2024年中考数学一轮复习学案：重难点17 阴影部分面积求解（解析版）

重难点突破03阴影部分面积求解问题

目录

题型过关练N

方法一直接公式法

方法二和差法

题型01直接和差法

题型02构造和差法

题型03割补法

类型一全等法

类型二等面积法

类型三平移法、旋转法

类型四对称法

题型04容斥原理

题型过关练N

【基础】设。O的半径为R,n。圆心角所对弧长为I,n为弧所对的圆心角的度数，则

扇形弧长公式/=寝（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表

180

示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位.）

2

扇形面积公式cmiR1e

S扇形=360=JR

圆锥侧面积公式S圆锥侧=Tirl（其中1是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）

圆锥全面积公式S圆锥全=7ui+Tir2（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）

圆锥的高h,圆r2+h2=I2

锥的底面半径r

【方法技巧】

1）利用弧长公式计算弧长时，应先确定弧所对的圆心角的度和半径，再利用公式求得结果.在弧长公式

1=黑中，已知1,n,R中的任意两个量，都可以求出第三个量.

180

2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然

后直接代入公式S扇形=需或S扇形=中求解即可.

3）扇形面积公式S扇形="R与三角形面积公式十分类似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形、

把弧长1看成底，R看成底边上的高即可.

4）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，1,n,R中的任意两个量，都可以求出另外两个量.

5）在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即

2b=寝，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n。之间的关系，有时也根据圆

锥的侧面积计算公式来解决问题.

6）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的

弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长.注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开

后的扇形半径两个概念.

【阴影部分面积求解问题简介】求阴影部分面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图

形的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有：

直接公式法

常

用直接和差法

方构造和差法

法全等法

等面枳法

和差法割补法平移法

旋转法

对称法

容斥原理

1）直接用公式求解.

图形公式

S阴影=S扇形ABC

A)c

VB

S阴影=SAABC

4

B

S阴影=S四边形ABCD=ab

B壬

C

2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解.

①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S阴影=S常见图形土S常见图形）

图形面积计算方法图形面积计算方法

AS阴影二SaACB—S扇形ABD0S阴影一S扇形AOB一

SAAOB

BXC

S阴影=S^AOB—S扇形COD,1）S阴影一S扇形BAD一S

力半圆AB

4b------'（：＜

S阴影二S半圆AB-SAAOBs阴影二s扇形之和

C_nnR2_nR2

3602

ABGJ<9

S阴影二S扇形EAF-SAADE

巨,4^-----------l

R

②构造和差法（所求阴影部分面积需要添加辅助线构造扇形、三角形或特殊四边形，然后进行相加减。）

图形公式

S阴影二S扇形AOc+S^BOC

S阴影=SAODLS扇形DOE

S阴影二S扇形AOB-Sz\AOB

第4+

F_Br,_B+

出S阴景乡二S扇形BOESAOCE-S扇形COD

A（：0A（：0.

3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利用

公式法或和差法创造条件，从而求解.

①全等法

图形公式

运歹S阴影"SAAOB

r»

_(S阴影二S扇形BOC

aVLrk

D.

S阴影二S矩形ACDF

^DF1A）F

I

0LA□A

C（）c

L__S阴影二S正方形PCQE

%H7

M\/C

②等面积法

图形公式

阴影二扇形

1入团SSCOD

p0P0

图形公式

4EAES阴影二S扇形AOE

@B3

*S阴影二S扇形BOD

心)

AOEA0E

E怎卢S阴影二S扇形ABE—S扇形MBN

4后-D

AMBDMB

⑤对称法

当阴影部分是由几个图形叠加形成时,

1）需先找出叠加前的几个图形；

2）然后理清图形之间的重叠关系.

图形（举例）公式

S阴影=S扇形BAB，+S半圆AB，-S半圆AB

€AsB

B

S阴景〃二S半圆AC+S半圆BC—S^ACB

cA

CS阴影二S扇形AEC+S扇形BCD—S/^ACB

4工

ANDEB

方法一直接公式法

1.（2022•湖北武汉•校考三模）如图，4B是半圆的直径，点C在直径上，以C为圆心、C4为半径向内作直角

扇形，再以。为圆心、DC为半径向内作直角扇形，使点E刚好落到半圆上，若48=10,则阴影部分的面积

为（）

ACB

A.167rB.127rC.87TD.47r

【答案】C

【分析】过点E作EFJ.48于点八连接4E,BE,首先证明△AEF〜△设/C=%,贝!MF=2%,BF

10-2%,EF=x,利用相似三角形的性质列方程即可求出工的值，再利用扇形面积公式计算即可.

【详解】解：如图，过点E作EF14B于点F,连接ZE,BE,

是半圆的直径,

・•・乙4EB=90°,即SW+Z.EBA=90°,

,-'EF1AB,

：.^AFE=乙EFB=90°,

­.^EAB+Z.AEF=90°,

'-Z-EBA=Z.AEF,

AEF—△EBF,

・嗡喑即犷=WBF,

设ZC=x,

■.-EF1AB,且由作图可知阴影部分是两个半径相等的半圆,

.•・四边形DCFE是正方形,

.♦,CD=DE=EF=CF=AC=%,

'-AF=2x,

••BF=10—2%,

•,.%2=2x(10—2x),

•,•%1=0(舍去)，x2=4,

.C-7y90X7TX42

・4阴影一NX3608TT,

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形和扇形的面积，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及扇形的面积公式是

解题的关键.

2.（2023・四川成都・校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,以B为圆心，BC的长为半径画弧,

交2。于点E.若将一骰子（看成一个点）投到矩形A8CD中，则骰子落在阴影部分的概率为

【分析】本题考查了几何概率，先根据锐角三角函数求出NAEB=30。，再根据扇形面积公式求出阴影部分

的面积，最后根据几何概率的求法解答即可.

【详解】解：：以8为圆心，BC的长为半径画弧，交4D于点E,

：.BE=BC=2,

在矩形2BCD中，/.A=/.ABC=90°,AB=1,BC=2,

.".sin^AEB=-=

BE2

：.AAEB=30°,

：.Z.EBA=60°,

:.乙EBC=30°,

...阴影部分的面积：5=堂争=：加

•••矩形的面积为2,

.••将一骰子（看成一个点）投到矩形ABC。中，则骰子落在阴影部分的概率为g

26

故答案为：:71.

6

3.（2023・吉林长春・吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在中，/.BAC=90°,BC=6,点。是

BC的中点，将4。绕点A按逆时针方向旋转90。得4。.那么图中阴影部分的面积为.

BDC

【答案】V

4

【分析】先根据直角三角形的性质求出2。的长，再由扇形的面积公式即可得出结论.

【详解】解：*.•在RtZkABC中，ABAC=90°,BC=6,点。是BC的中点，

：.AD=-BC=3,

2

2

.C_90°TTX3_97r

・・3扇形400,=360。=7，

故答案为：

4

【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键.

方法二和差法

题型01直接和差法

4.(2019上•河北石家庄•九年级统考期中)已知点C在以为直径的半圆上，连接ZC、BC,AB=10,

BC'.AC=3:4,阴影部分的面积为.

【答案】yTt-24

【分析】要求阴影部分的面积即是半圆的面积减去直角三角形的面积，根据48=10,BC-.AC=3:4,可以

求得力C,BC的长，再根据半圆的面积公式和直角三角形的面积公式进行计算.

【详解】解：•••AB为直径，

•••Z4CB=90°,

BC\AC=3:4,

设BC=3a,AC=4a(a>0),

AC2+BC2=AB2,即(4a)2+(3a)2=102,

解得：a=2,

BC=6,AC=8,

S阴影=S半圆一S—BCU^XTTX5?—5X8x6=—it—24.

故答案为：yn-24.

【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键.

5.（2023•青海・统考中考真题）如图，正方形ABC。的边长是4,分别以点A,B,C,。为圆心，2为半径

作圆，则图中阴影部分的面积是（结果保留兀）.

【分析】分析出阴影面积=正方形面积-圆的面积，再利用相应的面积公式计算即可.

【详解】解：由图得，阴影面积=正方形面积-4个扇形面积，

即阴影面积=正方形面积一圆的面积，

•••S阴影=42—兀♦2?=16—47r.

故答案为：16-471.

【点睛】本题考查了扇形面积的求法，正方形面积及圆的面积的求法是解题关键.

6.（2023•湖南娄底•统考一模）如图，在等腰直角三角形4BC中，ZC=90°,AC=五,以点C为圆心画弧

与斜边4B相切于点D,交4C于点E,交BC于点F,则图中阴影部分的面积是.

【答案】1-3

4

【分析】连接CD,利用等腰直角三角形的性质求得扇形的半径，再利用图中阴影部分的面积=S“BC-

S扇形CEF即可解答，

【详解】解：连接CD,如图,

••・以点C为圆心画弧与斜边48相切于点D,

•••CD1AB,

・・・△4CB为等腰直角三角形，

1

•­.CD=AD=BD=-AB.

2

•••yljB=V2XC=V2-V2=2,

•­.CD=1,

・•・阴影部分的面积=S^ABC—

=涉"一号穿

=|xV2xV2-J

=1/

故答案为：1一%

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、圆的切线的性质定理、扇形、三角形的面积等知识点,

连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线.

7.（2023・山东济南・统考中考真题）如图，正五边形ABCDE的边长为2,以力为圆心，以4B为半径作弧BE,

则阴影部分的面积为（结果保留兀）.

B

【答案】Y

【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出乙4的度数，利用扇形面积公式计算即可.

【详解】解：正五边形的内角和=(5-2)x180°=540°,

・•・4/=*54_0°=108°,

.r_1087T22_67r

••扇形ABE-360-5'

故答案为：y.

【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是

解答本题的关键.

题型02构造和差法

8.(2023・四川泸州・统考模拟预测)如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,。。为RtAABC的

内切圆，则图中阴影部分的面积为(结果保留n)()

A.—B.6--C.5D.3+—

4444

【答案】c

【分析】本题考查了三角形内切圆的性质；勾股定理求得48=5,进而根据等面积法求得，三角形的内切

半径，根据S阴影=SAABC—圆一S正方形，即可求解・

【详解】解：Rt△力BC中，AC=4,BC=3,

AB=V32+42=5,

S&ABC=54c,BC=6,C^ABC="C+BC+AB=12,

二内切圆半径r=蓑=1,

,,,S圆=nr2=n,

设O。与AC切于点D,与BC切于点E,连接OD、OE,

则四边形ODCE为正方形,

33广3

二S阴影=SAABC_]S圆一s正方形=6—1兀-1=5--7T-

故选：C.

9.（2022・湖北恩施・统考模拟预测）如图，在平行四边形A8CD中，AD=2,48=4,乙4=30。,以点人为

圆心，4D的长为半径画弧交2B于点E,连接CE,则阴影部分的面积是（）

H

1111

A.3—KB.3IT—C.-ITD.-n—3

3333

【答案】A

【分析】利用平行四边形的面积减去扇形面积和三角形面积即可求解.

【详解】解：过点。作于R

"：AD=2,乙4=30°,

：.DF=-AD=1.

2

•・•以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E,

••AE=AD=2,

又・・・48=4,

C.BE=2,

•・S阴影=S+1BC。-S扇形力OE-S.CE

30K-AD121

=AB-DF-——BE,DF

~360

307rx221

4x1---x2x1

3602

=3

3

故选A.

【点睛】本题考查含30。角的直角三角形的性质，平行四边形和三角形的面积公式，扇形的面积公式，不规

则图形面积的求法，掌握相关面积公式和定理是解题的关键.

10.（2023・安徽•模拟预测）如图，。。的半径为2,AB=2V3,则阴影部分的面积是.（结果保留兀）

【分析】过点。作OH于点"连接OB,求出。H的长和乙4。8的度数，根据S^AOB-S“OB即可求

出答案.

【详解】解：如图所示，过点。作。H14B于点H,连接0B,

2

.♦.sinNAOH=竺=四，^.AOH-Z.BOH^-^AOB,OH=7A0?一册=22_^)=1,

AO22\v7

・••乙AOH=60°,

：.Z-AOB=2/-AOH=120°,

...图中阴影部分的面积为S扇形40B—S^AOB=12°^22-iX2V3X1=i7T-V3,

36UZ3

故答案为：^7T—V3.

【点睛】此题考查了垂径定理、扇形面积、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，

求出。H的长和N40B的度数是解题的关键.

11.（2023上•安徽六安•九年级校考期末）如图，在RtAABC中，乙C=90°,乙4=60°,AC=2.点。为BC边

的中点，以点。为圆心，CB长为直径画半圆，交4B于点E,则图中阴影部分的面积为.（结

果保留兀）

【答案】兀一乎

4

【分析】本题考查了含30。角的直角三角形的特征、勾股定理、扇形的面积，根据含30。角的直角三角形的

特征得2B=2AC=4,再利用勾股定理得BC=2®BD=CD=V3,进而可得CE=V3,BE=3,再利

用阴影部分的面积=S扇形-SABDE即可求解，熟练掌握基础知识，利用分割法解决问题是解题的关键.

【详解】解：连接CE、ED,如图:

N4=60。，4C=2,点。为边的中点,

.­./.ABC=30°,AB=2AC=4,

•••4CDE=60°,乙BDE=180°-60°=120°,

BC=V42-22=2A/3,BD=CD=V3,

CE=|BC=技BE=<BC2-CE2=J（2网?_后=

・・・图中阴影部分的面积=S扇形皿一S△皿=S扇形皿一3BCE=制件-1x|x3xV3=7T-^.

故答案为：7T—

4

12.（2022・广东江门•鹤山市沙坪中学校考模拟预测）如图，在半径为遮，圆心角等于45。的扇形2。8内部作

一个正方形CDEF,使点C在。力上，点D、E在。B上，点尸在池上，则阴影部分的面积为

A

【答案】》-|

【分析】连接。尸，由勾股定理可计算得正方形CDEF的边长为1,则正方形CDEF的面积为1,等腰直角三角

形COD的面积为:，扇形4。8的面积为，•(遥『=泞，所以阴影部分的面积为J

【详解】解：连接。F,贝1」09=遍，

VZ-AOB=45°,

:,(DCO=90°-(COD=45°.

J.Z-COD=乙DCO.

：.CD=OD.

：.EF=ED=OD.

Rt△OEF中，

OE2+EF2=OF2,

：.(2EF)2+EF2=(V5)2,解得EF=1

：.OD=CD=EF=1

・・・S阴影=S扇形408—S^ooc-SCOEF=孤兀x(V5)2-|X1X1-1X1=|TT-|.

故答案为：|TT—|

oz

【点睛】本题考查扇形面积的计算，勾股定理，正方形的性质；构造直角三角形运用勾股定理是解题的关

键.

13.(2022•福建・一模)如图，在平行四边形纸板4BCD中，点E,F,。分别为4B,CD,BD的中点，连接

DE,OF,BF.将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部分的概率为

【答案】|

【分析】根据点。分别为的中点，得到，从

E,F,4B,CD,BDS.OD=[SABEDSABEF=ShBED=^SBABCD,

而得到SAEOD=：SM4BCD，进而得出S阴影=:S®4BCD，由此即可得到答案.

【详解】解：如图，连接。E,

••・四边形4BCC为平行四边形，点E,F,。分别为AB,CD,BD的中点,

.•.点E,F,。在同一直线上，

iiii

S^EOD=QS^BED'S^BEF=S^BED=2=2，2^^ABCD=^^BCD9

xi

•••S〉EOD—2S〉BED—g^ABCD»

113

S阴影=S^BEF+S〉EOD=4^ABCD+g^ABCD=g^ABCD»

飞镖落在阴影部分的概率为

o

故答案为：

【点睛】本题考查了几何概率，平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，根

据题意计算出S阴影=9s©4BCD是解此题的关键.

14.（2023•广东梅州•校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知OD经过原点。，与x轴、y轴分别交于

48两点，点B坐标为（0,2次），。。与OD交于点C,Z0CX=30°,则圆中阴影部分的面积

为.

【分析】连接48,从图中明确S阴影=S半圆-S-B。，然后根据公式计算即可.

'：LAOB=90°,

...AB是直径,

根据同弧对的圆周角相等得：^OBA=/.OCA=30°,

:点8坐标为（0,2百）,

OB=2V3,

.・・=OB^ABO=°Btan30。=28x9=2,4B=肃=4,

即圆的半径为2,

,阴影=S半圆一S^ABO=_3X2X2-\/3=2?r—2y/3.

故答案为：2兀一2g.

【点睛】本题考查了同弧对的圆周角相等；90。的圆周角对的弦是直径；锐角三角函数的概念；圆、直角三

角形的面积分式，解题的关键是熟练运用所学的知识进行解题.

15.（2023・河南周口・淮阳第一高级中学校考模拟预测）如图，扇形力MB的圆心角=60。，将扇形

沿射线M8平移得到扇形CMD,已知线段CN经过初的中点E,若4M=2有，则阴影部分的周长为

【答案】28+亨

【分析】连接ME,根据E为AB的中点，扇形4MB的圆心角N4MB=60。，得出=NAME=（乙4MB

-兀

30°,求出1gg=30X2=国,证明EN=MN,根据NE+NB+1/="可+可8+（糜求出结果即可.

1803

【详解】解：连接ME,如图所示：

：E为4B的中点，扇形4MB的圆心角=60°,

1

=Z,AME=-Z-AMB=30°,

2

*：AM=2V3,

：.EM=BM=2V3,

.,_30x2V37r_V3TT

一180一3，

根据平移可知，AM||CN,

：.^AME=乙MEN,

・••乙BME=乙MEN,

：.EN=MN,

・•・阴影部分的周长为：

NE+NB+L=MN+NB+降

=MB+院

=2旧+等.

故答案为：2旧+苧.

【点睛】本题主要考查了平移的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握平移的

性质是解题的关键.

16.（2024•西藏拉萨•统考一模）如图，等腰△ABC的顶点A,C在。。上，BC边经过圆心0且与0。交

于。点，乙B=30°.

（1）求证：力B是O。的切线；

（2）若4B=6,求阴影部分的面积

【答案】（1）见解析；

（2）673-2兀

【分析】（1）连接。4,由AB=4C,ZB=30°,可得NC4B=120。，由。C=。4可得/。48=90。，即可

求证;

（2）在中，利用勾股定理可求得=2百，再根据5阴=SRM°4B扇形MD，即可求解.

【详解】（1）证明：连接。4

"：AB=ac,

.,.ZC=NB=30°,ACAB=120°,

VOC=OA,

：.^OAC="=30°,

：.^LOAB=90°,

•..。4是0。的半径，

.♦.AB是圆。的切线.

(2)解：：NB=30°,ZOXF=90°,

：.OB=2。4

"：AB=6,

?.OA2+62=（204）2

OA=2V3

2

・ccc1cdAC607r'OA1c/7Tr607rxi2r/7To

..5阴=SRtA0AB-s扇形04P=-0A-AB=-X2^3X6=6V3-27T.

【点睛】此题主要考查切线的判定定理、直角三角形的性质、勾股定理、扇形的面积公式，熟练掌握切线

的判定定理是解题的关键.

17.（2023•山西长治•统考模拟预测）如图，在A/IBC中，CA=CB,4B=4,点。是4B的中点，分别以点力、

B、。为圆心，4。的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、F、G、H,若点E、F是线段2C的三等分点时,

图中阴影部分的面积为（）

C

A.8V2-2TTB.16V2-4nC.8a一4TTD.16V2-2TT

【答案】A

【分析】连接CD,由等腰三角形的性质可得CD14B,4。=BD=2,由题意可得4c=8C=34。=6,

由勾股定理可得CD-4V2,再由S阴影=SAABC-S扇形4DF一S扇形CEG-S扇形BDH代入进行计算即可•

【详解】解：如图，连接CD,

CA=CB,AB=4,点。是28的中点,

•••CD1AB,AD=BD=2,

••・分别以点4、B、C为圆心，4。的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、F、G、H,点、E、F是线段AC的三

等分点,

AC=BC=3AD=6,

•••CD=y/AC2-AD2=V62-22=4VL

S阴影=SA4BC—S扇形ADF-S扇形CEG-S扇形BDH

Z.FADX22XTIZECGX22XTIZ.DBHX22XH

360°360°360°

122XIT、

=—,x4x4V2—Oue。(z^Z-FAD+Z-ECG+乙DBH)

2360

4xTtx180°

8V2-

360°

=8>/2—2it,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、扇形面积的计算，熟练掌握等腰三角形的性质、

勾股定理、扇形的面积公式是解题的关键.

18.(2022•湖北武汉•校考模拟预测)已知是。。的直径,D4DE、BC是。。的三条切线，切点分别为4E、

B,连接OE.

图1图2

(1)如图1,求证：OE2=DE-CE；

(2)如图2,AD=1,BC=3,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)见解析

(2)3百-it

【分析】(1)连接OD,OC,根据切线的性质可得2B1BC,AB1AD,OE1CD,由。4=OE可得D。垂直

平分N40E,贝同理可得N8C。=NEC。，可得出4ODE+4OCE=90。，根据同角的余角

相等可得NE。。=乙ECO,证明△ODE八COE,根据相似三角形的性质即可得出结论；

(2)连接0C,过点。作DF,8c于点F,则四边形是矩形，可得CF=2,利用勾股定理求出DF,可

得半径是OC=2V3,可求出ZBOE=120。，根据S阴影部分=5四边形BCEO—S扇形OBE即可求出答案.

【详解】（1）证明：如图，连接。。，OC,

•••DA.DE、是。。的三条切线，切点分别为2、E、B,

ABIBC,ABLAD,0E1CD,

・•・AD||BC,AOED=乙CEO=90°,

OA—OE,

・•・0。平分4ZDE,

i

・•・/-ADO=(CDO=-/.ADE,

2

同理可得：乙BCO=乙ECO=QCE,

•••AD||BC,

・•・/.ADE+乙BCE=180°,

••・(ODE+Z.OCE=90°,

•・•Z.ODE+Z.EOD=90°,

•••Z-EOD=Z-ECO,

ODECOE,

OE_DE

''CE~OE9

OE2=DE-CE；

(2)解：如图，连接。C,过点。作DFLBC于点F,

则四边形是矩形,

•••AD=BF,DF=AB,

■.DA,DE、8C是O。的三条切线，切点分别为人E、B,AD=1,BC=3,

•••DE=AD=BF=1,CE=BC=3,

•••CF=BC-BF=2,CD=CE+DE=4,

DF=yJCD2-CF2=2^/3,

•••AB=DF=2V3,

.•・。。的半径是旧，

OC=VOB2+BC2=2V3,

OC=208,

・•.Z,0CB=30°,

・•・乙BCE=2乙OCB=60°,

・•・乙BOE=360°-乙OBC-乙OEC-乙BCE=120°,

2

r_rc_n1120XTTXOF_。石

3阴影部分=、四边形BCE0一、扇形。BE=N*36c-Ub——=5Vs-TT.

【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，扇形的面积公式，相似三角形的判定和性质，熟练

掌握相似三角形的判定和性质及切线的性质是解题的关键.

题型03割补法

类型一全等法

19.（2022上•安徽阜阳•九年级校考期末）4B是。。的直径，弦CDLAB,a=30°,CD=473,则S阴影=

A.7iB.2KC.-7iD.4兀

3

【答案】c

【分析】先求出NE。。，再根据含30。直角三角形的性质得CE,及AC=24E,然后根据勾股定理求出4E,进

而得出4C,同理求出。E,OD,最后根据S阴影=S扇形a。。得出结论.

【详解】解：VzC=30°,

."EOD=2NC=60。.

,：AB1CD,AB过圆心O,CD=4V3,

：./.AEC=^DEO=90°,CE=DE=2®

4EDO=30°.

在RtAACE中，ZC=3O°,

：.AC=2AE,

根据勾股定理，得（24E）2=（2/）2+452,

解得力E=2（负数舍去），

.,.AC-2AE=4,

同理。E=2,OD=4,

，SA4EC=SA0ED=5X2V3X2=2V3,

.„___607rx42_8

阴影=、扇形4。。=360=17r

故选：c.

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，扇形的面积等，将求不规则图形面

积转化为求规则图形的面积是解题的关键.

20.（2023•山西晋城•模拟预测）如图，在矩形4BCD中，AB=1,以点4为圆心，矩形的长4。为半径画弧,

交BC于点E,交AB的延长线于点F,若力E恰好平分NB2D,则阴影部分的面积为（）

„7T-V2-1C2近+71

A.1D.------------------D.V2-1

2.4

【答案】D

【分析】由矩形的性质结合角平分线的定义可求出NB4E=/.EAD=^BAD=45°,AB=BE=1,AE=五,

再根据扇形的面积公式，矩形的面积公式和三角形面积公式计算出S阴影REF=S扇形4EF-和S阴影DCE=

S矩形4BCD一S扇形力DE—取后相加即可.

【详解】解：・・•四边形为矩形,

AZ.BAD=Z.ABC=90°.

•.IE恰好平分NB4D,

——m=45。,

*.AB=BE=1,

：.AE=y/AB2+BE2=V2,

W_4SnAE2_457rx（迎）2_1111

扇形/EF-360—36014兀S,ABE=-AB-BE=-XIXI=-,

•・S阴影BEF=S扇形4EF一$A4BE-4n~2'

由题意可知a。=AE=五,

，S矩形ABCD=4B•4"=1x&=V2,S扇形ADE=360=酒

，S阴影DCE=S矩形4BCD-S扇形4DE-SLABE=V2--7T--

•,阴影部分的面积为S阴影BEF+S阴影DCE=奁-L

故选D.

【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积

计算等知识.利用数形结合的思想是解题关键.

21.（2023•内蒙古・统考中考真题）如图，正方形4BCD的边长为2,对角线2C,B。相交于点0,以点8为圆心,

对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E,则图中阴影部分的面积为.

【答案】n

【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，然后由勾股定理得出BD=2企，再由

扇形的面积公式求解即可.

【详解】解：正方形力BCD,

：.A0=CO,BO=DO,AD=CD,4DBE=45°,

A△AOD^ACOB（SSS）,

,/正方形48CD的边长为2,

：.BD=V22+22=2A/2

阴影部分的面积为扇形BE。的面积，即45x：（f⑵2=兀，

360

故答案为：TT.

【点睛】题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键.

22.（2022.青海・统考中考真题）如图，矩形48CD的对角线相交于点O,过点。的直线交4。，BC于点、E,F,

若2B=3,BC=4,则图中阴影部分的面积为.

【答案】6

【分析】结合矩形的性质证明A40E三ACOF,可得A40E与AC0F的面积相等，从而将阴影部分的面积转

化为△BDC的面积进行求解即可.

【详解】解：：四边形4BCD是矩形，AB=3,

：.0A=0C,AB=CD=3,AD\\BC,

：.Z.AEO=乙CFO,

又'ZOE=乙COF,

在AAOE和Aw中，

Z-AEO=乙CFO

OA-OC,

./.AOE=Z.COF

：.△AOESACOF(ASA),

,•S—OE=SHOF'

•阴影=SAAOE+S^BOF+SACOD=S4COF+^ABOF+^ACOD=1^ABCD)

11

,,S^BCD~3BCCD=-x4x3=6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查矩形的性质、全等三家形的判定与性质，根据证明三角形全等，将阴影部分的面积转化

为矩形面积的一半是解题的关键.

23.（2022上.江西南昌.九年级统考期末）如图，半径为10的扇形。48中，乙4OB=90。，C为弧48上一点，

CD1OA,CE1OB,垂足分别为D,E.若NCDE=40。，则图中阴影部分的面积为（）

.40_110„100n.

A.—ITB.—7TC.—TCD.10TT

399

【答案】c

【分析】连接OC,易证得四边形CDOE是矩形，则aDOE四△CEO,得到NC03=NOEO=40。，图中阴

影部分的面积=扇形03。的面积，利用扇形的面积公式即可求得.

【详解】解：如图，连接OC,

VZAOB=90°,CDLOA,CELOB,

・•・四边形CQOE是矩形，

；.OD=CE,DE=OC,CD//OE,

•・・NCDE=40。,

・•・ZDEO=NCZ)E=40。,

OD=EC

在△OOE和△CEO中,DE=CO,

OE=EO

•••△DOE/ACEO(SSS),

：.ZCOB=ZDEO=40°,

，图中阴影部分的面积=扇形08C的面积，

S魏0.C=4°GI°2=3兀,

3609

.•.图中阴影部分的面积为等兀，

故选：C.

【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形OBC的面积等于阴影的面积是解题的

关键.

类型二等面积法

24.（2023•辽宁锦州・统考二模）如图，在AaBC中，4B=4C,以"为直径的。。与力B,BC分别交于点D

E,连接AE,DE,若NBED=45。，AB=2,则阴影部分的面积为（）

A.-B.-C.—D.it

433

【答案】A

【分析】连接OE,OD,证明SAAOD=SA4ED，可得S阴影=S扇形。的，求解乙4。。=90°,再利用扇形的面积

公式计算即可.

【详解】解：连接。E,OD,

为。。的直径,

J./.AEC=90°,

"：AB=4C,

：.BE=CE,

即点E是BC的中点，

・・•点。是的中点，

・・・0E是的中位线，

：.OE\\ABf

,•S^AOD=S—EO，

'S阴影=S扇形。4。'

•・ZEC=90°,

AZ-AEB=90°,

•:（BED=45°,

C.2LAED=45°,

・•・乙4。。=90°,

.q_9071X12_TT

••3扇形0/0=360=4f

••D阴影・4’

故选：A.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，熟练的证明S阴影=S扇形

是解本题的关键.

25.（2023•山西大同•校联考模拟预测）阅读与思考

下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务：

通过构造全等三角形来解决图形与几何中的问题

在图形与几何的学习中常常会遇到一些问题无法直接解答，需要作辅助线构造全等三角形才能得到解决，

比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交，构造全等三

角形，再运用全等三角形的性质解决此问题.

例：如图1,。是AABC内的点，且4。平分ABAC,CD1AD,连接BD.若AdBC的面积是10,求图中阴影

部分的面积.

A

图1

该问题的解答过程如下：

解：如图2,延长CD交2