上海市黄浦区2024届高三二模数学试题（含答案解析）

上海市黄浦区2024届高三二模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.若集合A=[l,4],8=[2,5],则473=.

2.抛物线V=4x的焦点到准线的距离是.

3.若a=(3cos6,sin8),Z?=(cos^,3sin^),其中OER,贝!J〃力二.

4.若一个圆柱的底面半径为2,母线长为3,则此圆柱的侧面积为.

5.若(加+%的展开式中/的系数是一80,则实数.

X

3

6.在ASC中，cosA=-y,AB=1,AC=5,则BC=.

7.随机变量X服从正态分布N(2,b〉,若尸(2<X42.5)=0.36,则P(|X-2|>0.5)=.

8.若实系数一元二次方程/+6+6=0有一个虚数根的模为4,贝匹的取值范围是.

9.某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过

抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为.

10.已知数列{4}是给定的等差数列,其前"项和为S"，若<。，且当用=/与"=%时，

|S「Sj(〃z,〃e{x|xV30,xeN*})取得最大值，则厢的值为.

11.如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分(它由线段CE,97与分别以OCOD

为直径的半圆弧组成)表示一条步道.其中的点是线段A2上的动点，点。为线段43,CD

的中点，点瓦厂在以AB为直径的半圆弧上，且均为直角.若AB=1百米，贝|

此步道的最大长度为百米.

12.在四面体PABC中，2PD=PA+PB，5PE=2PB+3PC，2PF=—PC+3PA，设四面体PABC

与四面体尸。EF的体积分别为匕、匕，则苓的值为_______.

%

二、单选题

13.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和

高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同

的抽样结果的种数为()

A.C款+C盛

0/"120.「20

J。500十Joo

14.函数y=l-2cos2(x-?］是()

A.最小正周期为万的奇函数B.最小正周期为"的偶函数

C.最小正周期为g7T的奇函数D.最小正周期为］的偶函数

2

—x+ax+20—4<无<0

5设函数〃加尔_43：。<；“’若/⑴>°恒成立'则实数”的取值范围是()

B.

C.D.

16.设数列｛q｝的前“项和为S,,,若对任意的"€N*,S,都是数列｛«„｝中的项，则称数列｛4,｝

为“T数列”.对于命题：①存在“T数列”｛凡｝,使得数列｛S,,｝为公比不为1的等比数列；②对

于任意的实数的,都存在实数d,使得以为为首项、d为公差的等差数列｛%｝为“T数列”.

下列判断正确的是()

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①是真命题，②是假命题D.①是假命题，②是真命题

三、解答题

2'+Z7

17.设aeR,函数/(x)=^——.

2V-1

(1)求。的值，使得>=/(尤)为奇函数；

⑵若/(2)=a,求满足/«>a的实数x的取值范围.

18.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为矩形，点E是棱上的一点，PB〃平

面AEC.

试卷第2页，共4页

(1)求证：点E是棱的中点；

⑵若平面ABC。，AP=2,AD=26,PC与平面4BC£)所成角的正切值为:，求二

面角D-AE-C的大小.

19.某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总,

得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格.

组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

频数926655347

(1)该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放2个随机红包，不

合格的发放1个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为若从这200个

1U.3U.ZJ

成年市民中随机选取1人，记X(单位：元)为此人获得的随机红包总金额，求X的分布

及数学期望；

(2)已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%,该社区所有成年市民中60岁以下人

员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合

格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.

20.如图，已知一是中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，一是以口的焦点为顶点

的等轴双曲线，点M(gg)是一与一的一个交点，动点尸在口的右支上且异于顶点.

⑴求和与「2的方程;

(2)若直线PF.的倾斜角是直线PF1的倾斜角的2倍，求点P的坐标；

(3)设直线PK，P£的斜率分别为匕&,直线尸月与口相交于点A3,直线尸工与口相交于点

C,D,\AFl\-\BF1\=m,\CF2\-\DF2\=n,求证：左他=1且存在常数s使得根+”=SWZ.

21.若函数y=/(尤)的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数y=f{x)

的图象的“自公切线”，称这两点为函数＞=/(尤)的图象的一对“同切点

(1)分别判断函数X(x)=sinx与力(尤)=lnx的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；

(2)若aeR,求证：函数g(x)=tanxr+a(xe(-芳))有唯一零点且该函数的图象不存在“自

公切线”；

(3)设〃wN*,/z(x)=tanx-x+"7i(xe(K))的零点为尤“,7©(-§,§),求证：“存在Se(2n,+co),

使得点(s,sins)与(f,sinf)是函数y=sinx的图象的一对，同切点，”的充要条件是“♦是数列{%}

中的项

试卷第4页，共4页

参考答案:

L[1,5]

【分析】由交集的定义求解即可.

【详解】因为集合A=[1,4],B=[2,5],则Au3=[i，5].

故答案为：

2.2

【详解】焦点/(1,0),准线方程工=一|,...焦点到准线的距离是2.

3.3

【分析】利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】a-b=3cos20+3sin20=3>

故答案为：3

4.12K

【分析】将圆柱的侧面展开，得到矩形的两边长，求出面积即可.

【详解】将圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一边为3,另一边为2兀'2=4兀，

故侧面积为3x471=1271.

故答案为：12兀

5.-2

【分析】根据通项公式得到10-3r=4,求出厂=2,从而得到方程，求出a=-2.

【详解】通项公式为=CW-"Q2，.xT=c/5-"w，，

令10-3r=4,解得厂=2,

故C；°3=_80,解得a=—2.

故答案为：-2

6.4夜

【分析】根据余弦定理建立方程，可得答案.

【详解】在ABC中，根据余弦定理可得：COSA=AS2+AC2~SC2,

2ABAC

设3C=x(x>。)，则工1+254,整理可得炉=32,解得％=40,

')52x1x5

故BC=40.

故答案为：40.

答案第1页，共15页

7

7.0.28/—

25

【分析】根据正态曲线的性质计算可得.

【详解】因为X双(202)且尸(2<X〈2.5)=0.36,

所以尸(1.5VX<2)=P(2<XV2.5)=0.36,

贝(J尸(|X-21>0.5)=1-2P(2<XV2,5)=l-2x0.36=0.28.

故答案为：0.28

8.(-8,8)

【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共辗，可设两根分别为根+疝和

m-m,则〃/+/=16,X/?=(m+m)(m-7?i)=m2+n2=16,再由△<0可求。的取值范围.

【详解】设实系数一元二次方程f+"+6=。的两个虚数根为利+疝和〃z—ai,

则m2+1T=16-

所以6==+〃2=16.

由A<0=>a2-4xi6<0=>-8<a<8.

故答案为：(-&8)

3

9.-/0.6

5

【分析】求出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的场数和抽签总共的可能场数，即可得出甲、

乙两位选手上场顺序不相邻的概率.

【详解】由题意，

若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有C；A；=3x3x2x1=18种，

若甲第二个上场,乙则可以第4,5个上场，有C；A；=2x3x2x1=12种,

若甲第三个上场,乙则可以第1,5个上场，有C；A；=2x3x2x1=12种,

若甲第四个上场,乙则可以第1,2个上场，有C；A；=2x3x2x1=12种,

若甲第五个上场,乙则可以第1,2,3个上场，有C；A；=3x3x2x1=18种,

共有18+12+12+12+18=72种，

而所有的上场顺序有团=5x4x3x2x1=120种,

答案第2页，共15页

723

・•・甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：P=—=~,

1205

3

故答案为：—.

10.21

m

【分析】不妨设数列｛%｝的公差大于零，不妨取机>",则鼠-=设

i=n+l

30

^=|S30-S9|=^o;,再分">9,m=30和〃<9,加=30两种情况讨论，可得出“o的值，再讨论

«=10

m<30,即可求出"％,即可得解.

【详解】不妨设数列｛%｝的公差大于零，

由于%%0<0，得。9<。，〃10>0，

且时，Q〃<0,时，凡>0,

m

不妨取根>九，则Sm-S"=£q,

i=n+l

30

设左二园-=,

z=10

30

若">9,m=30,则惨。-S“|42@<左，此时式子取不了最大值；

，=为+1

9

若〃<9,机=30,贝州3。-5”归工…,

Z=«o+1

又运9时,a,<0,

因为国。7“归ai+k<k,此时式子取不了最大值;

i=%+l

因此这就说明〃=%=9必成立.

mo

若加<30,则再“一59归24<左，

z=10

这也就说明人<30不成立，因此〃?0=30,

所以|机o-%|=21.

故答案为：21.

2

答案第3页，共15页

【分析】设半圆步道直径为X百米，连接AE,3E,借助相似三角形性质用X表示CE,结合

对称性求出步道长度关于x的函数关系，利用导数求出最大值即得.

【详解】设半圆步道直径为x百米，连接显然NA£B=90,

由点。为线段A3,8的中点，得两个半圆步道及直道CE,DF都关于过点0垂直于的直

线对称,

贝IAC=L-x,BC=1+无，又CE_LAB,则RtACERtVECB,有CE=ACBC,

22

即有DE=CE=,因止匕步道长/(x)=2j；-x2+"=J1-4Y+7uc,0<x<1,

4x71

求导得/(%)=-，+兀,由尸(x)=。，得X=/,,

41-4/2VTI+4

八兀，兀1,

当0<x</,时,/'(无)>0,函数/*)递增，当I,时,「(x)<0,函数/(X)

2d?+42,兀2+42

递减,

7171

因此当"研工时'1-4(-H------1-

26+42h+42

所以步道的最大长度为立七百米.

2

故答案为：近卫

2

【分析】根据空间向量的加法与数乘运算，可得点的位置并作图，利用三角形的等积变换可

得底面的面积比，可得答案.

【详解】由2罚=片+郎，2P。=弘+尸8—丛+尸4,2（尸0一尸4）=尸2一尸4，贝|24£）=钻；

由5胡=2弗+3序，5PE=2PB+3PC-3PB+3PB，5（尸石一尸2）=3（尸C-PB）,则52E=32C;

由2尸尸=-PC+3PA，2PF=-PC+3PA-3PC+3PC2（PF-PC）=3（PA-PC）,贝|

2CF=3CA;

显然四面体R4BC与四面体PDEP共顶点且底面共面，则其高相同可设为〃，

结合题意可作图如下：

答案第4页，共15页

在底面连接在3,作图如下:

即则黑/=4£=2易知。=4.

由2CF=3C4,

FC3'人」SFBCFC3'勿刈SfBC3'

即黑_J，则BA2'易知b<6；

由2AD=AB，

BA23ABF8A2SFBC6

即空二，则建^生二.

由58E=3BC，

BC5sBCFBC5'

BD1BE3nSDEB133tSDBE32

BA2BC5s.e2510勿利S迎1035

S.FDE_1SDBFSECFS_7S_3_7

—1DBE-------F-D-E-----X——---

SFBCSFBCSBCFFBC30SABC30220

33DEF7

/s.20

7

故答案为：—.

20

13.B

【分析】由分层抽样先求出初中部和高中部应抽取的学生，再由组合数公式和分步计数原理

即可得出答案.

【详解】该校初中部和高中部分别有500和300名学生，

所以初中部应抽取40x黑=40x：=25名学生，

8008

、.3003

高中部应抽取40x诉=40x[=15名学生，

8008

答案第5页，共15页

所以不同的抽样结果的种数为c；3c服.

故选：B.

14.A

【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简函数，再利用三角函数的周期公式以及奇偶函数

的定义即可求解.

因为"r)=—sin(-2x)=sin2x=-/(%),所以为奇函数,

周期T=y=»,

所以此函数最小正周期为万的奇函数，

故选：A.

15.D

【分析】分YVxWO和0<xW4两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.

【详解】当时，—尤2+℃+20>0恒成立，即6>/-20恒成立，

当x=0时，上式成立；

onof)

当YWx<0,。〈无一亍，明显函数y=x-?在［-4,0)上单调递增，

20

所以>min=—4T=1，所以苞V1；

-4

23

当0<x«4时，尤+3>0恒成立，即。>二一一7恒成立，

XX

令r=,贝Ua>2-3产在"+的上恒成立，

又y=2/-3/开口向下，对称轴为/=：€；，+°0］，

所以y=2f-3/的最大值为2x；-3x,：=g,

所以

综上：实数a的取值范围是［.I).

故选：D.

16.A

答案第6页，共15页

【分析】根据题意，结合“T数列”的定义，举出实例说明①②，即可得出答案.

【详解】对于命题①，对于数列｛4｝，

l,n=lf1,n=1

令册

T-\n>2'

数列｛S“｝为公比不为1的等比数歹!J,

当”=1时，W=1是数列｛4｝中的项,

当“22时，S“=2"7是数列｛%｝中的项,

所以对任意的“eN*,S,都是数列｛g｝中的项,

故命题①正确；

对于命题②，等差数列{〃〃},令％=—d,贝=%+(〃—l)d=(〃—2)d,

〃[-d+(〃-2)d]

贝电二幽詈1d，

22

因为九一22—1且〃—2wZ,

—3)9nn(n-3]

eZ,

282

所以对任意的“eN*,S"都是数列｛%｝中的项，

所以对于任意的实数%,都存在实数d,使得以％为首项、d为公差的等差数列｛%｝为“T

数列”，

故命题②正确；

故选：A.

17.⑴a=l

(2)(0,2)

【分析】(1)由奇函数的性质可得/(-1)=-7⑴，代入解方程即可得出答案；

(2)由/(2)=。，可得。=2,则2已%+上2＞2,由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.

2X-1

【详解】⑴由〃尤)为奇函数，可知/(T)=-/⑴，

即—(1+2。)=—(2+。)，解得。=1,

答案第7页，共15页

2X+12-x+11+2%

当a=l时，/(x)=,/(-%)=土==三=-/(%)对一切非零实数元恒成立,

2X-12-11_2

故a=l时，>=/(%)为奇函数.

4+a

(2)由/(2)=a,可得=a,解得a=2,

3

>2?x-4

所以/(%)>〃=----->20--------<0u>1<2“<4

2X-12X-1

解得：0<%<2,所以满足的实数1的取值范围是(。,2).

18.(1)证明见解析

(2)arctan2y/2

【分析】(1)作出辅助线，由线面平行得到线线平行，结合点F是5。的中点，得到证明；

(2)方法一：作出辅助线，得到4C4就是PC与平面A8CD所成角，从而根据正切值得

到AB=2后，证明出线面垂直，得到NCGD是二面角。-AE-C的平面角，求出各边长，从

而得到ZCGD=arctan20;

方法二：作出辅助线，得到/PC4就是PC与平面428所成角，建立空间直角坐标系，得

到平面的法向量，利用法向量夹角余弦值得到二面角的大小.

【详解】(1)连接瓦)，它与AC交于点F，连接EE

四边形ABCD为矩形,

,户为BD的中点,

PB〃平面AEC,平面尸3。经过尸8且与平面AEC交于E尸，

:.PB//EF,

又点尸是3。的中点，

点E是棱PO的中点.

(2)方法一：-：PA±^ABCD,AC,40,CDu平面ABC。,

答案第8页，共15页

PA±AC,P4，AD,PA，CD且ZPCA就是PC与平面ABCD所成的角,

/…PA21

故taM尸入就一而死—,解得日2忖

四边形A8CD为矩形，

:.ADLCD,又B4LCD,朋与A。是平面出。内的两相交直线,

\C0A平面

在平面B4。内作DG_LAE,垂足为G,连接GE则CG_LAE,

二.NCGD是二面角O-AE-C的平面角.

在直角三角形研。中，PA=2,4。=26，点E是尸。的中点，

CD1平面PAD,DGu平面PAD,

:.CD±DG,故tan/CGZ)=^=¥=20,所以NCGD=arctan2近,

DGV3

故二面角AE-C的大小为arctan2\/2.

方法二：：必_L平面ABCD,AC,A£>,Cr)u平面ABCD,

•••夫A，AC,24，AD,24，CD且/PC4就是PC与平面ABCD所成的角，

又一.四边形ABCD为矩形，.：AB工AD,

分别以A3,AD,AP为x,y,z轴，建立空间直角坐标系。-小，

答案第9页，共15页

E

设48=/,%=(羽％1)是平面4£。的一个法向量，二面角O-AE-C的大小为，,

,iPA21「

由tan/PCA=M；=7=q=q,可得”2后，

AC712+/23、

贝I]AC=(2娓,250),AE=(0,73,1),

4.AC=(x,y,1).(2疝2布,0)=2nx+20=0

6.AE=(x,y,1)•(0,百,1)=括y+1=0

解得X=亚且y=一且，所以为=[¥，-§/],

6-3I63)

又%=(1,0,0)是平面AEO的一个法向量，且夕为锐角,

所以二面角D-AE-C的大小为arccos；.

19.(1)分布列见解析，39

(2)36%,98:27

【分析】(1)依题意，X的所有可能取值为20,50,40,70,100,利用独立事件的概率乘法公

式求解相应的概率，进而得到X的分布，再结合期望公式求解即可；

(2)利用全概率公式和条件概率公式求解.

答案第10页，共15页

【详解】(1)随机抽取的200个成年市民的成绩合格率为一亚i=50%,

1,

产(X=100)=-x0.22=0.02,

产(X=70)=；xC；x0.2x0.8=0.16,

P(X=50)=-X0.2=0.1,

2

1,

P(X=40)=-X0.82=0.32,

P(X=20)=-x0.8=0.4,

2

所以X的分布为

X20405070100

P0.40.320.10.160.02

E(X)=100x0.02+70x0.16+50x0.1+40x0.32+20x0.4=39,

即X的数学期望为39；

(2)设“从该社区成年市区随机抽取1人，此人年龄在60岁以下”为事件A,“从该社区成

年市民随机抽取1人，此人安全知识合格”为事件8,

则尸(A)=70%,P(A)=30%,P(5|A)~56%,P(B)~50%,

由P(B)=尸(A)•P(B\A)+P(A)-P(B\A),

可得50%x70%-56%+30%-P(B\A),所以P(B\A)»36%,

-士P(AlB)尸⑷•尸①A)P(B)70%-56%98

P(A|B)P(B)P(A)-P(B\A)30%-36%27,

估计60岁及以上人员的合格率约为36%,成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及

以上人数之比约为98:27.

22

20.⑴L+2L=1与x2-y2=]

54

⑵(2,石)

(3)证明见解析

22

【分析】(1)设「1、「2的方程分别为3+2=1(〃＞。＞0)与％2-y2=，(c＞0),将点机的

ab

答案第11页，共15页

坐标代入M的方程可求出c，利用椭圆的定义可求出。的值，从而可得6,进而可得「1、r2

的方程；

(2)分点尸在第四象限和第一象限时两种情况讨论求出点尸的坐标；

,1

(3)利用两点的斜率公式及点尸在一上即可证明心=/，设尸月的方程为y=Mx+i),与

k1

椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示办“，化简'+,为常数，即可得出答案.

mn

22

【详解】(1)设■、二的方程分别为=+1=1(。>匕>0)与小一丫2=02(0。)，

ab

由［gj—得"I，故耳耳的坐标分别为(TO),(LO),

22

所以2〃=眼娟+\MF21=—A/5+—A/5=2y/5故，=#b=\］a-c=2，

22

故「与12的方程分另！J为二+匕=1与d-/=L

54

(2)当点尸在第四象限时，直线尸耳尸耳的倾斜角都为钝角，不适合题意；

当尸在第一象限时，由直线PF］的倾斜角是直线PF、的倾斜角的2倍，

可知/月片尸=/月尸£,故|P区上山区|=2,

设尸点坐标为（x,y）,可知（x-iy+y2=4且/-y2=i（x>O,y>0）,

解得x=2,y=代，故点尸的坐标为(2,6)，

(3)设直线尸片，尸鸟的斜率分别为《,网,点、P,A,B的坐标分别为(％,%),(%,乂),(々，%)，

则年-%2=1,匕&=4为_%2_/2]_1

%+1XQ—1XQ—1

尸£的方程为丁二/％+1),

22

代入q+q=l可得（4+5左2）/-8矽一16/=0,

-16左2

故外%

4+5公

所以"7=|AT讣忸团=

答案第12页，共15页

16(%+1

同理可得九=

4+5舄

/14+5短46+59(6+1)9

故1+)一16("+1)+16("+1)=16(苗+1)=正'

9

即加+〃=一mn,所以存在s,使得/n+n=smn.

16

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

21.(1)函数力(x)的图象存在“自公切线”；函数人(x)的图象不存在“自公切线”，理由见解

析；

(2)证明见解析;

(3)证明见解析.

【分析】⑴由直线y"'=sin元的图象于点(手1)号,1)判断力(x)=sinx,由导数确定

意见性判断上㈤=lnx.

(2)利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，

利用导数的几何意义求出切线方程，证明2再=sin2为在(0,会JT上无解即得.

(3)求出在点(s,sins)与(/,sin力处的切线方程，利用(2)的结论，结合诱导公式，及充要

条件的证明方法推理即得.

【详解】(1)显然直线，=1切，=5山元的图象于点g,l),(g,l),

直线y=1是y=sin尤的图象的一条“自公切线”，因此函数工(X)的图象存在“自公切线”；

对于力(元)=Inx,f,r(x)=-(x>0)是严格减函数，则力(X)在不同点处的切线斜率不同，

X

所以函数人(X)的图象不存在“自公切线”.

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(2)由/(x)=--—i=、?=tan2xN0恒成立，且仅当x=0时g'(%)=。，

cosXcosX

7Tjr

则、=8(尤)是上的严格增函数，可得它至多有一个零点，

答案第13页，共15页

由y=g/x)的图象是连续曲线，且&(《)*)=-i<o,

因此&(X)在(-££)上存在零点，即在(-15)上g(x)=&12存在零点，所以g(x)有唯一

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