2023年广东省深圳市九年级下学期中考二模数学试题（原卷版）

2023届宝安中学九年级下二模模拟考试题

一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列实数中,比3大数是（）

A.5B.1C.0D.-2

2.下列图形中,既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）

(3、2

aa5

A.(〃+人)2=/+/B.5tz2-3a2=2a2=

力Fa

4.今年1月，深圳召开全市高质量发展大会，同时举行首批266个重大项目开工活动，预计本年度计划投

资约535.6亿元，以高质量投资助力高质量发展.535.6亿用科学记数法表示（）

A.5.356xlO2B.5.356xlO8C.5.356xlO9D.5.356xlO10

5.如图，在△ABC中，点。，E分别是边AS,AC的中点，若S»»E=4.则四边形BDEC的面积为

B.8C.12D.16

6.下列命题是真命题的是（）

A,四边相等的四边形是正方形B.物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的

如果〃匕，则:=一

C.2=3D.有一个角为120°两个等腰三角形相似

b3

7.将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为（）

A.y=-5(x+1)2-1B.y=-5(x-1)2-1C.y=-5(x+1)2+3D.y=-5(x-1)2+3

8.如图所示，满足函数丁=左（九—1）和y=K（左wO）的大致图象是（）

X

9.如图，O直径AE的延长线与过点8的切线5。相交于点。，点C为c，。上一点，且NBCE=20。,

C.40°D.30°

10.如图，射线BN,AM都垂直于线段A3,E为40上一动点，ACL5后于点F,交BN于点、C,

AE

CC于点。，设一=k,设CF=CD时，攵的值为（）

AD

A.1B.4C.史」D.不存在

22

二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11.因式分解：&3_而2=.

12.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽.每株脚钱三

文足，无钱准与一株椽.”其大意：现请人代买一批椽，这批椽价钱为6210文.如果每株椽的运费是3

文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽

的数量为x株，则可列分式方程为.

13.如图，树垂直于地面，为测树高，小明在C处测得NACB=15。，他沿方向走了20米，到达。

处，测得乙M>8=30。，则计算出树的高度是米.

A

CDB

k

14.如图，四边形OABF中，ZOAB=ZB=90°，点A在x轴上，双曲线y二一过点/，交A8于点E,连

X

BF2

接EF.若——=一，SABEF=4,则左的值为一

JOA3

VA

15.在ABC中，ZC=90°,CB=CA=5,点。是5C的中点，点尸是ABC内一点，且

DP=DC,连接。P、AP,。是OP的中点，则AP+BQ的最小值是_________.

A

三.解答题(共7小题，共55分)

16.计算:(4—国―3tan60。—+近

，—(X2-2X31x-3

17.化间分式：2,•2J并当x=6—2代入求值.

x—44x+44x—2Jx—4

18.中国共产党的助手和后备军——中国共青团,担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠

接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了4青年大学习；B：背年学党史；C：中国梦宣

传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行

了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校共有学生1280名，请估计参加8项活动的学生数；

（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率.

19.如图，在平行四边形A3CD中，DB=DA,点尸是A3的中点，连接。尸并延长，交CB的延长线

于点E,连接AE.

（1）求证：四边形AEfiD是菱形；

（2）若。C=2,BD=®，求四边形AEBD的面积.

20.学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张.若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费

17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元.

（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元；

（2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用最

低时的购买方案？

21.如图1,对于平面上小于或等于90。的NMON,我们给出如下定义：若点P在NMON的内部或边上，

作于点E,PF工ON于■点、F,则将PE+P尸称为点尸与NA/QV的“点角距”，记作

d(NMON,P).如图2,在平面直角坐标系x0y中，x、y正半轴所组成的角记为NxOy.

(2)若点P为NxOy内部或边上的动点，且满足d(Nr0y,P)=4,在图2中画出点P运动所形成的图形.

4

(3)如图3,在平面直角坐标系xQy中，射线OT的函数关系式为y=§x(x>0).抛物线

y=—</+2工+。经过A(5,0),与射线OT交于点。，点。是人。两点之间的抛物线上的动点(点0

可与A,D两点重合)，求当d(4O=Q)取最大值时点。的坐标.

22.【基础巩固】

图1图2图3

(1)如图1,在一ABC中，D,E,歹分别为ABAC,3C上的点，DE//BC,BF=CF,A/交

DE于点G,求证：DG=EG.

尝试应用】

(2)如图2,在(1)的条件下，连结CD,CG.若CGLDE,CD=10,AE=6,求——的值.

BC

【拓展提高】

(3)如图3,在YA5CD中，^ADC=45°,AC与3D交于点。，E为A0上一点，EG〃的交AD于

点G,EF上EG交BC于点F.若NEG/=40°,FG平分NEFC,FG=8,求g尸的长.

2023届宝安中学九年级下二模模拟考试题

一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列实数中，比3大的数是（）

A.5B.1C.0D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】根据有理数的大小比较法则比较即可.

【详解】解：因为一

所以比3大的数是5,

故选：A.

【点睛】本题考查了有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此

题的关键.

2.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）

「J5D.

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可.

【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；

B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B正确；

C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C错误；

D.既不轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直

线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定

义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么

这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，

3.下列算式中，正确的是（）

（35

A.+/?）2=a~+b~B.5«2—3a2—2a2C.—=—D.

-21

—a=—

a

【答案】B

【解析】

【分析】根据完全平方公式、合并同类项、幕的运算法则逐个计算排除选择.

【详解】解：A、（a+32=4+2必+〃该选项不正确，不符合题意；

B、5a2—3储=2］该选项正确，符合题意；

，36

C、—=勺该选项不正确，不符合题意；

91

D、-a-2=--y该选项不正确，不符合题意；

a

故选：B.

【点睛】本题考查了完全平方公式、合并同类项、塞的运算，熟练运用哥的运算公式是解

题的关键.

4.今年1月，深圳召开全市高质量发展大会，同时举行首批266个重大项目开工活动，预

计本年度计划投资约535.6亿元，以高质量投资助力高质量发展.535.6亿用科学记数法

表示（）

A.5.356xlO2B.5.356xlO8C.5.356xlO9D.

5.356xlO10

【答案】D

【解析】

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为axlO",其中l<|a|<10,“

为整数.

【详解】解：535.6亿=53560000000=5.356x1010.

故选：D.

【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1W|a|<10,

〃为整数.确定九的值时，要看把原来的数，变成。时，小数点移动了多少位，九的绝对值

与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，”是正数；当原数的绝对值<1时，九是

负数，确定。与“的值是解题的关键.

5.如图，在AABC中，点、D,E分别是边AB,AC的中点，若S”0E=4.则四边形BOEC

的面积为（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据点。，E分别是边AB,AC的中点，可以得到。E是三角形ABC的中位线,

即可得到^ADE^AABC,然后根据相似三角形的性质求解即可.

【详解】；点D,E分别是边A8,AC中点，

是三角形ABC的中位线

:.DE=WBC,DE//BC,

...AADEsAABC,

••S^ABC=16,

四边形BOEC的面积=16-4=12,

故选C.

【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于

能够熟练掌握相关知识进行求解.

6.下列命题是真命题的是（）

A.四边相等的四边形是正方形B.物体在任何光线照射下影子的方

向都是相同的

2

C.如果2a=3/?,则4=一D.有一个角为120。的两个等腰三角

b3

形相似

【答案】D

【解析】

【分析】根据正方形的判定判断A；根据平行投影和中心投影的特点和规律判断B；根据

比例的性质判断C；根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定判断D.

【详解】解：A、四边相等的矩形是正方形，故本选项中的命题是假命题，不符合题意；

B、物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的

位置有关，故本选项中的命题是假命题，不符合题意；

C、如果2a=3/7,当a=A=O时，则乌=?不成立，故本选项中的命题是假命题，不符

b2

合题意；

D、有一个角为120。的等腰三角形底角为30。，所以有一个角为120。的两个等腰三角形一

定相似，故本选项中的命题是真命题，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查正方形的判定、投影、比例的性质、相似三角形，正确理解以上性质和

定义是解题的关键.

7.将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物

线为()

A.y=-5(x+1)2-1B.y=-5(x-1)2-1C.y=-5(x+1)2+3D.

y=-5(x-1)2+3

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案.

【详解】将抛物线y=-5x2+l向左平移1个单位长度，得到y=-5(x+1)2+1,再向下平移2

个单位长度，

所得到的抛物线为：y=-5(x+1)2-l.

故选A.

【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键.

【答案】B

【解析】

【分析】先根据反比例函数的图象所在的象限判断出人的符号，然后再根据左符号、一次

函数的性质判断出一次函数所在的象限，二者一致的即为正确答案.

【详解】解：一次函数y=Z(x-1)=kx-k.

:反比例函数的图象经过第二、四象限，

k<0；

左〉0,

...一次函数y=fcv-4位于第一、二、四象限；

故图①错误，图②正确；

•.•反比例函数的图象经过第一、三象限，

：.k>0；

4<0,

二.一次函数〉=息-%位于第一、三、四象限；

故图③正确，图④错误，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性

质才能灵活解题.

9.如图，。的直径AE的延长线与过点8的切线3D相交于点。，点C为。上一点,

且NBCE=20。，则/D的度数是（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

【答案】B

【解析】

【分析】连接。8，根据圆周角定理可求得ZBOD=2NBCE=40°，再根据BD是。的

切线，可得NOBD=90°,据此即可求得的度数.

【详解】解：如图：连接。2,

•/ZBCE=20°,

：.ZBOD=2ZBCE=40°，

:BD是；。的切线，

ZOBD=90°,

ZD=90°—ZBOD=90°-40°=50°，

故选：B.

【点睛】此题考查了圆周角定理，切线的性质定理，正确理解各定理并熟练应用是解题的关

键.

10.如图，射线BN,AM都垂直于线段A3,E为40上一动点，AC^LBE于点、F,交BN

AE

于点C,于点，设一=k,设CF=CD时，k的值为（）

AD

A.1B.1C.史二1D.不存在

22

【答案】C

【解析】

AJ7AJ7A

【分析】由于A£>〃3C,易得——=—，因此只需求得与即可.可设=/。=人；

BCCFCF

AJiAp

再证明一"BABC得到一=—,联立CD=CE=A5,即可求得AE、EC的比例

ACAB

关系，由此得解.

【详解】解：设4尸=々,尸。=匕，则AC=AF+CF=a+〃

,/射线BN,AM都垂直于线段AB，

：.AD//BC；

.AEAFa

''~BC~~CF~~b''

'：CD±AM,

四边形A3CD是矩形，

:.CD=AB=CF=b,

•：CD±AM,

：.ZABF=ZACB=900-ZBAF,

kAFB-4ABC)

AB_AF

AC-AB

b_a

a+bb

整理得〃+ab—b?=0，

解得a".,

2

.AEAEAFa45-1

'~AD~~BC~~CF~~b~2

故选：C.

【点睛】此题主要考查了矩形的性质、直角三角形及相似三角形的性质.能够正确的在

Rt/VRC中求得AE、的比例关系是解答此题的关键.

二.填空题(共5小题，每小题3分，共15分)

11.因式分解：a3—ab2=-

【答案】a(a+b)(a-b).

【解析】

【详解】分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.

解析：原式=a(a+b)(a-b).

故答案为a(a+b)(a-b).

12.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株

椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210

文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，

试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为无株，则可列分式方程为.

【答案】2电=3(1)

X

【解析】

【分析】根据题意可知：X株需要6210文，(X-1)株的运费=一株椽的价钱，从而可以列出

相应的方程.

【详解】解：设这批椽的数量为x株，

由题意可得：包W=3(x—1),

X

故答案为：——=3（x-l）.

X

【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题

的关键.

13.如图，树垂直于地面，为测树高，小明在C处测得/ACB=15。，他沿CB方向走

了20米，到达。处，测得乙4。8=30。，则计算出树的高度是米.

【答案】10

【解析】

【详解】解：；NADB=30,ZACB=15,

:.ZCAD=ZADB-ZACB^15,

ZACB=ZCAD,

：.AD=CD=20,

又-ZABD=9Q,

：.AB=-AD=1Q,

2

.••树的高度为10米.

故答案为：10.

k

14.如图，四边形043尸中，ZOAB=ZB=90°,点A在1轴上，双曲线y二—过点凡交

x

BF2

A3于点E,连接£足若一=一,SSEF=4,则％的值为.

OA3

【答案】6

【解析】

【分析】过点F作FC，x轴于点C,设点F的坐标为（a,b）,从而得出OC=a,FC=b,根

据矩形的性质可得AB=FC=b,BF=AC,结合已知条件可得OA=3a,BF=AC=2a,根据点

E、F都在反比例函数图象上可得EA,从而求出BE,然后根据三角形的面积公式即可求出

ab的值，从而求出k的值.

【详解】解：过点F作FCLx轴于点C,设点F的坐标为（a,b）

.•.OC=a,FC=b

ZOAB=ZB=ZFCA=90°

•••四边形FCAB是矩形

；.AB=FC=b,BF=AC

BF2

,OA-3

22

ABF=-OA,即AC=—QA

33

.•.OC=OA-AC=-OA=a

3

解得：OA=3a,BF=AC=2a

/.点E的横坐标为3a

设点E的纵坐标为方

..•点E、F都在反比例函数的图象上

k=ab=3a»y£

_bb

・••点E的纵坐标为=耳，即EA二§

2b

.\BE=AB-EA=——

3

VSABEF=4

・・・《BEBF=4

12

即一义一Z?x2a-4

23

解得：ab=6

，k=ab=6

故答案为：6.

【点睛】此题考查的是反比例函数与图形的面积问题，掌握矩形的判定及性质、反比例函

数的比例系数与图形的面积关系和三角形的面积公式是解决此题的关键.

15.在BBC中，ZC=90°,CB=CA=5,点。是的中点，点P是.ABC内一

点，且DP=DC,连接。只AP,。是。P的中点，则AP+3Q的最小值是

【答案】—

4

【解析】

【分析】如图所示，取中点E,连接AE,PE,证明△PDE名△BDQ(SAS)得到

BQ=EP,进而推出当A、P、E三点共线时，AP+PE最小，即此时AP+J9Q最小，

最小值为AE,在Rt^AEC中，由勾股定理求出AE长即可得到答案.

【详解】解：如图所示，取5。中点E，连接AE,PE,

•••点。是6C的中点，DP=DC,

:.DP=DC=DB,

是。尸的中点，E是的中点,

/.DQ=—DP=—DB=DE,

22

又•：NPDE=/BDQ,

：.APDE2△RDQ(SAS),

BQ=EP,

：.AP+BQ=AP+PE,

...当4尸、E三点共线时，AP+PE最小，即此时AP+BQ最小，最小值为AE,

AC=BC=5,

：.CD=BD=~,

2

Z.DE=-,

4

CE=CD+DE=—,

4

_________r\q

在中，由勾股定理得A^=，4。2+。石2=一,

4

25

・・・AF+5Q的最小值是一

4

25

故答案为：—.

4

【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，两点之间线段最短，正确

作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

三.解答题（共7小题，共55分）

16.计算:(4—3tan60。—1―g]+店.

【答案】3-6

【解析】

【分析】依次计算“0次方”、tan60%负整数指数累、化简症等，再进行合并同类项即

可.

【详解】解：原式=1—3x6—(一2)+26=1—3档+2+26=3—相.

【点睛】本题综合考查了非零数的零次塞、特殊角的三角函数、负整数指数募以及二次根

式的化简等内容，解决本题的关键是牢记相关计算公式等，本题易错点为对-g]的化

简，该项出现的较多，因此符号易出错，因此要注意.

x?—QV3、X—3

17.化简分式：-------,并当x=G—2代入求值.

(式―4x+4x-2Jx-4

【答案】x+2,73

【解析】

【分析】先根据分式混合运算的相关运算法则将原式化简，再代入尤的值计算即可.

x-2x3x-3

【详解】解:

、%2—4-x+4x—2,"%2-4

x(x-2)3(x+2)(x-2)

(x-2)2x-2x-3

_____3](x+2)(x-2)

(x-2x—2Jx—3

_x—3(x+—2)

x—2x~3

=x+2

当X=6—2时，原式=8—2+2=百

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是

解题的关键.

18.中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合

格建设者和可靠接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了4青年大学

习；B：背年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活

动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制

了两幅不完整的统计图.

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校共有学生1280名，请估计参加8项活动的学生数；

（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的

概率.

【答案】⑴200；

（2）见解析；（3）估计参加2项活动的学生数有512名；

（4）画树状图见解析，他们参加同一项活动的概率为

4

【解析】

【分析】（1）根据。项活动所占圆心角度数和。项活动的人数计算即可；

（2）根据总人数求出参加C项活动的人数，进而可补全条形统计图；

（3）用该校总学生人数乘以抽查的学生中参加B项活动所占的比例即可；

（4）画出树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4

种，然后根据概率公式计算即可.

【小问1详解】

72°

解：40+——=200（名），

360°

即在这次调查中，一共抽取了200名学生，

故答案为：200；

【小问2详解】

参加C项活动的人数为：200—20—80—40=60（名），

补全条形统计图如图：

【小问3详解】

1280x——=512（名），

200

答：估计参加8项活动的学生数有512名;

【小问4详解】

画树状图如图：

开始

由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，

41

所以他们参加同一项活动的概率为一=一.

164

【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概

率，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键.

19.如图，在平行四边形ABCD中，=点尸是AB的中点，连接。歹并延长，

交CB的延长线于点E,连接AE.

（1）求证：四边形AEBD是菱形；

（2）若DC=2,BD=5,求四边形AE6D的面积.

【答案】（1）见解析（2）6

【解析】

【分析】（1）通过条件可证得A4T冰四△BEF，AD=BE,得出四边形ADBE是平

行四边形，通过邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；

（2）先利用勾股定理求出BE=3。=利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可得

解.

【小问1详解】

证明：四边形A3CD是平行四边形，

:.AD//EC,

ZADF=ZDEB,ZDAB=ZABE,

点尸是AB中点，

:.AF=BF,

在/XAT不和所中，

ZADF=ZBEF

<ZDAF=ZEBF

AF=BF

:.AADF^ABEF>

AD=BE，

，四边形ADBE是平行四边形，

又.DB=DA,

：..AEBD是菱形.

【小问2详解】

解：四边形A3CD是平行四边形，

BC=AD=BD=屈,AB//DC,ABDC=2

,是菱形，

BE=BD=回,DE1AB,

EC=EB+BC=2y/10,DELDC,

在RtZkCDE中，DE=7（2^）2-22=6>

■­SAEBD=^XABXDE=^X2X6=6.

【点睛】本题考查勾股定理、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形

的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

20.学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张.若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种

办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元.

(1)求甲、乙两种办公桌每张各多少元；

(2)若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3

倍，且总费用最低时的购买方案？

【答案】(1)甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元

(2)购买甲种办公桌30张，购买乙种办公桌10张时，总费用最低

【解析】

【分析】(1)设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据“购进20张甲种办公桌

和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费

1000元”列出方程组，解之即可；

(2)设购买甲种办公桌相张，根据“甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，列

出不等式组，解之可得.

【小问1详解】

设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元,

20x+15y=17000

由题意可得

10x-5y=1000

x=400

解得

y=600

•••甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元;

【小问2详解】

设购买甲种办公桌张,

由题意可得m<3(40-m),

解得m<30,

•••甲种办公桌的单价低，

.♦•甲种办公桌购买越多费用越低，

当机=30时，40-zn=40-30=10(张)总费用最低.

答：购买甲种办公桌30张，购买乙种办公桌10张时，总费用最低.

【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是读懂题

意，找到题中蕴含的等量关系和不等关系.

21.如图1,对于平面上小于或等于90。的NA/QV,我们给出如下定义：若点P在NMON

的内部或边上，作PE，OM于点、E，PFLON于点、F,则将PE+尸产称为点P与ZMON

的“点角距”，记作d(NMCW,P).如图2,在平面直角坐标系xQy中，尤、y正半轴所组

成的角记为NxOy.

y

4

2

123457

图3

(1)已知点A(4,0)、点5(3,1),则d(ZxOy,A)=,d(ZxOy,B)=.

(2)若点尸为NxOy内部或边上的动点，且满足d(Nr0y,P)=4,在图2中画出点尸运动

所形成的图形.

4

(3)如图3,在平面直角坐标系中，射线OT的函数关系式为y=§x(x>0).抛物

线y=—经过A(5,0),与射线OT交于点。，点。是A,。两点之间的抛物

线上的动点(点。可与A,。两点重合)，求当d(4OT,Q)取最大值时点。的坐标.

【答案】(1)4,4(2)见解析

【解析】

【分析】(1)首先根据点A(4,0)到x轴的距离是0,到y轴的距离是4,可得

d(ZxOy,A)=0+4=4；然后根据点3(3,1)到x轴的距离是1,到y轴的距离是3,求出

或4仍,3)的值是多少即可；

(2)首先设点尸的坐标是(x,y),然后根据矶Nr0y,P)=4,可得x+y=4,据此求出点尸

运动所形成的图形即可；

(3)首先作QG，OT于点G,，入轴于点"，交OT于点K,设点。的坐标为(m,"),

1,5

其中3<mW5,则〃=一一m~+2m+-,然后判断出点K的坐标，以及,OK的大小，

22

再判断出Rt.QGKsRtOHK,即可判断出。OG="OK，据此求出QG=4--m-----3--n--；最后求

OH0K5

出d(NxOT,Q)的值，根据二次函数最值的求法，求出当或407,。)取最大值时点。的坐标

即可.

【小问1详解】

解：点A(4,0)到x轴的距离是0,到>轴的距离是4,

/.d(ZxOy,A)=0+4=4,

.点3(3,1)到x轴的距离是1,到y轴的距离是3,

:.d(ZxOy,B)=l+3^4.

综上，可得d(4S，A)=4,d-Oy，B)=4.

故答案为:4；4；

【小问2详解】

解：设点P的坐标是(无,y),

d(ZxOy,P)=4,

.,.x+y=4,

点P运动所形成的图形是线段y=4-x(0<x<4),如图2所示：

解：如图4,作QGLOT于点G,。“，入轴于点"，交07于点K,

T

把A(5,0)代入y=-万一+2%+c,得

1

—x59+2x5+c—0.

2

解得。=3.

2

设点。的坐标为O,〃)，其中34根＜5,

,1O5

则加=——m+2m+—,

22

44

点K的坐标为(九一㈤，QK=-m-n,

33

45

:.HK=-m,OK=-m.

33

・.,RtQGKsRtOHK,

,QQ_QK

OH~OK'

.,QG=^--3n,

/.d(ZjcOT,Q)=QG+QH

4m—3n

=-------------\-n

5

42

=