2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题（ 含解析）

2023年山西省普通高中学业水平考试试卷

数学试题

说明：

1.答卷前考生务必将自己的座位号、姓名、准考证号、考点名称、考场号等信息填写在相

应位置.

2.答卷时考生务必用蓝、黑墨水笔或圆珠笔作答(作图可用黑色铅笔).答案直接写在试卷

上，密封线内不要答题.

3.本试卷共5页，答题时间90分钟，满分150分.

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)在每小题列出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.请将正确选项前的字母填写在下列表格中.

1,已知集合A=MC),B={x∣7<x≤3},则4B=()

A.{%∣-5<x<4}B.{x∣-5<x≤3}

C.{x∣O≤x≤3}D.{x∣3≤x<4}

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出集合A,再根据交集的定义计算可得；

【详解】解：因为1≤2*<16,即2°W2*<23所以0≤X<4,所以

A={x∣l≤2*<16}={x∣O≤x<4},因为3={x∣—5<x≤3}

所以AB={x∣0≤x≤3}

故选：C

2.复数Z满足∣z(l+i)∣=2,则目=()

/7

A.2B.√2C.ID.ɪ

【答案】B

【解析】

【分析】设z=α+沅(α,0eR),根据条件找出。力的关系，然后计算目

【详解】设z=α+历(0,A∈R),则z(l+i)=(α+bi)(l+i)=(∙)+(α+b)i,

由∣z(l+i)∣=2=∣3—〃)+3+h)i∣,根据复数的模长公式，7(6∕-⅛)2÷(tι÷⅛)2=√2(6i2+⅛2)=2,

即J〃2+及=行，IZl=JQ2+82=血

故选：B

3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+a)上单调递增的函数是()

A.y=-X2+4B.y=3-x

C.y=：D.y=∣χ∣

【答案】D

【解析】

【分析】A.由二次函数的性质判断；B.由一次函数的性质判断；C.由反比例函数的性质判断；D.由

,fx,x≥0

y=χ=l<八判断；

[―%,XVO

【详解】A.y=-V+4由二次函数的性质得，该函数是偶函数，在区间(0,+8)上单调递减，故错误:

B.y=3-x由一次函数的性质得，该函数不是偶函数，在区间(0,+8)上单调递减，故错误；

C.y=：由反比例函数的性质得，该函数不是偶函数，在区间(0,+。)上单调递减，故错误；

XX≥0

D.y=∣x∣=<设/(x)=k∣,定义域为R，关于原点对称，且/(T)TTTR=/(x),

则该函数是偶函数，在区间(0,+8)上单调递增，故正确；

故选：D.

4.某工厂生产产品的合格率是99.99%,这说明()

A.该厂生产的IOOOO件产品中不合格的产品一定有1件

B.该厂生产的K)OOO件产品中合格的产品一定有9999件

C.该厂生产的IOOOO件产品中没有不合格的产品

D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%

【答案】D

【解析】

【分析】由概率的定义逐一分析即可.

【详解】对于A：该厂生产的IO(M)O件产品中不合格的产品不一定有1件，

可能是多件或者没有，故A错误；

对于B：该厂生产的IoOoO件产品中合格的产品不一定是9999件，故B错误；

对于C：该厂生产的IOOoo件产品中可能有不合格产品，故C错误；

对于D：该厂生产的产品合格的可能性是99.99%,故D正确；

故选：D.

5.设α=1.7°∙3,⅛=log43.1,C=IogO,3,则“，b,C的大小关系为()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.a>c>b

【答案】A

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的性质分别比较4,b,C与中间量0,1的大小，从而可比较出

b,C的大小关系

【详解】解：因为y=17v在R上单调递增，且0.3>0,

所以ITS〉］.7。=1，即α>l,

因为y=Iog4X在(0,+∞)上单调递增，且1<3.1<4,

Iog41<Iog43.1<Iog44,即0<匕<1,

因为y=iog°∙7尤在(0，+8)上单调递减，且3>1,

所以logo”<l0gtλ7l=0,即c<0,

所以α>b>c,

故选：A

6.已知向量a=(/〃,-2),b=(3,m+l),且2,则()

A.m=3B.b=(3,2)

C.∣α-⅛∣=√26D.卜+可=5

【答案】C

【解析】

【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求加，判断AB,根据向量的坐标运算求ɑ-4。+匕，再由向量的

模的坐标表示求.一4，,+0,判断CD.

【详解】因为α=(/〃—2),∕7=(3,m+l),aIb

所以∕nχ3+(-2)χ(m+l)=0,

所以m=2,b=(3,3),A错误，B错误，

所以α—〃=(―1,-5),α+b=(5,1))

所以卜一4=J丞,卜+0=,C正确，D错误.

故选：C.

7.中国运动员谷爱凌在2022北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛中以188.25分夺得金牌.自由式滑

雪大跳台比赛一般有资格赛和决赛两个阶段，比赛规定：资格赛前12名进入决赛.在某次自由式滑雪大

跳台比赛中，24位参加资格赛选手的成绩各不相同.如果选手甲知道了自己的成绩后，则他可根据其他

23位同学成绩的哪个数据判断自己能否进入决赛()

A.中位数B.极差C.平均数D.方差

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，结合中位数的定义，即可判断和选择.

【详解】其他23位参赛同学，按成绩从高到低排列，这23个数的中位数恰好是第12位选手的成绩.

若选手甲的成绩大于该选手的成绩，则进入决赛，否则不能进入决赛，

因此可根据中位数判断选手甲是否能进入决赛.

故选：A.

8.已知三条不重合的直线加，n,I,三个不重合的平面α,夕，/,则()

A.若mlln,〃uα,则mlIa

B.若,,/_!_/〃，则a〃4

C.若a∙L∕,βLy,acβ=l,贝iJ/_Ly

D.若WUa,〃ua,mllβ,n∕∕β,则a〃尸

【答案】C

【解析】

【分析】由空间中直线与直线，直线与平面的位置关系可判定A、B项；利用面面垂直的性质定理和线面

垂直的判定定理，可证得C正确；由面面平行的判定定理，可判定D不正确.

【详解】对于A中，若加//〃，〃ua,则m∕∕a或6ua,所以A项不正确；

对于B中，若Ila,mu0,ILm,则a〃夕或a与夕相交，所以B项不正确；

对于C中，设α∖γ=a,β'∖γ=b,在平面，内任取一点p,作PA_La,P8J_a,垂足分别为A,5,

由面面垂直的性质定理，可得PA_L/,PBL/,

又因为∕¾PB=P,可得/J∙y,所以C项正确；

对于D中，若加uα,〃ua,m/∕β,nllβ,只有以〃相交时，才有α〃夕，所以D项不正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记空间中的直线与直线，直

线与平面，平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属

于中档试题.

9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“="作为等号使用，后来英国数学家哈

利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若

α,",c∈R,则下列命题正确的是()

A.若a>6>O，贝IJaC2>hc2

B.若α<h<O,则αH—<b-∖—

ba

hb+C

C.若0<QVb<C,则一<——

aa+c

A~Z7~

D.若α>0,8>0,则2-+y-≤α+∕7

ab

【答案】B

【解析】

【分析】A选项可以举反例说明，BC选项可以通过作差法来说明，D选项可以通过基本不等式来说明.

【详解】A选项，若C=O,则“c2=z√=0,A选项错误；

B选项，+++———=(α-⅛)f1+ɪ,

bJ∖a)ab'ab)

由于故Q-bvO,l÷-y>0,故(α+∖)-[θ+;)<O,

即Qd---<。~1----,B选项正确；

ba

bb+cc(b-a)ιbb-∖-cc(b-a)C

C选项，--------=-------,由于O<α<h<c,故---------=------->0,

aa+ca(a+c)ao+cα(o+c)

hhΛ-C

即2＞空工，C选项错误;

aa+c

D选项，根据基本不等式，^-a+-+b≥2.

+—a+2J^-∙b=2a+2b'

当生=ɑ且土=/,,即。=人时取得等号，此时匕+±zα+o,D选项错误.

故选：B

10.在三棱锥A—BQD中，AB1平面BCD,AB=Cr)=4,则三棱锥A—BCD的外接球的表面积的最

小值为()

A.16πB.32兀D.64π

【答案】B

【解析】

【分析】设底面6C。的外接圆的半径为r,/CBD=θ,由正弦定理表示出，•，确定外接球球心位置,

求得其半径的表达式，结合正弦函数性质求得外接球半径的最小值，即可得答案.

【详解】设底面8。的外接圆的半径为r,NcBo=ae∈(o,m,

42

则在ABCD中，Co=4,可得2r=-所以r=-

sinΘsɪnΘ

设底面三角形的外心为。I,过01作底面BCD的垂线，

N°

7∖^'^J°I

C

由于AB上平面BC£),故所作垂线与AB的中垂线的交点即为三棱锥A—88外接球的球心,

则外接球的半径为R=JqO2+*24+-ɪ≥2√2，

即当Sine=I即BC，BD时，三棱锥的外接球的半径取得最小值2五，

此时三棱锥A-BCD的外接球表面积取得最小值：4πX(2√2)2=32π,

故选：B

二、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)请将答案填在题中横线上.

11.从1,2,3,4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是.

【答案】ɪ

6

【解析】

【分析】利用古典概型的概率求解.

【详解】解：从1,2,3,4这4个数中，不放回地任意取两个数基本事件：12,13,14,23,24,

34,共6个，

其中两个数都是偶数的有：24,共1个，

所以两个数都是偶数的概率是P=J,

6

故答案为：ɪ

12.已知函数y=/(χ)用列表法表示如下表，则/[/(2)]=

X012

fW201

【答案】0

【解析】

【分析】由表格给出的数据有/(2)=1,则A∕(2)]=/⑴可求出答案.

【详解】根据表格中的数据有/(2)=1

所以TV(2)]=/(I)=O

故答案为：0

【点睛】本题考查根据函数的列表法求函数值，属于基础题.

1ZX0_4

13.(0.064p-l--I+[(-2)3p-16^0-75=.

23

【答案】

16

【解析】

【分析】根据指数基性质进行计算.

【详解】原式=(0.43)1—1+(—2)7—(24『”5=0.47—1+-?-—，=2_?=岂

∖)v716821616

23

故答案为：—

16

14.数据7.0,8.2,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位数是.

【答案】8.4

【解析】

【分析】利用第P百分位数的定义求解.

【详解】解：因为i=7χ30%=2.1,

所以第30百分位数是8.4,

故答案为：8.4

一Lr-2sin2x

15.已知tanx=JΣ，则;----τ-

1+cos2x

【答案】2√Σ

【解析】

2sin2x

【分析】利用二倍角公式对「一丁化简后代值求解即可.

l+cos2x

【详解】因为tanX=0，

L…2sin2x4sinΛcos%C∏-

所以------------------——=2tanx=2√2,

1+cos2x2cosX

故答案为：2垃

16...ABC中，M为边3C上任意一点，N为A”中点，AN=λAB^μAC^则％+〃的值为

【答案】ɪ

【解析】

—>1—⅜—►—>—>—>—>—>—>—>

【分析】根据AN=-AM,AM=AB+BM,=xBC,BC=AC-AB即可得

2

A,τN--1xACʌ+,∖f-1--1X∖AB,进而得答案.

2<22J

→I→→→→→→→→→

【详解】因为AN=2AM,AM=AB+BM,=XBC(Xe[0,l]),BC=AC-A8,

所以京=g茄=J∣A⅛+β⅛)=g(A⅛+xBb)=gA⅛+gx]∕⅛->⅛)

1T(Il)TT→

=-xAC+l---X∣Λβ=ΛAB+∕∕AC,

所以丸='一]"X,∕Z=QX,所以丸+4=5

故答案为：ɪ

【点睛】本题考查基底表示向量，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于借助

→→、TIT/II、->

BM=XBCz(Xe[0,1])得AN=5xAC+[e-]xjA8,进而求解.

17.若f(KT)=x,则f(5)=.

【答案】lg5

【解析】

【详解】试题分析：令IOX=t,则X=Igf,.∙.∕")=lgf,.∙.f(5)=lg5

考点：本题考查函数解析式的求法及求值

点评：此类问题常常用换元法求出函数的解析式，然后代入值求解，属基础题

18.若/(x)满足对任意的实数“、b都有/(α+h)=∕(α)/9)且/(1)=2,则

“l)+"3)"5)/(2023)_

/(O)/(2)/(4)/(2022)------------

【答案】2024

【解析】

【分析】根据/(α+3=∕(α)∕S)且/(1)=2,令ZJ=I得到半空=/(1)=2求解.

ʃ∖a)

【详解】解：因为/(X)满足对任意的实数。、b都有"4+b)=∕(α)∕S)且/(1)=2,

令b=l得f(α+l)=∕(α)∕(l),即监*=∕(1)=2,

ʃ∖a)

ʃ(ɪ)-/(ɜ),/(ʒ)-/(2023)_2

所以

/(O)/(2)”4)〃2022厂

/(l)+∕(3)+∕(5)+ι/(2023)

-----------------------------1----------------r+()=1012×2=2024,

Ao)"2)"4)/2022

故答案为：2024

三、解答题(本大题共5小题，共60分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

19.某人参与一种答题游戏，需要解答AB,C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为p,p,且

各题答对与否互不影响，若他全部答对的概率、为，2.

(1)求〃的值；

(2)若至少答对2道题才能获奖，求他获奖的概率.

【答案】(1)P=Z

3

⑵-

3

【解析】

2

【分析】(1)记解答AB,C三道题正确分别为事件。,民尸，则尸(OEb)=P(D)P(E)P(F)=g,从而

可求出P的值；

(2)记事件G为至少答对2道题，则P(G)=P(OEK)+P(。豆F)+P(万EF)+P(DEF),然后利用独

立事件的概率公式求解即可.

【小问1详解】

记解答AB,C三道题正确分别为事件D,E,F,则P(D)=P(E)=p,P(F)=^,

2

因为各题答对与否互不影响，且全部答对的概率为

122

所以P(DEF)=P(D)P(E)P(F)=-P2=-,解得〃

【小问2详解】

记事件G为至少答对2道题，则由题意得

P(G)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)

2f,1f,21221

31ɜj2V3)32332

2112

+++2

一

一9-9-

3

--

所以9他获9奖的概率为:2

20.如图所示，三棱柱ABC-44G，底面是边长为2的正三角形，侧棱A4,，底面ABC,点瓦厂分

别是棱CC∣,上的点，点M是线段AC的中点，EC=2FB=2.

（1）求证〃平面AE尸；

（2）求与EE所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；

（2）与EE所成角余弦值为史.

5

【解析】

【分析】（1）取AE的中点。，连接OF,OM；证明BMHOF,根据线面平行判定定理证明BMH平面AEF；

（2）根据异面直线夹角定义证明NE尸O为直线BM与所所成角，解三角形求其余弦值即可.

【小问1详解】

取AE的中点。，连接OF,OM,

•.∙0,”分别为4瓦4。的中点，,31〃。£,OM=-EC,

2

由BF"CE,且EC=2Fδ=2,

.∙.OMHFB,且OM=FB,

，四边形OMBF为平行四边形，故BMHOF,

又技0二平面AE户，。尸U平面AE尸，

.∙.BMH平面AEF；

【小问2详解】

因为O尸，

所以NEFO为直线BM与EF所成角，

RjABF中，AF=y∣AB2+FB2=√22+l2=√5>

直角梯形BCE尸中，EC=2,BC=2,BF=1,NCBF=NBCE=9U,过/作FGJ_CE,G为垂足，如

图所示，

则BF=CG=1,FG=BC=2,GE=I,EF=>jGE2+FG2=√l2+22=√5-

AF=EF,所以aAM为等腰三角形，则FOLAE,

Rm中，AE^y∣AC2+CE2=√22+22=2√2-

所以Ao=EO=血,

RtAOF中，Fo=y∣AF2-AO2=*国—(⑸=√3，

/口SFoCA

所Gri以<)cosAEFO==--r==-----

EF√55

所以8W与所所成角的余弦值为—.

5

21.在JWC中，α,dC分别为内角A,6,C所对的边，若A=］，a2=(c-b↑+4.

(I)求-ABC的面积；

(2)求。的最小值.

【答案】(1)#)

(2)2

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理结合题干条件可推出hc=4,然后由三角形面积公式求解；

（2）结合（1）中推出的条件和基本不等式进行求解.

【小问1详解】

222

由余弦定理，a=b+c-bc>结合。2=（0一6）2+4可得Z^+c2-％=（c—4+4,

整理可得匕c=4,根据三角形的面积公式，S4w.=』bcsinA='x4x18=#.

abc222

【小问2详解】

由（1）知力C=4,根据基本不等式，a2=b2-^c2-bc^2bc-bc=4^

当∕7=C=2时，。的最小值是2.

22.已知函数/（x）=ASinWX+4（4>0,口>0,隔<兀）的部分图像如图示，且/（。）=7

（1）求函数/（x）的解析式；

（2）若Xeθɪ,求/（X）的最大值和最小值.

【答案】（I）/（x）=2sin（2x+/）

⑵/（x）的最大值为√L∕（x）的最小值为—2

【解析】

【分析】⑴根据图像得到A=2,再由"0）=∕（g）,得到函数/（x）图像的一条对称轴光=1|,

然后再由工=2—&=二和当］=-2求得函数的解析式.

41264<12J

πN兀/兀D兀

(2)根据Xe0,-,求出2x+τ∈—,结合正弦函数的图像性质求出最值即可.

L2J333

【小问1详解】

八

由图像可知因为/()/(今；5π

A=2,0=I，所以函数/(x)图像的一条对称轴为直线X_0+——<

.__L=

212

TtTtrrFLL,I271__f∖部2所以

设/(X)的最小正周期为T,则Z=考————9即T=兀，所以。=亍^=2,又J]

即Sin*0

5τrTT4*TΓ7TΓ

所以一+o=2E——,⅛∈Z,即*=2E------，左eZ.因为IOIV兀，所以夕=—，所以

6233

/(x)=2sin2x+

【小问2详解】

ʌπC2π2π5π

X∈0,一,.*.2