2023年高考冲刺模拟数学试卷数学试题（六）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12023年高考冲刺模拟试卷数学试题（六）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则（）A． B． C． D．3．如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点，分别在，上，且，，点是圆弧上的动点（包括端点），则的最小值为（）A． B． C． D．4．中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形扇环是指圆环被扇形截得的部分，现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．5．（）A． B． C． D．6．设，，，则，，的大小关系正确的是（）A．B．C．D．7．已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的左右两支于，两点，且，则（）A． B． C． D．8．若存在，使对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，

每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在公差不为零的等差数列中，已知其前项和为，，且，，等比数列，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．设数列的前项和为，则10．已知函数对都有，若函数的图象关于直线对称，且对，，当时，都有则下列结论正确的是（）A． B．是偶函数C．是周期为4的周期函数 D．11．某人有6把钥匙，其中4把能打开门．如果不放回地依次随机抽取3把钥匙试着开门，设事件为“第次能打开门”，则下列结论中正确的是（）A．事件与互斥 B．C． D．12．我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪．如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以，，，，，为顶点的五面体，四边形为正方形，平面，，，则（）A．该几何体的表面积为 B．该几何体的体积为C．该几何体的外接球的表面积为 D．与平面所成角的正弦值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若的展开式中的系数为，则实数的值为__________．14．已知抛物线上横坐标为的点到抛物线焦点的距离为，是抛物线上的点，为坐标原点，的平分线交抛物线于点，且，都在轴的上方，则直线的斜率为__________．15．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为__________．16．已知圆：与直线相切，函数过定点，过点作圆的两条互相垂直的弦，，则四边形面积的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列的前项和为，，且数列是为公比的等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）令，求和．18．（12分）为了加强地下水管理，防治地下水超采和污染，保障地下水质量和可持续利用，推进生态文明建设，由国务院第149次常务会议通过的《地下水管理条例》自2021年12月1日起施行．某市水务部门组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9周每周普及的人数，得到下表：时间周123456789每周普及的人数8098129150203190258292310并计算得：，，，．（1）从这9周的数据中任选4个周的数据，以表示4周中每周普及宣传人数不少于240人的周数，求的分布列和数学期望；（2）由于统计工作人员的疏忽，第5周的数据统计有误，如果去掉第5周的数据，试用剩下的数据求出每周普及的人数关于周数的线性回归方程．附：线性回归方程中，，．19．（12分）在中，内角，，的对边长分别为，，．（1）若，求面积的最大值；（2）若，在边的外侧取一点（点在外部），使得，，且四边形的面积为，求的大小．20．（12分）如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，，，在上且满足．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．21．（12分）已知椭圆的左顶点为，椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上，且椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为，，为垂足，求的最大值．22．（12分）已知函数．（1）若，的极大值为3，求实数的值；（2）若，，求实数的取值范围.——★参考答案★——一、单项选择题1．B

〖解析〗由题意可得，，所以，故选B．2．C

〖解析〗由复数的几何意义知，，则，故选C．3．A〖解析〗以为原点建立如图所示的直角坐标系，，设，，，，所以，所以的最小值为，故选A．4．D

〖解析〗此几何体为两个半圆柱的组合体：一个大的半圆柱中间挖去一个小的同轴半圆柱，，故选D．5．A〖解析〗原式，故选A．6．C〖解析〗因为，，令，则，所以在上递增，所以，所以，所以，即，因为，可得，所以，因为，可得，所以，所以，故选C．7．C〖解析〗过作交于，因为，可得，所以为中点，设，由双曲线定义可得，，所以，故，解得，所以，故选C．8．D

〖解析〗由题意得，如图，当直线过且与曲线相切时，最小．设切点为，则，解得，故，故选D．二、多项选择题9．BC〖解析〗设等差数列的公差为，则有，，即，解得或（舍去），，所以，，．因为，故，，两式相减，得，所以，故选BC．10．ABC〖解析〗的图象关于直线对称，故关于轴对称，所以是偶函数，故B正确；在中，令得，因为，所以，解得，故A正确；则有，所以是周期为4的周期函数，故C正确；对，，当时，都有，所以在上单调递增，所以，，因为，所以，故D错误．故选ABC．11．BCD

〖解析〗第2次能打开门包含第一次能打开门和第一次不能打开门，故事件与不互斥，故A错误；，，故B正确；所以，故C正确；因为，所以，故D正确．故选BCD．12．ABD

〖解析〗易得该几何体的表面积为，体积为，故A，B正确；取，中点，，正方形中心，中点，连接，，，，依题意，平面，，点是的中点，，等腰中，，，同理，所以等腰梯形的高，由几何体的结构特征知，几何体的外接球的球心在直线上，连接，，，正方形的外接圆半径，则有而，，当点在线段的延长线含点时，视为非负数，若点在线段不含点上，视为负数，即有，即，解得，所以该几何体的外接球的球心为，半径为，所以该几何体的外接球的表面积，故C错误；取中点，连接，由等体积法可求得点到平面的距离，设与平面所成角为，则，故D正确．故选ABD．三、填空题13．〖解析〗由，则展开式中的系数为，，得．14．〖解析〗由题意可得抛物线的方程为抛物线，设，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义可得，所以，解得，，同理，，所以．15．

〖解析〗由，得，由得，故，故，所以其最小正周期为，而区间的区间长度是该函数的最小正周期的，所以当区间关于函数图象的对称轴对称时，取得最小值，不妨取区间，则，，所以的最小值为．16．5

〖解析〗由题意得圆的方程为，点的坐标为，过圆心作于点，于点，则，所以，又，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以四边形面积的最大值为．四、解答题17．解：（1）因为，且数列是3为公比的等比数列，所以，（2分）当时，，（4分）当时，不满足上式，所以．（5分）（2）由已知可得，（6分）所以数列是以为首项，为公比的等比数列；（7分）所以，（9分）所以．（10分）18．解：（1）的可能取值为0，1，2，．，，，，（4分）所以的分布列为0123．（6分）（2）去掉第5周的数据后可得新数据表如下：时间周12346789每周普及的人数8098129150190258292310则，，，，（7分）所以，所以，（11分）故剩下的数据所求出的线性回归方程为

．（12分）19．解：（1）因为，，可得，又由正弦定理得，即，由余弦定理，得，∵，∴，即．（3分）中，由余弦定理得，则，当且仅当时取等号，，当且仅当时，面积取得最大值．（5分）（2）设，则，（7分）在中，，由（1）知为正三角形，故，（9分）故，（10分）因为，故，，即

．（12分）20．解：（1）如图，过点作交于，连接，设，连接，，，又，可得，四边形为正方形，，（2分），，，，，为的中点，，（4分）因为，平面，又平面，平面平面．（5分）（2）在中，，，又，，，，又，，平面，平面，故建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，，（6分）设平面的一个法向量为，则，，令，得，（8分）设平面一个法向量为，则，，令，得，（10分），故平面与平面夹角的余弦值为．（12分）21．解：（1）设椭圆的中心关于直线的对称点，则有（1分），，椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上，，（3分）又椭圆过点，可得，解得，所以椭圆的方程．（5分）（2）设，由题意得直线斜率不为零，设，由得，即，所以（6分）由，得，即，所以，所以，所以，化简得，所以或，（9分）若，则直线过椭圆的左顶点，不适合题意，所以，所以过定点，因为，为垂足，所以在以为直径的圆上，，的中点为，又，所以，所以的最大值为，即的最大值为．（12分）22．解：（1）因为，由，得，即的定义域为．因为，所以，因为，，，所以当时，，当时，，所以当时，在上单调递增，在上单调递减.所以当时，取得极大值，解得．（5分）（2）当时，，，即，所以．令，则，（7分）令，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，即，，（10分）所以，所以，又，所以，所以实数的取值范围是．（12分）2023年高考冲刺模拟试卷数学试题（六）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则（）A． B． C． D．3．如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点，分别在，上，且，，点是圆弧上的动点（包括端点），则的最小值为（）A． B． C． D．4．中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形扇环是指圆环被扇形截得的部分，现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．5．（）A． B． C． D．6．设，，，则，，的大小关系正确的是（）A．B．C．D．7．已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的左右两支于，两点，且，则（）A． B． C． D．8．若存在，使对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，

每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在公差不为零的等差数列中，已知其前项和为，，且，，等比数列，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．设数列的前项和为，则10．已知函数对都有，若函数的图象关于直线对称，且对，，当时，都有则下列结论正确的是（）A． B．是偶函数C．是周期为4的周期函数 D．11．某人有6把钥匙，其中4把能打开门．如果不放回地依次随机抽取3把钥匙试着开门，设事件为“第次能打开门”，则下列结论中正确的是（）A．事件与互斥 B．C． D．12．我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪．如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以，，，，，为顶点的五面体，四边形为正方形，平面，，，则（）A．该几何体的表面积为 B．该几何体的体积为C．该几何体的外接球的表面积为 D．与平面所成角的正弦值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若的展开式中的系数为，则实数的值为__________．14．已知抛物线上横坐标为的点到抛物线焦点的距离为，是抛物线上的点，为坐标原点，的平分线交抛物线于点，且，都在轴的上方，则直线的斜率为__________．15．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为__________．16．已知圆：与直线相切，函数过定点，过点作圆的两条互相垂直的弦，，则四边形面积的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列的前项和为，，且数列是为公比的等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）令，求和．18．（12分）为了加强地下水管理，防治地下水超采和污染，保障地下水质量和可持续利用，推进生态文明建设，由国务院第149次常务会议通过的《地下水管理条例》自2021年12月1日起施行．某市水务部门组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9周每周普及的人数，得到下表：时间周123456789每周普及的人数8098129150203190258292310并计算得：，，，．（1）从这9周的数据中任选4个周的数据，以表示4周中每周普及宣传人数不少于240人的周数，求的分布列和数学期望；（2）由于统计工作人员的疏忽，第5周的数据统计有误，如果去掉第5周的数据，试用剩下的数据求出每周普及的人数关于周数的线性回归方程．附：线性回归方程中，，．19．（12分）在中，内角，，的对边长分别为，，．（1）若，求面积的最大值；（2）若，在边的外侧取一点（点在外部），使得，，且四边形的面积为，求的大小．20．（12分）如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，，，在上且满足．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．21．（12分）已知椭圆的左顶点为，椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上，且椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为，，为垂足，求的最大值．22．（12分）已知函数．（1）若，的极大值为3，求实数的值；（2）若，，求实数的取值范围.——★参考答案★——一、单项选择题1．B

〖解析〗由题意可得，，所以，故选B．2．C

〖解析〗由复数的几何意义知，，则，故选C．3．A〖解析〗以为原点建立如图所示的直角坐标系，，设，，，，所以，所以的最小值为，故选A．4．D

〖解析〗此几何体为两个半圆柱的组合体：一个大的半圆柱中间挖去一个小的同轴半圆柱，，故选D．5．A〖解析〗原式，故选A．6．C〖解析〗因为，，令，则，所以在上递增，所以，所以，所以，即，因为，可得，所以，因为，可得，所以，所以，故选C．7．C〖解析〗过作交于，因为，可得，所以为中点，设，由双曲线定义可得，，所以，故，解得，所以，故选C．8．D

〖解析〗由题意得，如图，当直线过且与曲线相切时，最小．设切点为，则，解得，故，故选D．二、多项选择题9．BC〖解析〗设等差数列的公差为，则有，，即，解得或（舍去），，所以，，．因为，故，，两式相减，得，所以，故选BC．10．ABC〖解析〗的图象关于直线对称，故关于轴对称，所以是偶函数，故B正确；在中，令得，因为，所以，解得，故A正确；则有，所以是周期为4的周期函数，故C正确；对，，当时，都有，所以在上单调递增，所以，，因为，所以，故D错误．故选ABC．11．BCD

〖解析〗第2次能打开门包含第一次能打开门和第一次不能打开门，故事件与不互斥，故A错误；，，故B正确；所以，故C正确；因为，所以，故D正确．故选BCD．12．ABD

〖解析〗易得该几何体的表面积为，体积为，故A，B正确；取，中点，，正方形中心，中点，连接，，，，依题意，平面，，点是的中点，，等腰中，，，同理，所以等腰梯形的高，由几何体的结构特征知，几何体的外接球的球心在直线上，连接，，，正方形的外接圆半径，则有而，，当点在线段的延长线含点时，视为非负数，若点在线段不含点上，视为负数，即有，即，解得，所以该几何体的外接球的球心为，半径为，所以该几何体的外接球的表面积，故C错误；取中点，连接，由等体积法可求得点到平面的距离，设与平面所成角为，则，故D正确．故选ABD．三、填空题13．〖解析〗由，则展开式中的系数为，，得．14．〖解析〗由题意可得抛物线的方程为抛物线，设，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义可得，所以，解得，，同理，，所以．15．

〖解析〗由，得，由得，故，故，所以其最小正周期为，而区间的区间长度是该函数的最小正周期的，所以当区间关于函数图象的对称轴对称时，取得最小值，不妨取区间，则，，所以的最小值为．16．5

〖解析〗由题意得圆的方程为，点的坐标为，过圆心作于点，于点，则，所以，又，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以四边形面积的最大值为．四、解答题17．解：（1）因为，且数列是3为公比的等比数列，所以，（2分）当时，，（4分）当时，不满足上式，所以．（5分）（2）由已知可得，（6分）所以数列是以为首项，为公比的等比数列；（7分）所以，（9分）所以．（10分）18