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文档简介

2024-2025学年八年级[上]数学期末考试试卷

一.选择题(共10小题)

1.(2024•铁岭)如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC2△DEC,不能添

加的一组条件是()

A.BC=EC,ZB=ZEB.BC=EC,AC二DCC.BC=DC,ZA=ZDD.ZB=ZE,ZA=ZD

2.(2024•恩施州)如图,AD是△ABC的角平分线,DF_LAB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别

为50和39,则4EDF的面积为()

C.7D.3.5

3.(2024•贺州)如图,在△ABC中,ZABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交点,则BF的长是()

B.6cmC.8cmD.9cm

4.(2024•海南)如图,a、b、c分别表示aABC的三边长,则下面与^ABC肯定全等的三角形是()

5.(2024•珠海)点(3,2)关于x轴的对称点为()

A.(3,-2)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(2,-3)

6.(2024•十堰)如图,将^ABC沿直线DE折叠后,使得点B与点A重合.已知AC=5cm,△ADC的周长为17cm,

则BC的长为()

A

B.10cmC.12cmD.22cm

7.(2024•新疆)等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为()

A.12B.15C.12或15D.18

8.(2024•烟台)下列各运算中,正确的是()

A.3a+2a=5a2B.(-3a3)2=9a6C.a44-a2=a3D.(a+2)2=a2+4

9.(2024•西宁)下列分解因式正确的是()

A.3x2-6x=x(3x-6)B.-a2+b2=(b+a)(b-a)

C.4x2-y2=(4x+y)(4x-y)D.4x2-2xy+y2=(2x-y)2

10.(2024•恩施州)把x2y-2y2x+y3分解因式正确的是:)

A.y(x2-2xy+y2)B.x2y-y2(2x-y)C.y(x-y)2D.y(x+y)2

二.填空题(共10小题)

11.(2024・资阳)如图,在RtAABC中,ZC=90°,NB=60。,点D是BC边上的点,CD=1,将△ABC沿直线AD

翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P是直线AD上的动点,则△PEB的周长的最小值是

12.(2024•黔西南州)如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同始终线上,且CG=CD,DF=DE,则

ZE=度.

13.(2024•枣庄)若@2-a-b=->贝Ua+b的值为

63

14.(2024•内江)若n?-n2=6,且m-n=2,则m+n=

15.(2024•荷泽)分解因式:3a2-12ab+l2b2=.

16.(2024•盐城)使分式的值为零的条件是x=

2x-1

17.(2024•南京)使式子1+」一有意义的x的取值范围是

X-1

/一q

18.(2024•茂名)若分式£——^的值为0,则a的值是

a+3

19.在下列几个均不为零的式子,X2-4,x2-2x,x2-4x+4,x2+2x,x?+4x+4中任选两个都可以组成分式,请你

选择一个不是最简分式的分式进行化简:.

20.不变更分式的值,把分式衿回分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是

—a-0.2b

2

三.解答题(共8小题)

21.(2024•遵义)已知实数a满意a2+2a-15=0,求」--a+2+’a+l)(&+2)的值.

a+1a2-1a2-2a+l

222CV,.

22.(2024•重庆)先化简,再求值:a~6ab+9b(_5也-a-2b)-1,其中a,b满意.

a2-2aba-2ba[a-b=2

2

23.(2024・资阳)设ai=32-F,a2=52_32;…,an=(2n+1)2_(2n-1)(n为大于0的自然数).

(1)探究an是否为8的倍数,并用文字语言表述你所获得的结论;

(2)若一个数的算术平方根是一个自然数,则称这个数是"完全平方数试找出ai,a2,a”...这一列数中从

小到大排列的前4个完全平方数,并指出当n满意什么条件时,an为完全平方数(不必说明理由).

24.在仆ABC中,若AD是NBAC的角平分线,点E和点F分别在AB和AC上,且DE_LAB,垂足为E,DF±AC,

垂足为F(如图(1)),则可以得到以下两个结论:

①NAED+NAFD=180。;②DE=DF.

那么在△ABC中,仍旧有条件"AD是NBAC的角平分线,点E和点F,分别在AB和AC上”,请探究以下两个问

题:

(1)若NAED+NAFD=180。(如图(2)),则DE与DF是否仍相等?若仍相等,请证明;否则请举出反例.

(2)若DE=DF,则NAED+NAFD=180。是否成立?(只写出结论,不证明)

25.(2024•遵义)如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),

Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE_LAB

于E,连接PQ交AB于D.

(1)当NBQD=30。时,求AP的长;

(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变更?假如不变,求出线段ED的长;假如变更请说明理由.

26.(2024•江西)将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形

式,使点B、F、C、D在同一条直线上.

(1)求证:AB±ED;

(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并赐予证

27.(2024•沙河口区一模)如图,RtAABC中,ZC=90°,AC=3,BC=4.点M在AB边上以1单位长度/秒的速度

从点A向点B运动,运动到点B时停止.连接CM,将△ACM沿着CM对折,点A的对称点为点A,.

(1)当CM与AB垂直时,求点M运动的时间;

(2)当点A,落在△ABC的一边上时,求点M运动的时间.

28.已知点C为线段AB上一点,分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE,且CA=CD,CB=CE,

ZACD=ZBCE,直线AE与BD交于点F,

(1)如图1,若NACD=60。,则NAFB=;如图2,若NACD=90。,则NAFB=;如图

3,若NACD=120°,贝!]NAFB=;

(2)如图4,若NACD=a,贝IJNAFB=(用含a的式子表示);

(3)将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转随意角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上),变成如图5所示

的情形,若NACD=a,则NAFB与a的有何数量关系?并赐予证明.

CB

图4B

图5

2024-2025学年八年级[上]数学期末考试试卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.(2024•铁岭)如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC2△DEC,不能添

加的一组条件是()

A.BC=EC,ZB=ZEB.BC=EC,AC=DCC.BC=DC,ZA=ZDD.ZB=ZE,ZA=ZD

考点:全等三角形的判定.

分析:依据全等三角形的判定方法分别进行判定即可.

解答:解:A、已知AB=DE,再加上条件BC=EC,NB=NE可利用SAS证明△ABC2△DEC,故此选项不合题

思;

B、已知AB=DE,再加上条件BC=EC,AC=DC可利用SSS证明△ABC2△DEC,故此选项不合题意;

C、已知AB=DE,再加上条件BC=DC,NA=ND不能证明△ABC合△DEC,故此选项符合题意;

D、已知AB=DE,再加上条件NB=ZE,ZA=ZD可利用ASA证明△AB8△DEC,故此选项不合题意;

故选:C.

点评:本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

留意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必需有边的参加,若有两边一角对

应相等时,角必需是两边的夹角.

2.(2024•恩施州)如图,AD是△ABC的角平分线,DF_LAB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别

为50和39,则4EDF的面积为()

A.11B.5.5C.7D.3.5

考点:角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.

专题:计算题;压轴题.

分析:作DM=DE交AC于M,作DN_LAC,禾佣角平分线的性质得到DN=DF,将三角形EDF的面积转化为三

角形DNM的面积来求.

解答:解:作DM=DE交AC于M,作DN_LAC,

DE=DG,DM=DE,

DM=DG,

AD是△ABC的角平分线,DF_LAB,

DF=DN,

在RtADEF和RtADMN中,

(DN=DF,

IDM=DE'

RtADEF^RtADMN(HL),

△ADG和小AED的面积分别为50和39,

SAMDG=SAADG-SAADM=50-39=11,

SADNM=SADEF=-SAMDG=-X11=5.5

22

故选B.

点评:本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质,解题的关键是正确地作出协助线,将所求的三角

形的面积转化为另外的三角形的面积来求.

3.(2024•贺州)如图,在△ABC中,zABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交点,则BF的长是()

A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm

考点:全等三角形的判定与性质.

分析:求出NFBD=NCAD,AD=BD,证△DBFM△DAC,推出BF二AC,代入求出即可.

解答:解:7F是高AD和BE的交点,

/.ZADC=NADB=ZAEF=90°,

/.ZCAD+ZAFE=90°,ZDBF+ZBFD=90°,

,/ZAFE=ZBFD,

ZCAD二NFBD,

/ZADB=90°,ZABC=45°,

ZBAD=45°=NABD,

/.AD=BD,

在4口8尸和4DAC中

'/FBD=/CAD

,DB=AD

ZFDB=ZCDA

△DBFM△DAC(ASA),

BF=AC=8cm,

故选C.

点评:本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理的应用,关键是推出

ADBFM△DAC.

4.(2024•海南)如图,a、b、c分别表示△ABC的三边长,则下面与△ABC肯定全等的三角形是()

B

考点:全等三角形的判定.

分析:依据全等三角形的判定方法进行逐个验证,做题时要找准对应边,对应角.

解答:解:A、与三角形ABC有两边相等,而夹角不肯定相等,二者不肯定全等;

B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等,二者全等;

C、与三角形ABC有两边相等,但角不是夹角,二者不全等;

D、与三角形ABC有两角相等,但边不对应相等,二者不全等.

故选B.

点评:本题重点考查了三角形全等的判定定理,一般两个三角形全等共有四个定理,即AAS、ASA、SAS、SSS,

直角三角形可用HL定理,但AAA、SSA,无法证明三角形全等,本题是一道较为简洁的题目.

5.(2024•珠海)点(3,2)关于x轴的对称点为()

A.(3,-2)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(2,-3)

考点:关于x轴、y轴对称的点的坐标.

分析:依据关于x轴对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数可干脆写出答案.

解答:解:点(3,2)关于x轴的对称点为(3,-2),

故选:A.

点评:此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点,关键是驾驭点的坐标的变更规律.

6.(2024・十堰)如图,将4ABC沿直线DE折叠后,使得点B与点A重合.已知AC=5cm,AADC的周长为17cm,

则BC的长为()

C.12cmD.22cm

考点:翻折变换(折叠问题).

分析:首先依据折叠可得AD=BD,再由△ADC的周长为17cm可以得到AD+DC的长,利用等量代换可得BC的

长.

解答:解:依据折叠可得:AD=BD,

△ADC的周长为17cm,AC=5cm,

AD+DC=17-5=12(cm),

AD=BD,

BD+CD=12cm.

故选:C.

点评:此题主要考查了翻折变换,关键是驾驭折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形态和大小

不变,位置变更,对应边和对应角相等.

7.(2024•新疆)等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为()

A.12B.15C.12或15D.18

考点:等腰三角形的性质;三角形三边关系.

分析:因为已知长度为3和6两边,没有明确是底边还是腰,所以有两种状况,须要分类探讨.

解答:解:①当3为底时,其它两边都为6,

3、6、6可以构成三角形,

周长为15;

②当3为腰时,

其它两边为3和6,

「3+3=6=6,

二不能构成三角形,故舍去,

二答案只有15.

故选B.

点评:本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目肯定要想到两种状况,

分类进行探讨,还应验证各种状况是否能构成三角形进行解答,这点特别重要,也是解题的关键.

8.(2024•烟台)下列各运算中,正确的是()

A.3a+2a=5a2B.(-3a3)2=9a6C.a44-a2=a3D.(a+2)2=a2+4

考点:同底数幕的除法;合并同类项;幕的乘方与积的乘方;完全平方公式.

分析:依据合并同类项的法则、募的乘方及积的乘方法则、同底数幕的除法法则,分别进行各选项的推断即可.

解答:解:A、3a+2a=5a,原式计算错误,故本选项错误;

B、(-3a3)2=9a6,原式计算正确,故本选项正确;

C、aW=a2,原式计算错误,故本选项错误;

D、(a+2)2=a2+4a+4,原式计算错误,故本选项错误;

故选B.

点评:本题考查了同底数幕的除法、幕的乘方与积的乘方,解答本题的关键是娴熟驾驭各部分的运算法则.

9.(2024•西宁)下列分解因式正确的是()

A.3x2-6x=x(3x-6)B.-a2+b2=(b+a)(b-a)

C.4x2-y2=(4x+y)(4x-y)D.4x2-2xy+y2=(2x-y)2

考点:因式分解-运用公式法;因式分解-提公因式法.

专题:计算题.

分析:依据因式分解的定义,把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解,并依据提取公因式法,利用平

方差公式分解因式法对各选项分析推断后利用解除法求解.

解答:解:A、3x2-6x=3x(x-2),故本选项错误;

B、-a2+b2=(b+a)(b-a),故本选项正确;

C、4x2-y2=(2x+y)(2x-y),故本选项错误;

D、4x2-2xy+y2不能分解因式,故本选项错误.

故选B.

点评:本题主要考查了因式分解的定义,熟记常用的提公因式法,运用公式法分解因式的方法是解题的关键.

10.(2024•恩施州)把x2y-2y2x+y3分解因式正确的是()

A.y(x2-2xy+y2)B.x2y-y2(2x-y)C.y(x-y)2D.y(x+y)2

考点:提公因式法与公式法的综合运用.

分析:首先提取公因式y,再利用完全平方公式进行二次分解即可.

解答:解:x2y-2y2x+y3

=y(x2-2yx+y2)

=y(x-y)2.

故选:C.

点评:本题主要考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解,留意分解

要彻底.

二.填空题(共10小题)

11.(2024•资阳)如图,在R3ABC中,ZC=90",NB=60。,点D是BC边上的点,CD=1,将△ABC沿直线AD

翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P是直线AD上的动点,则APEB的周长的最小值是1+\质.

考点:轴对称-最短路途问题;含30度角的直角三角形;翻折变换(折叠问题).

专题:压轴题.

分析:连接CE,交AD于M,依据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时,PE+BP的值最小,即可此时4BPE

的周长最小,最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE,先求出BC和BE长,代入求出即可.

解:连接CE,交AD于M,

,沿AD折叠C和E重合,

ZACD=ZAED=90",AC=AE,ZCAD=ZEAD,

二AD垂直平分CE,即C和E关于AD对称,CD=DE=1,

当P和D重合时,PE+BP的值最小,即此时△BPE的周长最小,最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE,

•••ZDEA=90",

ZDEB=90",

ZB=60°,DE=1,

二.BE=近,BD=2石

33

即BC=1+W«,

3

△PEB的周长的最小值是BC+BE=1+2F+°T=1+,,,应

_33

故答案为:1+J^.

点评:本题考查了折叠性质,等腰三角形性质,轴对称-最短路途问题,勾股定理,含30度角的直角三角形性质

的应用,关键是求出P点的位置,题目比较好,难度适中.

12.(2024•黔西南州)如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同始终线上,且CG=CD,DF=DE,则

ZE=15度.

考点:等边三角形的性质;三角形的外角性质;等腰三角形的性质.

专题:压轴题.

分析:依据等边三角形三个角相等,可知NACB=60。,依据等腰三角形底角相等即可得出NE的度数.

解答:解:△ABC是等边三角形,

ZACB=60",ZACD=120°,

CG=CD,

ZCDG=30°,ZFDE=150°,

DF=DE,

ZE=15".

故答案为:15.

点评:本题考查了等边三角形的性质,互补两角和为180。以及等腰三角形的性质,难度适中.

13.(2024•枣庄)若@2-b2二,a-b=->则a+b的值为—

63—2―

考点:平方差公式.

专题:计算题.

分析:已知第一个等式左边利用平方差公式化简,将a-b的值代入即可求出a+b的值.

解答:解:a?-b?=(a+b)(a-b)=-l,a-b=-l,

63

a+b=—.

2

故答案为:1.

2

点评:此题考查了平方差公式,娴熟驾驭平方差公式是解本题的关键.

14.(2024•内江)若m2-n2=6,且m-n=2,则m+n=3.

考点:因式分解-运用公式法.

分析:将n?-t?按平方差公式绽开,再将m-n的值整体代入,即可求出m+n的值.

解答:解:m2-n2=(m+n)(m-n)=(m+n)x2=6,

故m+n=3.

故答案为:3.

点评:本题考查了平方差公式,比较简洁,关键是要熟识平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.

15.(2024•范泽)分解因式:3a2-12ab+12b2=3(a-2b)2.

考点:提公因式法与公式法的综合运用.

分析:先提取公因式3,再对余下的多项式利用完全平方公式接着分解即可求得答案.

解答:解:3a2-12ab+l2b2=3(a2-4ab+4b2)=3(a-2b)2.

故答案为:3(a-2b)2.

点评:本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的学问.一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用

其他方法进行因式分解,留意因式分解要彻底.

16.(2024•盐城)使分式上L的值为零的条件是x=-1.

2x-1

考点:分式的值为零的条件.

分析:分式的值为零时,分子等于零,且分母不等于零.

解答:解:由题意,得

x+l=0,

解得,x=-1.

经检验,x=-1时,x+1=0.

2x-1

故答案是:-1.

点评:本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这

两个条件缺一不行.

17.(2024•南京)使式子1+」—有意义的x的取值范围是XH1.

X-1

考点:分式有意义的条件.

分析:分式有意义,分母不等于零.

解答:解:由题意知,分母X-1H0,即XH1时,式子1+」—有意义.

X-1

故填:XW1.

点评:本题考查了分式有意义的条件.从以下三个方面透彻理解分式的概念:

(1)分式无意义=分母为零;

(2)分式有意义=分母不为零;

(3)分式值为零=分子为零且分母不为零.

/一q

18.(2024•茂名)若分式W——^的值为0,则a的值是3.

a+3

考点:分式的值为零的条件.

专题:探究型.

分析:依据分式的值为。的条件列出关于a的不等式组,求出a的值即可.

解答:2_

解:•.•分式£二的值为0,

a+3

.a2-9=0

••<,

,a+37t0

解得a=3.

故答案为:3.

点评:本题考查的是分式的值为0的条件,即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.

19.在下列几个均不为零的式子,X2-4,x2-2x,x2-4x+4,x2+2x,x?+4x+4中任选两个都可以组成分式,请你

选择一个不是最简分式的分式进行化简:—.

—x+2一

考点:最简分式.

专题:开放型.

分析:在这几个式子中随意选一个作分母,随意另选一个作分子,就可以组成分式.因而可以写出的分式有许多

个,把分式的分子分母分别分解因式,然后进行约分即可.

解答:解.x2-2xx(x2)x2

x2+2Xx(x+2)x+2

故填:上二.

x+2

点评:本题主要考查分式的定义,分母中含有字母的有理式就是分式.并且考查了分式的化简,首先要把分子、

分母分解因式,然后进行约分.

20.不变更分式的值,把分式产以分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是

4a-0.2b

2

60a+b

10a-4b

考点:最简分式.

分析:首先将分子、分母均乘以100,若不是最简分式,则肯定要约分成最简分式.本题特殊留意分子、分母的每

一项都要乘以100.

解答:解:分子、分母都乘以100得,300a+5b,

50a-20b

约分得,60a+b.

10a-4b

点评:解题的关键是正确运用分式的基本性质.

三.解答题(共8小题)

21.(2024・遵义)已知实数a满意a?+2a-15=0,求,-上+?+(a+2)的值.

a+1a2-1a2-2a+l

考点:分式的化简求值.

分析:先把要求的式子进行计算,先进行因式分解,再把除法转化成乘法,然后进行约分,得到一个最简分式,

最终把a?+2a-15=0进行配方,得到一个a+1的值,再把它整体代入即可求出答案.

解口,解.1_a+2+(a+l)(a+2)_1_________a+2.(a-1)2_1_

22-

a+1a-1a-2a+la+1(a+1)(a1)(a+1)(a+2)a+1

a-12

(a+1)2(a+1)2

a^+2a-15=0,

(a+1)2=16,

原式=2=工

168

点评:此题考查了分式的化简求值,关键是驾驭分式化简的步骤,先进行通分,再因式分解,然后把除法转化成

乘法,最终约分;化简求值题要将原式化为最简后再代值.

222/1

22.(2024•重庆)先化简,再求值:a~bab+,Jb4-(5y-a-2b)-1,其中a,b满意.

a2-2aba-2ba[a-b=2

考点:分式的化简求值;解二元一次方程组.

专题:探究型.

分析:先依据分式混合运算的法则把原式进行化简,再求出a、b的值代入进行计算即可.

(a-3b)2a-2b1

a(a-2b)(3b-a)(3b+a)a

.3b-a_1

a(3b+a)a

3b+a

a+b=4

a-b=2

a=3

b=l'

•••原式=-1

3X1+33

点评:本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

2222

23.(2024・资阳)设ai=32-F,a2=5-3,an=(2n+l)-(2n-1)(n为大于0的自然数).

(1)探究an是否为8的倍数,并用文字语言表述你所获得的结论;

(2)若一个数的算术平方根是一个自然数,则称这个数是"完全平方数试找出ai,a2,a”...这一列数中从

小到大排列的前4个完全平方数,并指出当n满意什么条件时,an为完全平方数(不必说明理由).

考点:因式分解-运用公式法.

专题:规律型.

分析:(1)利用平方差公式,将(2n+l)2-(2n-1)2化简,可得结论;

(2)理解完全平方数的概念,通过计算找出规律.

2222

解答:解:(1)an=(2n+l)-(2n-1)=4n+4n+l-4n+4n-l=8n,(3分)

又n为非零的自然数,

;.an是8的倍数.(4分)

这个结论用文字语言表述为:两个连续奇数的平方差是8的倍数(5分)

说明:第一步用完全平方公式绽开各(1),正确化简(1分).

(2)这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16,64,144,256.(7分)

n为一个完全平方数的2倍时,an为完全平方数(8分)

说明:找完全平方数时,错一个扣(1),错2个及以上扣(2分).

点评:本题考查了公式法分解因式,属于结论开放性题目,通过一系列的式子,找出一般规律,考查了同学们的

探究发觉的实力.

24.在△ABC中,若AD是NBAC的角平分线,点E和点F分别在AB和AC上,且DELAB,垂足为E,DF±AC,

垂足为F(如图(1)),则可以得到以下两个结论:

①NAED+ZAFD=180°;②DE=DF.

那么在AABC中,仍旧有条件"AD是NBAC的角平分线,点E和点F,分别在AB和AC上",请探究以下两个问

题:

(1)若NAED+NAFD=180°(如图(2)),则DE与DF是否仍相等?若仍相等,请证明;否则请举出反例.

(2)若DE=DF,则NAED+NAFD=180。是否成立?(只写出结论,不证明)

考点:全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.

专题:证明题.

分析:(1)过点D作DMJ_AB于M,DNJLAC于N,依据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DM=DN,

再依据NAED+NAFD=180。,平角的定义得NAFD+NDFN=180。,可以推出NDFN=NAED,然后利用角角

边定理证明△DME与4DNF全等,依据全等三角形对应边相等即可证明;

(2)不肯定成立,若DE、DF在点D到角的两边的垂线段上或垂线段与点A的两侧,则成立,若是同侧

则不成立.

解答:解:(1)DE=DF.

理由如下:

过点D作DM_LAB于M,DN_LAC于N,

「AD平分NBAC,DM_LAB,DN±AC,

DM=DN,

ZAED+ZAFD=180",ZAFD+ZDFN=180°,

ZDFN=ZAED,

△DME2△DNF(AAS),

DE=DF;

(2)不肯定成立.

如图,若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则肯定不成立,

经过(1)的证明,若在垂线段上或两侧则成立,

所以不肯定成立.

(2)题图

⑴题图

点评:本题考查了角平分线的性质,全等三角形的判定与性质,从题目供应信息找出求证的思路是解题的关键,

读懂题目信息比较重要.

25.(2024•遵义)如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),

Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PELAB

于E,连接PQ交AB于D.

(1)当NBQD=30。时,求AP的长;

(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变更?假如不变,求出线段ED的长;假如变更请说明理由.

考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.

专题:压轴题;动点型.

分析:(1))由△ABC是边长为6的等边三角形,可知NACB=60。,再由NBQD=30。可知NQPC=90。,设AP=x,

贝1]PC=6-x,QB=X,在RSQCP中,ZBQD=30°,PC=1QC,BP6-x=l(6+x),求出x的值即可;

22

(2)作QFLAB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,由点P、Q做匀速运动且速度相同,可知

AP=BQ,

再依据全等三角形的判定定理得出△APE2△BQF,再由AE=BF,PE=QF且PEIIQF,可知四边形PEQF

是平行四边形,进而可得出EB+AE=BE+BF=AB,DE=1AB,由等边△ABC的边长为6可得出DE=3,故

2

当点P、Q运动时,线段DE的长度不会变更.

解答:解:(1)△ABC是边长为6的等边三角形,

ZACB=60°,

•••ZBQD=30°,

ZQPC=90°,

设AP=x,贝iJPC=6-x,QB=x,

QC=QB+BC=6+x,

•.1在RtAQCP中,ZBQD=30°,

PC=—QC,即6-x=A(6+x),解得x=2,

22

AP=2;

(2)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会变更.理由如下:

作QF_LAB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,

又rPELAB于E,

ZDFQ=ZAEP=90°,

•・•点P、Q速度相同,

AP=BQ,

•••△ABC是等边三角形,

ZA=ZABC=ZFBQ=60",

在小APE和△BQF中,

•••ZAEP=ZBFQ=90°,

ZAPE=ZBQF,

,ZA=ZFBQ

在小APE和小BQF中,,AP=BQ

ZAEP=ZBFQ

AAPE2ABQF(AAS),

AE=BF,PE=QF且PEIIQF,

四边形PEQF是平行四边形,

DE=1EF,

2

EB+AE=BE+BF=AB,

DEJAB,

2

又等边△ABC的边长为6,

DE=3,

二当点P、Q运动时,线段DE的长度不会变更.

点评:本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质,依据题意作出协助

线构造出全等三角形是解答此题的关键.

26.(2024•江西)将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形

式,使点B、F、C、D在同一条直线上.

(1)求证:AB±ED;

(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并赐予证

考点:翻折变换(折叠问题);直角三角形全等的判定.

专题:几何综合题;压轴题.

分析:做此题要理解翻折变换后相等的条件,同时利用常用的全等三角形的判定方法来判定其全等.

解答:证明:(1)由题意得,NA+NB=90。,ZA=ZD,

ZD+ZB=90°,

AB±DE.(3分)

(2)---AB±DE,AC±BD

ZBPD=ZACB=90°,

在4ABC和4DBP,

'/A=/D

'ZACB=ZDPB,

BC=BP

△AB8△DBP(AAS).(8分)

说明:图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对:

AAPN2△DCN>ADEF2△DBP>AEPM2△BFM.

点评:此题考查了翻折变换及全等三角形的判定方法等学问点,常用的判定方法有SSS、SAS、AAS.HL等.

27.(2024•沙河口区一模)如图,RtAABC中,ZC=90°,AC=3,BC=4.点M在AB边上以1单位长度/秒的速度

从点A向点B运动,运动到点B时停止.连接CM,将△ACM沿着CM对折,点A的对称点为点A1

(1)当CM与AB垂直时,求点M运动的时间;

(2)当点A,落在△ABC的一边上时,求点M运动的时间.

考点:翻折变换(折叠问题).

分析:(1)由RtAABC中,NC=90。,CM与AB垂直,易证得△ACM-△ABC,然后由相像三角形的对应边成

比例,即可求得AM的长,即可得点M运动的时间;

(2)分别从当点A,落在AB上时与当点A,落在BC上时去分析求解即可求得答案.

解答:解:(1)RtAABC中,ZC=90°,CM±AB,

,ZA=ZA,ZAMC=ZACB=90",

:&ACM"△ABC,

.ACAM

"AB^AC)

AC=3,BC=4,

AB=VAC2+BC2=5,

AM=A2_=J,

AB5

二点M运动的时间为:-;

5

(2)①如图1,当点A,落在AB上时,

此时CM±AB,

则点M运动的时间为:义

5

②如图2,当点A,落到BC上时,CM是NACB平分线,

过点M作MEJ_BC于点E,作MFJ_AC于点F,

/.ME=MF,

「SAABC=SAACM+SABCM,

1AC«BC=.1AC»MF+1BC»ME,

222

J:x3x4=_x3xMF+—x4xMF,

222

解得:MF=1i,

7

ZC=90",

MFIIBC,

二△AMF-△ABC,

.MFAM

12

即工血,

4~5

解得:AM=1^,

7

综上可得:当点A,落在△ABC的一边上时,点M运动的时间为:8或

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