中考数学复习难题训练《图形的相似》（有答案）

中考复习《图形的相似》难题训练

一、选择题

1.如图所示，已知双曲线y=:经过RMBOC斜边上的点/,且满足笔=|,与BC

交于点。，S.BOD=21，则人的值为（）

A.10B.9C.8

2.如图，在RtaABC中，/LABC=90°,BA=BC.点D是

48的中点，连结CD,过点3作BG，CD,分别交CD,

C4于点£,F,与过点/且垂直于N3的直线相交于点

G,连结DR给出以下四个结论：①嘿=黑；②点尸是

GE的中点；@AF=yXF;④S^ABC=5S^BDF淇中正

确结论的序号是共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，矩形48CD中，AB=3,4。=4,E在48上,

AE=2,?小是CE的垂直平分线，交CD的延长线

于点尸，连结跖交/。于点G,则穿的值是（）

AC.yD.2

-i4

4.如图，口/BCZ）中，E为4D边上一点，AE=AB,AF1AB,交线段BE于点尸，G

为/£上一点，AG：GE=1：5,连结Gb并延长交边8C于点巴若GE：BH=1：

2,则tan乙GHB的值为（）

EG

B

H

A,更BCD

2-T-1-T

5.如图的ZU2C中有一正方形。EFG,其中。在/C上，E、F在AB上,直线NG

分别交。石、BC于M、N两点.若45=90。，AB=4,BC=3,EF=1,

则BN的长度为

A考B.tc.l

6.如图，在直角三角形/8C中，乙4c8=90°,AB=

2BC=6cm,动点尸从点/出发沿方向以每秒2cm

的速度向终点3运动，同时动点。从点8出发沿BC

方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将APQC沿8C

翻折，点P的对应点为P',若0点运动的时间为/秒时，四边形QPCP'为菱形,

则/的值为（）

A.1B.V2C.2D.3

7.如图，将一张等腰直角三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为直角

梯形，乙为等腰直角三角形.根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大

小，下列判断正确的是（）

A.甲＞乙＞丙B.乙＞丙＞甲C.丙＞乙＞甲D.丙＞甲＞乙

8.如图，在RtZkABC中，NABC=90。，48=BC.点D是线段N3上的一点，连结

CD,过点8作BG1CD,分别交CD,CA于点E,F,与过点A且垂直于AB的直

线相交于点G,连结DE给出以下四个结论：①霏=雪；②当瓦C,F,。四点

在同一个圆上时，CF=BF；③若点。是AB的中点，则

AF=④若黑=/则S=8C=9S^BDF■其中正确的

结论序号是（）

A.①②B.①③C.②③

二、填空题

9.如图，已知矩形48CD,AD=9,AB=6,若点G、H、M、N分别在/2、CD、

4D、BC上,线段AW与G”交于点K.若NGKM=45°,NM=3岔,则GH=

10.如图，在矩形/BCD中，AB=2,BC=4,点E、下分

别在3C、CD上,若力E=而，/-EAF=45°,则//的

长为____.

11.如图，在平面直角坐标系中，孔△AB。的顶点。与原点重

合，顶点8在x轴上，乙4BO=90。,。/与反比例函数丫=：

的图象交于点。，且。。=2AD,过点。作x轴的垂线交x

轴于点C若S四边形ABCD=1°，则左的值为

12.我国古代数学著作仇章算术》中有题如下：“今有勾五步，股十二

步，问勾中容方几何？其大意译为：如图，在RtaABC中，乙4cB=

90°,BC=5,AC^12,四边形COE尸是出△ABC的内接正方形，

点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，则正方形CDEF边长为.

13.如图，正方形A8CD的边长为1,以48为直径作半圆，点尸是CD中点，AP与半

圆交于点0,连结。0,给出如下结论：@DQ=1；②胎=|；®SAPDQ--

@cos^ADQ=I，其中正确结论是（填写序号）

14.如图，在矩形48CD中，4B=4V3cm,AD=12cm,动点P以每秒1cm的速度从

点C沿折线C—£>—4匀速运动，到点/运动停止.以P为圆心作半径为百cm的

OP,当。P与对角线2。相切时，点尸的运动时间为s.

15.如图所示，在矩形/BCD中，AB=10cm,

AD=20cm,两只小虫尸每秒走2c〃z,它们同时出

发f秒时，以尸、B、。为顶点的三角形与以/、。、

D为顶点的三角形相似，则t=.

三、解答题

16.如图，。为O。上一点，点C在直径R4的延长线上，乙CDA=4CBD.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)过点8作。。的切线交CO的延长线于点£,若BC=9,tanNCD4=|,求BE

的长.

17.△力BC和△DEF是两个等腰直角三角形，44=4。=90。，△DEF的顶点£位于

边的中点上.

图1

(1)如图1,设DE与N3交于点M,EF与AC交于点、N,求证：△BEM-/XCNE；

(2)如图2,将△DEF绕点£旋转，使得OE与氏4的延长线交于点EF与4c

交于点N,于是，除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证

明你的结论.

18.如图，矩形/BCD中，48=20,BC=10,点尸为48边上一动点，DP交AC于

点Q-

(1)求证：△APQs^CDQ；

(2)P点从/点出发沿边以每秒1个单位长度的速度向3点移动，移动时间为:

秒.当/为何值时，DP1AC?

19.如图，在△48C中，乙4=90。，48=3,AC=4,点0分别是边N2,BC±

的动点(点M不与/,8重合)，且MQ1BC,过点M作3C的平行线MN,交NC

于点N,连接N0,设2。为x.

(1)试说明不论x为何值时，总有△QBMs^ABC；

(2)是否存在一点0,使得四边形8九WQ为平行四边形，试说明理由；

(3)当x为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值.

20.阅读下列材料并完成任务:

数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB.测量和计算的部分步

骤如下：

①如图，树与地面垂直，在地面上的点。处放置一块镜子，小明站在的延长线

上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点/时，测得小明到镜子的距离CD=2米，

小明的眼睛E到地面的距离ED=1.5米；

②将镜子从点C沿的延长线向后移动10米到点厂处，小明向后移动到点8处

时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点这时测得小明到镜子的距离

=3米；

③计算树的高度AB-.

解：设AB=久米，BC=y^z

•••/LABC=乙EDC=90°,AACB=乙ECD

:.△ABCMEDC

任务：

请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整.

21.如图，在平面直角坐标系中，四边形48CD是平行四边形，力。=6,若04、OB

的长是关于x的一元二次方程/-7久+12=0-的两个根，且

OA>OB.

备用图

(1)求CM、08的长；

(2)若点£为x轴上的点，且SA4OE=£.

①直接写出经过。、E两点的直线函数表达式；

②求证：A.40E与△4。。相似；

(3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点尸，使以4、C、F、

M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出厂点的坐标，若不存在，请说明理

由.

答案和解析

1.C

^/\0AE=S^OCD，

S四边形AECB=S^BOD=21,

•••AE//BC,

・•.△OAE-AOBC,

•••^/\OAE=4,

贝i」k=8.

2.B

解：vZ.ABC=90°,BG1CD,

・・・44BG+/CBG=90。，乙BCD+乙CBG=9。。,

•••Z-ABG=乙BCD,

在△ZBC和△BCD中，

^ABG=乙BCD

AB=BC，

/.BAG=乙CBD=90°

・•.△ABG=^ABCD(ASA),

•••AG=BD,

・・•点。是NB的中点，

BD=^AB,

AG=^BCf

在RtaZBC中，AABC=90°,

・•・ABtBC,

•••AGLAB,

AG”BC,

•••△ZFGTCFB,

tAG__FG_

••CB-FB'

••・BA=BC,

•嗡中故①正确；

-AAFG-ACFB,

.GF_AG_1

••BF~BC~2’

・•.FG=3FB,

•・•FE手BE,

，点尸是GE的中点不成立，故②错误；

-AAFG-ACFB,

.竺_竺_工

••CF~BC~2’

1

AF=-AC,

3

•••AC=正AB,

：.AF=^AB,故③正确;

如图，过点尸作MF148于M,贝UFM//C8,

AF_FM_1

AC~BC~3’

BD_1

~BA~29

...SMDF='BDxFMBD_FM_111^

=X=X=故④错误.

SMBC^XABXBCABBC236’

综上所述，正确的结论有①③共2个.

3.C

解：•••矩形/2C。中，AB=3,AD=4,AE=2,

：.BC=4,CD=3,BE=1,

CE=V42+I2=V17>

•••HF是CE的垂直平分线，

CH'CE=叵,FH1CE,

22

•・•CF//AB,

Z.FCH=乙CEB,

RtAFCH〜RtACEB,

tFC__CH_gnCF_4^

,•CEBE'即而=「

•••DF//AE,

••・△FDG〜AEAG,

11

DG_DF_Y_11

AG~AE~2~4

4.A

解：过尸点作MNIBC,贝！JMN14。，设ZG=Q,

vAG：GE=1：5,GE：BH=1：

•••EG—5a,BH—10a,AE—6a,

AE—AB,

AB=6a,Z.AEB=Z.ABE,

•・•AD〃BC,

•••Z.AEB=乙EBC,

.・.BE是“BE的平分线，

vFA1AB,FM1BC,

・•.FM=FA,

在RT△ABF与RT△MBF中

(FA=FM

kFB=FB

・•・RT△ABF^RT△MBF(HL),

•••BM=AB=6a,

•••(AEB=乙EBC,乙EFG=乙BFH,

:AEFG〜ABFli,

FNEG1

FMBH2

FA=FM,

FN：FA=1：2,

FA=FM,

・••FN：FA=1：2,

在RT2XAFN中，Z,EAF=30°,

乙FAB=90°,

・•・乙DAB=120°,

•••Z.ABC=60°,

・•・乙MBF=30°,

在RT△MBF中，FM=tan3O°•8M=亨X6a=2岛,

BH=10a,BM=6a,

・•.HM=BH-BM=4a,

tan/GHB=器2次a

4a

V3

5.A

解：•••四边形。EPG是正方形，

•­•DEIIBC,GF//BN,且DE=GF==1,

.■.AADE^AACB,△AGFMANB,

...些=丝①，丝型=空②，

ABBCJABBNJ

由①可得，华=3解得：AE=^,

将45=维入②，得：出=工，

§4BN

解得：BN*

6.A

解：连接「P'交8C于。

•・•若四边形QPCP为菱形，

・•.PP'1QC,

・••乙POQ=90°,

•••Z.ACB=90°,

・•.PO//AC,

,AP_CO

••AB―CB'

・・・设点。运动的时间为/秒,

AP=2t,QB=t,

QC=3-t,

3

CO=-

22’

•••AB=2cB=6,乙ACB=90°,

AB=6,BC=3

3t

.2t_-2,

63

解得：t=1,

7.C

解：如图：过点3作IGF于点

•••BC=7,CE=

3,

DE=—AC,DB=—AB,

77

3

・•.AD=BD-BA=-AB,

7

•••S丙=：｛AC+DE).AD=着AB.AC,

•:ABIIGF,BH1GF,ACLAB,

：.BH//AC,

••・四边形是矩形，

BH=DF,FH=BD=—AB,

7

:.△GBHFBCA,

.GH_BH_GB

•・布一就一前‘

•・•GB=2,BC=7,

22

・•.GH=A-B,BH=-AC,

77

212

DF=-AC,GF=GH+FH=—AB,

77

122

••・S田=-(BD+GF),DF=-AB•AC,

甲2、J49

・,•甲〈乙，乙〈丙.

8.B

解：依题意可得BC〃4G,

••.△AFG~ABFC,

AG__AF_

,t,—，

BCCF

又AB=BC,

ABCF

故结论①正确；

如右图，vzl+Z3=90°,zl+z4=90°,

•••z.3=z4.

在△ZBG"BCD中，

23=Z4

AB=BC,

/BAG=乙CBD=90°

•.AABG^ABCD(ASA'),

AG=BD,又BD=AD,

AG=AD；

AG=AD

在△AFG与△ZFD中，/E4D=NE4G=45。,

AF=AF

•••△4FGK/FD(SZS)

•••△ABC为等腰直角三角形，4C=&4B;

■：AAFG=/^AFD,-.AG=AD^-AB^-BC

22;

4/7Ap

••,△AFGFBFC,A—=—,FC=2AF,

BCFC

AF=-AC=—AB.

33

故结论②错误；

当B、C、F、。四点在同一个圆上时，

z2=Z-ACB

•••Z.ABC=90°,AB=BC,

・•・乙ACB=Z.CAB=45°,

・•・Z2=45°,

••・乙CFD=Z-AFD=90°,

・•.CD是B、C、F、。四点所在圆的直径，

BG1CD,

DF=BD，

，DF=DB,故③正确；

BD_1AF

百，AF--AC,AS^==-S/^ABP，

AB-3'"CFBF

•'•S^BDF=石'SAABC，即SA4BC—12sABDF.

故结论④错误.

9.3V10

解：如图，过点/作交CD于E,作AF“MN交

BC于F,

则AF=MN=3V5,AE=GH,

AGKM=45°,

•••Z.BAF+NDAE=90°-45°=45°,

作NQHE=45。交CD的延长线于Q,

则NQ4D+乙DAE=45°,

・•・乙QAD=Z.FAB,

•••(B=Z.ADQ=90°,

.—ABAF

ADAQ,

6_3V5

9~AQ

硕=竽

在Rt△力DQ中，DQ=JAQ?-AD2=1

过点E作EP14Q于P,

■■^QAE=45。，

.•.△AEP是等腰直角三角形，

设GH=AE=久，则AP=EP=—AE=—x，

22

八ADPE

tanzQ=—=—,

DQPQ

,,T=9V5V2,

2~T~TX

解得x=3V10,

所以GH=3V10.

10.亚

解：取的中点M,连接ME,在4D上截取ND=DF,设DF=DN=x,

•・・四边形45CQ是矩形，

•••Z-D=乙BAD=/-B=90°,AD=BC=4,

・•・NF=V2x,AN=4—x,

•・•AB=2,

.・.AM=BM=1,

vAE=V5,AB=2,

・•.BE=1,

ME=y/BM2+BE2=VL

•・•匕EAF=45°,

••・4MAE+乙NAF=45°,

•••^MAE-h^AEM=45°f

・•.AMEA=乙NAF,

SAMEFFNA,

tAM_ME

••丽一~AN9

1__V2_

/，石==

解得：X=%

■■-AF=VAD^TD^=—

11-16

解：•••OD=2AD,

.OD__2

"04-3,

•••乙ABO=90°,DC1OB.

・•.AB//DC.

••.△DC。〜△ZB。，

.DC_PC_0D_2

•・布—而一覆一

•JS四边形ABCD=1°，

S^ODC-8,

A-0CxCD=8,

2

OCxCD=16,

•・・双曲线在第二象限,

•••k=—16,

12.居

解：•・•四边形环CD是正方形，

EF//CD,EF=FC=CD=DE,设EF=%.

•••△AFEMACB,

,.,竺_—竺，

BCAC

.x_12—x

**5-12'

解得久=日，

口尸

•••EF=60行，

13.①②④

易证四边形D08P是平行四边形，从而可得D0//8P.

结合。Q=OB,可证至UNA。。=NQ。。，从而证至U△力。。三△Q。。,

则有DQ=DA=1.

故①正确；

②连接/。，如图2.

图2

则有CP=；，BP=I¥+心)2=正

272

易证Rt△AQBsRt△BCP,

运用相似三角形的性质可求得BQ=g，

则PQ=土一渔=述,

y2510

，丝二三

,•BQ2,

故②正确；

③过点。作Q"1DC于如图3.

易证△PHQ〜APCB,

运用相似三角形的性质可求得QH=|,

"△DPQ=»P-Q"=D合去

故③错误；

④过点。作QN_L/W于N,如图4.

图4

易得DP〃NQ//4B,

根据平行线分线段成比例可得北=^=|,

/17V£>(/L

则有旦=2

1-DN2

解得：D/V=|.

由DQ=1,得cosZ-ADQ=^=|.

故④正确.

综上所述：正确结论是①②④.

14.4V3-2或6V3

解：在矩形中，AB=CD=4V^cm,AD=

BC=12cm,

过点。作CF1BD,交BD于F,

在RtaBAD中，由勾股定理得：

BD=y/AD2+AB2=V192=8百，

S^BCD=12X4V3=iBD-CF,

CF=6,

(1)当。P与矩形ABCD的边BD相切时，

Op的半径=EP=V3,

・•・BD与。尸相切于£,

•••PE1BD,

又CF1BD,

PE//CF,

△PED-ACFD,

PE_DP

,,—，

CFDC

V3PD

~6-4V3J

PD=2,

CP=48一2,

点尸的运动时间为：(4V3-2)4-1=4V3-2;

(2)当。尸圆心在边40与AD相切时，如图,

•••PE1BD,AF1BD,

・・・PE//AF,

.-.△PED^ATIFD,

PD_PE

"'AD~~AF9

由(1)知AF=6,

PDV3

—二—，

126

PD=2百,

点P的运动时间为：(4V3+2V3)-?1=6V3.

15.5或2

解：①设经x秒后，△PBQsZXCDA,

由于NPBQ="DC=90。，当用=胃时，

即三=2x

1020

解得x=5；

②设经x秒后，4QBPs/\CDA,

由于NPBQ=^ADC=90°,

喷姿时，

10-X2x

即nn---=—,

2010

解得％=2.

故经过5秒或2秒时，以P、B、。为顶点的三角形与以4、C。为顶点的三角形相似.

16.(1)证明：连QD,OE,如图，

vAB为直径，

•••Z.ADB=90°,即+Z1=90°,

又•・•^CDA=乙CBD,

而匕CBD=Z1,

zl=Z.CDA,

・•・/.CDA+^ADO=90°,BPzCDO=90°,

・•・CD是。。的切线.

(2)解：・・・EB为。。的切线，

•••ED=EB,0E1DB,

•••乙ABD+Z.DBE=90°,Z.OEB+乙DBE=90°,

Z.ABD=Z.OEB,

Z.CDA=Z-OEB.

而tanZ_CD4=—=-

BE3

.-.tanzOFB=^=|)

Rt△CDO~Rt△CBE,

CD_OP_OB_2

CB一BE-BE-3’

2

CD=-x9=6,

3

在RtZkCBE中，设BE=%,

(%+6)2=%2+92,

解得X=金

4

即BE的长为手.

4

17.(1)证明：・・・△ABC是等腰直角三角形,

・•・乙BME+乙MEB=135°,

,△DEE是等腰直角三角形，

••・乙DEF=45°,

・•・乙NEC+乙MEB=135°,

・•・乙BME=乙NEC,

Z.B=^C=45°,

.*.△BEM-△CNE.

(2)与(1)同理△BEM-△CNE,

BE_EM

**CW-'NEf

•••BE=EC,

则aECN与△MEN,

则生=空，

CNEN

乙ECN=乙MEN=45°,

ECNMEN.

18.(1)证明：,••四边形4BCQ是矩形,

・•.CD//AB.

工乙DCQ=LQAP,乙PDC=LQPA,

•••△ZPQMCDQ；

(2)解：当t=5时，DP1AC；

v^ADC=90°,DP1AC,

・•・^AQD=AAQP=/.ADC=90°,

•••Z.DAQ=Z.CAD,

•••△4DQ〜△AC。,

tAD_AQ

••AC-AD9

AC=V102+202=10V5,

则XQ=—=^==2V5,

YAC10V5

•・•^LAQP=(ABC=90°,Z.QAP=/.BAC,

•.AAQP-AABC,

tAQ_AB

APAC

则迪=平，

t10V5

解得：t=5,

即当t=5时，DP1AC.

19.解：(1)vMQ1BC,

・•・乙MQB=90°,

・•・乙MQB=ACAB,又乙QBM=2ABC,

•••△QBM〜AABC；

(2)当BQ=MN时，四边形5MN。为平行四边形，

MN〃BQ,BQ=MN,

・•・四边形BMNQ为平行四边形；

(3)•・•Z,A=90°,AB=3,AC=4,

BC=yjAB2+AC2=5,

•••△QBMFABC,

.QB_QM_BMH吐_QM_BM

••AB-AC-BC'"3-4—5，

解得，QM=^x,BM=9,

■■■MN//BC,

.•心=%,即丝_3等，

BCAB'---

解得，MN=5-^-x,

则四边形的面积=；x(5-^x+x)x^x=-|^(x-^)2+^,

ZyjZ/oZ

二当％=多时，四边形皿WQ的面积最大，最大值为

oZ

20.解：设AB=%米，BC=y米.

•・•/.ABC=乙EDC=90°,乙ACB=乙ECD

△ABCMEDC

ABBC

—=—,

EDDC

.%_y

,,Ti・5，

•・•/.ABF=乙GHF=90°,^AFB=Z.GFH,

:•△ABFFGHF,

AB_BF

,t,—，