2024年3月河南省高三数学高考适应性测试卷附答案解析

2024年3月河南省高三数学高考适应性测试卷

试卷满分150分，考试时间120分钟2024.03

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知集合”={乂77：：1＜4},"={4-2＜》43广€2},则McN=（）

A.{x|l<x<3}B.{x|l<x<3}C.{2,3}D.{1,2,3}

2.在复平面内，复数Z1对应的点与复数Z2=：L对应的点关于实轴对称，则4=（）

1+1

、11-C11・11.C11•

A.------1B.—I—1C.---------1D.——+—1

22222222

3.已知lg2。0.3010,lg3”0.4771,则log/2的值大约为（）

A.1.79B.1.81C.1.87D.1.89

4.已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积

和圆锥的侧面积的比值是（）

卜&R4加「石n2—

A•D•---------V/•U•

4525

5.函数了=/（x）的图象由函数y=2sin[gx+；]的图象向左平移夕（夕＞0）个单位长度得到，若函数了=/（%）

的图象关于原点对称，则。的最小值为（）

兀3兀

A.B.-D.

4~2

6.已知抛物线炉=2x的焦点为尸，过点尸的直线/与抛物线交于48两点，若A/OF的面积是ABO尸的面

积的两倍，则|/邳=（）

5911

A.2B.—C.一D.

24T

7.已知tan|；+a)—)=4,则tan4a的值为()

48

AB.-c.D.2

-435

8.对于数列｛叫，定义4=%+3%+…+3"［为数列｛叫的“加权和”.设数列｛叫的“加权和"4="-3",

记数歹IJ｛与+。〃+1｝的前〃项和为（，若444对任意的〃eN*恒成立，则实数P的取值范围为（）

16_712_75_12169

A.，B.，C.，D.

T-3T-32-TT4

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.约翰逊多面体是指除了正多面体、半正多面体（包括13种阿基米德多面体、无穷多种侧棱与底棱相等的

正棱柱、无穷多种正反棱柱）以外，所有由正多边形面组成的凸多面体.其中，由正多边形构成的台塔是一

种特殊的约翰逊多面体，台塔，又叫帐塔、平顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个的边数是另一个的

两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多面体.各个面为正多边形的台塔，包括正三、四、五角台塔.如

图是所有棱长均为1的正三角台塔，则该台塔（）

A.共有15条棱B.表面积为3+2省

C.高为逅D.外接球的体积为。兀

33

10.已知定义在R上的函数〃x）,满足2〃x+y）〃x-y）=〃2x）+/（2y）,且/⑴=-1,则下列说法正

确的是（）

A."0）=1B./（x）为偶函数

C.〃2x）=〃x）D.2是函数的一个周期

11.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨

迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点尸（2,0）,

直线/：X=5,动点尸到点尸的距离是点尸到直线/的距离的:・若某直线上存在这样的点尸，则称该直线

为“最远距离直线”.则下列结论中正确的是（）

2

A.点尸的轨迹方程是三+且=1

95

B.直线4?+]=1是“最远距离直线”

C.点尸的轨迹与圆。:/+/-2尤=0没有交点

D.平面上有一点/(T1),则21PH+31产口的最小值为£

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2

12.已知圆C]:+y2+4x-4y—1=0,C2x+y~~2x—6y+9=0,直线/分别与圆G和圆C?切于M,N

两点，则线段MN的长度为.

13.1+的展开式中号？的系数为.

14.已知正实数。，b满足：a+b=l,则垓7+'”的最大值是________.

a+ba+b

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知448C中,角4己C的对边分别是见“c,c=26,且痣in2C-2cos2c=1.

(1)求角C的大小；

(2)若向量而=(l,siM)与向量方=(sinS,-2)垂直，求a的值.

16.在如图所示的四棱锥中，四边形/BCD为矩形，P/工平面NBC。,E为线段尸。上的动点.

⑴若尸5〃平面4EC,求而的值；

⑵在(1)的条件下，^PA=AD=1,AB=2,求平面NBC与平面4EC夹角的余弦值.

17.已知函数[(x)=e"'"+x2-加尤，加eR.

⑴求函数〃x)在点(0,〃0))处的切线方程；

(2)若对于任意都有/(x)Ve恒成立，求实数加的取值范围.

3

18.已知4,4分别为双曲线。：，-，=1(。>0/>0)的左、右顶点，|44|=2,动直线/与双曲线C交于尸,。

两点.当尸。〃无轴，且pq=4时，四边形户客4的面积为3声.

(1)求双曲线C的标准方程.

(2)设尸,0均在双曲线C的右支上，直线4尸与4。分别交了轴于两点，若而=2两，判断直线/是

否过定点.若过，求出该定点的坐标；若不过，请说明理由.

19.甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时,

若骰子点数大于3,则甲将球传给乙，若点数不大于3,则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于

4,则乙将球传给甲，若点数不大于4,则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3,则丙将球

传给甲，若骰子点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.

(1)设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为X,求随机变量X的分布列和数学期望；

⑵投掷"次骰子后记球在乙手中的概率为口，求数列{%}的通项公式；

72_n\d,d.d”n(z*\

(3)设J-2,求证：J-<7(/7€n)-

|30"23444用2''

1.D

【分析】首先求集合“，再求McN.

【详解】Jx-1<4,即04x-l<16,得14x<17,

即M={邓4x<17},且N={x卜2cxW3,xeZ},

所以"nN={l,2,3}.

故选：D

2.A

【分析】根据复数的除法运算求得Z2=：L对应的点，即可得马对应的点的坐标，从而可得答案.

【详解】由题意得复数Z2=丁、，对应的点为(!，!)，

l+i(l+i)(l-i)222

则复数4对应的点为(；「；)，则Z1=g-gi,

故选：A

3.A

【分析】借助对数运算法则计算即可得.

4

2

【详解】log412=log22(2x3)=1x21og22+hog23=l+^«l+^^«1.79.

故选：A.

4.B

【分析】设出底面半径，由题意可得高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，即可得解.

【详解】设这个圆柱和圆锥的底面半径为尸，

由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高〃=2.

则圆柱的侧面积E=2ax2/=4兀/,

圆锥的侧面积S2=7ir^(2r)2+r2=V5nr2，

则色二学二拽.

2

S2V5Tir5

故选：B.

5.D

【分析】首先利用平移规律求函数/(%)的解析式，再根据函数是奇函数的性质，即可求解。的值.

1JT

【详解】由题意可知，f(x)=2sin-[x+cp)+-,

因为函数/(x)关于原点对称，所以〃0)=2sin]；9+，=0,

IJTJT

则一9+—二左兀，左eZ,得9=——+2H,keZ且夕〉0,

2429

所以9吟.

故选：D

6.C

【分析】有A/O尸的面积是尸的面积的两倍可得/-2XB=(,设出直线方程联立曲线，得到相应韦达

定理即可计算出孙、XB，即可得解.

【详解】令d为点O到直线的距离，

贝应敏=；心|/厂|,S^BOF=^d-\BF\,

由产------=焉=2,故即|=2阿I，

'△BOF^d-\BF\玖|

5

由抛物线定义可知，\AF\=XA+^,\BF\=XB+^,

贝U有X4+（=2]XB+T）,即/-24=3，

y2=2x

设直线45方程为1=小+：,联立抛物线方程1,

2x=my+—

有y2-2my-1=0,A=4m2+4>0,

故为+纵=2冽，yAyB=-l,

则刈/=也虫-=」，则有2XB=『-,故/-2/=5-/—=1，

AB442XA2XA2

有2x；-乙-1=0,故x〃=l或无（负值舍去），则/=，一=；,

24X/4

I,D|11,,19

-^\AB\^XA+-+XB+-=1+1+-=--

故选：C.

7.A

【分析】首先利用两角和差的正切公式化解，并求得tan2a,再根据二倍角的正切公式，即可化解求值.

，、口1+tana1-tana,

【详解】由条件可知，---------------=4,

1-tana1+tana

即芸*=2,

贝！Jtan2a=2,

1-tana

2tan2a44

所以tan4a=

1-tan22a1^43

故选：A

8.B

【分析】借助。"与S"的关系可计算出数列｛为｝的解析式，即可得」=（2+。）"：（6+0”,则分。=-2及

。4-2两种情况分类讨论，当。W-2时，1为有特殊定义域的二次函数，结合二次函数的性质可得

2+p<0

26+2J,解出即可得.

2~2（2+p）~2

【详解】当"W2时,4T=（〃T>3"T，则洋一］T=〃.3"_（〃_1>3”T=（2.+1）-3"T,

即3"Ta“=（2〃+1）-r~',故%=2〃+1,

当〃=1时，4=l-3i=3=%,符合上式，故氏=2〃+1,

6

贝!]a'+°〃+l=（2+p）〃+2,故T“=[4+P+（2；p）〃+2]〃=（2+p）〃；（6+p）〃,

因为7；44对任意的〃eN*恒成立，

当/=-2时,有2〃410,即“45,不符合要求，

2+p＜0

当°*一2时，则有，9V6+。＜11,

2-_2（2+j＞）-T

解得肯12WpW7-j

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在得到北=0+P）〃；（6+P）力后,可知当。二一2时，（为有特殊定义域的

二次函数，即可结合二次的函数的性质解题.

9.ACD

【分析】由台塔的结构特征，数棱的条数，计算表面积和高，由外接球半径计算体积.

【详解】台塔下底面6条棱，上底面3条棱，6条侧棱，共15条棱，A选项正确；

台塔表面有1个正六边形，3个正方形，4个正三角形，由所有棱长均为1,

表面积为S=6x—xlxlx—+3x1x1+4x—xlxlx^"=3+B选项错误；

22222

上底面正三角形4BC在下底面正六边形。MG印内的投影为AHQC',

则。点是正六边形DEFGHI的中心，也是AA'B'C'的中心，

和AODE都是正三角形，C'是AODE的中心，

由棱长为1,则£（7=在，

3

所以台塔的高=口巫,C选项正确;

V93

设上底面正三角形/BC的外接圆圆心为。।,则半径八=g,

下底面正六边形。的外接圆圆心为。2，则半径々=1，

7

(77V(cY//7A2(/TA2

贝!j有。2+『=aH----------+—或/+12=------------------a+—,解得q=0,

3333

\)\)\7\J

44

所以火=々=1,台塔的外接球体积/=§兀叱=§兀，D选项正确.

故选：ACD

10.ABD

【分析】对A：借助赋值法，令x=y=；,计算即可得；对B：借助赋值法，令歹=一%，结合偶函数定义

即可得；对C：计算出其与/⑴不满足该关系即可得；对D：借助赋值法，令了=工-；，结合

的值与周期函数的定义计算即可得.

【详解】对A：令x=y=g,则有2/(l)/(O)=/(l)+/(l),又/'(1)=-!,

故有-2〃0)=-2,故/'(0)=1,故A正确；

对B：令丫『,则有2〃0)/(2x)=/(2x)+〃-2x),又/(0)=1,

故有/(2尤)=/(-2尤),即〃x)=/(r),又其定义域为R,

故f(x)为偶函数，故B正确；

对C：令尤=(，＞=°，则有271£|(£|=/(1)+/(0)=-1+1=0,

故=又/⑴=-1,不符合，故C错误；

对D：令y=x-g,则有2/(2-£|/］，=/(2X)+/(2X-1),

由(j=0,故/(2x)+y(2xT)=0,则/■(x)+/'(x7)=0,故/(x+l)+/(x)=0,

两式作差并整理得了(x+l)=/(xT),故2是函数f(x)的一个周期，故D正确.

8

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，对D选项，需借助=再令

y=x-g,从而消掉所给式子中的一项，再结合周期函数的定义得解.

11.AC

【分析】对A：设出尸(xj),结合题意计算即可得；对B、C：联立两方程，借助A判断有无交点即可得;

对D：借助题目定义，将|尸尸|转化为点尸到直线/的距离,从而得到2|尸4|+3归户|=2|回|+2|尸同,计算出

|上4|+|尸目的最小值即可得.

【详解】对于A,设尸(xj),则有加_2)2+/=|卜曰,整理可得卷+1=1,

故点尸的轨迹方程是《+片=1,故A正确；

95

对于B,联立直线(与点尸的轨迹方程，有<可得7/-45尤+162=0,

x2y21

—+—=1

I95

A=45?-4x7x162=2025-4536<0,故直线4与点尸的轨迹方程没有交点,

则直线4：巳+]=1不是“最远距离直线”，故B错误；

尤-+了2-2x=0

对于C,联立圆C与点尸的轨迹方程，有1尤22,可得4f_i8x+45=0,

—+—=1

[95

A=182-4x4x45=324-720<0,

故点P的轨迹与圆C:x2+/—2x=0没有交点，故C正确；

Q7

对于D,过点P作必，直线/：尤=]于点5,由题意可得|P刊=§忸同，

故2|尸+31尸尸卜2两|+2|=2(p/卜那I),

9

则当A、P、8三点共线，即直线/：X=二时，

2

有(|尸/|+|尸8%弓+1=%故2|P/|+31P刊的最小值为2x5=1]，故D错误.

故选：AC.

9

【点睛】关键点点睛：本题中D选项的判断需要注意结合题目所给定义，将忸尸|转化为点尸到直线/的距

离，从而得到21PH+31尸巴=2四+2附.

12.46

【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解.

【详解】圆q：(x+2)2+(y—2)2=9,圆心G(-2,2),半径4=3,

圆G：+(>-3)2=1,圆心G(1,3),半径々=1,

圆心距|CC|=J(—2—1)2+(2—31二而,由3-1</万<3+1,

所以两圆相交，则pW|=’(府)2_(3_1)2=&.

故答案为：仇

13.-560

【分析】首先将X+］看成一个整体，再结合一/的形式，利用二项式定理的通项公式求解.

【详解】-2y的通项公式为却|=C>,(-2了)'，

3

当r=3时，TM=C^.(-2).

10

4中，含x2项的系数为C〉X3.：=2X2

所以展开式中/式的系数为C？.(-2)3.2=-560.

故答案为：-560

142「+3

'-3-'

2ab2a\—aa+\

[详解]试题分析：――-+--五==一,+---^-=-----；，由题意得，0<a<l,令a+1=fe(l,2),

a+ba+ba+1—QQ+(1—Q)CL—Q+1

a+l_______t________]]_20+3__

22-

•**a-a+\(Z-l)-(Z-l)+lz+3_32A/3-33，当且仅当£=g=>a=百一1，6=2—百时，

t

等号成立，即所求最大值为巫口，故填：巫史.

33

考点：基本不等式求最值.

71

15.(1)C=-

(2)2

【分析】(1)利用二倍角公式化解，再结合三角形内角的范围，即可求解角C的大小；

(2)根据向量垂直的坐标表示，再结合正弦定理边角互化，得到b=2a,再根据条件和(1)的结果，利

用余弦定理，即可求解.

【详解】⑴因为百sin2c-2cos2c=1,所以6疝2。-(1+320=1,

即2|也sin2C-Lcos2c]=2.所以sin(2C-=1,

[22)I6J

7T

因为C是“8C的内角，所以c=§.

(2)因为向量应=(l,siih4)与向量万=(sin5,-2)垂直，所以sirtS-2sin4=0.

由正弦定理可得6-2a=0.所以b=2a,

由余弦定理可得=/+62-2a6cosC,c=2VL

即12=a2+(2a)2_2.a.2a-；.

解得3a2=12,a=2.所以。的值为2.

11

PE12

16.(1)—=-(2)-

''PD23

【分析】（1）借助线面平行的性质定理可得线线平行，结合中位线的性质即可得;

（2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得.

【详解】（1）如图1,连接AD,交/C于点O,连接E0.

•.•尸5//平面4£1。,尸8<Z平面/>8。,平面平面/EC=EO,

:.EOHPB,又。为8。的中点,

为尸。的中点，即P三F=：1,

PD2

图1

（2）如图2,以A为坐标原点，4瓦"）,4尸所在直线分别为x轴，了轴，z轴建立空间直角坐标系.

则/(0,0,0),c(2,1,0),3(2,0,0),q0,-.

.'.I4C=(2,1,0),2E=|。另

•••PA1平面ABCD,

，平面48c的一■•个法向量可为比=（0,0,1）.

设平面NEC的法向量为』=（x,%z）,

n-AC=2x+y=0

则一一►11，

n•AE=-y-\■—z=0

22

令厂一2,得克=（1,一2,2）,

12

/___\m-n2

cos(加，〃尸口|引=7，

平面ABC与平面AEC的夹角的余弦值为§.

17.⑴k1⑵[T1]

【分析】(1)求出导数以及切点坐标，根据导数的几何意义，即可求得答案.

(2)将原问题转化为对于任意尤都有〃x)4e恒成立，即需/(xM/We；从而结合函数的单调性,

fQm+1—777<e

确定函数的最值在哪里取到，由此列出不等式,构造函数Mx)=e'-x-e+l,利用导数即可

[e+l+m<e

求解.

【详解】(1)由于/(力=y+1一〃区机eR,故/'(0)=1,切点为(O,l)J'(x)=/e*+2x-〃？，

/'(0)=me0+2x0—m=0,

所以切线的斜率为0,“X)在点(OJ(O))处的切线方程为y=l.

(2)令g(x)=/'(x)=加e"x+2x-加，贝(jg'(x)=冽2«加"+2>0,

所以g(x)为R上单调递增函数，

因为g(O)=/'(O)=O,所以x«T0)时，r(x)<O;xe(O,l]时，/%)>0,

所以〃x)在[T0)单调递减，在(0/单调递增.

若对于任意都有/(x)Ve恒成立，即只需/*)111axWe.

因为〃x)在[T0)单调递减，在(0』单调递增，

所以/(x)的最大值为/(-1)和/⑴中最大的一个，

所以〔『一2，

/(-l)<e[e+l+m<e

设〃(x)=ex-％-e+1,(x)=ex-1,

当x<0时，当X>0时，

所以〃(x)在(-”,0)单调递减，在(0,+动单调递增.

13

/z（l）=0,/z（-l）=-+2-e<0,故当xc[T,l]时，〃（x）40.

e

fe"+1—冽（e

当加时，/?（m）<0,//（-m）<0,则<]_-成立.

[e+l+m<e

当〃>1时，由访⑴的单调性，得“"）>0,即M-〃z+l>e,不符合题意.

nm

当机<-1时，h（-m^=e'+m-e+l>/?（l）=O,gpe~+m+1>e>也不符合题意.

综上，加的取值范围为[-M].

【点睛】关键点睛：本题考查了导数几何意义的应用以及利用导数解决恒成立问题，解答的关键是将不等

式恒成立问题转化为函数的最值问题.

18.⑴/-1=1⑵直线尸。恒过定点（3,0）

【分析】（1）首先求点尸（马，力）的坐标，根据坐标表示梯形的面积，即可求解双曲线方程；

（2）首先根据条件设M（0,f）,N（0,2f）«w0）,并利用方程联立求点尸，。的坐标，并求直线尸。的方程，化

简后即可求定点坐标.

【详解】（1）由|4阕=2知，4（一1,0），4（1,。）,。=1.

当尸。//x轴时，根据双曲线的对称性，不妨设点尸（马,孙）在第一象限，

则由第|=4,可得%=2.代入双曲线。的方程，得匕；=：”3/=扬.

因为四边形尸34的面积为，所以俨°旧4阕X%=2X®.

一22

解得b=V2.

所以双曲线。的标准方程为——旦=1.

2

因为两=2两，所以可设“（O"）,N（O,2。。，。）.

14

直线4尸的方程为V=4x+1）,直线的方程为＞

又双曲线C的渐近线方程为y=+42x，

显然直线AP与双曲线C的两支各交于一点，直线A2Q与双曲线C的右支交于两点,

则有＜解得＜也.

2|z|>V2

y=£（x+l）

由12y2消去V,得（r-2）X2+2/2X+（^2+2）=0.

X-----=1

2

设点P（马，力），则5（-1）=害.解得与=-『.

t—2，—2

匚”（入2-4t

所以为-厂7+1

＜「一/J1—Z

y-—2f（x-1）

由，消去九得（2产-1卜2—4/2尤+（2»+1）=0.

x2'

2

2/+12-+1

设点。包/。），贝1]演/=.解得x

2r-1Q2r-l

+14t

所以为=-2f

当直线P0不垂直于X轴时，kp°=上3=1.

Xp—XQt—1

4ttf*+2、

所以直线P。的方程为y=-.

t—2t—Ht-2）

所以y=，也即y=；y^（x-3）.

I—ZI—11I—ZjI—1

显然直线尸。恒过定点（3,0）.

当直线尸。垂直于x轴时，由巧,=%,得》=].此时马=q=3.

直线尸。的方程为x=3,恒过定点（3,0）.

综上可知，直线尸。恒过定点（3,0）.

15

【点睛】思路点睛：一般求直线过定点问题，需求出直线方程，转化为含参直线过定点问题.

19.⑴分布列见解析；期望为g⑵(3)证明见解析

【分析】(1)根据传球游戏的规则，可得X=0,l,2,3,再根据