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文档简介
高级中学名校试卷PAGEPAGE12023年高考冲刺模拟试卷数学试题(六)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A. B. C. D.2.如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是,,则()A. B. C. D.3.如图,已知是半径为,圆心角为的扇形,点,分别在,上,且,,点是圆弧上的动点(包括端点),则的最小值为()A. B. C. D.4.中国古代数学著作《九章算术》中,记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体的上下底面平行,且均为扇环形扇环是指圆环被扇形截得的部分,现有一个如图所示的曲池,它的高为2,,,,均与曲池的底面垂直,底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.5.()A. B. C. D.6.设,,,则,,的大小关系正确的是()A.B.C.D.7.已知双曲线:的左右焦点分别为,,过的直线分别交双曲线的左右两支于,两点,且,则()A. B. C. D.8.若存在,使对于任意,不等式恒成立,则实数的最小值为()A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共4小题,
每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在公差不为零的等差数列中,已知其前项和为,,且,,等比数列,则下列结论正确的是()A. B. C. D.设数列的前项和为,则10.已知函数对都有,若函数的图象关于直线对称,且对,,当时,都有则下列结论正确的是()A. B.是偶函数C.是周期为4的周期函数 D.11.某人有6把钥匙,其中4把能打开门.如果不放回地依次随机抽取3把钥匙试着开门,设事件为“第次能打开门”,则下列结论中正确的是()A.事件与互斥 B.C. D.12.我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子,羡除,隧道也,其所穿地,上平下邪.如图是一个“羡除”模型,该“羡除”是以,,,,,为顶点的五面体,四边形为正方形,平面,,,则()A.该几何体的表面积为 B.该几何体的体积为C.该几何体的外接球的表面积为 D.与平面所成角的正弦值为三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.若的展开式中的系数为,则实数的值为__________.14.已知抛物线上横坐标为的点到抛物线焦点的距离为,是抛物线上的点,为坐标原点,的平分线交抛物线于点,且,都在轴的上方,则直线的斜率为__________.15.如图,一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线,一端固定,另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度(最大偏角)后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动,沙漏摆动时离开平衡位置的位移(单位:)与时间(单位:)满足函数关系,若函数在区间上的最大值为,最小值为,则的最小值为__________.16.已知圆:与直线相切,函数过定点,过点作圆的两条互相垂直的弦,,则四边形面积的最大值为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列的前项和为,,且数列是为公比的等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)令,求和.18.(12分)为了加强地下水管理,防治地下水超采和污染,保障地下水质量和可持续利用,推进生态文明建设,由国务院第149次常务会议通过的《地下水管理条例》自2021年12月1日起施行.某市水务部门组织宣传小分队进行法律法规宣传,某宣传小分队记录了前9周每周普及的人数,得到下表:时间周123456789每周普及的人数8098129150203190258292310并计算得:,,,.(1)从这9周的数据中任选4个周的数据,以表示4周中每周普及宣传人数不少于240人的周数,求的分布列和数学期望;(2)由于统计工作人员的疏忽,第5周的数据统计有误,如果去掉第5周的数据,试用剩下的数据求出每周普及的人数关于周数的线性回归方程.附:线性回归方程中,,.19.(12分)在中,内角,,的对边长分别为,,.(1)若,求面积的最大值;(2)若,在边的外侧取一点(点在外部),使得,,且四边形的面积为,求的大小.20.(12分)如图,在三棱柱中,底面是边长为的等边三角形,,,,在上且满足.(1)求证:平面平面;(2)求平面与平面夹角的余弦值.21.(12分)已知椭圆的左顶点为,椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上,且椭圆过点.(1)求椭圆的方程;(2)为椭圆上两个动点,且直线与的斜率之积为,,为垂足,求的最大值.22.(12分)已知函数.(1)若,的极大值为3,求实数的值;(2)若,,求实数的取值范围.——★参考答案★——一、单项选择题1.B
〖解析〗由题意可得,,所以,故选B.2.C
〖解析〗由复数的几何意义知,,则,故选C.3.A〖解析〗以为原点建立如图所示的直角坐标系,,设,,,,所以,所以的最小值为,故选A.4.D
〖解析〗此几何体为两个半圆柱的组合体:一个大的半圆柱中间挖去一个小的同轴半圆柱,,故选D.5.A〖解析〗原式,故选A.6.C〖解析〗因为,,令,则,所以在上递增,所以,所以,所以,即,因为,可得,所以,因为,可得,所以,所以,故选C.7.C〖解析〗过作交于,因为,可得,所以为中点,设,由双曲线定义可得,,所以,故,解得,所以,故选C.8.D
〖解析〗由题意得,如图,当直线过且与曲线相切时,最小.设切点为,则,解得,故,故选D.二、多项选择题9.BC〖解析〗设等差数列的公差为,则有,,即,解得或(舍去),,所以,,.因为,故,,两式相减,得,所以,故选BC.10.ABC〖解析〗的图象关于直线对称,故关于轴对称,所以是偶函数,故B正确;在中,令得,因为,所以,解得,故A正确;则有,所以是周期为4的周期函数,故C正确;对,,当时,都有,所以在上单调递增,所以,,因为,所以,故D错误.故选ABC.11.BCD
〖解析〗第2次能打开门包含第一次能打开门和第一次不能打开门,故事件与不互斥,故A错误;,,故B正确;所以,故C正确;因为,所以,故D正确.故选BCD.12.ABD
〖解析〗易得该几何体的表面积为,体积为,故A,B正确;取,中点,,正方形中心,中点,连接,,,,依题意,平面,,点是的中点,,等腰中,,,同理,所以等腰梯形的高,由几何体的结构特征知,几何体的外接球的球心在直线上,连接,,,正方形的外接圆半径,则有而,,当点在线段的延长线含点时,视为非负数,若点在线段不含点上,视为负数,即有,即,解得,所以该几何体的外接球的球心为,半径为,所以该几何体的外接球的表面积,故C错误;取中点,连接,由等体积法可求得点到平面的距离,设与平面所成角为,则,故D正确.故选ABD.三、填空题13.〖解析〗由,则展开式中的系数为,,得.14.〖解析〗由题意可得抛物线的方程为抛物线,设,过点分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,,由抛物线的定义可得,所以,解得,,同理,,所以.15.
〖解析〗由,得,由得,故,故,所以其最小正周期为,而区间的区间长度是该函数的最小正周期的,所以当区间关于函数图象的对称轴对称时,取得最小值,不妨取区间,则,,所以的最小值为.16.5
〖解析〗由题意得圆的方程为,点的坐标为,过圆心作于点,于点,则,所以,又,则,所以,当且仅当时,等号成立,所以四边形面积的最大值为.四、解答题17.解:(1)因为,且数列是3为公比的等比数列,所以,(2分)当时,,(4分)当时,不满足上式,所以.(5分)(2)由已知可得,(6分)所以数列是以为首项,为公比的等比数列;(7分)所以,(9分)所以.(10分)18.解:(1)的可能取值为0,1,2,.,,,,(4分)所以的分布列为0123.(6分)(2)去掉第5周的数据后可得新数据表如下:时间周12346789每周普及的人数8098129150190258292310则,,,,(7分)所以,所以,(11分)故剩下的数据所求出的线性回归方程为
.(12分)19.解:(1)因为,,可得,又由正弦定理得,即,由余弦定理,得,∵,∴,即.(3分)中,由余弦定理得,则,当且仅当时取等号,,当且仅当时,面积取得最大值.(5分)(2)设,则,(7分)在中,,由(1)知为正三角形,故,(9分)故,(10分)因为,故,,即
.(12分)20.解:(1)如图,过点作交于,连接,设,连接,,,又,可得,四边形为正方形,,(2分),,,,,为的中点,,(4分)因为,平面,又平面,平面平面.(5分)(2)在中,,,又,,,,又,,平面,平面,故建立如图空间直角坐标系,则,,,,,,,,(6分)设平面的一个法向量为,则,,令,得,(8分)设平面一个法向量为,则,,令,得,(10分),故平面与平面夹角的余弦值为.(12分)21.解:(1)设椭圆的中心关于直线的对称点,则有(1分),,椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上,,(3分)又椭圆过点,可得,解得,所以椭圆的方程.(5分)(2)设,由题意得直线斜率不为零,设,由得,即,所以(6分)由,得,即,所以,所以,所以,化简得,所以或,(9分)若,则直线过椭圆的左顶点,不适合题意,所以,所以过定点,因为,为垂足,所以在以为直径的圆上,,的中点为,又,所以,所以的最大值为,即的最大值为.(12分)22.解:(1)因为,由,得,即的定义域为.因为,所以,因为,,,所以当时,,当时,,所以当时,在上单调递增,在上单调递减.所以当时,取得极大值,解得.(5分)(2)当时,,,即,所以.令,则,(7分)令,则,所以当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,,即,,(10分)所以,所以,又,所以,所以实数的取值范围是.(12分)2023年高考冲刺模拟试卷数学试题(六)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A. B. C. D.2.如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是,,则()A. B. C. D.3.如图,已知是半径为,圆心角为的扇形,点,分别在,上,且,,点是圆弧上的动点(包括端点),则的最小值为()A. B. C. D.4.中国古代数学著作《九章算术》中,记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体的上下底面平行,且均为扇环形扇环是指圆环被扇形截得的部分,现有一个如图所示的曲池,它的高为2,,,,均与曲池的底面垂直,底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.5.()A. B. C. D.6.设,,,则,,的大小关系正确的是()A.B.C.D.7.已知双曲线:的左右焦点分别为,,过的直线分别交双曲线的左右两支于,两点,且,则()A. B. C. D.8.若存在,使对于任意,不等式恒成立,则实数的最小值为()A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共4小题,
每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在公差不为零的等差数列中,已知其前项和为,,且,,等比数列,则下列结论正确的是()A. B. C. D.设数列的前项和为,则10.已知函数对都有,若函数的图象关于直线对称,且对,,当时,都有则下列结论正确的是()A. B.是偶函数C.是周期为4的周期函数 D.11.某人有6把钥匙,其中4把能打开门.如果不放回地依次随机抽取3把钥匙试着开门,设事件为“第次能打开门”,则下列结论中正确的是()A.事件与互斥 B.C. D.12.我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子,羡除,隧道也,其所穿地,上平下邪.如图是一个“羡除”模型,该“羡除”是以,,,,,为顶点的五面体,四边形为正方形,平面,,,则()A.该几何体的表面积为 B.该几何体的体积为C.该几何体的外接球的表面积为 D.与平面所成角的正弦值为三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.若的展开式中的系数为,则实数的值为__________.14.已知抛物线上横坐标为的点到抛物线焦点的距离为,是抛物线上的点,为坐标原点,的平分线交抛物线于点,且,都在轴的上方,则直线的斜率为__________.15.如图,一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线,一端固定,另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度(最大偏角)后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动,沙漏摆动时离开平衡位置的位移(单位:)与时间(单位:)满足函数关系,若函数在区间上的最大值为,最小值为,则的最小值为__________.16.已知圆:与直线相切,函数过定点,过点作圆的两条互相垂直的弦,,则四边形面积的最大值为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列的前项和为,,且数列是为公比的等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)令,求和.18.(12分)为了加强地下水管理,防治地下水超采和污染,保障地下水质量和可持续利用,推进生态文明建设,由国务院第149次常务会议通过的《地下水管理条例》自2021年12月1日起施行.某市水务部门组织宣传小分队进行法律法规宣传,某宣传小分队记录了前9周每周普及的人数,得到下表:时间周123456789每周普及的人数8098129150203190258292310并计算得:,,,.(1)从这9周的数据中任选4个周的数据,以表示4周中每周普及宣传人数不少于240人的周数,求的分布列和数学期望;(2)由于统计工作人员的疏忽,第5周的数据统计有误,如果去掉第5周的数据,试用剩下的数据求出每周普及的人数关于周数的线性回归方程.附:线性回归方程中,,.19.(12分)在中,内角,,的对边长分别为,,.(1)若,求面积的最大值;(2)若,在边的外侧取一点(点在外部),使得,,且四边形的面积为,求的大小.20.(12分)如图,在三棱柱中,底面是边长为的等边三角形,,,,在上且满足.(1)求证:平面平面;(2)求平面与平面夹角的余弦值.21.(12分)已知椭圆的左顶点为,椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上,且椭圆过点.(1)求椭圆的方程;(2)为椭圆上两个动点,且直线与的斜率之积为,,为垂足,求的最大值.22.(12分)已知函数.(1)若,的极大值为3,求实数的值;(2)若,,求实数的取值范围.——★参考答案★——一、单项选择题1.B
〖解析〗由题意可得,,所以,故选B.2.C
〖解析〗由复数的几何意义知,,则,故选C.3.A〖解析〗以为原点建立如图所示的直角坐标系,,设,,,,所以,所以的最小值为,故选A.4.D
〖解析〗此几何体为两个半圆柱的组合体:一个大的半圆柱中间挖去一个小的同轴半圆柱,,故选D.5.A〖解析〗原式,故选A.6.C〖解析〗因为,,令,则,所以在上递增,所以,所以,所以,即,因为,可得,所以,因为,可得,所以,所以,故选C.7.C〖解析〗过作交于,因为,可得,所以为中点,设,由双曲线定义可得,,所以,故,解得,所以,故选C.8.D
〖解析〗由题意得,如图,当直线过且与曲线相切时,最小.设切点为,则,解得,故,故选D.二、多项选择题9.BC〖解析〗设等差数列的公差为,则有,,即,解得或(舍去),,所以,,.因为,故,,两式相减,得,所以,故选BC.10.ABC〖解析〗的图象关于直线对称,故关于轴对称,所以是偶函数,故B正确;在中,令得,因为,所以,解得,故A正确;则有,所以是周期为4的周期函数,故C正确;对,,当时,都有,所以在上单调递增,所以,,因为,所以,故D错误.故选ABC.11.BCD
〖解析〗第2次能打开门包含第一次能打开门和第一次不能打开门,故事件与不互斥,故A错误;,,故B正确;所以,故C正确;因为,所以,故D正确.故选BCD.12.ABD
〖解析〗易得该几何体的表面积为,体积为,故A,B正确;取,中点,,正方形中心,中点,连接,,,,依题意,平面,,点是的中点,,等腰中,,,同理,所以等腰梯形的高,由几何体的结构特征知,几何体的外接球的球心在直线上,连接,,,正方形的外接圆半径,则有而,,当点在线段的延长线含点时,视为非负数,若点在线段不含点上,视为负数,即有,即,解得,所以该几何体的外接球的球心为,半径为,所以该几何体的外接球的表面积,故C错误;取中点,连接,由等体积法可求得点到平面的距离,设与平面所成角为,则,故D正确.故选ABD.三、填空题13.〖解析〗由,则展开式中的系数为,,得.14.〖解析〗由题意可得抛物线的方程为抛物线,设,过点分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,,由抛物线的定义可得,所以,解得,,同理,,所以.15.
〖解析〗由,得,由得,故,故,所以其最小正周期为,而区间的区间长度是该函数的最小正周期的,所以当区间关于函数图象的对称轴对称时,取得最小值,不妨取区间,则,,所以的最小值为.16.5
〖解析〗由题意得圆的方程为,点的坐标为,过圆心作于点,于点,则,所以,又,则,所以,当且仅当时,等号成立,所以四边形面积的最大值为.四、解答题17.解:(1)因为,且数列是3为公比的等比数列,所以,(2分)当时,,(4分)当时,不满足上式,所以.(5分)(2)由已知可得,(6分)所以数列是以为首项,为公比的等比数列;(7分)所以,(9分)所以.(10分)18
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