广东省湛江雷州市2024届中考三模数学试题含解析

广东省湛江雷州市2024届中考三模数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，AB是。。的直径，弦CDLAB于E,NCDB=30。，的半径为道，则弦CD的长为（）

3

A.—cmB.3cmC.2y/3cmD.9cm

2

2.如图，在用AABC中，ZC=90，AB=10,AC=8,贝！JsinA等于（

2?

3.下列各数3.1415926,,回兀,屈,百中，无理数有（

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.如图，A3是。。的直径，弦垂足为点E,点G是AC上的任意一点，延长AG交。C的延长线于点

F,连接GCGRAD.若NB4£>=25°,则N4GD等于（）

A.55°B.65°C.75°D.85°

6.下列几何体中，三视图有两个相同而另一个不同的是（）

(1)(2)(3)(4)

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)

7.如图，在。O中，弦AC〃半径OB,Z]3OC=50°,则/OAB的度数为()

e

A.25°B.50°C.60°D.30°

8.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E,点A的对应点为点D,当点E恰好落在边AC上时,

连接AD,若NACB=30。，则NDAC的度数是（）

D

BC

9.将抛物线y=（x-+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）

A.y=(x-2)2B.y=(x-2p+6C.y=x2+6D.y=x2

10.已知xi,X2是关于x的方程x?+bx-3=0的两根，且满足X1+X2-3xiX2=5,那么b的值为（）

A.4B.-4C.3D.-3

11.如图，PA切。O于点A,PO交。O于点B,点C是。O优弧弧AB上一点，连接AC、B,C,如果NP=NC,0O

1

D.—it

12

12.将一圆形纸片对折后再对折，得到下图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形

是（）

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E,F分别在边BC和CD上，贝!JNAEB=，

14.如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F,则NAFE的度数为

CD

15.如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60。方向上，继续向东航行10海里到达点B

处，测得小岛C在轮船的北偏东15。方向上，此时轮船与小岛C的距离为海里.（结果保留根号）

16.若关于x的方程x2-V2x+sina=0有两个相等的实数根，则锐角a的度数为一.

17.将一个底面半径为2,高为4的圆柱形纸筒沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图形面积为.

18.如果一个正多边形的中心角为72。，那么这个正多边形的边数是.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）综合与探究：

如图1,抛物线y=-3x2+2月x+石与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点.经过

33

点A的直线1与y轴交于点D（0,-73）.

（1）求A、B两点的坐标及直线1的表达式；

（2）如图2,直线1从图中的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，运动中直线1与x轴交于点E,

与y轴交于点F,点A关于直线1的对称点为A，，连接FA，、BAS设直线1的运动时间为t（t>0）秒.探究下列问

题：

①请直接写出A，的坐标（用含字母t的式子表示）；

②当点A，落在抛物线上时，求直线1的运动时间t的值，判断此时四边形A，BEF的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，探究：在直线1的运动过程中，坐标平面内是否存在点P,使得以P,A，，B,E为顶点的四

20.（6分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生

进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表.

组别分数段频次频率

A60<x<70170.17

B70<x<8030a

C80<x<90b0.45

D90<x<10080.08

请根据所给信息，解答以下问题:

⑴表中a=,b=；

⑵请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；

（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机

选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率.

21.（6分）学了统计知识后，小红就本班同学上学“喜欢的出行方式”进行了一次调查，图（1）和图（2）是她根据采

集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答以下问题：

（1）补全条形统计图，并计算出“骑车”部分所对应的圆心角的度数.

（2）若由3名“喜欢乘车”的学生，1名“喜欢骑车”的学生组队参加一项活动，现欲从中选出2人担任组长（不分正副）,

求出2人都是“喜欢乘车”的学生的概率，（要求列表或画树状图）

22.（8分）已知关于x的一元二次方程d-（2m+3）x+m2+2—l.

（1）若方程有实数根，求实数，"的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为XI、X2,且满足处2+也2=31+四刈|,求实数机的值.

23.（8分）观察下列多面体，并把下表补充完整.

名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱

图形0H

顶点数a61012

棱数6912

面数C58

观察上表中的结果，你能发现。、b.C之间有什么关系吗？请写出关系式.

24.（10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度•他们在C处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为45，

再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为60，求建筑物的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到01米,

A/3»1.732,V2«1.414）

建

筑

物

25.（10分）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书“，某校对八年级

部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并

根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：

本数（本）频数（人数）频率

5a0.2

6180.1

714b

880.16

合计50C

频数

我们定义频率=.二：如,比如由表中我们可以知道在这次随机调查中抽样人数为50人课外阅读量为6本的同学为

抽样人数

1Q

18人，因此这个人数对应的频率就是'=0.1.

50

（1）统计表中的a、b、c的值；

（2）请将频数分布表直方图补充完整；

（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；

（4）若该校八年级共有600名学生，你认为根据以上调查结果可以估算分析该校八年级学生课外阅读量为7本和8

本的总人数为多少吗？请写出你的计算过程.

i2

26.(12分)已知C为线段A5上一点，关于x的两个方程］(x+l)=机与§(x+7")=机的解分别为线段AC,5c的

长，当m=2时，求线段的长；若C为线段A6的三等分点，求m的值.

27.(12分)计算：-22+2COS60°+(n-3.14)°+(-1)2018

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1,B

【解析】

解：VZCDB=30°,

.,.ZCOB=60°,

又；OC=BCDLAB于点E,

.••sin60°=^=窄,

273

—3

解得CE=—cm,CD=3cm.

2

故选B.

考点：L垂径定理；2.圆周角定理；3.特殊角的三角函数值.

2、A

【解析】

分析：先根据勾股定理求得BC=6,再由正弦函数的定义求解可得.

详解：在RtAABC中，VAB=10>AC=8,

：•BC=VAB2-AC2=V102-82=6，

BC63

・・sinA==——=­・

AB105

故选：A.

点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义.

3、B

【解析】

根据无理数的定义即可判定求解.

【详解】

在3.1415926,回兀，屈,中，

22

屈=4,3.1415926,——是有理数，

7

圾,万，若是无理数，共有3个，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…,

等有这样规律的数.

4、B

【解析】

连接BD,利用直径得出NABD=65。，进而利用圆周角定理解答即可.

【详解】

.,.ZABD=90°-25°=65°,

；.NAGD=NABD=65。,

故选B.

【点睛】

此题考查圆周角定理，关键是利用直径得出NABD=65。.

5,B

【解析】

试题分析：根据NAOD=20。可得：ZAOC=70°,根据题意可得：ZBOC=ZAOB+ZAOC=90°+70°=160°.

考点：角度的计算

6、B

【解析】

根据三视图的定义即可解答.

【详解】

正方体的三视图都是正方形，故（1）不符合题意；

圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是圆，故（2）符合题意；

圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形，故（3）符合题意；

三棱锥主视图是口、左视图是,俯视图是三角形，故（4）不符合题意;

故选B.

【点睛】

本题考查了简单几何体的三视图，熟知三视图的定义是解决问题的关键.

7、A

【解析】

如图，VZBOC=50°,

AZBAC=25°,

VAC/7OB,

.\ZOBA=ZBAC=25°,

VOA=OB,

.\ZOAB=ZOBA=25°.

故选A.

8、D

【解析】

由题意知：△ABgADEC,

：.ZACB^ZDCE=30°,AC=DC,

：.ZDAC=(180°-Z£)CA)4-2=(180°-30°)4-2=75°.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等.②对应点与旋转中心

所连线段的夹角等于旋转角.③旋转前、后的图形全等.

9、D

【解析】

根据“左加右减、上加下减”的原则，

将抛物线y=(x—Ip+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y=(x-l+l)2+3^y=x2+3；

再向下平移3个单位为：y=x2+3-3=>y=x2.故选D.

10、A

【解析】

根据一元二次方程根与系数的关系和整体代入思想即可得解.

【详解】

Vxi,X2是关于X的方程x2+bx-3=0的两根，

/.Xl+X2=-b,X1X2=-3,

X1+X2-3xiX2=-b+9=5,

解得b=4.

故选A.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)，

韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a,0)有两个实数根xi,X2,那么xi+x2=>xiX2=.

11、A

【解析】

利用切线的性质得NOAP=90。，再利用圆周角定理得到NC=LNO,加上NP=NC可计算写出NO=60。，然后根据弧

2

长公式计算劣弧A5的长.

【详解】

解：YPA切。O于点A,

/.OA±PA,

，NOAP=90°,

1

VZC=-ZO,ZP=ZC,

2

:.ZO=2ZP,

而NO+NP=90。，

.*./O=60°,

小,"田I，60?见

二劣弧AB的长=-------=一乃.

1803

故选：A.

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理和弧长公式.

12、C

【解析】

严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来.

【详解】

根据题意知，剪去的纸片一定是一个四边形，且对角线互相垂直.

故选C.

【点睛】

本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力.对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、75

【解析】

因为△AEF是等边三角形，所以NEAF=60。，AE=AF,

因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD,ZB=ZD=ZBAD=90°.

所以R3ABE丝RSADF(HL),所以NBAE=NDAF.

所以ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=90°-60°=30°,

所以NBAE=15°,所以NAEB=90°-15°=75°.

故答案为75.

14、72°

【解析】

首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE,ZABC=ZBAE=108°,然后利用三角形内角和定理得

ZBAC=ZBCA=ZABE=ZAEB=（180°-108°）+2=36。，最后利用三角形的外角的性质得到

ZAFE=ZBAC+ZABE=72°.

【详解】

•.,五边形ABCDE为正五边形，

.*.AB=BC=AE,ZABC=ZBAE=108°,

/.ZBAC=ZBCA=ZABE=ZAEB=（180°-108°）+2=36。，

ZAFE=ZBAC+ZABE=72°,

故答案为72°.

【点睛】

本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键

15、572

【解析】

如图，作BHLAC于H.在RtAABH中，求出BH,再在RtABCH中，利用等腰直角三角形的性质求出BC即可.

【详解】

在RtAABH中，VAB=10海里，ZBAH=30°,

/.ZABH=60o,BH=-AB=5（海里），

2

在RtABCH中，•.,NCBH=NC=45。，BH=5（海里），

；.BH=CH=5海里，

:.CB=50（海里）.

故答案为：5血.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题.

16、30°

【解析】

试题解析：•••关于X的方程f—缶+sin0=0有两个相等的实数根，

••…=卜0)-4xlxsina=0,

解得：sintz=—,

2

二锐角a的度数为30°;

故答案为30°.

17、」尽

【解析】

试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.

由题意得圆锥的母线长蜉=£因

则所得到的侧面展开图形面积;防以为痣后==J7:.

考点：勾股定理，圆锥的侧面积公式

点评：解题的关键是熟记圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积=：底面半径母线.

18、5

【解析】

试题分析：中心角的度数="360072°=—360°,〃=5

nn

考点：正多边形中心角的概念.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)A(-1,0),B(3,0),y=-&x-舟

(2)①A，昱t)；②A，BEF为菱形，见解析；

22

(3)存在，P点坐标为(2,拽)或((，-迥).

3333

【解析】

(1)通过解方程-gx2+：gx+g=0得A(-1,0),B(3,0),然后利用待定系数法确定直线1的解析式;

(2)①作A'HLx轴于H,如图2,利用OA=1,OD="得到NOAD=60。，再利用平移和对称的性质得到EA=

EA，=t,NA，EF=NAEF=60。，然后根据含30度的直角三角形三边的关系表示出AHEH即可得到A，的坐标;

②把A，—40代3-冬+笠+人得普叶孚+尺争，解方程

得到t=2,此时A，点的坐标为(2,g),E(l,0),然后通过计算得到AF=BE=2,AT//BE,从而判断四边形A，BEF

为平行四边形，然后加上EF=BE可判定四边形ABEF为菱形；

3

(3)讨论：当A，B，BE时，四边形A，BEP为矩形，利用点A，和点B的横坐标相同得到一tT=3,解方程求出t得

2

到A，(3,勺8),再利用矩形的性质可写出对应的P点坐标；当ABJLEA，，如图4,四边形ABPE为矩形，作A，Q，x

3

轴于Q,先确定此时A，点的坐标，然后利用点的平移确定对应P点坐标.

【详解】

(1)当y=0时，-K^x2+2J^x+石=0,解得xi=-l,X2=3,则A(-1,0),B(3,0),

33

设直线1的解析式为y=kx+b,

l-k+b=0k=—y/3

把A(-1,0),D(0,-出)代入得｛厂，解得｛「

b=-s!3b=-y/3

直线1的解析式为y=-6x-石;

(2)①作A'HLx轴于H,如图，

VOA=1,OD=V3,

...NOAD=60。，

；EF〃AD,

...NAEF=60。，

:点A关于直线1的对称点为N,

.*.EA=EA'=t,NA'EF=NAEF=60°,

在RtAA,EH中，EH=-EAr=-t,ArH=J3EH=—t,

222

13

/.OH=OE+EH=t-l+-t=-t-1,

22

•*.Ar(-1-1,t)；

22

②把A'(3-1,Bt)代入y=-1x2+述X+6得-B(-t-1)2+RI(-t-1)+g=@t,

解得ti=O(舍去)，t2=2,

...当点A，落在抛物线上时，直线1的运动时间t的值为2；

此时四边形A，BEF为菱形，理由如下：

当t=2时，A，点的坐标为(2,百)，E(1,0),

ZOEF=60°

.,.OF=73OE=73,EF=2OE=2,

，F(0,73)>

；.A，F〃x轴,

,."AT=BE=2,AT//BE,

四边形A，BEF为平行四边形，

而EF=BE=2,

二四边形ABEF为菱形；

当A，BJ_BE时，四边形A，BEP为矩形，则3-1=3,解得t=§,则A，（3,勺8）,

233

5

VOE=t-1=-,

3

二此时p点坐标为（*,生8）；

33

当A'BLEAl如图，四边形A，BPE为矩形，作A，Q_Lx轴于Q,

■:ZAEAr=120°,

JZArEB=60°,

AZEBAr=30°

・•・BQ=石A，Q=^/3*—t=1t,

22

334

—t-1+—1=3,解得t=—,

223

此时A，(1,^1),E(-,0),

33

点A，向左平移三个单位，向下平移口8个单位得到点E,则点B(3,0)向左平移三个单位，向下平移其1个单位

3333

得到点P,则P(z,-空),

33

综上所述，满足条件的p点坐标为(*,生8)或(工，-2叵).

3333

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、菱形的判定和矩形的性质;

会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质.

20、(1)0.3,45；(2)108°；(3)

6

【解析】

(1)首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得“、6；

(2)B组的频率乘以360。即可求得答案；

(2)画树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；

【详解】

30

(1)本次调查的总人数为17+0.17=100(人)则“=—=0.3,6=100x0.45=45(人)

故答案为0.3,45；

(2)360°x0.3=108°.

答：扇形统计图中3组对应扇形的圆心角为108。.

(3)将同一班级的甲、乙学生记为A、B,另外两学生记为C、D,画树形图得:

21

•.•共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，甲、乙两名同学都被选中的概率为不=：.

【点睛】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

21、(1)补全条形统计图见解析；“骑车”部分所对应的圆心角的度数为108。；(2)2人都是“喜欢乘车”的学生的概率

*

【解析】

(1)从两图中可以看出乘车的有25人，占了50%,即可得共有学生50人；总人数减乘车的和骑车的人数就是步行

的人数，根据数据补全直方图即可；要求扇形的度数就要先求出骑车的占的百分比，然后再求度数；(2)列出从这4

人中选两人的所有等可能结果数，2人都是“喜欢乘车”的学生的情况有3种，然后根据概率公式即可求得.

【详解】

(1)被调查的总人数为25+50%=50人；

则步行的人数为50-25-15=10人；

如图所示条形图，

骑车”部分所对应的圆心角的度数=—x360°=108°；

(2)设3名“喜欢乘车”的学生表示为4、B、C,1名“喜欢骑车”的学生表示为O,

则有45、AC.AD.BC、BD、C£)这6种等可能的情况，

其中2人都是“喜欢乘车”的学生有3种结果，

所以2人都是“喜欢乘车”的学生的概率为工.

2

【点睛】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

22、(1)m>-—；(2)m=2.

12

【解析】

(1)利用判别式的意义得到(2"+3)2-4(,/+2)>1,然后解不等式即可；

(2)根据题意XI+*2=2»I+3,xiX2—m2+2,由条件得X，+X22=31+XIX2,再利用完全平方公式得(X1+X2)2-3x1X2-31

=1,所以2机+3)2-3G/+2)-31=1,然后解关于，〃的方程，最后利用，〃的范围确定满足条件的机的值.

【详解】

(1)根据题意得(2m+3)2-4(m2+2)>1,

解得m>-—；

12

(2)根据题意xi+x2—2m+3,xiX2—m2+2,

因为xiX2=m2+2>l,

所以X12+X22=31+X1X2>

即(X1+X2)2-3X1X2-31=1,

所以(2m+3)2-3(m2+2)-31=1,

整理得m2+12m-28=1,解得mi=-14,mi=2,

工1

而论----；

12

所以m=2.

【点睛】

bc

本题考查了根与系数的关系：若Xi,X2是一元二次方程〃好+加;+C=1(〃声1)的两根时，%+九2=，七%2二—・灵活

aa

应用整体代入的方法计算.

23、8,15,18,6,7；〃+c—b=2

【解析】

分析：结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与n棱柱的关系，可知n棱柱一定

有（n+1）个面，In个顶点和3n条棱，进而得出答案,

利用前面的规律得出a,b,c之间的关系.

详解：填表如下：

名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱

图形O0®

顶点数a681011

棱数b9111518

面数c5678

根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为n,则它有n个侧面，共有n+1个面，共有In个顶点，共

有3n条棱；

故a,b,c之间的关系：a+c-b=l.

点睛：此题通过研究几个棱柱中顶点数、棱数、面数的关系探索出n棱柱中顶点数、棱数、面数之间的关系（即欧拉

公式），掌握常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n+1）个面，In个顶点和3n条棱是解题关键.

24、14.2米；

【解析】

RtAADB中用AB表示出BD、RtAACB中用AB表示出BC,根据CD=BC-BD可得关于AB的方程，解方程可得.