人教版高中数学必修26.2.1 向量的加法运算（二）

【新教材】6.2.1向量的加法运算教学设计（人教A版）本节通过数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算规律掌握向量加法运算的交换律和结合律.课程目标1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法.数学学科素养1.数学抽象：向量加法概念；2.逻辑推理：利用向量加法证明几何问题；3.直观想象：向量加法运算；4.数学建模：从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；难点：理解向量加法的定义.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。情景导入数有加减乘除运算，那么向量有没有加减乘除运算，如果有，该怎么运算呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本7-10页，思考并完成以下问题1.向量加法是如何定义的？2.运用什么法则进行向量加法运算？3.向量加法满足哪些运算律？4.和向量和已知向量有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.２、三角形法则和平行四边形法则(1)三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ，规定：a+0=0+aaaaaAABCa+ba+baabbaｂｂａ＋ｂa(2)平行四边形法则如图所示：eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))(三角形法则)，又因为eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))，所以eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))(平行四边形法则)，注意：在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．3.向量a+b与非零向量a，b的模及方向的关系(1)当a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.若|a|＜|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.4．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．四、典例分析、举一反三题型一向量的三角形法则和平行四边形法则例1如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a与b的和．【答案】见解析【解析】如下图中(1)、(2)所示，首先作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，然后作eq\o(AB,\s\up16(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up16(→))＝a＋b．解题技巧（应用三角形和平行四边形法则的步骤）(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤①平移两个不共线的向量使之共起点．②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．跟踪训练一1、如图，已知a，b，求作a＋b；【答案】见解析．【解析】如图所示．．题型二向量的加法运算例2如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：【答案】(1)eq\o(BA,\s\up16(→)).(2)eq\o(OB,\s\up16(→)).(3)eq\o(AC,\s\up16(→))..【解析】(1)eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→)).(2)eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝(eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→)))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→)).(3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(FE,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→)).解题技巧：(向量加法运算注意事项)(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.跟踪训练二1、化简或计算：(1)eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))；(2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→)).【答案】(1)eq\o(AD,\s\up16(→)).(2)0.【解析】(1)eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→)).(2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋(eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→)))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝eq\o(AF,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝0.题型三利用向量加法证明几何问题例3已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(DO,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→)).求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】见解析.【解析】证明eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AO,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(DO,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))，又∵eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(DO,\s\up16(→))，∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，∴AB＝DC且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形．解题技巧（用向量加法证明集合问题的基本思路）用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．跟踪训练三1．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E，F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．【答案】见解析．【解析】证明∵eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))，eq\o(FC,\s\up16(→))＝eq\o(FD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))，又eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(FD,\s\up16(→))＝eq\o(BE,\s\up16(→))，∴eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(FC,\s\up16(→))，即AE与FC平行且相等．∴四边形AECF是平行四边形．题型四向量加法的实际应用例4在水流速度为向东10km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10eq\r(3)km/h，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．【答案】船行驶速度为20km/h，方向与水流方向的夹角为120°.【解析】如图所示，eq\o(OA,\s\up16(→))表示水速，eq\o(OB,\s\up16(→))表示船实际航行的速度，eq\o(OC,\s\up16(→))表示船速，由eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))易知|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝10，又∠OBC＝90°，所以|eq\o(OC,\s\up16(→))|＝20，所以∠BOC＝30°，所以∠AOC＝120°，即船行驶速度为20km/h，方向与水流方向的夹角为120°.解题技巧：(向量加法解决实际问题的步骤)跟踪训练四1、在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35°的方向行驶800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向行驶800km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．【答案】救护车行驶的路程是1600km，两次行驶的位移和的大小为800eq\r(2)km，方向为北偏东80°.【解析】如图所示，设eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))分别表示救护车从A地按北偏东35°方向行驶800km，从B地按南偏东55°的方向行驶800km.则救护车行驶的路程指的是|eq\o(AB,\s\up16(→))|＋|eq\o(BC,\s\up16(→))|；两次行驶的位移的和指的是eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→)).依题意，有|eq\o(AB,\s\up16(→))|＋|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up16(→))|2＋|\o(BC,\s\up16(→))|2))＝eq\r(8002＋8002)＝800eq\r(2)(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而救护车行驶的路程是1600km，两次行驶的位移