】D

【分析】根据复数的乘法运算和复数模的计算即可

【详解】z=(a+2i).(l+i),

化简得z=〃-2+(〃+2)i,

则IZ1=,3-2)2+0+2)2=瓜

解得a=±1,

故选：D.

练习15.(2023•安徽蚌埠•统考三模)已知aeR,i为虚数单位，若复数z=i(a-i),同=2,贝匹=.

【答案】±73

【分析】根据题意，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式列式求得。.

【详解】因为z=i(a-i)=l+ai

由|z|=2,得Ja?+1=2,得°=士耳.

故答案为：土币.

题型四复数模的几何意义

例7.(2023.湖北黄冈.黄冈中学校考二模)已知复数z满足目=1,则|z+3-4i|国为虚数单位)的最大值为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】设2=856>+15：111凡根据复数模的计算公式和三角恒等变换的知识可得到|z+3-4i|=j26+10cos(6+e),

由此确定最大值.

【详解】由目=1可设：z=cos9+isin。，

z+3-4i=(cose+3)+(sin9-4)i,

/.|z+3-4i|=^(cos+3)2+(sin0-4)2=^cos2^+sin2^+(6cos^-8sin^)+25=j26+10cos(6+e)(其中

3.4、

cos(p=—,sva(p=—),

34

・••当cos(6+o)=1时，即2=《_二1时，

|z+3-4i|=726+10=6.

IImax

故选：c.

例8.（2023.山东烟台•统考二模）若复数z满足|z+31Tz-3|=4,则|z+l|的最小值为（）.

A.3B.73C.2D.应

【答案】A

【分析】根据|z+3|-|z-3|=4和|z+l|的几何意义，结合双曲线的图象即可得到|z+l|的最小值.

【详解】设复数z在复平面上对应的点的坐标为Z（x,y）,贝”z+31Tz-3|=4表示点（x,y）到（-3,0）的距离与到（3,0）

的距离的差为4,

22

所以点Z的轨迹为双曲线土-匕=1的右支，图象如下所示：

45

|z+l|表示点Z到（-1,0）的距离，所以|z+l|的最小值为3.

故选：A.

举I一凤三

练习16.（2023春.湖北襄阳.高三宜城市第一中学校联考期中）已知复数z满足24目42血，则在复平面中z对应

的点所构成的图形的面积为.

【答案】4兀

【分析】根据复数模的几何意义结合圆的面积计算，即可求得答案.

【详解】根据题意可知复数z满足24|z|V2夜，

则由复数模的几何意义知z对应的点所构成的图形为半径为2和2四的两个同心圆所围成的圆环，

则其面积为兀[（20）2-22]=4兀，

故答案为：4兀

练习17.（2023春•四川成都•高二统考期中）已知忖=1,则|z-2-2i|（i为虚数单位）的最大值为（）

A.20-1B.72-1

C.242+1D.72+1

【答案】C

【分析】设2=.》+何得到炉+丁=1,i|z-2-2i|=7(x-2)2+(y-2)2,得到|z-2-2i|表示单位圆上的点到点P(2,2)

的距离，结合圆的性质，即可求解.

【详解】设z=x+yi,其中元,yeR,由|z|=l,可得尤2+/=],

根据复数z的几何意义可得复数z表示原点。为圆心，半径为r=1的单位圆，

贝I」|z—2-2i|=|(x-2)+(y-2)i|=7(^-2)2+(y-2)2,

可得|z-2-2i|表示单位圆上的点到点?(2,2)的距离，

因为|尸。卜20,所以|z-2-2i|的最大值为|PQ|+r=20+l.

故选：C.

练习18.(2023・河南・洛阳市第三中学校联考模拟预测)已知复数2满足2+:1|=卜-4,2在复平面内对应的点为(％了),

则()

A.x+y=OB.x-y=0C.尤=0D.y=0

【答案】D

【分析】转化为动点Z(尤,y)到两定点A(0,-1),3(0,1)距离相等的几何意义即可得到答案.

【详解】设复数z,-i,i在复平面内对应的点分别为Z(x,y),A(0,T),B(0,D,

则|z+i|=|z-i|的几何意义是Z到A的距离和Z到B的距离相等，

则z在复平面内对应的点(羽y)满足y=0.

故选：D.

练习19.(2023春•福建莆田•高三莆田第二十五中学校考期中)在复平面内，已知复数z满足|z-l|=|z+i|(i为虚

数单位)，记z°=2+i对应的点为点Z。，z对应的点为点Z,则点Z。与点Z之间距离的最小值_________________

【答案】—

2

【分析】根据已知条件，集合复数模公式，求出点Z的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】^z=x+yi(x,yeR),

|z-l|=|z+i|,

.」尤一1+yi|=|x+(y+l)i|,即"(x—lp+y2=J尤2+"+])2,

化简整理可得x+y=。，

复数z的对应点z的轨迹无+y=。，

•.♦Zo=2+i对应的点为点4(2,1),

12+113A/2

点。与点之间距离的最小值为

ZZ~2~

故答案为：述

2

练习20.(20