2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（19题新结构试卷）(含答案)

2024普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

数学

一'单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.）

1.已知集合4=｛2|2=?+1,〃€?0,则A的元素个数为（）

1

A.1B.2C.3D.4

2.函数/（尤）=尤3-3/+2的图象为曲线C,斜率为k的直线/经过点（0,2）,贝「左=0"是"/是C的切线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.盲盒里有大小、形状完全相同的3个绿球，4个红球，现抛掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从盲盒里取出

几个球.则取出的球全是绿球的概率为（）

1131

A.—B.—C.一D.-

61077

a,6,

n+i

4.已知+=4+4兄+。2%2++an+ix,〃wN*,且一=不，贝!]"=()

a27

A.4B.5C.7D.8

5.若正项等比数列｛4｝的前。项和为S“，且$6-2邑=5,则%+%+%的最小值为（）

A.10B.15C.20D.25

6.已知函数/（%）=73sincox+coscox（co>0）的最小正周期为兀，若/⑻/⑷=~4，则归+%|的值按从小到大

的顺序排列，得到数列｛%｝,则4+4=（）

兀n兀

A.—B.—C.—D.万

236

7.在空间中，到一定点的距离为定值的点的轨迹为球面，已知菱形ABC。的边长为2,ZABC=30°,P在菱

形ABC。的内部及边界上运动，空间中的点Q满足|尸。|=1,则点Q轨迹所围成的几何体的体积为（）

A.—7t+4>/3B.—7t+4C.—n+4>/3D.—TT+4

3333

8.已知抛物线C:x2=2py（p>0）的焦点为JF,直线/与抛物线C相切于点P（异于坐标原点。），与x轴交于

点。，若归耳=2,|FQ|=1,则向量产尸与尸。的夹角为（）

二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得。分.）

9.已知角。的终边过点尸（3,4）,则（）

1

“724

A.cos26=---B.tan26=---

257

02A/501

cr.cos—=---D.tan—二一

2522

10.如图，两个正四棱锥尸-ABCD和Q-ABCO的底面重合，顶点P,。位于底面两侧，且平面上4£＞，平面

QAD.设直线R4与平面ABC。所成角为a,直线QA与平面所成角为外力＜a）,直线Q1与尸C所成

角为乙则（）

c兀c兀

A.y=a-PB.a=\y-0\C.a+4<5D.(Xp~

11.我国著名数学家华罗庚先生说："就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏

味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美.”图形美是数学美的重要方面.如图，由抛物线

V=2px（p＞0）分别逆时针旋转90、180、270可围成"四角花瓣"图案（阴影区域），则（）

A.开口向下的抛物线的方程为公二义刀⑺〉。）

B.若|AB|=8,则。=2

c.设P=1,贝卜=1时，直线X=r截第一象限花瓣的弦长最大

D.无论。为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值

三'填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.）

12.已知单位向量〃力的夹角为。，向量右若卜性Z,贝Ucos8=.（写出一个可能值）

13.已知动点P,。分别在圆川：。-111附2+（'-机）2=；和曲线＞=111天上，则的最小值为.

14.欧拉函数0⑺（〃eN*）的函数值等于所有不超过正整数"，且与"互质的正整数的个数，例如：9⑶=2,

“2

欢4）=2,贝U以8）=；若仇=或可，则/的最大值为.

2

四'解答题

15.（13分）已知点尸（2,1）在椭圆。：：+，=1（。>\>0）上,且椭圆的离心率为当.

⑴求椭圆C的方程；

（2）过户作直线/交椭圆C于另一点A,求二240的面积的取值范围.

16.（15分）如图，四棱锥尸―TWCD中，PA=PD=AD=CD=2,NQAB=/ABC=90。，ZADC=60°.

1•

I•/

I，'XX

4B

（1）证明：PC±fiC；

（2）若二面角P-AD-B的大小为120。，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

17.（15分）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器.某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：

①每次祈愿获取五星角色的概率。。=0006；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定

通过"保底机制"获取五星角色；③除触发"保底机制"外，每次祈愿相互独立.设X表示在该祈愿池中连续祈

愿直至获取五星角色为止的祈愿次数.

⑴求X的概率分布；

（2）求X的数学期望（保留小数点后两位）.

参考数据：0.9949。q0.582.

18.（17分）在凸四边形ABCD中，记AB=",3C=6,CD=c,ZM=d,四边形ABCD的面积为S.已知

8+0=180°.

(1)证明：2(tzZ?+cd)cos8=—c~—d~；

(2)设。="++",证明：s=J(p-a)(p-b)(p-cXp-d)；

(3)若b=c=d=l,求四边形ABCD面积的最大值.

19.（17分）材料一：有理数都能表示成色，（s/wZ,且蜂0,s与t互质）的形式，进而有理数集可以表示

t

为｛：sJ£Z且％w。，5与t■互质｝.

材料二：我们知道.当卜卜。时，可以用一次多项式近似表达指数函数，即e，al+无；为提高精确度.可以用更

高次的多项式逼近指数函数.

n

设e*=%+《犬+。2尤2+anx+--对等式两边求导，

3

n1n

得e*=0+%+2a2x+.nanx~+(«+Y)an+lx+

对比各项系数，可得：4=22，%=3。］,…，4一1=；

1

所以4=*--------a=>=±%,取x=0,有〃o=e°=l,

n\

xn

代回原式：ex=l+-+—++一+

1!2!n\

材料三：对于公比为q(O<q<l)的等比数列{4“},当〃一转时，数列{4}的前n项和§“=也―

1-q1-q

阅读上述材料，完成以下两个问题：

⑴证明：无限循环小数3.7为有理数；

(2)用反证法证明：e为无理数(e=2.7182人为自然对数底数).

参考答案

1.C

.1..1

【详解】当〃=1时，z=i+-=i-i=O,当〃=2时，z=i+工=一1一1二一2,

i1

当〃=3时，z=i3+-^-=-i-y=O,当〃=4时，z=i4+^=1+1=2,

iii

当〃=5时，z=i5+^-=i+-=i—i=0,当〃=6时，z=i6+^-=i2+^-=—1—1=—2,

iiii

当〃=7时，z=i7+4=i3+^=-i--=0,当〃=8时，z=i8+4=i4+^=l+l=2,

iiiii

L,可知以上四种情况循环，故集合A={0,-2,2},A的元素个数为3.

故选：C

2.A

【详解】设直线/与曲线C相切的切点为。，户一3产+2),由/(幻=/一3/+2,求导得尸(%)=3/一6%,

则左=(⑺=3»_6乙直线/的方程为丁一(/一3〃+2)=(3,2—6。(％-力，

3Q

而直线/经过点(0,2),因此2-(--3〃+2)=(3〃-6f)(T),解得/=0或f=/,则左=0或左=一1，

显然点(0,2)在曲线。上，曲线C在点(0,2)处切线的斜率左=/(0)=0,切线方程为y=2,

因此经过点(0,2)且斜率上=0的直线/是曲线。的一条切线，

4

所以“左=0”是“/是C的切线”的充分不必要条件.

故选：A

3.B

【详解】设5="取出的球全是绿球"，4="掷出中=1,2,3)点”，则尸(耳)=：,

又因为从盲盒里每次取出i个球的所有取法是C；,即基本事件总数为C；,

而从袋中每次取出i个绿球的所有取法是C；,即事件所含基本事件数为C；,

所以掷出i点，取出的球全是绿球的概率为P(B|A)=m,

所以，尸⑻

故选：B.

4.A

【详解】.(x+2)”的通项公式为♦，/=(),1,2,,n,

二项式(尤+1)(x+2)"的展开式中x项的系数为弓=C>2"+CL-2"T=C>2"+C；•2"一,

x2项的系数为的=C：2.2"-2+C：T♦2"T=C•2"一2+C；•27,

|7(C«-2"+C'.r-')=6(C<2-2+Ct-2-1),

即7(2"+小2M)=6^^.2"-2+n-2"-1,即3/_5〃-28=0

:.n=4,(负值舍)，

故选：A.

5.C

【详解】因为｛2｝是正项等比数列，S6-2S3=5,即'―83=83+5,

所以S3,S6—S3,S9—臬也是等比数列，且S9-$6=%+。8+。9,

2

^E4(S6-S3)=S3X(S9-S6),

则—,=以~5；+1『25=&+,+10222^+1°=20,

、25_

当且仅当83=^,即83=5取等号，所以%+4+。9的最小值为20,故C正确.

33

故选：C.

6.D

【详解】由题意，函数f(%)=6sin公v+cosGx=2sin(s+3,

6

因为函数/(%)的最小正周期为兀，所以禅=兀，即。=2,所以%)=2sin(2x+W),

5

因为，&)/(%)=T,所以/(占)，/(尤2)分别为了(X)的最大值和最小值,

不妨设/(%)为最大值，/(%)为最小值，

JT7TJT7T

则2%+—=—+2左兀左£Z,2々+—=一+2《兀左'EZ

6262

兀

所以2玉+2X2+—=2ht+2左兀左£Z,左'£Z

兀

所以玉+X2=-----F(k+k')Tl,k.GZ,左'£Z,

6

兀5兀

所以取左+太=0时，％=一，取左+左'=1时，％=——，

66

“，兀5兀

用f以q+%=—I----=兀.

66

故选：D.

7.D

【详解】根据题意可知。的轨迹所围成的几何体截面图(过平面4成刀)，如图所示,

T-T

其中/；ADHG,CDIJ,8cAz区域内的几何体为半圆柱，

它们的高为2,底面半径为1,体积为[n*12]*2、4=4元；

AFG,BEL,CKJ,力〃区域内的几何体为球的一部分，球心分别为Z,B,0,D,

半径为1,Z.FAG=ZJCK=360°-90°-90°-150°=30°,AEBL=Z.HDI=360°-90°-90°-30°=150°,

ZFAG+ZJCK+ZEBL+ZHDI=360°,

4

所以这四个区域的几何体组成一个半径为1的完整的球，体积为§兀；

而48CZ?区域内的几何体为棱柱，高为2,体积为|gx2x2xsin30°x2卜2=4,

.、,416

所以。的轨迹所围成的几何体体积为4兀+—九+4=—兀+4

33

故选：D.

8.B

九2%

【详解】设点即。,%),抛物线c对应的函数为八力，求导得y=>

所以，直线尸Q的斜率为左=五则直线尸。的方程为=

P

即、=&一9+%=&-9+五=&-至

PPPP2Pp2P

6

需3

FP3

所以，cosFP,PQ^'^=22------,

网网2732石2

571

因为0W尸尸，尸。（兀，故FP,PQ=『

6

故选：B.

9.ABD

【详解】因为角。的终边过点P（3,4）,

33444

所以cos6=sin。=tan0=-

5-出2+4?心3

97

所以COS26=2COS23-1=2X-----1=------

2525

2x-

tan26»=2tanf=--^=-—,故A和B正确,

l-tan-61,167

1-------

9

因为2E<0<2E+]（左€Z）,

所以E<[<E+£（leZ）,即角1•的终边位于第一象限或第三象限,

n00

所以tan,〉。，但cos,〉。或cos]vO均满足题意，故C错误，

7

2tan7499

由tan6=--------^—=—2tan2—+3tan——2=0,

120322

l-tan-,乙乙

2

nni

解得tan—=-2（舍去）或tan—=—,故D正确.

222

故选：ABD

10.ACD

【详解】如下图所示：

设正方形ABCD的中心为。.

因为尸-ABCD和Q-ABCD都是正四棱锥，所以。P_L平面A3CD,。。,平面ABCD.

所以P,O,Q三点共线，尸,O,Q,C四点共面.

由线面角定义知NP4O=a,NQAO=，，

如下图在平面四边形PAQC中，

易知Z^O=ZPCO=tz,ZPCO=ZQAO+ZAFC,即a=，+/,

由线线角定义知7=。-#,所以A正确，B错误；

如图，取AD的中点E,连接尸E,QE,则QE1AD,

所以ZPEQ是二面角P-AO-。的一个平面角，

JT

因为平面面QA。，所以NPEQ=5,

设0尸=4,0。=/?2,48=2,则tan/PEO=4，tanNQEO=%，所以九饱=1,

因为tana=^^r,tan/?=,所以a+尸£1。+/。E。=],所以C正确;

8

因为tm(a+为=^^^=季=阳瓦+月)之2可卯2=20>H,

工节■方

JT兀

又0<戊+/<],所以a+/?〉§,所以D正确.

故选：ACD

11.ABD

【详解】对于A,因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(孑,。],

若抛物线逆时针旋转270°,则开口向下，焦点为

故开口向下的抛物线方程为：x2=-2py(p>0),故A正确；

对于B,由题意可知，A3关于工轴对称，

因为|AB|=8,设4(乙,%)，5(/，为)，所以以=4,%=一4,

因为点A在抛物线V=2px(〃>0)上，所以16=2p%A,

…哈即噌4所以噌T

64

由B在抛物线f=-2py(/?>0)上，所以亍■n-ZoxlY),解得p=2,故B正确;

由工;:得人2,2),

对于C,当P=l,所以0<彳<2,

212

由题意直线％=，截第一象限花瓣弦长为y="L=L,0</<2,

22

所以了=母—T,令V=0,则仁心,

当o<.<今时,y>o,函数单调递增，

当耳<%<2时，v<。，函数单调递减，

所以当时，函数取到最大值，故c错误；

对于0，由仁之得叫一")，

9

过第二象限的两抛物线分别为：x2=2py©,y2=-2px②，

2f2A

对于①，y=则炉=二，设切点坐标为,

2PPI2pJ

所以过点3的切线方程为：y+2p=^（x-2p）,

将点［见g-］代入得力+4mp-4p2=0,解得加=2p±2y［lp,

因为%v0,故机=27―2近夕=（2—20）p,

所以切线的斜率为2-2近，故无论P为何值，切线斜率均为2-2近，其与直线y二兄的夹角为定值,

由题意可知，x2=2py-^）y2=-2px关于直线丁二%对称，

故过点3的两切线也关于直线V=%对称，故y2=_2px的切线与直线V=芯的夹角为定值,

即无论P为何值，过点3且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值，故D正确.

故选：ABD

31

12-Z（或一"答案不唯一）

【详解】由题意问=0-〃

同=1|c|=2

所以cos0=^|■—e[—I/],口eZ所以只能取｛3或

1

cos3=—a

I44

31

故答案为：-（或-“答案不唯一）

13.V2--

2

【详解】由题意得M（ln双机），即圆心〃在y=e，上，半径为g,

故|尸0|的最小值等于|M0的最小值减去半径

设由于y=e，与y=lnx关于y=x对称，

|MQ|的最小值等于。到直线y=x的距离的最小值的2倍，

由y=ln无，可得L令工=1,解得"=1,

xn

故y=ln尤在点Q（l,0）处的切线与y=x平行，此时Q（l,0）到y=x的距离最小,

最小值为胃母

10

故的最小值为弓？242,

则|尸。|的最小值等于应-g.

【详解】由题设夕（2）=1,则18中与8互质的数有L3,5,7,共4个数，故°（8）=4,

在12〃中，与2"互质的数为范围内的所有奇数，共2".个，即。（2"）=2"\

2

所以“二海n(M+1)2几22〃+1-〃之

则%-2=一萍一

T2〃

当〃《2时2+1—2＞。当〃>3时々+「<0,即4<b2Vb3>2>瓦>

32_9

所以勿的最大值为a二

2^"4'

9

故答案为：4,一

4

Y2y2

15.⑴―+二=1

82

(2)(0,2].

（2）讨论直线斜率存在和不存在的情况,存在时设直线方程，联立椭圆方程，可求得/点坐标的表达式，从

而求得|PA|的表达式，再求出原点到直线/的距离，即可求得.,240的面积的表达式，结合力的取值范围，即

可求得答案.

±+±=1

:二，解得:

22

【详解】（1）由题意可得＜a=8,b=29

a24

Y2y2

所以椭圆C的方程为土+工=1.

82

（2）当直线的斜率不存在时，则直线的方程为％=2,则点A的坐标为A（2,-l）,

11

当直线A4的斜率存在时，设斜率为左，则直线的方程为丁-1=%（兀-2）[女。；

（4=工时，P,O,A三点共线）

2

设人（%,%）,5（%,%）,

y=左（x-2）+1

消去y得（软2+1卜2-（16左2一加卜+16左2-16左一4=0,

x2+4y2=8

由已知得A=（16/-8左丫一4（4e+1）（16廿_16左-4）=16（2%+1）2>0贝Ikw——

2

l6k2-16k-48廿-8k-2.8左+4

结合题意得2%=，，王

4k2+14r+1--442+1

贝，J%=4（占-2）+1=-（簟：；+1,

/8发+4丫।-%（8左+4）’

|PA|=7（x-2）2+（y-l）2

11^<4F+1J+4F+1

瞰+4|川+左2

4k2+1

而原点。到直线"的距离I-为2Z+"1=I舟|2左=-导11

2融2T

|2^-1|储+4|&+/12

所以SA”=2

^-乂-4^711+4P1+44

12222

因为女力士一,所以1+4二€（1,2）3（2,+8）,0<------7<2且------1<1-------------------^<1且1---------H0,

2V7V'1+4左21+4F]+4〃1+必72

2-〜

所以°<1-1+4k2<1，从而°<SM，<2,

综上可知，，出。的面积的取值范围为（0,2].

16.（1）证明见解析

⑵叵

70

12

【详解】(1)取AD的中点0,连接0尸，0C,AC,

因为PA—PD-AD-CD—2,ZADC=60,

所以△APD和△ACD都是等边三角形，

所以ADLOP,AD1OC,OPcOC=O,。尸,OCu平面P0C,

所以AD_L平面尸0C,尸Cu平面尸0C,所以AD_LPC,

因为ND43=NABC=90,所以AEV/BC,所以尸C_LBC.

(2)由(1)^ADIOP,AD1OC,则二面角P—AD—3的平面角为/POC=120°,OP=OC=石,

且AD,平面尸OC,A£)u平面A8CD,所以平面「OCL平面A8CD,平面POCc平面A3CD=OC,

在平面POC内作_LOC交PC于点M,所以Q0_L平面ABCD,

建立如图所示的空间直甬坐标系。-孙z,

则0(—1,0,0),B(1,^,0),C(0,V3,0),P0,-y^,|,

。,"3

所以尸8=,DC=(1,73,0),

“2，222

设平面PCZ)的一个法向量为〃=(x,y,z),贝卜

n-DC=x+6y=0

设直线PB与平面PCD所成角为。

37330

---------------

22>/210

70

--73+1+3

所以直线尸B与平面PC。所成角的正弦值为Y迎

70

[,、i-_1

(1一P。)为，14左〈89#eN

17.(1)P(X=k)=<

«_。0)8\上=90

⑵E(X卜69.67

【详解】(1)解：将每次祈愿获取五星角色的概率记为Po,X的所有可能取值为1、2、3、L、90.

则尸(X=l)=p(),P(X=2)=(1-p0)p0,P(X=3)=(l-po)2po，L,

13

89

产(X=89)=(l—pj%,P(X=9O)=(l-Po),

/XPo/<k<89,keN*

所以X的概率分布为P(X=k)=\"

(1-Po)水=90

(2)解：X的数学期望E(X)=1xP(X=l)+2xP(X=2)+3xP(X=3)+…+90xP(X=90)

289

=lxp0+2x(l-p0)p0+3x(1-p0)p0+---+90x(1-p0),①

2390

(l-po)TO=lx(l-po)Po+2x(l-Po)p0+3x(l-po)po+-+90x(1-p0),②

①-②得，A)E(X)=00+(l-0o)4+(1-00)2%+…+(1-。o)8800+90x(1-00户

90

-89x(1-00/po-9Ox(l-po),

已(')=1+(1-办)+(1-办)4-+(一外)"+吗上遢1_89><"外产-胆11二贯1

PoPo

=1+(1-Po)+(1-Po)2+---+(1-Po)88+90X^1P(^

Po

88

=]+(l_Po)+(l_Po)2+…+(1—,0)+(1_，0户=1O"),

Po

因为Po=0.006,所以E(x)=1一"一⑷=」"9949。Q1-0,582°6967

7

'p00.0060.006

18.(1)证明见解析

⑵证明见解析

⑶遇

4

【详解】(1)解：设AC=x.在ABC和ACD中，

由余弦定理得：X2=a2+b2-2abcosB,x2=c2+d2-2cdcosD.

整理得2(a/>cos_B-afcos£))=a2+/一/

因为B+D=7l,所以cosO=cos(%—5)=-cos5,

代入上式得2(而+cd)cos3=〃2+)2一02-12

⑵连接AC,树和ACD的面积分别为S3—sgS/9通如图示:

因为3+£)=兀，所以sinD=sin(兀-5)=sinB,

14

从而S=S钻。+SAC。=；("b+cd)sinB.

所以S?=sin2B(^ab+cd)2=^-(1-cos2B^^ab+cd)2=；(ab+cd/一;[(〃/?+cd)cos^j

=±(2〃Z?+2cd)2-A"+b2-c2