2023-2024学年广东省九年级数学第一学期期末考试试题

2023-2024学年广东省九年级数学第一学期期末考试试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列选项中，y是x的反比例函数的是（）

34Y“

A.y=-B.y=-C.y=-2x-1D.y=一

%5%

2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,4）,Z^OAB沿x轴向右平移后得到A的对应点A，是

3.如图，已知直线a〃）〃c,直线机、〃与a、b、c分别交于点A、C、£、B、D、F,若AC=8,CE=129BD=6,

则BF的值是（）

4.如图，在。。中，A5为直径，CD为弦，ZCAB=50°,则NADC=（）

C.40°D.50°

5.已知点A（m2-5,2机+3）在第三象限角平分线上，则m=（

A.4B.-2C.4或-2D.-1

6.以原点为中心，把点44,5）逆时针旋转90，得点B,则点3坐标是（）

A.(T,5)B.(-5,4)C.(—5,—4)D.(5,-4)

A.某一事件发生的可能性非常大就是必然事件

B.2020年1月27日杭州会下雪是随机事件

C.概率很小的事情不可能发生

D.投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次

9.如图，过。。上一点C作。。的切线，交。。直径A5的延长线于点O.若NZ>=40°,则N4的度数为（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

10.设4（—2,%）,5（1,%），。（2,%）是抛物线丁=—（犬+1）2+上上的三点，则%，为，内的大小关系为（）

A.%>%〉％B.%>%>%C.%>%>%D.%〉%〉内

二、填空题（每小题3分，共24分）

4

11.如图，点A是反比例函数y=—（x>0）图象上一点，直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B,C,过

x

点A作AD_Lx轴，垂足为D,连接DC,若△BOC的面积是4,则△»（）（：的面积是.

12.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB，CD'位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB，交CD于点E,

若AB=3cm,则线段EB'的长为.

13.在AABC中，卜anA—也『+，-cosB=0,则NC的度数为.

14.在AA5C中，已知A5=AC=4cm,BC=6cm,P是BC的中点，以点P为圆心，3cm为半径画。P,则点A

与OP的位置关系是.

15.如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD是矩形.

16.已知：等边△ABC,点P是直线BC上一点，且PC:BC=1:4,则tanNAPB=,

17.如图，在口ABCD中，AB为。O的直径，。。与DC相切于点E,与AD相交于点F,已知AB=12,NC=60。,

则斯的长为.

18.如图是拦水坝的横断面，斜坡A3的高度为6米，斜面的坡比为1:2,则斜坡A3的长为米.（保留根号）

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图所示，是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱8C的高为10米，灯柱与灯杆的夹角为120。.

路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域OE的长为13.3米，从。，E两处测得路灯4的仰角分别为戊和45。，且

tane=6.求灯杆AB的长度.

A

20.（6分）总书记指出，到2020年全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标.为贯彻的指示，实现精准脱贫，

某区相关部门指导对口帮扶地区的村民，加工包装当地特色农产品进行销售，以增加村民收入.已知该特色农产品每

件成本io元，日销售量y（袋）与每袋的售价x（元）之间关系如下表：

每袋的售价X（元）・・・2030・・・

日销售量y（袋）•・・2010・・・

如果日销售量y（袋）是每袋的售价x（元）的一次函数，请回答下列问题:

（1）求日销售量y（袋）与每袋的售价x（元）之间的函数表达式；

（2）求日销售利润P（元）与每袋的售价x（元）之间的函数表达式；

（3）当每袋特色农产品以多少元出售时，才能使每日所获得的利润最大？最大利润是多少元？

（提示：每袋的利润=每袋的售价-每袋的成本）

21.（6分）如图，在△ABC中，AB=AC,。。是AABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，ZDAE

=105°.

（1）求NCAD的度数；

（2）若。O的半径为4,求弧BC的长.

22.（8分）在一个不透明的盒子中，共有三颗白色和一颗黑色围棋棋子，它们除了颜色之外没有其他区别.随机地从

盒子中取出一颗棋子后，不放回再取出第二颗棋子，请用画树状图或列表的方法表示所有结果，并求出恰好取出“一

白一黑”两颗棋子的概率.

23.（8分）投资1万元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造.墙长24机，平行于墙

的边的费用为200元/处垂直于墙的边的费用为150元/孙设平行于墙的边长为x机

（1）设垂直于墙的一边长为ym,直接写出y与x之间的函数关系式;

（2）若菜园面积为384"於，求x的值；

（3）求菜园的最大面积.

菜园

24.（8分）如图,在等腰三角形ABC中，AB=AC,AH■，JBC于点H,点E是AH上一点,延长AH至点F,使EH=石H.

求证：四边形EBFC是菱形.

25.（10分）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1,2,3,4,另有一个可以自由旋转的圆

盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1,2,3（如图所示）.小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参

加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之

和小于4,那么小颖去；否则小亮去.

⑴用树状图法或列表法求出小颖参加比赛的概率；

⑵你认为游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平.

26.（10分）我们不妨约定：如图①，若点D在AABC的边AB上，且满足NACD=NB（或NBCD=NA）,则称满足

这样条件的点为AABC边AB上的“理想点”.

（1）如图①，若点D是AABC的边AB的中点，AC=2④,AB=4.试判断点D是不是AABC边AB上的“理想点”,

并说明理由.

(2)如图②，在。O中，AB为直径，且AB=5,AC=4.若点D是AABC边AB上的“理想点”，求CD的长.

(3)如图③，已知平面直角坐标系中，点A(0,2),B(0,-3),C为x轴正半轴上一点，且满足NACB=45。，在y轴上是否

存在一点D,使点A是B,C,D三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理

由.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、C

【解析】根据反比例函数的定义“一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成丁=勺,其中左为常数，

左WO,X/O,我们就叫y是X的反比例函数”判定即可.

【详解】A、X的指数是-2,不符定义

B、x的指数是1,y与x是成正比例的，不符定义

2

C、y=—2x-可改写成丁=——，符合定义

D、y=X当左=。是，函数为y=0,是常数函数，不符定义

x

故选：C.

本题考查了反比例函数的定义，熟记定义是解题关键.

2、C

【分析】根据平移的性质知BB，=AA1由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A，的坐标，所以根据两点间的距

离公式可以求得线段AA，的长度，即BB，的长度.

【详解】解：如图，连接AA\BBS

•.,点A的坐标为(0,4),AOAB沿x轴向右平移后得到

.,.点A，的纵坐标是4,

X

4

又•.•点A的对应点在直线y=—x上一点，

4

•*.4=jx,解得x=L

...点A，的坐标是（1,4）,

.*.AAr=l,

,根据平移的性质知BB三AA，=1.

故选：C.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化--平移.根据平移的性质得到BB，=AA，是解题的关键.

3、B

【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论.

【详解】解:；a〃b〃c,AC=8,CE=12,BD=6,

.ACBD

・・瓦一才

86

即nn-----=----，

8+12BF

解得：BF=15,

故选:B.

本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键.

4、C

【分析】先推出NABC=40。，根据同弧所对的圆周角相等，可得NABC=NADC=40。，即可得出答案.

【详解】解：；AB为直径，

；.NACB=90°,

'：ZCAB=50°,

ZABC=40°,

,:AC=AC

.\ZABC=ZADC=40°,

故选：C.

本题考查了直径所对的圆周角是90°,同弧所对的圆周角相等，推出NABC=90。是解题关键.

5、B

［分析］根据第三象限角平分线上的点的特征是横纵坐标相等进行解答.

【详解】因为m2—5=2〃?+3,解得：咐=4,冽2=-2,当e=4时，2加+3＞0,不符合题意，应舍去.

故选：B.

第三象限点的坐标特征是负负，第三象限角平分线上的点的特征是横纵坐标相等，掌握其特征是解本题的关键.

6、B

【分析】画出图形，利用图象法即可解决问题.

【详解】观察图象可知B(-5,4),

故选B.

本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题

7、B

【分析】根据。人＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从。＞0,〃＜0和"0两方面分类讨论得出

答案.

【详解】...分两种情况：

(1)当a〉0,》＜0时，正比例函数y=④数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无

此选项；

(2)当少0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合.

故选:B.

本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，解题的关键是掌握它们的性质.

8、B

【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于2并且小于1.

【详解】解：A.某一事件发生的可能性非常大也是是随机事件，故不正确；

B.2222年1月27日杭州会下雪是随机事件，正确；

C.概率很小的事情可能发生，故不正确；

D、投掷一枚质地均匀的硬币1222次，正面朝上的次数大约是522次，故不正确；

故选:B.

本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：2WpSl,其中必然发

生的事件的概率P(A)=1；不可能发生事件的概率P(A)=2；随机事件，发生的概率大于2并且小于1.事件发生

的可能性越大，概率越接近与1,事件发生的可能性越小，概率越接近于2.

9、B

【分析】直接利用切线的性质得出NOCD=90。，进而得出NDOC=50。，进而得出答案.

【详解】解：连接OC,

•；DC是。O的切线，C为切点，

.,.ZOCD=90°,

；ND=40°,

.,.ZDOC=50°,

.*.ZA=ZACO,

故选：B.

此题主要考查了切线的性质，正确得出/DOC=50。是解题关键.

10、A

【分析】根据二次函数的性质得到抛物线产一(x+1)2+k(★为常数)的开口向下，对称轴为直线x=-l,然后根据三

个点离对称轴的远近判断函数值的大小.

【详解】解：•••抛物线产一(x+1)2+k(A为常数)的开口向下，对称轴为直线x=-l,而A(2,ji)离直线x=-l

的距离最远，C(-2,j3)点离直线x=l最近，...%＞上〉％•

故选A.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了二次函数的性质.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、173-1.

【分析】先用三角形BOC的面积得出k=一①，再判断出ABOCsaBDA,得出a%+ab=4②，联立①②求出ab,即

8

可得出结论.

4

【详解】设A(a,-)(a>0),

a

4

/.AD=一，OD=a,

a

•.•直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B,C,

AC(0,b),B(-0),

k

VABOC的面积是4,

SABOC=-OBxOC=—x—xb=4>

22k

，bi=8k,

k40

/.AD_Lx轴，

AOC/7AD,

AABOC^ABDA,

.OB_PC

・・茄一茄‘

b

.一J

,•b~

ClH--------

ka

:.a】k+ab=4②，

联立①②得，ab=-4-4有（舍）或ab=4逝-4,

11r-

：.SADOC=-OD«OC=-ab=l73-1.

22

故答案为1石-1.

此题主要考查了坐标轴上点的特点，反比例函数上点的特点，相似三角形的判定和性质，得出aIk+ab=4是解本题的关

键.

12、1cm

【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，ZACD=30°,再由旋

转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到NDAE为30。，进而求出AD,DE,AE的长，则EB'的长可求出.

【详解】解：由旋转的性质可知：AC=AC,

•・・D为AC的中点，

1

AAD=-AC,

2

VABCD是矩形，

AAD1CD,

AZACD=30°,

VAB/7CD,

・・・NCAB=30°,

.•.ZCAB=ZCAB=30°,

.\ZEAC=30°,

AZDAE=30°,

,:AB=CD=3cm,

3=A/3cm,

:.DE=lcm,

AE=2cm,

VAB=AB=3cm,

EB*=3-2=1cm.

故答案为：lcm.

此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键.

13、90°

【分析】先根据平方、绝对值的非负性求得tanA、cosB,再利用锐角三角函数确定NA、附的度数，最后根据直

角三角形内角和求得NC=90。.

【详解】解：..{tanA—6『+字—853=0

tanA-6=0

・,—-cosB=0

I2

tanA=A/3

*R6

cosB=——

[2

.fZA=60°

"[ZB=30°

.,.ZC=90°.

故答案是：90°

本题考查了平方、绝对值的非负性，锐角三角函数以及三角形内角和，熟悉各知识点是解题的关键.

14、点A在圆P内

【分析】求出AP的长，然后根据点与圆的位置关系判断即可.

【详解】；AB=AC,P是BC的中点，

.'.AP1BC,BP=3cm,

•*-AP=次_*=币cm,

,:不<3,

.•.点A在圆尸内.

故答案为：点A在圆尸内.

本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有：

当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当时，点在圆内.

15、AC=BD或NABC=90°

【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题；

【详解】若使平行四边形ABCD变为矩形，可添加的条件是：

AC=BD（对角线相等的平行四边形是矩形）；NABC=90。（有一个角是直角的平行四边形是矩形）等，任意写出一个

正确答案即可，如：AC=BD或/ABC=90。.

故答案为：AC=BD或NABC=90。

本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键.

16、宜i或2后.

3

【分析】过A作ADLBC于D,设等边△ABC的边长为4a,则DC=2a,AD=2，^a,PC=a,分类讨论：当P在BC

的延长线上时，DP=DC+CP=2a+a=3a；当P点在线段BC上，即在P，的位置，贝！JDP，=DC-CP，=a,然后分别利用正切

的定义求解即可.

【详解】解：如图，过A作ADLBC于D,

设等边AABC的边长为4a,则DC=2a,AD=26a,PC=a,

当P在BC的延长线上时，DP=DC+CP=2a+a=3a,

在RtAADP中，tan/APD=-=冬包=宾E

DP3a3

当P点在线段BC上，即在P，的位置，则DP，=DC-CP，=a,

在RtAADP，中，tanZAPfD=.

DP'a

故答案为：半或24.

本题考查解直角三角形；等边三角形的性质.

17、71.

【详解】解：如图连接OE、OF.VCD是。O的切线，・・・OE，CD,・・・NOED=90。，•・,四边形ABCD是平行四边形,

ZC=60°,AZA=ZC=60°,ZD=120°,VOA=OF,AZA=ZOFA=60°,ZDFO=120°,/.ZEOF=3600-ZD-ZDFO

307rx6

-NDEO=30。，EF的长==〃.故答案为k.

180

考点：切线的性质；平行四边形的性质；弧长的计算.

18、675

【分析】由题意可知斜面坡度为1：2,BC=6m,由此求得AC=12m,再由勾股定理求得AB的长即可.

【详解】由题意可知：斜面坡度为1：2,BC=6m,

/.AC=12m,

由勾股定理可得，AB=JAC2+5C2="于+G=6非m-

故答案为66m.

本题考查了解直角三角形的应用，根据坡度构造直角三角形是解决问题的关键.

三、解答题（共66分）

19、2.8米

【分析】过点4作交CE于点F,过点3作5GJ_AE,交AF于点G,则FG=5C=10米.设=

根据正切函数关系得。尸=----------=_^=±,可进一步求解.

tanZADFtana6

【详解】解：由题意得=4=45°.

过点A作AELCE,交CE于点、F,

过点6作6GLAE,交AE于点G,则FG=3C=10米•设”=%."=45。，.•.所=4/=》.在皮乙4。/中，

AJ7

tanZADF=—,

DF

DF=———=—=-.

tanZADFtana6

Y

DE=13.3,，x+—=13.3.r.x=n.4.

6

:.AG=AF-GF=114-10=1.4（米）.

ZABC=12Q°,

ZABG=ZABC-ZCBG=120°-90°

=30°..-.AB=2AG=2.8（米）.

答：灯杆AB的长度为2.8米.

A

/i\

/1考核知识点：解直角三角形应用.构造直角三角形，利用直角三角形性质求解是关键.

CDFE

20、(1)y=—x+40；(2)P=-x2+50%-400;(3)当每袋特色农产品以25元出售时，才能使每日所获得的利润最

大，最大利润是225元.

【分析】(1)用待定系数法即可求出一次函数的解析式；

(2)根据日销售利润=每袋的利润X销售量即可得出日销售利润P(元)与每袋的售价x(元)之间的函数表达式；

(3)根据二次函数的性质求最大值即可.

【详解】解：(1)设一次函数的表达式为：y=kx+b,

将(20,20),(30,10)代入y=*+b中得

[2Qk+b=2Q,[k=-1,

\解得\

[30k+b=10.[b=40.

二售量v(袋)与售价x(元)之间的函数表达式为y=-x+40.

(2)P=(x-10)(-x+40)

=—%2+50x—400•

(3)P=-%2+50x-400=~(X-25)2+225(10<X<40)

...当x=25时，偌=225

当每袋特色农产品以25元出售时，才能使每日所获得的利润最大，最大利润是225元.

本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键.

16万

21、(1)ZCAD=35°；(2)——.

9

【分析】(1)由AB=AC,得到A3=AC，求得NABC=NACB,推出NCAD=NACD,得到NACB=2NACD,于是得

到结论；

⑵根据平角的定义得到NBAC=40。，连接OB,OC,根据圆周角定理得到NBOC=80。，根据弧长公式即可得到结论.

【详解】⑴；AB=AC,

•*-AB=AC>

；.NABC=NACB,

为AC的中点，

•*-AD=CD>

，NCAD=NACD,

•*-AB=2AD，

.•.ZACB=2ZACD,

XVZDAE=105°,

AZBCD=105°,

1

.•.ZACD=-xlO5°=35°,

3

JZCAD=35°；

（2）VZDAE=105°,ZCAD=35°,

AZBAC=180°-ZDAEZCAD=40o,

连接OB,OC,

AZBOC=80°,

・r”—一A"I，r80^x416%

.•.弧BC的长二一=-------

180180

本题考查了三角形的外接圆和外心，圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并

且平分弦所对的两条弧.

22、P=-

2

【分析】根据树状图列举所有等可能的结果与“一白一黑”的情况，再利用概率公式即可求解.

【详解】解：树状图如下,

由树状图可知，共有12种结果，且每种结果出现的可能性是相同的，其中“一白一黑”有6种，所以恰好取出“一白一

黑''两颗棋子的概率为P=g.

2

本题考查用列表法或树状图求两步事件概率问题，区分“放回”事件和“不放回”事件是解答此题的关键.

23、（1）见详解；（2）x=18；（3）416m2.

【解析】（D根据“垂直于墙的长度「总费用一嘘我的总费用+2可得函数解析式;

（2）根据矩形的面积公式列方程求解可得;

（3）根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得.

10000—200x2100

【详解】（1）根据题意知，y=

2x1503亍

⑵根据题意，得（一|^+与送=384,

解得x=18或x=32.

•墙的长度为24m,.,.x=18.

日n.2,1002,,1002,,1250

（3）设菜园的面积是S,则S=（一§x+亍）X=-§X2+F-X=-1（x-25）2+^—.

2

•..一一VO,...当xV25时,S随x的增大而增大.

3

Vx<24,

.,.当x=24时，S取得最大值，最大值为416.

答：菜园的最大面积为416m乙

本题主要考查二次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题.

24、见解析.

【分析】根据等腰三角形的三线合一可得BH=HC,结合已知条件=从而得出四边形EBFC是平行四边形,

再根据，C5得出四边形EBFC是菱形.

【详解】证明：AB=AC,AH±CB,

BH=HC

FH=EH,

二四边形EBFC是平行四边形

又AHLCB,

二四边形EBFC是菱形.

本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键.

25、（1）P（小颖去）=!；（2）不公平，见解析.

4

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两指针所指数字之和和小于4的情况，则

可求得小颖参加比赛的概率；

（2）根据小颖获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平；使游戏公平，只要概率相等即可.

【详解】（1）画树状图得：

Xts

1??I23123123

•••共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况,

/.P（和小于4）

124

小颖参加比赛的概率为：&

4

（2）不公平,

VP（小颖）=X

4

P（小亮）=—.

4

--.P（和小于4）拜（和大于等于4）,

二游戏不公平；

可改为：若两个数字之和小于5,则小颖去参赛；否则，小亮