广州九区联考2023-2024学年高一年级上册期末数学试卷含答案

广州九区联考2023-2024学年高一上学期期末试卷

+答案

2023-2024学年第一学期期末教学质量监测

高一数学

本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用2B

铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需

改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不

按以上要求作答无效.

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.己知无eR,则“丁一1>0，，是“x>l”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知集合A=,上卬2-2工+1=0｝只有一个元素，则实数。的值为（)

A.1或0B.OC.1D.1或2

2

3.方程Inx--二0的根所在的区间是（）

X

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

e

4.设。=1口0.8,b=e08,c=0,8，则()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.h>a>c

X

5・函数E图象大致为（）

6.函数f(x)=Asin(0x+e)(A>0,0>0,0<。<兀)在一个周期内的图像如图所示,为了得到函数

g(x)=2sin2尤+三的图象，只要把函数“X)的图象上所有的点()

TT71

A.向左平移一个单位长度B.向左平移三个单位长度

36

71

C.向右平移上个单位长度D.向右平移各7T个单位长度

36

7.函数/(x)=loga(x+l)+k)g“(l-jc)(a>0无€0,—),若/(%)max—/(©min=1，则"

的值为()

B.4或L

A.4

4

C.2或3D.2

8.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，有一种茶90℃的水泡制，再等

到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔Imin测一次茶水温度，得到

数据如下：

放置时间/min01234

茶水温度/℃90.0084.0078.6273.7569.39

为了描述茶水温度与放置时间xmin的关系，现有以下两种函数模型供选择：①

y=ka'+30(A:eR,O<«<U>0),②y=(加力eR,xN0).选择最符合实际的函数模型，可求得

刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为(参考数据：lg2yo.301,lg3«0.477)()

A.5.5minB.6.5minC.7.5minD.8.5min

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题为真命题的是()

A.若a>b,c>(1,则a-c>b-d

B.若a>b,则妮>超

,,ab…

C.右-y>—T-,则a>h

CC

a+ma

D.右a>8>0,m>Q,则----->—

h+mb

10.设xeR,用田表示不超过x的最大整数，则,=[幻称为高斯函数，也叫取整函数，例如[2.3]=2.

令函数/(x)=[x]-x,以下结论正确的有()

A./(-1.7)=-0.3

B./*)的最大值为0,最小值为-1

C./(x-l)=/(x)

D.y=/(x)与y=-x+l的图象没有交点

11.已知函数/(x)=tanx,下列命题正确的是()

“”、1,sinx+cosx1

A.石•J1町-,刘tl「.-

25cosx-sinx3

B.不等式/(幻2且的解集是三,二0

3L3/

一脑力的最小值为一5

C.函数y=-/2(x)+4/(x),XG

D.若/［三一苫］=；,且0<x<］,则sin(工+工]=^^

(6)5

-ax+2,x>a

12.已知函数、2,则下列结论正确的是()

(x-2),x<a

A.当a=0时，Ax)的最小值为0

B.若"X)存在最小值，则。的取值范围为(-8,0]

C.若是减函数，则。的取值范围为(0,2]

D.若73存在零点，则〃的取值范围为卜8,—JI]U(0,JT|U(2,+8)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2

3

8+log232+lnl=----------•

14.已知基函数y=/(x)的图象过点(2,后)，贝打[£|=.

15.已知函数f(x)=|bg2(x+l)|,若一且/(。)=/3),则。+8+2的取值范围是

16.设/(x)是定义在R上的奇函数，对任意的占，A2G(0,+8),王。马，满足：

卬卬-9./亿)>0,若/(2)=4,则不等式/a)—2x40的解集为.

%一看

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.若角6的终边经过点P(—g,〃,(〃2>0),且sine=#〃z.

(1)求加；

cos工+。|+tan(兀+6)

(2)求【2J」的值.

sin(6-兀)

18.设全集为R,集合A={x|x2_5x_6>0},6={x[a+l<x<2a—l}

(1)若a=4,求AuB，ACQB；

(2)若(44)08=0,求实数”的取值范围.

19.已知函数/(外=1+5=、为奇函数.

(1)求”的值；

（2）判断函数/5）在（0,+8）内的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.

20.已知函数/（x）=2sin[2x-]J,xeR.

（1）求函数/（x）的单调递增区间；

TT

（2）若函数g（x）=/（x）-加在区间0,-上有两个零点，求〃?的取值范围.

（3）若函数%（九）=/。）一人—有且仅有3个零点，求所有零点之和.

21.某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量x

吨与年促销费用，万元之间满足函数关系式x=2-一二（女为常数），如果不开展促销活动，年销量是1

吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，

通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一

半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.

（1）求Z值；

（2）将下一年的利润y（万元）表示为促销费r（万元）的函数；

（3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？

（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

TT7T

22.已知函数/。）=25皿（0%+尹）（。＞0,|尹|＜一）图象的对称轴与对称中心之间的最小距离为一，且满足

24

IT7T

/（—+%）=-/（--X）.

1212

（1）求/（*）的解析式；

（2）已知函数力（X）=A?+2X+3,若有且只有一个实数。，对于W玉e哈中，叫e[0,2],使得

h(x2)=2a-f(xl),求实数/的值.

2023-2024学年第一学期期末教学质量监测

高一数学

本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用2B

铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需

改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不

按以上要求作答无效.

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知xeR,则是“％>1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由一元二次不等式的解法及充分必要条件的定义可得结果.

【详解】由/一1>0解得x〉l或尤<—1，

所以当X〉1时一■定有一1>。成立，反之不一定成立，

所以“f一1>o”是“％>1”的必要不充分条件,

故选：B.

2.已知集合4=卜|斯2-2%+1=0｝只有一个元素，则实数。的值为()

A.1或0B.0C.1D.1或2

【答案】A

【解析】

【分析】讨论“，当a=0时，方程是一次方程，当awO时，二次方程只有一个解，A=0,即可求.

【详解】若集合A={x/2-2x+l=0}只有一个元素，则方程以2-2彳+1=0只有一个解，

当a=0时，方程可化为一2x+1=0,满足题意，

当。工0时，方程以？-21+1=0只有一个解，则△nd-dauO,解得。=1,

所以。=0或a=I.

故选：A.

2

3.方程Inx--二0的根所在的区间是（）

x

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】C

【解析】

2

【分析】先判断出〃x）=lnx--在（0,+“）上单调递增，结合零点存在性定理得到结论.

【详解】由于y=lnx在（0,+力）上单调递增，

9

X=-一在（0,+力）上单调递增，

X

9

故/（"=1内一］在（0,+巧上单调递增，

又/（2）=ln2T<0,/（3）=ln3-->l-->0,

2

故方程Inx一一二0的根所在的区间是（2,3）.

x

故选：C

4.设。=ln0.8,b=e%c=0.8e>则（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.h>a>c

【答案】B

【解析】

【分析】由指数和对数函数的性质可得a<0,方>1,0<C<l.

【详解】a=lnO.8<lnl=O,h=e08>e°=1，0<c=0.8e<0.8°=1,

所以b>c>a.

故选：B.

【答案】A

【解析】

【分析】判断函数的奇偶性，结合函数值的正负情况，以及结合函数特殊值的计算，一一判断各选项，即得

答案.

AX

【详解】函数/(x)=7r-的定义域为R，

T+2r

X

且/(-x)=-f(x),故=为奇函数,

2+2

则函数图象关于原点对称，则B错误；

X

又x>0时，f(x)=>o,故c错误；

2x+2-r

2280216

乂/⑴丁/⑵:=—>/(3)=——-=—

4+1178465

48

X

即》>0时-，/(%)=-——7不是单调函数，D错误，

2+2

结合函数性质和选项可知，只有A中图象符合题意，

故选：A

6.函数/(x)=Asin(©x+。)(A>0,/>(),0<。<兀)在一个周期内的图像如图所示,为了得到函数

g(x)=2sin(2x+；)的图象，只要把函数〃无)的图象上所有的点()

A*

jr兀

A.向左平移一个单位长度B.向左平移士个单位长度

36

7T兀

C.向右平移1个单位长度D.向右平移士个单位长度

36

【答案】D

【解析】

【分析】由函数的图象的最大值求出A,由周期求出0，由五点作图法求出巴从而可得/(x)的解析式.再

结合函数丫=43!1(0乂+0)的图象平移变换规律即可得出结论.

【详解】由函数/(X)=Asin(tyx+e)(A>0,>0,0<。<兀)的部分图像可得A=2.

T_]_2£_57t

(71]兀Z7U

再根据五点法作图可得2x1-三•J+*=5，：.e=—.

/(x)=2sin(2x+1).

故把〃x)=2sin2x+—的图象向右平移?个单位长度，可得

=2sin(2x+q]=g(x)的图象.

故选：D.

7.函数/(x)=log〃(x+l)+log“(l-x)(a〉0,"1,xe0,*),若/(初侬一/(%)min=1，则”

的值为()

i1

A.48.4或一

4

C.2或gD.2

【答案】C

【解析】

【分析】将/(x)=log〃(x+l)+log"(l-x)=log“(l-x2),利用换元，化为g(f)=log“r,分类讨论。的

取值范围，结合函数单调性以及最值的差，列式求解，即得答案.

【详解】由题意得f(x)=log〃(x+l)+log“(l—x)=log“(l—x2),尤

令"1一/,则卷白」］,

2

则函数/(x)=logfI(l-x),即为g«)=k)gj,

当。>1时，g(f)=log/在g,l］上单调递增，由/(X)max-/(X)min=1可得：

log“l-log“；=l,:.a=2；

当0<〃<1时，8«)=嘘,/在［；,1］上单调递减，由/(X)max7a)min=1可得：

,1,1

log«2~°grtl=1,Afl=2；

故a的值为2或3，

故选：C

8.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，有一种茶90℃的水泡制，再等

到茶水温度降至60c时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔Imin测一次茶水温度，得到

数据如下：

放置时间/min01234

茶水温度/℃90.0084.0078.6273.7569.39

为了描述茶水温度y℃与放置时间xmin的关系，现有以下两种函数模型供选择：①

y=kax+30(%eR,0<a<l/>0),②y=mx+b{m,beR,x>0).选择最符合实际的函数模型，可求得

刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为(参考数据：lg2=0.301,lg3=0.477)()

A.5.5minB.6.5minC.7.5minD.8.5min

【答案】B

【解析】

【分析】根据表中数据确定模型，求得解析式，当y=60,求得x即可.

【详解】由表格中数据可得，茶水温度下降的速度先快后慢,

所以选①丫=kax+30(keR,0<a<l^r>0),

3°+30=90k+30=90

则《，即〈，

ka]+30=84[ka+30=84

k60

解得，9，所以y=60x+30,

a

10

当y=60时，可得121=-

UoJ2

£=涓=尚=匚/T65mm

即》=唾91

io，

&10

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题为真命题的是（）

A.若a>t>,c>d,则a-c>b-d

B.若a>6,则也〉物

C.若Wci>Wb，则a>b

cc

D.若a〉8>0,加〉0,则a+m>—

b+mb

【答案】BC

【解析】

【分析】利用特殊值可判断A；根据黑函数v-1的单调性可判断B；根据不等式的性质可判断C；利用作

y-A

差法比较大小可判断D.

【详解】对于A,当a=2,b=l,c=4,"=1B寸，不满足a—c>b—d,故A错误;

对于B,•・・),=£在R上单调递增，.,•当a"时，)>[,即标>蛎，故B正确;

a

对于C,•••r>r，c2^0.两边同时乘以。2,得“>〃，故C正确;

cc

a+maab+bm-ab-am

对于D,a>b>0,m>0,•-----------

b+inbb(b+m)b{b+tri)

a+ma,,

即-----<一,故D错误.

b+mb

故选：BC.

10.设xeR,用田表示不超过x的最大整数，则，=[幻称为高斯函数，也叫取整函数，例如[2.3]=2.

令函数/(x)=[x]-x,以下结论正确的有()

A.八-1.7)=-0.3

B./*)的最大值为0,最小值为-1

C./(x-l)=/(x)

D.y=/(x)与y=-x+l的图象没有交点

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A选项，代入计算出/(-=(-L7)=(-2)+1.7=-0.3；C选项，根据定义得

到=-x+[幻=/(x),C正确；B选项，由C选项得到f(x)的周期为1,并得到当x=0时,

/(0)=0,当0<x<l时，/(x)=-xe(0,l),当x=l时，/⑴=0,得到最值；D选项，画出

y=/(x)的图象，数形结合得到交点个数.

【详解】对于A,由题意得了(一1.7)=[-1.7]-(-1.7)=(-2)+1.7=-0.3,故A正确；

对于C,/(x-l)=fx-l]-(x-l)=([x]-l)-x+l=-x+fx]=/(x),故C正确；

对于B,由选项C可知，/*)是周期为1的周期函数，

则当x=0时，/(0)=[0J-0=0,

当0cx<1时，/(x)=[xJ-x=0-x=-xe(-l,0),

当x=l时，*)=川一1=1—1=0,

综上，/(X)的值域为(-1,0],即/(X)的最大值为0,无最小值，故B错误;

0,x=0

对于D,由选项B,可知〃x)=«T,0<X<1,且/(x)的周期为1,

O,x=l

作出y=/(x)与y=-x+l的图象,

如图所示，由图象可知y=/(x)与y=-x+l的图象有无数个交点，故D错误,

故选：AC.

11.已知函数/(x)=tanx,下列命题正确的是()

…sinx+cosx2

A.若/(X)=—,则5c°sx-sinx

3

B.不等式/(x)22的解集是

3L32

C.函数y=-/2(x)+4/(x),xe-：，：的最小值为一5

J3.0<x<—,

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用弦化切可判断A；根据正切函数的图象与性质可判断B；利用换元法转化为二次函数的最小值

=；和0<》<曰得至iJOcg-xcg和COSfy-x

问题可判断C；根据/，再利用诱导公式可判断D.

.1—+11

sinx+cosxtanx+19I-

【详解】对于A,•rtanx=L--------;—=7------=—•=：；，故A正确;

25cosx-sinx5-tanx3

~2

对于B,tanx>—■的解集为彳+Z兀,彳+%兀]，故B错误;

3|_32J

兀兀

对于C,当xe一—,—时，尤，r,

44L」

；・丁=一/+书=-。一2『+4,..・当£=-1时，ymin=-5,故C正确;

对于D,若0<x<2,则一至(工—X(四，

故选：ACD

\-ax+2,x>a

12.已知函数/(x)=，,2，则下列结论正确的是()

(x-2),x<a

A.当a=0时，/CO的最小值为0

B.若/(x)存在最小值，则〃的取值范围为(-8,0]

C.若/(x)是减函数，则。的取值范围为(0,2]

D.若/(x)存在零点，则〃的取值范围为卜8,-近]川0,万|1](2,+8)

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项画出草图即可：B选项算出左右两侧函数的最值比大小即可；C选项判断左右两侧函数的增

减性即可，D选项分四种情况讨论即可解答.

【详解】对于A选项：

[2,x>0

当a=0时，/(x)=</,2的图像如下：

(x-2),x<0

故此时，.*n=2.故A选项不对・

对于B选项：

(~ax+2,x>a

当(-8,0］时，=1/2

(九-2),x<a

当x<a<2时，/(x)=(x—2)2单减，此时篇,=/(。)=(。一2『，

当时，a〈0=-。20=/(x)=-or+2单调增，故7mm=/(。)=一/+2，

因为2(。一1『>0；所以2a2一4。+2〉0；所以6+4-4。>-6+2；

即("2>>-"+2；

当ae(-s,0］时，“X)的最小值为：-a2+2,(a<0).

故B选项正确.

对于C选项：

当0<a42时，x<a时，/(x)=(x-2)~单减，

此时〃x)=-ax+2的斜率为负，故此当xNa时，/(x)单减，

故C选项正确.

对于D选项：此时要对。分类讨论；

分类讨论一：当a>2时，“X)一定有零点x=2；

分类讨论二：当。=0时，由A选项可知此时无零点；

分类讨论三：当0<〃42时，

当x<a时，/(x)>〃。)=(。一2)2>0,此时左区段无零点；

当X2。时・，函数右区段表达式为/(尤)=一如+2,此时直线单减，

故/max=/S)=-后+22。才会有零点；

解不等式-。2+220=。242--正4”4万

—逝WaW后与0<。42取交集有：0<a〈6；

分类讨论四：当。<0时，

由B选项的讨论过程可知：此时函数图像左区段单减，左区段单增；

因为x=2不在左区段的定义域内，故〃x)=(x—2)\(x<a)区段上无零点；

要使/(可存在零点，则零点必在右区段上；

即右区段的最小值必然小于等零，即.7mm=/(Q)=-"+2WOn/22

即。2正或近

上式再与。<0取交集有：a<-4i

综上所述：若f(x)存在零点，则。的取值范围为(-8,-&]u(0,&]u(2,+e).

故D选项正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2

135

-8+log232+lnl=-----------

【答案】9

【解析】

【分析】根据指数以及对数的运算法则，即可求得答案.

23x2

55

【详解】8+log232+lnl=2+log22+lnl

=4+5+0=9,

故答案为：9

14.已知幕函数y=/(x)的图象过点倒,J5),则.

【答案】—##-V2

22

【解析】

【分析】根据寨函数的定义分析求解.

【详解】设募函数/（力=%-。6此

由题意可得：2a==2'‘解得a=］，

则/(*)=)=«，所以/T_V2

22-V

故答案为：也

2

15.已知函数/（x）=|log2（x+l）|,若—1＜。＜匕，且/（。）=/3）,则。+。+2的取值范围是

【答案】(2,+8)

【解析】

【分析】去绝对值，结合对数运算及对勾函数的单调性即可求解.

【详解】函数/(x)=|log2(x+l)|,当xNO时，/(x)=log2(x+l),

当一l<x<0时，/(x)=-log2(x+l),

则/“)在(1,+oo)单调递增，在(-1,0)单调递减，

故—l<a<0,b>o,

由/(a)=/S),K!l|log2(a+1)|=|log2(b+1)|,

即一log2(a+l)=log2S+D,所以log2(a+l)S+l)=0,

即3+1)(方+1)=1,则8+1=-!-,

a+1

所以a+〃+2=(Q+1)+(b+1)=(a+1)H------,

(4+1)

令X=〃+1,则()VXV1,

则设函数g(x)=x+L

X

任取石,工2e(0,1)，不妨设0<%<1,

因为g(玉)一g(々)=玉+」-一々一」-=(*-*2)(中2-1),

王x2Xtx2

当0<%<占<1,所以玉一x,<0,jqx,>0,xsx1-1<0,所以八一』)**——>0,

王龙2

所以g(xJ_g(X2)>0,即g(x(>g(x2),

所以g(X)在区间(0,1)上单调递减.

则当Xfl时，/(I)->2,

当X->y时，f(X)f+8,

故。+6+2的取值范围是(2,+8)

故答案为：(2,+oo)

16.设Ax)是定义在R上的奇函数，对任意的为，x2e(0,+oo),%H当，满足：

0/⑺一%/㈤〉。,若/(2)=4,则不等式/(x)—2x40的解集为.

当一马

【答案】(O,2]U(-8,-2]

【解析】

【分析】先得到g(x)=n»在(0,+功上单调递增，且g(x)=/@为偶函数，故g(x)=/区在

XXX

(一%,0)上单调递减，分x>0与x<0两种情况，结合/(2)=4,得到不等式的解集.

【详解】不妨设%>%>0,由二'/('J>0得(xj—xj(1)〉0，

X\~X2

即九2/(无i)>无J(%)='，

X]x2

故g(%)=ZH在(o,+e)上单调递增，

因为〃x)为R上的奇函数，所以“T)=—/(x)，

g(X)=必。的定义域为(y,o)U(0,+⑹，且g(T)=止2=乜3=g⑴，

x—x—x

故g(x)="D为偶函数，8(月=止)在(一°,0)上单调递减，

当x>0时，/(x)-2x<0=>f(x)<2x=>^-^-<2,

X

因为/(2)=4,所以g(2)=半1=2,故丛今3,

即g(x)4g⑵，解得0〈尤W2,

当x<0时，/(%)-2%<0=>f(x)<2x=>^^->2,

X

因为g⑵=2,所以g(—2)=2,故g(x)Ng(-2),

解得x4-2,故不等式的解集为(0,2]U(-8,-2].

故答案为：(。,2]U(—8,—2]

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.若角夕的终边经过点g,加](〃2>0),且sine=*/〃.

(1)求〃2；

cos一+夕+tan(7i+。)

(2)求(2J'J的值.

sin(。一兀)

【答案】(1)立

2

⑵1+20

【解析】

【分析】(1)根据三角函数的定义直接求解即可;

(2)利用诱导公式化简，然后求值即可.

【小问1详解】

:角夕的终边经过点p1-g,加1加>0),

【小问2详解】

ri不、

由（i）知角e的终边经过点P--，V,

I*22J

也

sin6=^•也=恒，tan（9=^-=-V7,

224_1

2

cos（至+e]+tan（7t+e）,-2^-J7

上[――J-sm6+tan6=4二4血

sin（。一兀）一sin。J14

18.设全集为R,集合4={司丁-5%-6>（）},B={x[a+1<x<2a-l}

（1）若。=4,求AuB,Ac[B；

（2）若（（；4）仆8=0,求实数。的取值范围.

【答案】（1）Au8=卜卜（一1或无）5}；Ac%8={x[x<-1或xN7}

（2）（-00,2]u[5,+00）

【解析】

【分析】（I）求出集合A,B,再利用交并补运算求解即可；

（2）讨论3=0和340两种情况，再利用交并补运算求解即可.

【小问1详解】

A={x|九2-5九一6>0}={x|x（—1或x）6},

当a=4时，8={尤[5<%<7},%B={x|x<5或xN7},

AuB={xk（-^x）5},AcqB={Mx<-1或xN7}；

【小问2详解】

C^,A=1x|-l<x<6|,

当B=0时，a+\>2a-\,即。42,符合（4A）n8=0；

4+1<2a—1,Q+1v2Q—1,

当840时,,或<

tz+l>6,[2a-l<-l,

解得ciN5,

综上或〃>5.

实数a的取值范围为（一8,2]35,+8）.

19.已知函数/（幻=1+5%为奇函数.

（1）求a的值；

（2）判断函数/（x）在（0,+8）内的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.

【答案】（I）a=l

（2）函数f（x）在（0,+8）内单调递减，证明见解析

【解析】

【分析】（1）由奇函数的定义/（-力=-/（可，通过变形即可求解；

（2）任取0＜用＜々，可证/（%）—/（々）〉0,从而得出结论.

【小问1详解】

函数的定义域为（一8,0）U（0,+s）,

由=得]+）,=小+^^],整理可得a=1；

2—112—1J

【小问2详解】

函数"X）在（0,+8）内单调递减；证明如下：

2

由（1）知/（X）=l+^7yp

在（0,+R）上任取X],X2,且玉＜龙2，

小）小）r2]2_2g）一2”1）2（27）

1；J[2）2^-12J（2''-1）（2'-'-1）-Qi"-]）'

由°＜为＜々，得2』一1＞0，2标一1＞0，2福一2国＞0，

所以/（七）一/（3）＞。,即/（%）＞/（尤2）,

2

所以函数/（尤）=1+--在（0,+。）内单调递减.

2'—1

20.已知函数，（x）=2sin[2x-g）,xeR.

（1）求函数函x）的单调递增区间;

TV

(2)若函数g(x)=/(x)-根在区间0,-上有两个零点，求〃?的取值范围.

(3)若函数力(幻=/(幻-左［x-*卜eR)有且仅有3个零点，求所有零点之和.

JT5兀

【答案】(1)kji-—,kn+—(%eZ)

rvs1

(2)meL——2,1J

兀

(3)-

2

【解析】

【分析】(1)根据正弦函数的单调增区间即可得出答案；

(2)由题可知/(x)=m在区间0g内有两个相异的实根，即y=/(x)图像与y=〃?的图像有两个不

同的交点结合图像可得结果.

(3)y关于*0卜中心对称,而/(x)=2sin(2x-g)关于成中心对称,设三个

零点为七,9,工，则三巴=?，工2=?，即可得出答案.

266

【小问1详解】

兀37r

故函数f(x)的单调递增区间为：kn-—,kn+—(ZeZ)

【小问2详解】

TT

若函数g(x)=/(x)-机在区间0,-上有两个零点，

兀

令g(x)=0,即y=f(x)与)，=根在区间0,-上有两个交点,

人C兀C兀rIC兀兀2兀

令，=2x—,由尢£0,一,贝ij2x—G—,—,

3L2J3L33J

兀2兀

即丁=$皿1与丁二机在区间一上有两个交点，

兀27r

画出y=sinf与y=机在区间y）—上的图象，如卜:

【小问3详解】

函数〃（尤）=/（%）-人卜一己

（AwR）有且仅有3个零点,

因为y=%[x~~^

关于成中心对称,

而/（x）=2sin12x-；J关于成中心对称，

设三个零点为%,工2，七，则

':2七6=63，

所以所有零点之和：兀+：兀*2=7兀.

21.某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量x

吨与年促销费用，万元之间满足函数关系式x=2-一二（攵为常数），如果不开展促销活动，年销量是1

吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，

通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一

半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.

（1）求Z值；

（2）将下一年的利润》（万元）表示为促销费f（万元）的函数；

（3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？

（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

【答案】⑴k=2

(3)该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.

【解析】

【分析】(1)依题意当f=0时，x=l代入计算可得；

(2)依题意求出当年生产x吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润;

(34+审1+2,利用基本不等式计算可得•

(3)由(2)可得y=

卜22)2

【小问1详解】

k

由题意可知，当r=0时，x=1,所以1=2--,解得％=2；

2

【小问2详解】

由于攵=2,故x=2,

t+2

年生产成本为：32x+3=32(2一£1+3,

由题意知，当年生产x吨时,

当销售x吨时，年销售收入为：-322——-+3H-t

211t+l)_2

由题意，y=：32(2—一M+3+:/—32(22)

+

2|_Vf+2jJ2|_Vt+2)

小

321t+67z

即"f+222-°)-

【小问3详解】

、“32167/c、

由(2)知：y=--------/+——(r>0),

t+222''

32t+269(32t+2}6()

-t+222卜+22J2

/J32t+269_»<

W2Jx+—26.5，

yt+222

当且仅当/—=土，又f+222,即f=6时,

等号成立.

t+22

此时，>max=26.5.

该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.

TTTT

22.已知函数/(x)=2sin(ox+0)(o＞0,|9|＜一)图象的对称轴与对称中心之间的最小距离为一，且满足

24

兀兀

/(-+%)=-/(--X).

1212

(1)求，(X)的解析式;

(2)己知函数/Z(X)X+2X+3,若有且只有一个实数〃，对于哈申，3X2€［0,2］,使得

/1(%)=27(%),求实数f的值.