《高等数学》专升本考试内容复习

(以2010年重庆市《高等数学》专升本考试大纲中内容、顺序进行复习)

第一章一元函数微分学

1.理解函数概念，知道函数的表示法；理解函数的两要素，会求函数的定义域.

①定义：设x和y是两个变量，DqR,假设X/xeO,变量y按一定的规那么有一个确定的值与

之对应，那么称y是x的函数，记为y=/(x).

②表示法：1)显式表示＞=/*)：2)隐式表示尸(x,y)=0：3)分段函数表示；4)参数方程表

示；5)表格表示法或图形表示法.

③两要素：对应规那么和定义域，只有这两者都相同才是同一函数.

④定义域：x的允许取值范围即自然定义域.

⑤特殊函数：1)绝对值函数丁=凶=＞/7；2)符号函数丁=$811%；3)取整函数y=[x].

2.了解函数的奇偶性'单调性、周期性、有界性等定义.

①奇偶性：设函数y=f(x)的定义域D是关于原点对称的，假设Vxe。，都有/(—幻=一/*)

(/(-%)=/(%)),那么称函数/(x)为奇函数(偶函数).

偶函数的图形是关于y轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的.

②单调性：设函数y=/(x)在区间I上有定义(I是函数的定义域或者是定义域的一局部).如果

对于任意的e/,当％＜当时，都有/"(石)/(£)]，那么称函数y=/(x)在区间I

上单调增加(单调减少).

③周期性：对于函数/(x),如果存在一个非零正常数T,对定义域内的一切x均有

/(x+T)=/(x),那么称函数/(x)为周期函数.并把T称为/(x)的周期.应当指出的是，通常讲的

周期函数的周期是指最小的正周期.

④有界性：假设有正数M存在，使函数/(幻在区间/上恒有例，那么称/(幻在区间/上

是有界函数；否那么，称/(x)在区间/上是无界函数.

3.了解复合函数与反函数的定义.

①复合函数:假设y=/(»)”=e(x),当e(x)的值域落在了(〃)的定义域内时称函数y=/["(x)]

是由中间变量u复合而成的复合函数.

②反函数：设函数的定义域为值域为匕..对于任意的yeM/,在。/上至少可以确定一个x

与y对应，且满足y=/(x).如果把y看作自变量，x看作因变量，就可以得到一个新的函数：

X=/-'(>)•我们称这个新的函数X=/T(y)为函数y=/(x)的反函数,而把函数^=/(X)称为直接

函数.直接函数丁=/(x)与反函数^="。)的图形是关于直线y=x对称的.

4.知道根本初等函数的性质与图象.

①募函数y=x"(aeR)

它的定义域和值域依。的取值不同而不同，但是无论。取何值，幕函数在xe(O,四)内总有定义.当

。€7或4=---，〃wN时，定义域为H.

2n-\

②指数函数y=a'(a>0,a/1)

它的定义域为(-8,+8),值域为(0,+8).指数函数的图形如图1-2所示.

③对数函数y=log“x(a>0,awl).对数函数y=logax是指数函数y=a，的反函数.其图

形见图1-3.定义域为(0,+8),值域为(一8,+8).

在工程中，常以无理数e=2.718281828…作为指数函数和对数函数的底，并且记

e*=expx,logex=Inx,而后者称为自然对数函数.

④三角函数：

sinx、余弦函

cosx、正切函

图1-2

y=tanx、余切函

y=cotx、正割函数y=secx和余割函数y=cscx.

⑤反三角函数：反三角函数主要包括反正弦函数),=arcsinx、反余弦函数y=arccosx、反正切

函数y=arctanx和反余切函数y=awcotx等.

幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这六类函数叫做根本初等函数.这些

函数在中学的数学课程里已经学过.

通常把由根本初等函数经过有限次的四那么运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表

达的函数，称为初等函数.

例如，y=ln(sin无+4>y=e"sin(3x+1)y=Vsinx,…都是初等函数.初等函数虽然是常见

的重要函数，但是在工程技术中，非初等函数也会经常遇到.例如符号函数〉=5即》,取整函数丁=卜］

等分段函数就是非初等函数.

在微积分运算中，常把一个初等函数分解为根本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分

重要的.

例1-1把以下复合函数分解为根本初等函数：

1)y=Jcot'=y=VM,U=cotv,v=^.

2)y-2sin2<v+b1v)=>y-2",u-v2,v=sinw,w-x+lnx.

3)y=3s,nj=>y-3",u=sin-x2.

4)y=cos|x|=>y=cosu,u=Vv,v=x2.

5)y-arcsiny-arcsinu,u=ev,v=3\[x.

5.了解各类极限概念，熟练掌握求各类极限的方法.

①定义1limf(x)=A<^>\/s>0,3<^>0,当0<|x-x()|<3时，有忱⑴一A|<£.

左极限:1加/(力=4=7£>0月5>0,当/一6<%</时，有

XT%

右极限:liq/(x)=A=V£>0H3>0,当Xo<x</+S时，有|/(x)—川<£.

xf%

当x->Xo时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等.

②定义21吧/(x)=AoV£>O0X>O^W>XBt,有\f(x)-^<£.

③函数极限的性质

1)唯一性：如果limf(x)=A存在，那么这极限唯一.

2)局部有界性：如果Hm/(x)=A存在，那么存在常数M>0和b>0,使得当0<,一天|<5时,

W|/(x)|<M.

3)局部保号性：如果lim/(x)=A,而且A>0(或A<0),那么就存在着点与的某一去心邻

工一>々)

域，当x在该邻域内时，就有/(x)>o(或y(x)<o).

4)函数极限与数列极限的关系：如果lim/(x)存在，｛%｝为函数/(x)的定义域内任一收敛于4

x->x0

的数列，且满足：X产尤0(〃eN+),那么相应的函数值数列｛/(x“)｝必收敛，且=limf(x).

④极限运算法那么和准那么

1)四那么运算法那么：如果lim/(x)=A,limg(x)=B,那么lim[/(x)±g(x)]、lim/(x)g(x),

存在且lim[/(x)±g(x)]=lim/(x)±limg(x)=A±8

g(x)

limf(x)g(x)=lim/(%)•limg(x)=AB；

lim7(f)=S)=^(fi'0b

2)夹逼准那么：如果数列｛x,J、｛%｝及｛z“｝满足以下条件：(1)y„<x„<z„(〃=1,2,3...),⑵

limyn=a,limz“=a,那么数列｛x“｝的极限存在，且lim=a.

n—>00H—>30M—>00

3)单调有界准那么：单调有界数列必有极限.

⑤无穷小及阶的比拟：

1)定义：当在给定的xf*下，/(x)以零为极限，那么称/(尤)是xf*下的无穷小量；

2)无穷小量的性质

性质1两个无穷小量之和仍为无穷小量.

性质2有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量.(注：常用此性质求极限)

性质3两个无穷小量之积仍为无穷小量.

性质4假设/(X)为无穷大量，那么其倒数」一为无穷小量；假设/(均为无穷小量，且

f(x)

/(X)HO,那么其倒数」一为无穷大量.

/(x)

性质5lim/(x)=Aof(x)=A+a,其中。为当x->/时的无穷小量.

3)无穷小量阶的比拟：设变量a、4都是自变量光在同一变化过程中的两个无穷小量，

如果lim,=0,就说/是比a高阶的无穷小，记作力=o(a)；

如果lim2=8,就说/是比a低阶的无穷小；

a

如果lim2=cw(),就说夕是和a同阶无穷小；

a

如果1皿4=。声0,左>0,就说夕是关于a的左阶无穷小；

ak

如果lim2=l,就说夕与a是等价无穷小，记作

a

x9

(几个常用等价关系式：X-0时①sinxsx；②tanxsx;③1—COSXs—;④arcsinxsx;⑤arctanx

2

sx；⑥e*-Isx；⑦in(l+x)sx；⑧(1+无尸一1sax.一定要记住这几个无穷小等价关系式)

例1-2(1)x-0时，与x等价的无穷小量是(C).(A)xsin-(B)sinx2(C)71+x-71-%(£))ln(l+3x)

x

(2)a=1—cosx,#=2，,贝卜一»00寸⑻.

(A)asB(B)a与B为同阶无穷小(C)夕=o(a)(D)a=o"?)

(3)以下无穷小中，在x-0时是同阶无穷小的是(B).

(4)在x-0时，以下函数与x相比是高阶无穷小的是(D).

(5)在x-0时，/(幻=1"'飞11户力与8(幻=/+/比拟是⑻的无穷小.

(A)等价(B)同阶非等价(C)高阶(D)低阶

(6)当x~*0时，/(x)=x-sin。％与g(x)=x?In(l-Zzr)是等价无穷小，那么。=1,〃=一,.

6

⑥求极限的方法(※为重点考试方法)

1〕代入法〔用极限法那么或连续函数的定义〕：

例1-3®lim(2x-1)=2x3-1=5.

x13

?24.1--

2v-2V-__/十2

2〕化无穷大为无穷小法：②lim―z-----------------=lim---~与■=1•

xfco2厂一x+4XT0014

——9/\

3〕消去零因子法：③lim——-=lim(x+3)=6.

xf3x—3工-*3

4〕分子〔或分母〕有理化法：

④lim+1-xJ=lim——:----=0.

⑤.&+5-3=+5-3抽2+5+电？+1+⑸

tV2x+1-V5t()2x+1—总以；1+/吊犬2+5+：)

..(X2-4)(V2X+1+A/5)(X+2)“2X+1+826

=lim---------]---------=lim------『----------=----

2

X—2(2X-4)(VX+5+3)222(Jf+5+3)3

cinxj

派5〕用无穷小性质求：⑥lim^—-=lim—sinx=0(无穷小量乘有界量为无穷小).

X—>00XX—»ao%

xarctan(x+1)X

⑦lim-lim—三------arctan(x+1)=0.

X—>83尤2+X+1183厂+%+1

派6〕用重要极限：⑧limj生=1加一孕

(详细内容见下面第6点)

X->°°V2X-3)is]3

nn

7〕用极限准那么：⑨lim=1,：<xn<-^=.

“TOOyjn2+nV»2+1

8〕变量代换法：⑩lim'i_g(令，=M^)=lim^―*=lim—匕工~=2.

1—Jx71—广f1+Z+厂3

7T\7171\71U7T2

(ll)lim(l-x)tan—x(令1一1=〃)=lim〃tan----u=limwcot—w=lim------cos—M=—.

XTI2«->oI22/°2”T°.乃27c

\7sin—M

2

※乡〕等价无穷小代换法：(12)limln(1+2x)=lim—^-；

iosin3x203x3

.•.2,x'—

/c、「2sinx-sin2x「2sinx(l-cosx)一o,

(13)lim----------=lim------------=lim—=1.

x->o£.10£x->o£

代换原那么：乘除可换，加减忌换.

派10〕洛必达法那么：详细内容见后面15页.

6.掌握应用两个重要极限求极限的方法.

g,.sinx,11

①hm----=1lim=］或lims,♦=］；两个〃(x)(或A)应该是一模一样的无穷小量.

.10X〃(*)»ATOA

加1-l-cos2x..2sin2x2(sinx3xy2

例1-41)hm-------=hm——-——=-lim----

*->。sin~3xx^°sin_3x9v^0I%sin3x)9

..sin23x_sin23x_

2)hm------=9lim-----=9；

.10%2-o(3%).

sin(x-l)sin(x-l)1

3)lim——----=lim--------------

xfx-1—x-1x+12

②Um1+—=e；lim(l+x)x=e；lim1+—=e；lim(1+Z/(X))AU)=e；

〃1A—>0XJ〃(x)^0

成立的条件是在给定趋势下，两个〃（X）〔或△〕是一模一样的无穷小量；。是是一模一样的无穷大量.

用此公式的步骤：①r识别；②先得内，再得外；③内一翻，再复原.

9ln(l+x)-

例1-5①lim4l-2x=lime2；②lim--------=limln(l+x)x=Ine?=1；

XfOA->0xf°Xx->0

练习1-1

1、求以下极限

已+4/_________

―一+1ln(2x+l).,(x-1^2+Jl+tanx-Jl+sinx

(1)lim———(3+cosx)；⑵lim-------；(3)lrim----；⑷hm------------------；

sinx+x->ox(l-cosx)

yj4x^+X—1+x+l2

⑸hm----/---1一一(/IwO,左为常数);⑺lim

if\lx2+sinx(xJx->r

,、「11户,、「12+九

⑻limxsinInId■—-sinInId■一⑼lim----；(10)lim----

ELIxjIxjx->ol2-X

2、设lim^———=5,求凡。.(参考答案：。=-7]=6)

—\~X

参考答案:

k(1)0.(2)2.(3)e-1.(4)(5)1.(6)e~A.(7)2.(8)2.(9)一.(10)e.

2

7.理解函数连续与间断的定义；知道间断点的分类；会利用连续性求极限；会判别间断点

的类型.

①连续的定义：limAy=0或lim/(x)=/(/).连续的三个条件：有定义；极限存在；极限值

Axf0*o

等于函数值.f(x)在点X。处左连续且右连续。f(x)在点X。处连续.不连续点称为间断点.

给来门瓯七上七也阳切右五]可去间断点：左右极限相等。

②间断点：第一类间断点：左右极限都存在I跳跃间断点：左右极限不相等。

第二类间断点：左右极限中至少有一个不存在：无穷与振荡间断点。

③判断f(x)在点X。处连续的方法：先考查f(x)是否为根本初等函数，X。点是否为f(x)定义域内的

点.如果给定函数为分段函数，且X0点又是分段点，那么需利用连续的定义来判定.特别是在分段点两

侧函数表达式不同的时候，函数在该点处的连续性应该用左连续、右连续判定.由于初等函数在其定义

域内都是连续的，所以求函数间断点一般是考查不在函数定义域中的点，对于分段函数，那么考查分段

点的连续性.

④如何判断间断点：

1〕考察f(x)在X。处有无定义，假设f(xo)无意义，那么X。为间断点；

2〕如f(xo)存在，再考察lim/(x)是否存在？假设lim/(x)不存在，那么xo为间断点；

XT的XT殉

3〕如lim/(x)存在，最后考察其值是否等于千(x。)？假设不等，那么X。为间断点.

初等函数在没有定义的孤立点是间断点，分段函数的分段点可能是间断点，也可能是连续点，要具

体判断，要用左右极限判定.

arctan—,xw0

例1-6①/(x)=x，左极限是-工，右极限是三,.•.x=0是跳跃间断点；

7122

—,x=0

12

sinx八

----xw0

②/(x)=<jx'，limy(x)=lw/(O).，.x=O是可去间断点.

XTO

O,x=O

8.了解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理、介值定理、零点存在定理，会应用零

点存在定理证明某些具体方程有实根.

①有界性定理：在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.

②最值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值.

③介值定理：设函数/(幻在闭区间他,可上连续，且在这区间的端点取不同的函数值/(a)=A及

于(b)=B,那么，对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(。涉)内至少有一点J,使得

f化)=C(。<9).

④零点存在定理：设函数f(x)在闭区间［a,加上连续，且/(a)与/(。)异号(BP/(a).

那么在开区间(a,刀内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点<自<劝使/«)=0.

零点定理常常用来判定方程/(x)=O根的存在性与根的范围.

应用此定理应注意以下几点：1)可区间的选择，在证明过程中有明确的提示；2)验证/(x)在

［a,。］上的连续性；3)验证/(处在两端的符号；4)此定理不能确定/(x)是否具有唯一零点，但有唯

一性要求时，应验证/(幻的单调性.

例1-7证明方程e*=3x至少存在一个小于1的正根.

证明：令/(x)="-3x,它在［0,1］上为连续函数，且f(0)=l>0,f(l)=e-3<0.

由零点定理，至少存在一点gG(0,1),使f(&)=0.

即g是方程e，=3x的一个根，且为小于1的正根.

例1-8设f(x)在［0,2a］上连续，且f(0)=f(2a),证明三〃e［O,a］,使/⑺=.

证明：设e(x)=/(a+幻二/Xx).因为f(x)在［0,2a］上连续，所以°(x)在［0,a］上连续，且

0(0)=f(a)-f(O),叭a)=/(2a)-/(a)=/(O)-f(a)=—奴0).

假设w(O)=0,则7=0或〃=a,结论成立.

假设以0)力0,贝！|°(0)•e(a)<0,由零点定理知，存在m〃e(O,a),使0S)=0,即/(〃)=./Xa+z/).

综上，m〃e[O,a],%(77)=/(a+77).

练习1-2

1、证明：xe'=2在（0,1）内有一实根.2、证明：％3-2/+%=1至少有一正根.

3、证明：d—3d—x=l至少有一正根，有一负根.4、证明：ln（x+l）=3至少有一正根.

9.理解导数的定义，会根据定义求函数的导数.

①定义："=lim包=lim"勺）；/&）="（/+同一*"。）；

b=皿也一>0Ax板-0Axz/ioh

/Olim/（*/（x。）.

XT与X-Xo

ZKl1C\£（\V£t（\Vf〈X+h]-f（x\x.—IXI

例「9f（x）-a,f（x）=lim--------匕3=lim--------=tzlim------aInQ.

力一>oh/»->oh/,->oh

例1-10f'(x0)=A,求lim+

xh

龌f[.x0+h)-f(x0-h)[/(x0+h)~f(x0)]-[/(x0-h)-/(x0)]

肿：urn--------------------=inn---------------------------------------

力—ohif。h

M/(1+力)一/(二)I/(%一〃)—/(Xo)

=2/'(%)=2A.

Dh-h

例1-11/(。)=1，lim/'.-I=4,求/，(0).

…3x

Hm小生l=Hm7(2x)一八叽.”NT⑼7

解:=-r(0)=4..-./，(O)=6.

x-03x一03x32x

例1-12lim~~~~-lim~~——于（）■

A—>oh/：—>o—h

例l-131im~~~~~~—3lim~~~1~~~—-3/'（x。）■

zh53ho

②函数在点x0处可导的充分必要条件是左导数£（/）和右导数方（九0）都存在且相等.

左导数：尸（%）=前—+'）一”"。）,右导数：覃%）=1加小。+用）一小。）.

\720-h2。+h

丫2_1_1y-<1

例1-14讨论'在点x=i处的连续性与可导性.

2x,x>1

c，/i\r/(x)——⑴vX~+l—2c，/i\v/(*)-/⑴v21-2.

解：•・・《⑴=hmJ\"J'/=lim---------=2,=lim，-八，=lim------=2.

XTRx-\x-\x->rx-1xf+x-1

.1./,(1)=2,/(x)在x=l可导，当然在x=l点连续.

注意：分段函数求导时，对于分段点一定要用导数定义来求.

③导数的几何意义：尸f(x)在X。的导数/(%)是曲线y=/(九)在点(%,/(%))处的切线的斜率.

10.知道可导与连续的关系.可导必连续，反之不成立.

11.熟练掌握根本初等函数的导数公式、导数的四那么运算法那么、复合函数求导法那么、

隐函数求导法、对数求导法及参数方程求导法〔限于一阶〕.

①16个根本求导公式：

(1)(C)=0,(2)Q")=被"一1(3)(sinx)=cosx,(4)(cosx)=-sinx,

(5)(tanx)=sec2x,(6)(cotx)=-esc2x,(7)(secx)=seextanx,

(8)(esex)=-cscxcotx,⑼(优)=axIna,(10)(eA)=ex,

(11)(logf/x)=---,(12)(inx)=—,U3)

xlnax

(14)(arccosx)=——/，(15)(arctanx)=-----,(16)(arccotx)----7

Vl-X21+x1+x

②求导法那么：1)(u±v)=〃'土/,(Cw)=C〃'(C是常数)，(wv)=〃、+〃/,

u'uv-uv'("0)；2)［尸同”

vjy-

③复合函数求导法那么：设y=/(〃)，而〃二夕(光)且/(〃)及夕⑴都可导，那么复合函数

y=/[0(刈的导数为处=也也或'，⑴_/Q)."(x).如y=arctan(sin2x).

dxdudx

例IT5y=lnsinx,求心.

dx

解：-=(insinx)=—5—(sinx)=C°SA=cotx.

dxsinxsinx

例l-16y=Jl—2x?,求心.

dx

例IT7y=lncos(e"),求上.

dx

解：所给函数可分解为y=ln〃，u=cosv,v=ex.因包=,，—=-sinv,包=",故

duudvdx

—=—•(-sinv)-ex=一S.=一/tan(e)

dxuco夕*，)

不写出中间变量，此例可这样写:

练习1-3

1、填空题

(1)设函数/(x)在x=2处可导，且/"(2)=1,那么+-

32h

(2)假设/(小)=1，/(/)=0,那么

/TooIh)

(3)设尸⑴=1,那么1加八2—"1)=.

.v-»lX—I

(4)设lim”2止A。)」,那么/(O)=.

x2

2、求以下各函数的导数

xx+

(1)c°s：r；〔2〕In—；(3]y=arcsin«；〔4〕y=sine+；〔5〕y=(+^?L

x2+xJx+3(x+4)

参考答案：

1、m1.(2)-1.(3)-.(4)-

24

2、⑴_(l+sinA-).x-+2cosx-2x；⑵―；⑶⑷一Jocose；

x3X2-42^/^7.v2

(X+1)2(X+2)3「2311

Jx+3(x+4)|_x+lx+22(x+3)x+4

④隐函数求导法：方程两边同时对x求导，用复合函数求导法那么.

隐函数求导方法小结:

〔1〕方程两端同时对x求导数，注意把y当作复合函数求导的中间变量来看待,

[2)从求导后的方程中解出y'来.

〔3〕隐函数求导允许其结果中含有y.但求一点的导数时不但要把x值代进去，还要把对应的y值代

进去.

例1-18求由方程"+盯一e=0所确定的隐函数y的导数电.

dx

解：我们把方程两边分别对X求导数，注意y是X的函数.方程左边对X求导得

—(ey+xy-e)=ey—+y+x—,

dx''dxdx

方程右边对求导得(o/=0.

由于等式两边对x的导数相等，所以+y+x包=0,

dxdx

从而立=----—(x+e，wO).

dxx+ey

在这个结果中，分式中的y是由方程"'+孙-e=0所确定的隐函数.

⑤对数求导法：先取自然对数，然后求导，用隐函数求导法.辱指函数)/=〃(6"⑴和连乘积函数

适宜用此法.

例1-19求y=(x>0)的导数.

解：这函数既不是暴函数也不是指数函数，通常称为基指函数.为了求这函数的导数，可以先在两

边取对数，得Iny=sinx,lnx；

上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得'y'=cosx・lnx+sinx・L

工曰,(]sinx[疝/]sinx^l

于是y=cosx-lnx+------\=x'Icosx-lnx+-------I.

崎舄的导数.

例1-20求y=

解：先在两边取对数(假定x>4),得

Iny=^[ln(x-l)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)],

上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得=------[......-

y2kx-1x—2x—3x—4

1

于是+-----

x—2,

[(17)(27)

当X<1时,当2cx<3时,

y(3—双4-x)

用同样方法可得与上面相同的结果.

⑥参数方程求导法(限于一阶)：=半=幺*.

dx(p[t}

x=costdv

例1-21设函数y=/(幻由参数方程1确定，求工.

y=sint-tcostdx

解：虫=4=a一.

dxxt-sinr

练习1-4求以下各函数的导数

3、求由方程》+01直211y=丁所确定的隐函数y的导数电,

dxdx

参考答案：1、/=炉皿(_^+止］+；/「*1+炉(1+1116111%

(COSXX)1-

dy1d2y_2(1+/)

瓦=1+产芯=一-7-

12.熟练掌握初等函数的一阶和二阶导数的求法，会求某些简单函数的高阶导数，会求曲

线上指定点的切线方程和法线方程.

①二阶导数：求高阶导数就是屡次接连地求导数.

②切线方程：y-/(xo)=/'(xo)(x—x°),法线方程：y-/U0)=-—1--(%-%0).

fM

13.了解微分的定义、可微与可导的关系，以及一阶微分形式的不变性；掌握微分运算与

求导运算的关系；会求函数的微分.

①定义：4=4刈+0(41),其中A是不依赖于©的常数，而0(醺)是比Ar高阶的无穷小，那

么称函数丁=/(x)在点/是可微的，而心叫做函数y=/(x)在点X。相应于自变量增量Ar的微分，

记作dy,即dy=AAx.

②可微与可导的关系：函数/(X)在点与可微的充分必要条件是函数/(X)在点X。可导.

③一阶微分形式的不变性：dy^y'xdx^y'udu.无论“是自变量还是另一个变量的可微函数，微分

形式办=f'(it)du保持不变.这一性质称为微分形式不变性.

④微分运算与求导运算的关系：dy=y'dx.

⑤函数的微分的求法：dy=y'dx,如丁=6.叫3/=6"'(《11%+》85。:.办=.

练习1-5求以下函数的微分

(1)y=secx-tanx；(2)y=xlnsinx；⑶y-e2<cos3x；(4)y-exarctanx.

参考答案：

(1)dy=sec%(tanx-secx)dx；(2)办=(lnsinx+xcotx)公：(3)dy=e2x(2cos3x-3sin3x)dx；

(4)dy=ex|arctanx+-二|dx.

Ii+x-J

14.了解罗尔(R。IIe)定理、拉格朗日(Lagrange)定理的内容.

①罗尔(Rolle)定理：如果函数/(x)满足：(1)在闭区间口切上连续，(2)在开区间(a,。)内可导,

(3)在区间端点处的函数值相等，即/(4)=/(}),那么在(a力)内至少存在一点以(份，使得函数

/(x)在该点的导数等于零，即_fc)=o.

例1-22证明方程--5x+l=0有且仅有一个小于1的正实根.

证明：设/(幻=/-5》+1,那么/(x)在［0,1］上连续，且/(0)=1,3)=-3.

由零点定理得存在尤°e(0,1)使/(x0)=0,即与为方程的小于1的正实根.

设另有%1e(0,1),x产%,使/(x,)=0.因为/(%)在/,西之间满足罗尔定理的条件，所以至少存

在一个岁(在马山之间)使得/'©=().

但/(%)=5(-l)<o,(xu(O,l)),矛盾.所以/为方程的唯一实根.

②拉格朗日(Lagrange)定理：如果函数/(x)满足⑴在闭区间［出田上连续，⑵在开区间(a,份内

可导，那么在(a,b)内至少有一点夕〃<<<份，使得等式/3)一/(。)=一。)成立.

拉格朗日中值定理可用于1)证明等式；2)证明不等式.

例1-23证明arcsinx+arccosx=—(-1<x<1).

证明：设/'(x)=arcsinx+arccosx,

由于/—+(--2-——)=0,所以/(x)三C,XG［-1,1］.

71Vl-r

又/(O)=arcsinO+arccosO=0+—=—,EPC=—•故arcsinx+arccosx=—.

2222

x

例1-24证明：当x>0时，——<ln(l+x)<x.

1+x

证明：设/(x)=ln(l+x),那么/(x)在［0,幻上满足拉氏定理的条件.

于是/(x)-/(0)=rGXx—0),(0<J<x).又“0)=0，r(x)=-L,于是1n(1+尤)=上.

1+x1+<

而()<J<X,所以1<1+€<1+X,故—<1.

1+X1+4

从而上<上<x,即—^-<ln(l+x)<x.

1+x1+J1+x

15.熟练掌握用洛必达(L'Hospital)法那么求不定式的极限的方法.

①洛必达「Hospital)法那么(求9或2型极限常用的有效方法)

000

定理设⑴当x—。时，函数/（x）和尸（X）都趋于零；（2）在a点的某去心邻域内，/。）和尸'（x）

都存在且F（x）wO；（3）lim?2存在（或无穷大），那么lim1^=lim0^.

XfaF（x）XT"F（x）"F（X）

这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法那么.

将工一>。改为xf->->oo,xf+oo,x->-oo也有相应的洛必达法那么.

②类型：受（根本类型）；0・8,8—8,0°,r°,8°.

08

③使用洛必达法那么时需注意以下几个问题：

1）在用洛必达法那么时必须验证条件；2）如果使用洛必达法那么之后，问题仍是未定型极限，且仍符

合洛必达法那么的条件，可以再次使用洛必达法那么；3）如果“9”型或“艺”型极限中含有非零因

000

子，该非零因子可以单独求极限，不必参与洛必达法那么运算，以简化运算；4）使用洛必达法那么要

注意运用一些技巧：变量替换、等价无穷小因子替换、恒等变形等.

2

例1-25求lim里吧.（2.型）11secx1

解:原式=lim侬?—]而---------=1.

Xo%-M(x)XT。

3尤+2盾#3x2—3_6x3

例1-26求---3--------(--2--型)解:原式一lim——------------lrim---------=—

7x-x-x+1o73r-2x-l=6x—22

7112

----arctanx八----------X

例1-27求limJ一•(导型)解:原式=lim―二lim-------r=l

xx1i切1+x

2