2023-2024学年高三年级下册3月适应性考试数学试题(新高考金卷)

新高考金卷2024届全国II卷适应卷(三)

数学试题

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间120分钟；

2.考生答题前请在规定位置填写姓名、班级、考号等相关信息，在答题卡上正确填涂准考证

号(或粘贴条形码)并仔细核对自己的信息；

3.选择题请用2B铅笔在答题卡对应的位置准确填涂，非选择题请用05mm黑色字迹签字笔在

答题卡的非选择题区域作答；在本试卷及草稿纸上作答，答案无效；

4.考试结束后，本试题、答题卡、草稿纸一并收回，请勿带出考场

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

I.设i为虚数单位，则f—U+Y=()

A.-1B.1C.iD.-i

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的除法和乘方运算来计算.

故选：B.

2.已知集合2=卜卜2一3x—4<0卜5={X|X2-«X=0},若/eg中有且仅有两个元素，则实数0的范

围为()

A.(-1,4)B.(-1,0)C.(0,4)D.(-l,O)U(O,4)

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合5中元素，代入集合A即可.

【详解】因为中有且仅有两个元素，

则8={巾2_"=0}={0,々},awO,

0-0-4<0

所以《解得一1<Q<4,且QWO.

a23(7—4<0

故选：D.

3.某生产线正常生产状态下生产的产品A的一项质量指标X近似服从正态分布N（10,CT2）,若

P（X<a）=P（X21—2a）,则实数。的值为（）

A.-10B.-19C.10D.19

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由正态曲线的性质，代入计算，即可得到结果.

【详解】由题可知，正态曲线关于X=10对称，

且P（X<a）=P（X»l—2a）,

<7+1-2（7，八

则---------=10,解得ZD。=-19.

2

故选：B

4.设。为双曲线的中心，以双曲线的实轴为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于48两点，若AAOB为等

边三角形，则双曲线的离心率为（）

A.B,或2C.-D.&或2

3333

【答案】B

【解析】

【分析】分两种情况，ABOx=60°和ZBOx=30°分别求解即可.

【详解】焦点在x上和焦点在了上结果一样，故不妨取双曲线的焦点在无轴上,

若为图1：则N6Ox=60°，

则tanZBOx=tan60°=6=—,

a

则e二2,

若为图2：则N8Ox=30°，

/aA

则tan/BQx=tan30°=——=—，

故选：B.

5.已知平面向量2,g满足=,卜W=2,设0=1+正QER）,则卜|的最小值为（）

则当，二---时，卜|=V3.

2IImin

故选：A.

6.已知三棱锥P—48C中，PA=PB^PC=2AB=2BC=4乙480=120。，则三棱锥P—Z5C外

接球的表面积为（）

166464D.处3

A.—71B.——71C.---71

332727

【答案】B

【解析】

【分析】由题意画出图形，结合已知求出底面三角形外接圆的圆心，进一步找出三棱锥外接球的球心，由

三角形相似求得外接球的半径，则答案可求.

【详解】由P4=P5=PC=4,过尸作垂足为G,则G为的外心,

在2U5C中，AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=22+22-2x2x212,

故ZC=25

设445。的外接圆半径为小

4c

则2/二-------二4,即r=2,即BG=2

sin120°

所以PG=^PB2-BG2=273,

取P5的中点〃，过H作HOLPB交PG于O,则。为三棱锥外接球的球心,

PHPCT

由APOH~&PGB可得---=----,

POPB

PHPB2x44

则PO=

PG273-V3

4

即外接球半径为国

64

所以外接球的表面积为4兀=一71.

3

故选：B.

7.设a,tanct=mtan/?,sin(a—/?)=1,若满足条件的a与尸存在且唯一，则

tanciftan/?=()

A-IB.1C.2D.4

【答案】B

【解析】

3

【分析】先由tana=冽tan/?,可得sinacos/?=加cosasin/?,再根据sin(a-B)=W结合两角差的

正弦公式求出sinacos/?,cosasin/7,进而可求出sin(a+/?),再根据唯一，性可求出加，再求出

tan(cif-/?),结合两角差的正切公式求出tan。,tana,即可得解.

c,sinamsmB_

【详解】由tana=加tanQ，得-----=-------,gpsmcifcosp=mcosasmp,

cosacosP

3

所以sin(a—二sinacos/?-cosasin/?=(加一l)cosasin'=—,

33m

所以cosasin/?=——------,所以sinacos，=mcosasinp二

5(加-1)'

3(m+l)

所以sin(a+J3)=sinacosP+cosasinp=

5(m-l)?

因为a,0ef0,^,所以a+Pe(O,7i),

因为满足条件的。与。存在且唯一，所以a+,唯一,

所以sin(a+夕)=3----乙=1，

5(加一1)

所以加=4,经检验符合题意,

所以tana=4tan0,

因为巴夕所以所以cos(er一夕)=^1-sin2=y,

/3tana-tanB4tanB-tanB

则tan(—)=7„器=1+2/J解得匕2

所以tanatan/3=4tan20=1.

故选：B.

8.已知函数/(x)=ae*-(a-l)x+l->0),g(x)=x+b,点尸与。分别在函数y=/(x)与

y=g(x)的图象上，若|P@的最小值为后，则6=()

A.-1B.3C.-1或3D.1或3

【答案】C

【解析】

【分析】平移直线使其经过点尸，则切线斜率为1,利用导数求出切点坐标，再根据点到直线距离公式即可

得到方程，解出即可.

【详解】因为/'(x)=ae*—(a—1),令/'(x)=l,解得x=0,

而/(0)=t7+l-«=1,

则函数y=/(x)的图象在点(0,1)处的切线方程为y=x+1,

则।PQ|min=V2,即点(0,1)到直线x—y+b=0的距离为41，

所以也＞=解得b=3或6=-1,

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图所示，圆台的母线与下底面的夹角为60。，上底面与下底面的直径之比为1:2,/尸为一条母线，且

AP=2,。为下底面圆周上的一点，/4BD=30。，贝(I()

A.三棱锥尸-/BD的体积为2B.圆台的表面积为11兀

C.△P6D的面积为3gD,直线4P与AD夹角的余弦值为3

4

【答案】ABD

【解析】

【分析】由三棱锥的体积公式即可判断A,由圆台的表面积公式即可判断B,由三角形的面积公式即可判断

C,由异面直线夹角的概念以及余弦定理即可判断D

根据题意，圆台的轴截面如图所示，

分别过点F,E作切，AB,EGLAB于点、H,G,

则ZR4B=60。，AF=BE=2,所以AH=BG=1,FH=EG=也

由上底面与下底面的直径之比为1:2可得空=！，则EF=2,AB=4,

AB2

所以圆台的高为百，AB=4,AD=2,BD=2M，

则Vp-ABD=；XX2X2A/3卜6=2,故A正确；

设圆台的上下底面圆的半径分别为q,4,则。=1,2=2,

则圆台的表面积为S=7uf+巧2+兀,+4）./?=11兀，故B正确;

过点P作48的垂线交48于T,则可得PT_L平面/AD,

且ADu平面48。，则尸7,48，

过点T作8。的垂线交于。，连接尸。，即70,8。，

又PT"TQ=T,PT,7。u平面PT。，所以8。1平面尸7。,

又PQu平面0T0,所以8。，尸。，

又4T=1,则BT=3,由ABQTSABDA可得史=丝,即之=丝,

BAAD42

所以7。=；,且用=J§,所以00=巨，

幺2

则=；BD.P0=；x2j§x苧=（，故C错误;

过点A作AD的平行线交底面圆周于点M,连接PM,

则/尸即为直线/P与AD所成角（或补角）,

在△PZM中，AM=BD=26,AP=2,PM=M，

222

由余弦定理可得cosZPAM=4P"M2-PM22+(2V3)-(Vi0)_^

2AP-AM2x2x20一4

则直线NP与AD夹角的余弦值为火，故D正确;

4

故选：ABD

10.设正实数x>0,y>0,且满足x+y+3=_xy,贝!]()

A.4x+y>13B.xy<9

2211

C.x23+y2<18D.-+-^-

,xy3

【答案】AD

【解析】

【分析】对于A项，通过题设求出了，代入所求式消元，凑项运用基本不等式即得；对于B项，直接运用

基本不等式将其转化成关于历的不等式求解即得；对于C项，运用完全平方式将其转化成关于町的二次

函数，通过其图象单调性即得；对于D项，通分后将其化成关于9的分式函数，求其值域即得.

【详解】对于A项，由》+y+3=盯可得：(x-l)j=x+3,

x+3

因x>l,故歹=——，将其代入4x+y可得：

x-1

%+344I4-

4%+----=4x+1+----=4(x-1)+----+5>2/4(X-1)-----+5=13,

X—1X—1X—1AyX~1

当且仅当X=2时等号成立，故A项正确；

对于B项，由孙=x+y+32+3可得-3)(^/^+1)>0,

因J^>0,故得：>3,则盯29,

当且仅当x=y=3时等号成立，故B项错误；

对于C项，由S=+j2=(x+y)2-2xy-(xy-3)2-2xy=(xy)2-Sxy+9,

设，二孙，由上分析知，t>9,

则S=«—4)2—7在[9,+8)上单调递增，故S218,即C项错误；

.11x+yxy-33

对于D项，由一+一二----二------二1----，

xyxyxyxy

八11

由上分析知孙之9,则0<——4式，

xy9

2、312II

故；VI---<1,即；V—+一<1,故D项正确.

3xy3xy

故选：AD.

11.已知圆月：(x+l)2+y2=],圆心：(x-1)2+y2=9,动圆尸与圆耳外切于点V,与圆月内切于

点N圆心P的轨迹记为曲线C,则()

22

A.。的方程为土+2L=i

43

B.NMPN的最小值为120°

C.MP-PF,+NP-PF\<-

122

D.曲线C在点P处的切线与线段跖V垂直

【答案】BCD

【解析】

【分析】A.直接根据椭圆的定义可得答案；B.NMPN与公｛PF°互补,求出/耳盟的最大角即可；对于C：

直接利用向量的坐标运算求解；对于D：求出点尸处的切线斜率，再利用丽=-：丽，而;=r函求出

点的坐标，再判断切线斜率和左.囚的关系即可.

【详解】对于A：设动圆尸的半径为厂，由条件得|「大|=厂+1,|尸名|=3-r,

贝»尸片|+|尸£]=4>|片6且尸，M,N不重合，

故点。的轨迹为以耳，鸟为焦点的椭圆(去掉尸，M,N重合的点)，

22

则曲线。的方程为、+q=l(xW-2),A错误；

对于B：由图可知40N与/耳尸鸟互补，

当P点为椭圆短轴端点时，/耳盟最大，

c1

此时sin/RPO=—=—,所以/用尸0=30°,则居的最大值为60。，

a2

所以的最小值为120°，B正确；

------------尸+1——fI

►►►►2

对于C：MPPFX+NP-PF2=-r(r+1)+r(3-r)=2r(l-r)<2x(---)=-,

当且仅当厂=,时等号成立，C正确；

2

对于D:设点尸(%,％),""(国,必)0(无2，%),[(一1,0),g(1,0)，

又野二\PM\—.r—一—

加闻一3,蕨/，所以►►►

3x-r

0x

3-ri二1+r

解得＜

3%%

%=乂=

3-r1+r

3VQ.VO(、(、

3—r1+r_3%(l+r)-%(3_)=2%

3x0-rx0-r(3x0-r)(l+r)-(x0-r)(3-r)1+2x0-r

所以一手Lx线=-1,即曲线。在点P处的切线与线段跖V垂直，D正确;

仅3x0

故选：BCD

证明：过椭圆：+:=1上一点P（x0,y0）的椭圆的切线方程为学+亨=1,

岖+皿=1

4318x361c.

联立《,消去y得3+-4x2——^0-x+--12=0,

22

——%+—y=1V。%

143

108x；'

若-4Vo

%j+.

22

又争当=1,得3x；+4y；=12,

所以学+券=1是过椭圆[+[=1上一点夕（后,%）的椭圆的切线方程.

22

【点睛】方法点睛：过椭圆二=l（a〉b〉0）上一点的P（XoJo）的切线方程为

a2b2

容+苦=l（a〉b〉O）,过双曲线《—}=1（。〉0,6〉0）上一点的「（%,%）的切线方程为

aDciu

理-誓=1（。〉0,b〉0）,通过结论可快速找到解题思路.

ab

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每

个地方至少1人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有种.

【答案】30

【解析】

【分析】将4人按2,1,1分组，先不考虑限制条件，先分组再分配求出不同的安排方式的种数，再排除甲和

乙去同一个地方的种数即可.

【详解】安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每个地方至少1人,

则将4人按2,1,1分组，

若不考虑限制条件,

则此时不同的安排方式有,A；=36种,

当甲和乙去同一个地方时，有A；=6种不同的安排方式，

所以若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有36-6=30种.

故答案为：30

59

13.已知(1—2x+X")=。］0父°++,•,+,则〉：kcik=.

【答案】-10

【解析】

【分析】先化简(I-2X+X2不，再利用二项式定理求得q0,再将等式两边同时求导，从而得解.

【详解】因为(1—2x+x2y=(x—1广，

k

而(x—1)1°的展开通项公式为Tk+X=C^ox'°-(-1)\

10

所以展开式中X的系数%0=(―1)°-C：。=1,

由(1—2,x+x~y=(x—1)=%0储°+a/'+,—F/，

两边同时求导可得10(X-l)9=10须》9+9口9%8+-------卜生,

令x=1可得IO%。+9a9H---F%=10。—1)=0,

9

所以Z上4=一1040=-10.

k=l

故答案为：-10.

14.已知/(x)=sin[ox+gj的图象关于直线x=5对称，且/(x)在(0,兀)上恰有两条对称轴.在AABC

中，角A,B,。所对的边分别为a,b,C,且a=6，/1|•N]=0,则面积的最大值为.

【答案】述##3百

44

【解析】

兀15

【分析】根据函数关于直线x==对称，推得。=3k+-,keZ,对⑦的取值分正、负进行讨论，求得。=—-,

322

得到函数解析式，利用=0求出角A,利用正弦定理表示出边a,6,继而求得三角形面积表达式,

运用三角恒等变换化成正弦型函数，利用其值域求得面积最大值.

【详解】由/(x)=sin[ox+m]的图象关于直线x=/对称可得：sin(y®+y)=±l,

717r兀I

则一G+—=—+而,左wZ,解得：co=3k+—,k€Z.

3322

①当69>0时，由X6(0,兀)可得：§<0X+§<69兀+1,

3TI兀，5兀e/口7,13

依题需使——<0)71-^--<——,斛得：一一,

23266

125

代入G=3左+—#£Z可得一〈左V—,故口不存在；

299

②当69<0时，由X£(0,兀)可得：G71+]<69X+§<§,

.....571,7T371e/口1711

依逆03前使----V6971H<------,解传：----4切<----,

23266

因0=3左+g«£Z,故左二一1时，co=-1-,即/(x)=sin[—mx+l].

由/=sin(—Z+§)=0可得：-A+q=kn,keZ,

TT

因0<A<JC,则/=§,

ahc

由正弦定理，--=2=一.---一可得：b=2sinB.

sinAsinBsinC

于是，AylSC面积为：S=gbcsin/=gx2sin5xsin(B+/)=^^x2sin5x卜in5+百cosB)

=』sin5cos3+立sin23=』sin25—sin(25--)+^-

——cos2B+

22444264

因0＜2〈型，则—四＜28—四〈女，故sin（23—工）VI,即屋空

36666

故面积的最大值为之回

4

故答案为：巫

4

【点睛】关键点点睛：解题关键在于在求得。=3左+±左eZ之后，往往容易先入为主，默认。为正，结

2

果求不出①而放弃；第二个关键在于对于较复杂的面积表达式，要善于角的消元和三角函数的降次以及辅

助角公式的应用，最后在角的范围内考查三角函数的值域.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.设数列｛%｝的前〃项和为S",邑为等比数列，且q=1,q,a?,%-3成等差数列.

n

（1）求数列｛%｝的通项公式:

（2）设〃=〜，数歹卜3＞的前〃项和为北,证明:

n+1俏+1)(%+3

=(〃+112"2

【答案】（1）an

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意，由等差数列以及等比数列的定义，列出方程,代入计算，即可得到结果;

32"-2

（2）根据题意，由（1）可得,结合裂项相消法代入计算，即可证

明.

【小问1详解】

因为。1，。2，%—3成等差数列，即2（72=%—2,

为等比数列，则1,当也成等比数列,

又邑

n

贝（［詈］='+?+［,联立解得成=3,%=8,

则数列的公比为2,即2=2力，所以S〃="-2"T,

InIn

当“22时，％=S〃—S"T=(〃+1)-2-2,

且q=1也满足上式,

所以数列｛%｝的通项公式为4=（«+1）­2"2.

【小问2详解】

n2

由⑴知，an=(n+lY2-,口a=人，

72+1

_2

bn_2"、_2"2

则(〃+1)伍加+1)=(2«-2+1)(2«-1+1)，记,”二伍-2+1)(2j+1)'

贝…UT----1--------1---1----1-------1---p••--\-----1--------1---=2------1---,

“2^+12°+12°+12'+12陋+12^+132,H1+1

因为」一〉0,所以5=2——」一＜2.

2"-1+132^+13

16.如图所示，在长方体/BCD—431GA中，AAI=AD=6AB,“在棱4〃上，且

（1）若48=2,求平面加截长方体所得截面的面积

（2）若点N满足函=近，求平面与NND所成夹角的余弦值.

【答案】（1）me

2

⑵邪

【解析】

【分析】（1）建系，利用坐标运算计算就.而7=o,求出点”的位置，然后画出截面，求截面面积即可;

（2）利用向量法求平面与平面的夹角即可.

【小问1详解】

如图建立空间直角坐标系：

因为AA{=AD=\[1,AB=2-\/2,

所以Z（0,0,0）,C（2,2后,0）,8（2,0,0）,设M（0/",2后），

则就=（2,2拒,0）,丽=卜2,加,2五），

由NCLBM得就•前=卜2,加,2拒）（2,2也,0）=—4+2届=0,

解得加=&，即/为线段4〃中点，取44的中点E，连接ME,EB,

明显有/RD,则平面BDM截长方体所得截面为梯形5DWE,

则放=7171=6,80=/（2收『+22=26,M（0,V2,2V2）,D（0,2A/2,0）,

所以丽:=（0,-后,2亚），丽=（2,-2^,0）

则点M到8。的距离为DM2-=^2+8-^-^=^=~^~,

贝！JM（0,行见2后a）,。（0,2\^z,0）,N（la.lyjla,也a）,B（2a,0,0]ga,0,2y^a卜

MD-（0,亚a,-2也2）,ZW=（2凡0,-Jia=/2生6z,26z）5M二卜2a,也^,0）,

设面BBXM的法向量为n=（x1,y1,z1）,面NMD的法向量为成=（%，%，z2）

BM-n--lax.+VZay,+2\2az,=0厂/\

则《—.L，取％=也得拓=,

B[M•n--2axi+\2ayl=0

MD-m-41ay-2cdz?=0

2取22=行得丽=(—1，2后,、回),

DN-m-2ax2+41az2-0

匚〜一一n-m-1+4V33

所以COS〃，加=,,,,=—j=----/=

同同V3xVl+8+211

则平面BB[M与NMD所成夹角的余弦值为疸.

11

17.垃圾分类是普惠民生的一项重要国策.垃圾分类不仅能够减少有害垃圾对环境的破坏，减少污染，同时

也能够提高资源循环利用的效率.垃圾分类共分四类，即有害垃圾，厨余垃圾，可回收垃圾与其他垃圾.某

校为了解学生对垃圾分类的了解程度，按照了解程度分为A等级和8等级，随机抽取了100名学生作为样

本进行调查.已知样本中A等级的男生人数占总人数的g,两个等级的女生人数一样多，在样本中随机抽

取1名学生，该生是3等级男生的概率为1.

5

(1)根据题意，完成下面的二维列联表.并根据小概率值a=0.05独立性检验，判断学生对垃圾分类的了

解程度是否与性别有关?

男女

生生

A等

级

8等级

附:

a0.050.0250.010.005

Xa3.8415.0246.6357.879

2n(ad-be》

其中n=a+b+c+d.

A(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(2)为了进一步加强垃圾分类工作的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛活动.每局比赛由二人

参加，主持人A和B轮流提问，先赢3局者获得第一名并结束比赛.甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提

问甲赢的概率为：，主持人8提问甲赢的概率为。，每局比赛互相独立，且每局都分输赢.抽签决定第一

局由主持人A提问.

(i)求比赛只进行3局就结束的概率；

(ii)设X为结束比赛时甲赢的局数，求X的分布列和数学期望£(x).

【答案】17.列联表见解析，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，理由见解析

18.(i)—；(ii)分布列见解析，期望值为一

18108

【解析】

【分析】(1)数据分析，得到列联表，计算出卡方，与3.841比较后得到结论；

(2)(i)分甲赢得比赛和乙赢得比赛两种情况，计算出概率相加后得到答案；

(ii)得到X的可能取值和对应的概率，得到分布列，计算出数学期望.

【小问1详解】

由题意得，A等级的男生人数为100xg=40,5等级男生的人数为100x1=20,

100-40-20

43等级的女生人数相同，均为E--^=20人,

2

故列联表如下：

男生女生总计

A等级402060

3等级202040

总计6040100

2

2_n[ad-bc^_100x(40x20-20x20)_25

%(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)60x40x60x409

故根据小概率值a=0.05独立性检验，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关；

【小问2详解】

2122

(D比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为Pi=百义5乂§=3,

比赛只进行3局就结束,乙赢得比赛的概率为2=

21S

故比赛只进行3局就结束的概率为月+22=§+拒=.；

(ii)X的可能取值为0,1,为3,

X=0,即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故尸(X=0)=Lx4xL=L,

32318

X=l,即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢，

珀八八2111111111215

\,32323232323236

X=2,即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢,

…c\211112121121111

故P（X.—2）——x—x—x—x—I—x—x—x—x—1—x—x—x—x—

,,323233232332323

11211111111121113

+—X—X—X—X—+—X—X—X—X—+—X—X—X—X—=,

323233232332323108

X=3,即最后甲赢得比赛，由概率性质得

151337

P（X=3）=l-P（X=0）_P（X=l）_P（X=2）=l----------------=—,

'）'''''）183610854

所以分布列为

X0123

151337

P

183610854

=—+lx—+2x—+3x—=—.

183610854108

18.已知实数函数/(x)=21nx—ax2有两个不同的零点玉

(1)求实数〃的取值范围，

(2)设％是方程lnx+ax—2=0的实根，证明：x<xx<—.

012a

【答案】(1)aJo,']

Iej

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)分a<0和a>0两种情况讨论，求出函数的单调区间及最值，再结合题意即可得解;

(2)由(1)知为,迎是函数/(X)的两个不同零点，不妨设0<下<</，根据/(者)=/(/)=0,作

a

x2再

22

差可得2(11112—1口西)一不：)，则要证再工2<一，即证玉％2<---------------，EPffil<———

a2(lnx2-Inxj)21n三

一再

L即证，二〉23,设g(，)=”:21卬〉1,利用导数求证即可;

设/言>1,则只需证］<

2lnt

再证x0<,由题意可得lnx0+«x0-2=0,再根据/(^)=/(%2)=0,可得

22

2拈(》送2)=a(x；+年)=a(』+x2)-2ax1x2则a(X]+x2)=2ln(x1x2)+laxxx2设

/2、(

%(x)=fT-/(X),XG0,,利用导数判断函数的单调性即可得证.

7V

【小问1详解】

22(1-ax1

(x)=---lax-(x>0),

x

当aWO时，/'(x)>0,则/(x)在(0,+。)上单调递增,

所以函数/(x)最多一个零点，不符题意;

当a〉0时，令/则。<x<—j=,令/'(x)<0,则%>方=

Va7a

所以函数/(x)在］0,1］

上单调递增，在,+8上单调递减,

7

所以/(X)max=/二-Ina—1,

又当x—0时，-8，当尤—+8时，—8,

要使函数/(x)=21nx-ax2有两个不同的零点占户2,

则一InQ—1>0,解得0<tz<—,

e

综上所述，

【小问2详解】

由(1)知国,X2是函数"工)的两个不同零点，不妨设0VX1，

a

2

则有/(xj=/(、2)=。，即2111玉一QX；=。，21nx2-^x2=0,

作差得2(ln%2-InxJ=—x;)，

x再

222

1Xo—x,Xxo

先证XrX2<—,即证玉％2<------------，即证1<-------,

a2(lnx2—Inx^21n—

西

X1

设f则只需证1,即证/-—〉2ln/,

x1<----tt

121nt

设g(/)=1_1_21n/,/〉l,则g'(/)=l+4_2=£^l>o,

%ttt

则g(0在(1,+。)上单调递增，贝！Jg(0>g(l)=0,

则，一->21nZ成立，也即玉马<—成立;

ta

再证/〈再々，因为不是方程lnx+ax—2=0的根，贝ijIn/-2=0,

又有21nxi—ax；=o,21nx2—ax；-0,

222=

贝I」21_11(%1%2)=Q(x；+x2)=a(xx+x2)-2办1%2，则。(芯+^2)2ln(x1x2)+2^X2,

因为函数y=Inx+办单调递增，则2ln(x1x2)+2axi%>2Inx0+2ax0,

?2

故要证只需证。(国+工2)>4，即证阳+工2>一厂，

一yja

22

只需证％2>―/=一再，因为,+8,则7一再e,+。，

7a77a7

(2)

且/(x)在,+”上单调递减，则只需证/(%)</-r=-x\，

717aJ

(2)

又因为/(西)=/(%2)，即证/(再)</—j=~x\

a

0,

4(V^x-l)2

<0,

(J~ax-2)x

（1）

则〃（x）在0,r—上单调递减，

<<a,

（2、

则〃(x)〉h=0,则/~r~x>/（x），

a>

（2\、_

从而/（、2）</~1=一'1，故%（）<玉％2成立.