2024北京延庆高三一模数学试题及答案

2024北京延庆高三一模

数学

2024.03

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考

试结束后，将答题纸交回。

第一部分(选择题，共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。

(1)己知集合4={天上<3},B={1,2,3},则AB=

(A)(-oo,3)(B)(-oo,3]

(C){1,2}(D){1,2,3)

(2)若复数z满足z.i=土，贝|z=

1-i

(A)-1-i(B)-1+i

(C)1-i(D)1+i

(3)在(2X-')5的展开式中，f的系数为

X

(A)40(B)-40

(C)80(D)-80

(4)已知抛物线C:y2="的焦点为尸，点M在。上.若M到直线％=-4的距离为7,则|“用=

(A)4(B)5

(C)6(D)7

(5)已知正方形ABC。的边长为2,点P满足AP=L(AC+A£>),则AP-AC=

2

(A)4(B)5

(C)6(D)8

(6)“sin26>0”是“。为第一或第三象限角”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(7)已知函数/(x)=3，—2x—l,则不等式/(x)<0的解集是

(A)(0,1)(B)(0,+℃)

(C)(—8,0)(D)(―8,0)(J(1，+8)

(8)设a=log32,b=log96,。，贝

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(A)a>b>c(B)c>b>a

(C)b>c>a(D)b>a>c

(9)在等边△A5C中，AB=2,P为△ABC所在平面内的动点，且PA=1,。为边

3C上的动点，则线段尸。长度的最大值是

(A)V3-1(B)V3+1

(C)6+2(D)3

(10)已知在正方体ABC。-4402中，AB=1,尸是正方形ABCD内的动点，

PAPC,,则满足条件的点尸构成的图形的面积等于

(A)-(B)-

84

(C)—(D)-

168

第二部分(非选择题，共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)已知双曲线c：亡-t=1的离心率为石，则双曲线C的渐近线方程为________.

/b1

(12)△ABC的内角N,B,C的对边分别为a,b,c,已知NB=60,sinA=3sinC,b=布,贝U

c=,△ABC的面积为.

(13)已知函数/(无)=/(Oca<1)在区间(-1,0)上单调递减，则a的一个取值

为.

(14)北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块

扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向

外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则上

层有扇形石板块.

，2

x+2ax,x<l,

(15)已知函数/(x)=，alnx、给出下列四个结论：

、x

①存在实数。，使得函数/(x)的最小值为0；

②存在实数。<0,使得函数Ax)的最小值为-1；

③存在实数。，使得函数〃尤)恰有2个零点；

④存在实数。，使得函数〃x)恰有4个零点.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题14分)

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已知函数/(x)=2sinxcosx-2asin2x+a(a>0),/(x)的最大值为2.

(I)求Q的值;

(II)将/(x)的图象向右平移巴个单位得到g(x)的图象，求函数g(x)的单调增区间.

3

(17)(本小题13分)

第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行，赛程时间安排

如下表：

9:30单人雪橇第1轮

10:30单人雪橇第2轮

12月16日星期六

15:30双人雪橇第1轮

16:30双人雪橇第2轮

9:30单人雪橇第3轮

12月17日星期日10:30单人雪橇第4轮

15:30团体接力

(I)若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；

(II)若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记X为看到双人雪橇的次数，求X的分布列及期望

E(X)；

(III)若小明在每天各随机观看一场比赛，用“刍=1”表示小明在周六看到单人雪橇，“5=。”表示小

明在周六没看到单人雪橇，“自2=1”表示小明在周日看到单人雪橇，“么=。”表示小明在周日没看

到单人雪橇，写出方差ZX4),。(幺)的大小关系.

(18)(本小题15分)

如图，四棱柱48。-4片。2的底面ABC。是边长为2的正方形，侧面AO24，底面A5CO,

2。=3,E是8c的中点.

(I)求证：RB〃平面C|ED；

(II)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择：个条件作为已知，使二面角GE-片唯一确

定，并求二面角。-GE-用的余弦值.

条件①：GD=屈:

条件②：D1B=旧;

条件③：AD1QD.

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注：如果选择的条件不符合要求，第(n)问得o分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

(19)(本小题15分)

已知椭圆£:乌+工=1(。>6>0)的离心率为走，A,C分别是E的上、下顶点，|AC|=2,B,D

a-b'2

分别是E的左、右顶点.

(I)求E的方程；

(II)设尸为第二象限内E上的动点，直线尸。与直线3c交于点M,直线BP与直线CD交于点N,求

证：MN1BD.

(20)(本小题15分)

已知函数/'(x)=-ln.r+(2+a)x-2.

(I)若曲线y=/(x)的一条切线方程为y=x-l,求。的值；

(II)若函数/(x)在区间(1,2)上为增函数，求。的取值范围；

(III)若Vxe(3，+8),/(x)无零点，求。的取值范围.

e"

(21)(本小题13分)

已知数列｛%｝，记集合T=｛s(i,j)|5(z,j)=%+%+i+…1Wi<J,i,jwN*｝.

(1)若数列｛。“｝为1,2,3,写出集合T；

(II)若a”=2〃，是否存在i,jeN*,使得S(i,j)=512?若存在，求出一组符合条件的i,j；若不存

在，说明理由；

(III)若册="，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为4，与，，⑥，…，若与W2024,求

m的最大值.

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参考答案

一、选择题：(每小题4分，共10小题，共40分)

l.B2.C3.D4.B5.C6.C7.A8.D9.D10.A

二、填空题：(每小题5分，共5小题，共25分)

11.y=+—x；12.1,—；13.-；14；40515.①③

243

12题第一空3分，第二空2分；15题选对一个给3分，二个给5分，有错误不给分.

三、解答题：(共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤.)

16.解：

(I)因为/(%)=sin2%+acos2%=VlT^sin(2%+0)•2分

其中tan。=a,,3分

所以J1+/=2,,5分

又因为a〉0,

所以a二#).,,•6分

(II)因为/(%)=sin2x+V3cos2x=2sin(2x+“8分

TTTTJI

所以g(x)=2sin[2(x-—)+—]=2sin(2x-—),10分

„-,71_71-,71

则t2左兀—<2x—<2kn+—，T2分

232

7兀/,7571

K11-------SXKJlH-------,,13分

1212

TTSjr

所以函数g(x)的单调增区间为k兀-五,E+石］伏eZ)14分

没有出现女eZ扣一分,结果不写区间形式扣一分。

17.解:

(I)记”小明在每天各随机观看一场比赛，恰好看到单人雪橇和双人雪橇”为事件A由表可知，每

天随机观看一场比赛，共有4x3=12种不同方法，其中恰好看到单人雪橇和双人雪橇,共有2x2=4种不

同方法.

4I

所以尸(A)=—=_.……4分

123

(II)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.……5分

C3102

根据题意，P(X=0)=V=—=—,...6分

357

第5页供11页

c'c2204

尸（X=D=年卷....7分、

c2C151

p（X=2）=-^-±l=—=-...8分

C；357

随机变量X的分布列是:

X012

241

rP

777

9分

数学期望石（X）=0x2+lx±+2xL=g.

……11分

7777

（III）。（。）>。（幺）……13分

18.解：（I）证明：

方法一：在四棱柱A5CD—AAG2中，连结2C,设A。DG=O,连结。E,在△D/C中，因

为。、E分别为2cBe的中点，

所以OE//QB,........2分

又因为OEu平面GDE,23<2平面。]。£,........3分

所以。刀〃平面GED.........4分

方法二：在四棱柱A3CD—A4G2中，设4G中点为尸，连结BF,FE,

因为产C14BE,

所以PGE3为平行四边形，

所以FB〃JE,……1分

因为所4cq4DD{,

所以。2PE为平行四边形，

所以D///DE,……2分

因为DE|C.E=E,D{FFB=F

所以平面。尸3〃平面CQE,……3分

因为8。u平面。然

所以23〃平面C]ED.……4分

（II）解：

选择条件①：本问记为0分.

选择条件②：

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连结因为底面ABC。是正方形，

所以氏

又因为侧面ADD}AX1底面ABCD,且侧面ADD.A,「1底面ABCD=AD,

所以84,平面ADQA，

所以

在七△2A3中，因为。3=而，AB=2,

所以04=店，

在△QA。中，因为AO=2,DD[=3,

所以A。，。。-

所以DI)[上平面A3CD,即DD,1AD,DD,1CD,

又因为AD±CD,

所以如图建立空间直角坐标系。一型，........6分

其中£>(0,0,0),G(0,2,3),E(l,2,0),C(0,2,0),且。0=(0,2,3)，

DE=(1,2,0),..............7分

因为侧面A。。A±底面ABCD,平面AD24A平面ABC。=AD,

所以。C，平面ADD4,

因为平面ADD^〃平面3CC[5]

所以DC,平面3CCA,故。C=(0,2,0)为平面CEB1的一个法向量，…9分

n-DC、=0,2y+3z=0

设〃=(x,y,z)为平JOE面的一个法向量，则<1即

n-DE=0,x+2y=0

不妨设>=—3,则元=6,z=2,可得〃=(6,—3,2).12分

DCn-63

所以cos<DC,n>=14分

MH2x7497

因为二面角。-GE-4的平面角是钝角,

3

所以二面角D-CXE-BX的余弦值为一—.15分

选择条件③：ADLCXD

因为底面ABC。是正方形,

所以ADLDC,

因为AD±QD,

第7页/共11页

所以平面GDC,

因为0。u平面C℃

所以ADLDQ,

因为侧面，底面ABC。，且侧面ADD】A底面ABC。=A。，

所以。2，平面A3CD,即DD11AD,DD]±CD,

又因为ADLCD,

所以如图建立空间直角坐标系。-盯z,................6分

下面同选择条件②.

19.解:

'2b=2,

（I）由题设，£=................3分

a2

a2=b2+c2.

解得a=2,b=l.4分

所以石的方程为、+/=1.................5分

（II）方法一：

2

因为椭圆E的方程为彳+/=1,所以人（。，1），。（。一），网一犯0（2,。）,

因为P为第二象限E上的动点，设尸（加,〃）（一2<根<0,0<“<1）................6分

所以——+"2=1,gpnr=4-4n2..............7分

4

直线叨的方程为0=二二，即y='^（x-2）.................8分

n-0m—2m-2

直线3C的方程为二+2=1,即y=——1.................9分

-2-12

V-----X—1

I,2z4n-2m+41八八

由得B与二一--........10分

n..m+2n—2

直线PB的方程为曰=二，即y=/一（x+2）.................11分

n-0m+2m+2

直线CO的方程为二+二=1,即'=4-1.................12分

2-12

第8页供11页

-x-\,

y=24〃+2m+4

由,得4=13分

nm-ln+l

y=-------(x+2)

m+2

-16n2-4m2+16-16M2-4(4-4H2)+16八

XM-'N一=0,15分

(m+2n—2)(m—2〃+2)(m+2n—2)(m—2〃+2)

8mn—2m2—8n2+88mn—2(4—4zz2)—8n2+8Smn

为-------------------=-------------------------=----=1)

Smn+2m2+8n2-88mn+2(4—4n2)+8n2—8Smn

所以X“=XN，即MN18。.

方法二:

2

因为椭圆E的方程为?+y2=i,所以A（0,l）,C（0,-l）,5（-2,0）,。（2,0）,

设直线尸。的方程为y=—2）,其中一;〈左＜0.7分

y=k(x-2),?

由＜9分

k—+y2=l得靡1+4/1+4左2

[4

直线8c的方程为二+2=1,即＞=一工工一1.10分

-2-1-2

11

由«「I得"y11分

y=k{x-7)2k+X

x+2口x+2

直线尸8的方程为了—；------，即ny二12分

工-。<4+24k

1+4好

直线8的方程为2+上=1,BPy=—x-1.13分

2-12

11

y=-x-b

2汨4k-2

由,侍芍二口14分

x+2

y---------

4k

因为X”=xN,所以MN1BZ）.15分

20.解:

（I）函数/（X）的定义域为（0，+8）,设切点为（毛,%）,

因为f\x)-........1-2+,1分

x

所以—，+2+a=l,即/='

2分

xol+Q

因为%=_lnXo+(2+a)Xo_2,y0=x0-1,4分

第9页/共ll页

所以In%=(1+。)%—1,即In-一=1—1=0,

1+a

所以工=1,即a=0.......................5分

1+〃

(II)因为/'(x)=—,+2+a,/(x)在区间(1,2)上为增函数，

所以尸(%)20在(1,2)内恒成立，............7分

3

因为工£(1,2),所以/'(%)£(々+1,0+5),......................8分

所以Q+120,即〃£［一1,+8).......................10分

(III)因为尸(x)=_1+2+a=(2+""—1,xe(0,+oo),

XX

当2+4WO,即〃2时，f\x)<0,

所以/(X)在(3,+8)上单调递减，

e

因为/(g)=2+(2+")^—2W。，

ee

所以/(x)在(4,+00)上无零点，符合题意；……11分

e

当。〉—2时，令/(%)=0,则％=_^>0,

2+a

当xe(0,‘)时，/'(x)<0；当xejl,+oo)时，/'(x)〉0,

2+〃2+〃

所以f(x)的单调递减区间是(0,J);单调递增区间是(J,+8),

2+o2+〃

/(X)的最小值为/■(——)=Tn---1,……12分

2+a2+。

当—In一一-1>