2024届吉林省通化市梅河口市五中高三下学期开学考数学试题及答案

高三期初考数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合

，，则

Ax3x4Bx24x120

AB（

）A.C.

x2x4x3x2

B.D.

x3x6x6x42.若z

3i1i

，则z（

）A.2iB.12iC.12i3.已知向量a，b满足a2，ab2，则(a3b)a（

）

D.2iA.2

B.2

C.4

D.44.已知椭圆

x2m2

y216

1(m0)的上焦点为(0,3)，则m（

）A.

5

B.5

C.

7

D.75.设函数fxaxalnx(a0且a1)在区间1,上单调递增，则a的取值范围是（

）A.

e,

B.e2,

C.

2e,

D.ee,

6.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆A,B,C开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A时，场馆B仅有2名志愿者的概率为（

）A.

35

B.

2150

C.

611

D.

347.已知正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD绕着边CD旋转至EFCD,P,Q分别为线段CE,BD上的动点，且PQCD，若AF2，则PQ的最小值为（第1页/共4页

）xxA.

32

B.

22

C.

12

D.

28.已知双曲线E:

x2a2

y2b2

1(a0,b0)的离心率为2，左､右顶点分别为A1,A2，右焦点为F，B,C是E上位于第一象限的两点，AB//CF，若CF4a，则tanABA（212

）A.

77

B.

33

C.

3

D.

577二、多选题（每题5分，少选得2分，错选0分）9.下列等式中正确的是（

）A.sin15cos15

14

B.

tan71tan261tan71tan26

1C.2sin222.51

22

D.sin26cos34cos26sin34

1210.已知a0,b0，若a2b1，则（

）A.ab

12

B.ab1C.ab的最大值为

14

D.

2a

1的最小值为8b11.已知双曲线C:

x2m23

y2m2

1(m0)的渐近线方程为

y

12

x，则下列结论正确的是（

）A.m1

B.C的离心率为

5C.曲线yln(x1)经过C的一个顶点12.已知数列a-21，下列结论正确的有（n

）

D.y2

x24

1与C有相同的渐近线A.若a12，an1

an1，则a211n20B.若a1，a1

n1

2a1，则a2n1nnC.若

1

nnD.若S为等差数列n

a的前n项和，则数列n

Sn为等差数列n三、填空题（每题5分）第2页/共4页S=3n+，则数列a是等比数列2S=3n+，则数列a是等比数列213.已知向量a

1,1,b1,3，则a在b上的投影向量的坐标为______．14.已知函数fx

x3x22

3在区间2023,2023上的最大值为M，最小值为m，则Mm______．15.若函数f(3x2)的定义域为[2,3]，则函数f(2x3)的定义域为__________．16.已知椭圆C:

x24

y23

1,F,F为C的左､右焦点，P为C上的一个动点（异于左右顶点），设FPF12的外接圆面积为S1，内切圆面积为S2，则S12S2的最小值为__________．四、解答题17.已知集合Axa1xa1，Bx0x3.（1）若ABB，求实数a的取值范围；（2）若AB，求实数a的取值范围.18.已知向量a2cosx,sinx，bcosx,2cosx，设函数fxab.（1）求fx的最小正周期；π219.2021年秋全国中小学实行“双减政策”和“5+2”模式．为响应这一政策，某校开设了“篮球”“围棋”等课后延时服务课程．甲、乙两位同学在学习围棋后，切磋围棋棋艺．已知甲先手时．甲获胜的概率为

34

，乙先手时，乙获胜的概率为

710

，每局无平局，且每局比赛的胜负相互独立，第一局甲先手．（1）若每局负者下一局先手，两人连下3局，求乙至少胜两局的概率；（2）若每局甲都先手，胜者得1分，负者得0分，先得3分者获胜且比赛结束，比赛结束时，负者的积分为，求的分布列与数学期望．20.设

nn

S

2S3S4

SS

213

．S（1）求数列n的通项公式；an（

2）已知a11，设nannn

S

n

n2

1．第3页/共4页12（2）当x0,时，求函数fx的最小值.S为数12（2）当x0,时，求函数fx的最小值.S为数列a的前n项和，已知n为等比数列，且anbn1，记T为数列b的前n项和，证明：T2na21.已知正项数列n是公差为2的等差数列，且a,9,a成等比数列.12（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn.22.已知函数fx(lnx)2a(x1)2,aR．（1）当a1时，求fx的单调区间；（2）若x1是fx的极小值点，求a的取值范围．第4页/共4页3n3n高三期初考数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合

，，则

Ax3x4Bx24x120

AB（

）A.C.

x2x4x3x2

B.D.

x3x6x6x4【答案】A【解析】【分析】化简集合，由交集的概念即可求解.【详解】因为Bxx24x120x2x6，所以ABx2x4.故选：A.2.若z

3i1i

，则z（

）A.2i

B.12i

C.12i

D.2i【答案】C【解析】【分析】由复数四则运算以及共轭复数的概念即可得解.【详解】因为z

3i1i

3i1i1i1i12i，所以z12i.故选：C.3.已知向量a，b满足a2，ab2，则(a3b)a（

）A.2

B.2

C.4

D.4【答案】A【解析】【分析】由向量数量积公式计算即可得.【详解】因为a2，ab2，所以(a3b)aa23ab462.故选：A.第1页/共18页xx4.已知椭圆

x2m2

y216

1(m0)的上焦点为(0,3)，则m（

）A.

5

B.5

C.

7

D.7【答案】C【解析】【分析】由焦点概念以及平方关系即可求解.【详解】因为椭圆的焦点在y轴上，所以a4，bm．因为c2a2b2，所以3242m2，所以m故选：C.

7.5.设函数fxaxalnx(a0且a1)在区间1,上单调递增，则a的取值范围是（

）A.

e,

B.e2,

C.

2e,

D.ee,

【答案】A【解析】【分析】根据单调性与导数的关系可得fxaxlna

ax

0在1,上恒成立，进而即可求解.【详解】依题意，fxaxlna

ax

0在1,上恒成立，记gxfxaxlna

ax

，则g(x)ax(lna)2

ax2

0在1,上恒成立，fx在1,上单调递增，所以只需alnaaalna10，解得ae，故选：A．6.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆A,B,C开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A时，场馆B仅有2名志愿者的概率为（

）A.

35

B.

2150

C.

611

D.

34【答案】B【解析】【分析】首先得甲去场馆B或

2C的总数为150100，进一步由组合数排列数即可得所求概率.3第2页/共18页

3

C2C252【详解】不考虑甲是否去场馆A，所有志愿者分配方案总数为C53A3150，【详解】不考虑甲是否去场馆A，所有志愿者分配方案总数为C53A3150，A23甲去场馆A,B,C的概率相等，所以甲去场馆B或C的总数为150甲不去场馆A，分两种情况讨论，情形一，甲去场馆B，场馆B有两名志愿者共有C1C1A224种；432情形二，甲去场馆C，场馆B场馆C均有两人共有C1C212种，43场馆B场馆A均有两人共有C26种，所以甲不去场馆A时，4

23

100，场馆B仅有2名志愿者的概率为

24126100

42100

2150

.故选：B．7.已知正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD绕着边CD旋转至EFCD,P,Q分别为线段CE,BD上的动点，且PQCD，若AF2，则PQ的最小值为（

）A.

32

B.

22

C.

12

D.

2【答案】A【解析】【分析】根据线线垂直可证明线面垂直，进而根据余弦定理求解ADE120，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由于CDDE,CDAD,DEADD,AD,DE平面ADE，所以CD平面ADE，CD//EF,EF平面ADE，由于AF2,EF1，则AE3，在VADE中，利用余弦定理可得cosADE

AD2DE2AE22ADDE

1132

1,2所以ADE120，第3页/共18页过P作CD的垂线，垂足为M，由PQCD，PQIPMP,PQ,PM平面PMQ，所以CD平面PMQ，又QM平面PMQ，所以QMCD，所以PMQ120，不

妨

设

PMx，

则

QM1x，

所

以

由

余

弦

定

理

得

，PQx

2

x1x(1x)2

2

122

34

32

，故选：A．8.已知双曲线E:

x2a2

y2b2

1(a0,b0)的离心率为2，左､右顶点分别为A1,A2，右焦点为F，B,C是E上位于第一象限的两点，AB//CF，若CF4a，则tanABA（212

）A.

77

B.

33

C.

3

D.

577【答案】D【解析】【分析】由题意CF4a，F1F4a,F1C6a，余弦定理得cosCFF1，得tanBA2F，由tanBAFtanBAF3，求tanBAF，最后由tanABAtanBAFBAF求值即可.1211221【详解】设双曲线的焦距为2c，左焦点为F，离心率1

ca

2，第4页/共18页xx1xxx1x则F1F2c4a,F1C4a2a6a，由余弦定理得cosCFF1

(4a)2(4a)2(6a)224a4a

1

1又A2B//CF，所以tanBA2F37，设Bx0,y0，则tanBA1F

0

y

0

tanBAF2

0

y0所以tanBAFtanBAF12

y20x2a20

b2a2

e213，所以tanBAF1

17

，tanABAtanBAFBAF1221

tanBAFtanBAF211+tanBAFtanBAF21

3713

17

57，7故选：D．【点睛】思路点睛：双曲线与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理余弦定理和PF1PF22a，CFF1中利用余弦定理得cosCFF1，可求得tanBA2F，点B坐标满足双曲线方程，可得tanBA1FtanBA2F3，可求tanBA1F，利用A1BA2BA2FBA1F计算即可．二、多选题（每题5分，少选得2分，错选0分）9.下列等式中正确的是（

）A.sin15cos15

14

B.

tan71tan261tan71tan26

1C.2sin222.51

22

D.sin26cos34cos26sin34

12【答案】AB【解析】【分析】根据题意结合三角恒等变换逐项分析判断.【详解】对于选项A：

1sin15cos15sin302

14

，故A正确；对于选项B：

tan71tan261tan71tan26

tan7126tan451，故B正确；对于选项C：2sin222.5112sin222.5cos45

第5页/共18页

22

，故C错误；，所以tanCFF37，8xa，xa，，所以tanCFF37，8xa，xa，对于选项D：sin26cos34cos26sin34sin2634sin60故选：AB.10.已知a0,b0，若a2b1，则（-21）

32

，故D错误；A.ab

12

B.ab1C.ab的最大值为

14

D.

2a

1的最小值为8b【答案】ABD【解析】【分析】对于AB：根据题意消去a，结合b的取值范围分析求解；对于C：根据基本不等式运算求解；对于D：根据“1”的灵活应用结合基本不等式分析求解.对于选项AB：因为ab12bb1b，

12

，所以ab

12

，ab1，故AB正确；对于选项C：因为ab

224

a2b

18当且仅当a2b

12

时，等号成立，所以

1ab的最大值为，故C错误；8对于选项D：因为

2a

1b

21ab

4ba

ab

42

4baab

8，当且仅当

4ba

ab

，即

a2b

12

时，等号成立，所以

2a

1的最小值为8，故D正确；b故选：ABD.11.已知双曲线C:

x2m23

y2m2

11(m0)的渐近线方程为yx，则下列结论正确的是（2

）A.m1

B.C的离心率为

5C.曲线yln(x1)经过C的一个顶点

D.y2

x24

1与C有相同的渐近线第6页/共18页【详解】因为a0,b0，a2b1，则a12b0，可得b0,11a2b【详解】因为a0,b0，a2b1，则a12b0，可得b0,11a2b2，a2b4【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程求出m即可判断A；根据双曲线的离心率公式即可判断B；求出双曲线的顶点即可判断C；求出双曲线y2

x24

1的渐近线方程即可判断D.【详解】双曲线C:

x2m23

y2m2

1(m0)的渐近线方程为

y

mm23

12所以

mm23

12，解得

m1（m1舍去），故A正确；双曲线C:

x24

y21，所以C的离心率为

412

52

，故B错误；双曲线C:

x24

y21的顶点为2,0，因为ln210，所以曲线yln(x1)经过C的一个顶点2,0，故C正确；对于D，令y2

x24

0，则y

12

x，即y2

x24

1的渐近线方程为y

12

x，故D正确.故选：ACD.12.已知数列an

，下列结论正确的有（

）A.若a2，a1n1

an1，则a211n20B.若a1，a1

n1

2a1，则a2n1nn1C.若S=3n+，则数列ann

是等比数列D.若

nn

S【答案】ABD【解析】第7页/共18页xx，2S为等差数列a的前n项和，则数列n为等差数列nxx，2S为等差数列a的前n项和，则数列n为等差数列n【分析】直接利用累加法可判断选项A项；构造{an1}为等比数列可判断B项；利用Sn与an的关系可求得an通项公式即可判断C项；利用等差数列的前n项和公式及定义法判断等差数列即可判断D项.【详解】对于选项A，由an

1

an1，得ann1

an1，n则a20a20a19a19a18a18a17a2a1a120191822

19(202)2

2211，故A项正确；对于选项B，由an12an+1，(an11)2(an1)，所以{an1}为等比数列，首项为a112，公比为2，所以a122n12n，所以a2n1，故B项正确；nn对于选项C，因为

1S=3n+，n当n1时，a31

12

72

，当n2时，aSSnn

n1

3n3n123n1，将n1代入a23n1，得a2n1

72

，7,n1a223n1,n2

，所以数列an不是等比数列，故C项错误.对于选项D，设等差数列的公差为

d，由等差数列前n项和公式可得Snn

na1

n(n1)2n

d

a1

(n1)2

d

d2

na1

d，2所以

Sn1n1

Snn

d2

(n1)

d2

n

d2

与n无关，所以数列

S{n}为等差数列，故D项正确.n故选：ABD.三、填空题（每题5分）13.已知向量a1,1,b1,3，则a在b上的投影向量的坐标为______．,【解析】第8页/共18页得2所以n26【答案】55得2所以n26【答案】55【分析】根据向量的坐标运算可得ab,b，进而结合投影向量的定义运算求解.r【详解】由题意可得：ab134,b21910，ab所以a在b上的投影向量的坐标为r2bb

1055

26

,

.14.已知函数fx______．【答案】6【解析】

x3x22

3在区间2023,2023上的最大值为M，最小值为m，则Mm【分析】设gx【详解】设gx

x3x22x3x22

，分析可知gx为奇函数，根据奇函数的对称性分析求解.，则gx的定义域为R，且连续不断，由gxgx

x3x22

x3x22

0，可知gx为奇函数，设gx在2023,2023上的最大值为gx0，由奇函数的对称性可知gx在2023,2023上的最小值为gx0gx0，则函数fxgx3在区间2023,2023上的最大值为Mgx03，最小值为m=-g(x)+3，0所以Mmgx03gx036.故答案为：6.15.若函数f(3x2)的定义域为[2,3]，则函数f(2x3)的定义域为__________．112

【解析】第9页/共18页rrr2rrrrr41,3,.26rrr2rrrrr41,3,.26故答案为：55【答案】,2【分析】首先得f(x)的定义域为[8,7]，进一步列不等式组即可得解.【详解】因为2x3，所以83x27，所以f(x)的定义域为[8,7]，要使f(2x3)有意义，需满足82x37，解得

112

x2，所以函数

112

112

16.已知椭圆C:

x24

y23

1,F,F为C的左､右焦点，P为C上的一个动点（异于左右顶点），设FPF12的外接圆面积为S1，内切圆面积为S2，则S12S2的最小值为__________．【答案】2π【解析】【分析】当P为短轴端点时，F1PF2最大，进而求出的范围，由正弦定理得外接圆的半径R

1sin

，再利用余弦定理和三角形面积公式化简得到

FPF的面积S3tan12

2

，由三角形内切圆的半径公式可得F1PF2的内切圆半径rtan

2

1，化简可得S12S2=π2

14tan2

2

9tan24

，利用基本不等式2求出最值即可.【详解】由于

x24

y23

1，所以a2，b3，故F1F22，设F1PF2，当P为短轴端点时，最大，此时F1PF2为等边三角形，所以0

π3

，设F1PF2外接圆半径为R，则

2sin

2R，即R

1sin

，第10页/共18页f(2x3)的定义域为,2.故答案为：,2.12f(2x3)的定义域为,2.故答案为：,2.12由余弦定理得：FF12

2

PF2PF12

2

2PFPFcosPFPF1212

2

12整理可得PFPF12

61cos

，所以F1PF2的面积S

12

PFPFsin12

3sin1cos

6sincos212cos2

2

23tan2

，故F1PF2的内切圆半径r

2SPFPFFF1212

tan

2，所以S12S2πR22r2

1sin2

2tan2

2

2sincos2sin2cos222

2tan21tan2

2所

以12

(1tan2)224tan22

12tan2π22

14tan2

2

9tan24

1π22

14tan2

2

9tan24

2π，当且仅当

14tan2

2

=

9tan24

2

，即tan2

2

13

，即

π3

时取等号，所以S12S2的最小值为2π．【点睛】结论点睛：本题主要考查椭圆焦点三角形的面积以及内切圆和外接圆的半径问题，常用以下结论：(1)椭圆焦点三角形的周长l2a2c；(2)椭圆焦点三角形的面积Sb2tan

2

；(3)三角形外接圆的半径公式：

asinA

bsinB

csinC

2R；(4)三角形内切圆的半径公式：

r

2Sl

(其中S为三角形面积，l为周长)四、解答题17.已知集合Axa1xa1，Bx0x3.（1）若ABB，求实数a的取值范围；（2）若AB

，求实数a的取值范围.【答案】（1）1a2（2）1a4.第11页/共18页2PFPF1cos，1π，因为sin2，S2S=π222PFPF1cos，1π，因为sin2，S2S=π22【解析】【分析】（1）依题意可得AB，即可得到不等式组，解得即可；（2）依题意可得0a13或0a13，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】解：因为ABB，所以AB，a10所以

，即1a2；【小问2详解】解：因为AB

，所以0a13或0a13，所以1a4.18.已知向量a2cosx,sinx，bcosx,2cosx，设函数fxab.（1）求fx的最小正周期；π2【答案】（1）π（2）1【解析】

2【分析】（1）结合向量数量积的坐标运算求出

π4π2

π4

π5π

，根据函数的图象和性质即可求出结果.【小问1详解】由向量a

2cosx,sinx，bcosx,2cosx，可得fxab2cos2x2sinxcosx1cos2xsin2x22

cos2x

22

sin2x2cos2x

π4所以函数fx的最小正周期为T

2π2

π.【小问2详解】第12页/共18页a13（2）当x0,时，求函数fx的最小值.fxa13（2）当x0,时，求函数fx的最小值.fx2cos2x1，即可得出最小正周期；（2）x0,时，可得2x44,121，由（1）知

π4π2

π4

π5π

，所以当2x

π4

π时，即x

3π8

，函数fx的最小值为1

2.19.2021年秋全国中小学实行“双减政策”和“5+2”模式．为响应这一政策，某校开设了“篮球”“围棋”等课后延时服务课程．甲、乙两位同学在学习围棋后，切磋围棋棋艺．已知甲先手时．甲获胜的概率为

34

，乙先手时，乙获胜的概率为

710

，每局无平局，且每局比赛的胜负相互独立，第一局甲先手．（1）若每局负者下一局先手，两人连下3局，求乙至少胜两局的概率；（2）若每局甲都先手，胜者得1分，负者得0分，先得3分者获胜且比赛结束，比赛结束时，负者的积分为，求的分布列与数学期望．【答案】（1）

1340（2）分布列见解析，E

99128【解析】【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）依题意可得的所有可能结果为0、1、2，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；【小问1详解】解：设事件A为乙至少胜两局，则乙有负胜胜，胜负胜，胜胜负，胜胜胜四种情况，所以PA

37333733333410444104444

1340

；【小问2详解】解：依题意可得的所有可能结果为0、1、2，3

3

134

716

，P

33

334

1

2

334

24

32134

27128

，所以的分布列为第13页/共18页fx2cos2x1，当x0,时，可得2x44,1111fx2cos2x1，当x0,时，可得2x44,11111则P04+=1C113+C131=45，4444128P2C24+C4=P

0716

145128

227128所以E0

716

1

45128

2

27128

99128

；20.设S

n

为数列

nSS

43

1．S（1）求数列n的通项公式；ana1，设

S

n

n

n2

1．San（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由

2S3S4

SS

213

，得

S42a4

SS3n3n（2）由Sn与an的关系，求出bn的通项，通过放缩法证明不等式.【小问1详解】S为数列a的前n项和，nn

2SS

3

SS

21

，4

3则有

2SaSa44SS43

S42a4

SS3n3n又

S11a1

S，所以n2n1；an【小问2详解】证明：由（1）知，S2n1a，当n2时，Snn

n1

2n2a

n1

，所以aSSnn

n1

2

n1

a2n

n2

a

n1

，所以

anan1

2n22n11

,n2，第14页/共18页a的前n项和，已知Sn为等比数列，且2S3S2an（2）已知1bn1，记T为数列b的前n项和，证明：Ta的前n项和，已知Sn为等比数列，且2S3S2an（2）已知1bn1，记T为数列b的前n项和，证明：T2nannn【答案】（1）n2n1a，等比数列a的首项为1公比为2，可得通项；331，所以a，等比数列a的公比为2，n

S

n

2nan1an

12n1122n1

1

2n1

2

1

2n1

12

，因此Tbbb20212n1n12n

n2

n2n1．2a21.已知正项数列n是公差为2的等差数列，且a,9,a成等比数列.12（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn.（1【解析】a,a的两个方程，联立93212是等差数列得通项公式；（2）数列{an}的前n项和可用错位相减法求得.

212

a，解出a1，从而再由{3n}a详解：（1）因为数列n是公差为2的等差数列，所以3n

a232

a12，3则a23a118，又a1,9,a2成等比数列，所以a1a2a13a11892，aa3或a9，因为数列n为正项数列，所以a3.11所以

an3n

33

2n12n1，故an2n13n.（2）由（1）得Sn133322n13n，所以3Sn1323332n13n1，所以Sn3Sn3232333n2n13n1，第15页/共18页则bn1a2n13n【答案】）an2n则bn1a2n13n【答案】）an2n13n；（2）Snn13n13aa【详解】分析：（1）利用已知条件可列出1aa81解得13n即2S32n

323n32n13n13n1612n3n122n3n16，13故Snn13n13.点睛：解决数列求和问题首先要掌握等差数列和等比数列的前n项和公式，其次要掌握一些特殊数列的求和方法，设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{anbn}用分组求和法求和，数列{anbn}用错位相减法求和，数列{

1aa

}用裂项相消法求和.nn122.已知函数fx(lnx)2a(x1)2,aR．（1）当a1时，求fx的单调区间；（2）若x1是fx的极小值点，求a的取值范围．【答案】（1）fx在0,上单调递减（2）a,1【解析】【分析】（1）求导，构造函数gxlnxx2x，利用导数求解单调性即可求解，（2）求导，结合分类讨论求解函数的单调