山东省济南市商河县2023-2024学年九年级上学期元旦测评数学试题（含答案解析）

九年级数学测试题一、单选题（4*10=40）1.如图所示的几何体的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从上面看，是一行三个小正方形，故选：B．【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．2.下列说法，正确是（）A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形C.两条对角线相等的菱形是正方形 D.矩形、菱形都具有“对角线相等”的性质【答案】C【解析】【分析】根据矩形、正方形、菱形的判定方法一一判断即可．【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故选项说法错误；

B、两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选项说法错误；

C、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项说法正确；

D、矩形、菱形都具有“对角线平分”的性质，故选项说法错误；

故选：C．【点睛】本题考查矩形、正方形、菱形的判定方法，属于中考常考题型．3.下列各点中，在反比例函数图象上的是（）A.（2，4） B.（﹣1，8） C.（2，﹣4） D.（﹣16，﹣2）【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．即当时在反比例函数y＝图象上.【详解】解：∵2×4＝8，选项A的点在反比例函数y＝图象上；∵﹣1×8＝﹣8，选项B的点不在反比例函数y＝图象上；∵2×(﹣4)＝﹣8，选项C的点不在反比例函数y＝图象上；∵﹣16×(﹣2)＝32，选项D的点不在反比例函数y＝图象上．故选A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．4.如图，DE∥BC，且：：，，则的长为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由平行线分线段成比例定理得，即可得出结论．【详解】解：，，即，解得：，故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．5.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA的值为（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理求出AC，再根据正弦的定义求解即可；【详解】由图可知：，∴；故选A．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确利用勾股定理和正弦的定义求解是解题的关键．6.函数和在同一平面直角坐标系内的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题是一次函数与二次函数图象的综合，熟悉这两种函数的图象与性质是关键；根据二次函数开口方向、对称轴的位置可确定a、b的符号；根据一次函数的升降及直线与y轴交点可确定a、b的符号，两者符号相同时正确，否则错误，由此即可确定正确答案．【详解】解：A、对于抛物线而言，；对于直线，它与y轴的交点在y轴负半轴上，则，显然矛盾，不符合题意；B、对于抛物线而言，，，则；对于直线，图象是下降的，则，显然矛盾，不符合题意；C、对于抛物线而言，；对于直线，它与y轴的交点在y轴正半轴上，则，显然矛盾，不符合题意；D、对于抛物线而言，，，则；对于直线，它与y轴的交点在y轴负半轴上，则，图象是上升的，则，显然符合题意；故选：D．7.抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移法则“左加右减，上加下减”即可得出答案，熟练掌握平移法则是解此题的关键．【详解】解：将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为，故选：A．8.如图，梯形中，，对角线、相交于点，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质．由与平行，利用两直线平行得到两对内错角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形与三角形相似，由三角形与三角形面积之比求出三角形与三角形面积之比，进而得出与之比，利用相似三角形面积之比等于相似比即可求出所求面积之比．【详解】解：∵，，，，，，即，，故选：D．9.如图，小明为了测量大楼AB的高度，他从点C出发，沿着斜坡面CD走52米到点D处，测得大楼顶部点A的仰角为37°，大楼底部点B的俯角为45°，已知斜坡CD的坡度为i＝1：2.4．大楼AB的高度约为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A.32米 B.35米 C.36米 D.40米【答案】B【解析】【分析】作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，y由CD的坡度为i＝1：2.4，CD＝52米，得到＝1：2.4，求出BE、AE即可解决问题；【详解】作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，∵CD的坡度为i＝1：2.4，CD＝52米，∴＝1：2.4，∴，∴DF＝20（米）；∴BE＝DF＝20（米），∵∠BDE＝45°，∴DE＝BE＝20m，在Rt△ADE中，∠ADE＝37°，∴AE＝tan37°•20＝15（米）∴AB＝AE+BE＝35（米）．故选B．【点睛】本题考查了仰角与俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．10.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④不等式的解集为，正确的结论个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】抛物线开口向上，则a＞0，故①正确；由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ=b2-4ac＜0，故②错误；由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x=1时，y=a+b+c=1，当x=3时，ax2+bx+c=9a+3b+c=3，则8a+2b=2，即b=1-4a，4a+b=1，故③正确；点（1，1），（3，3）在直线y=x上，由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y=x的下方，则ax2+（b-1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故④正确；故答案为：C．【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．二、填空题（4*6=24）11.若，则___________【答案】【解析】【分析】此题考查了比例的性质，设，代入式子化简即可．【详解】解：设，则故答案为．12.在一个不透明的袋子里，装有6个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，为估袋中白球的个数，小红经过大量摸球试验，发现“摸到红球”的频率在附近摆动，我们可以估计袋中白球有____个．【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，分式方程．熟练掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．设白球个数为个，由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，然后根据概率公式列方程求解即可．【详解】解：设白球个数为个，∵摸到红色球的频率稳定在左右，∴口袋中得到红色球的概率为，∴，解得：，经检验，是原分式方程的解，∴白球的个数为4个．故答案为：4．13.若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是__________．【答案】且【解析】【分析】直接利用一元二次方程的定义结合根的判别式计算得出答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝1﹣4k×（﹣）＝1+9k≥0，且k≠0，解得：且，故答案为：且．【点睛】此题考查利用一元二次方程的定义及根的判别式求系数，正确理解一元二次方程根的三种情况是解题的关键，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．14.如图，为了测量一栋楼的高度，小王在他的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同时量得BC＝0.3m，CE＝2m，则楼高DE为______m．【答案】10【解析】【分析】如图，根据镜面反射的性质，△ABC∽△DEC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：根据题意，∵∠ABC＝∠DEC＝90°，∠ACB＝∠DCE（反射角等于入射角，它们的余角相等），∴△ABC∽△DEC，∴＝，即＝，∴DE＝10（m）故答案为：10．【点睛】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．15.如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，A，D两点分别在反比例函数y＝﹣（x＜0）与y＝（x＞0）的图象上，若▱ABCD的面积为4，则k的值为：_____．【答案】1【解析】【分析】连接OA、OD，如图，利用平行四边形的性质得AD垂直y轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAE和S△ODE，所以S△OAD＝+，，然后根据平行四边形的面积公式可得到▱ABCD的面积＝2S△OAD＝4，即可求出k的值．【详解】连接OA、OD，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD垂直y轴，∴S△OAE＝×|﹣3|＝，S△ODE＝×|k|，∴S△OAD＝+，∵▱ABCD的面积＝2S△OAD＝4．∴3+|k|＝4，∵k＞0，解得k＝1，故答案为1．【点睛】此题考查平行四边形的性质、反比例函数的性质，反比例函数图形上任意一点向两个坐标轴作垂线构成的矩形面积等于，再与原点连线分矩形为两个三角形，面积等于.16.如图，在正方形中，E是的中点，于点F，连结，则下列四个结论：①；②平分；③；④；其中，正确的是__________（请将正确结论的序号填在横线上）．【答案】①③④【解析】【分析】根据正方形性质，两个角相等即可证明①正确，通过相似三角形性质，可得出得④正确，证明，得到，通过计算发现即，由此可以作出判断③正确，求出，即判断②是否正确．【详解】解：设正方形的边长为，则，四边形为正方形，，，，，，，故①正确；，，，，，，，，故④正确；，，，，，，，，，，，故②错误；，故③正确．故答案为：①③④【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质与定理是解题的关键．三、计算题：17.计算：|﹣1|﹣2sin45°20．【答案】【解析】【分析】先逐项化简，再算加减即可．【详解】|﹣1|﹣2sin45°20＝1﹣221．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式的性质以及零指数幂的意义是解答本题的关键．18.已知四边形是矩形，对角线和相交于点，若在矩形的上方加一个，且使，，试说明四边形是菱形．【答案】见解析.【解析】【分析】对菱形性质的考查，题中由已知条件可得其为平行四边形，再加上一组邻边相等即为菱形．【详解】证明：∵，是矩形的对角线，∴，，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形．【点睛】考查菱形的判定，常见的判定方法有：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.19.请把二次函数化为顶点式的形式．并写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标.【答案】，开口方向：向上，顶点坐标：，对称轴：直线．【解析】【分析】利用配方法将二次函数表达式化成顶点式，从而得出相关量.【详解】解：，∴抛物线开口方向：向上，顶点坐标：，对称轴：直线.【点睛】本题考查了配方法和二次函数的性质，属于基础知识，比较简单.20.为迎接运动会，某校开设了A:篮球，B:建球，C:跳绳，D:健美操四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的同学必须选择而且只能在4中体育活动中选择一种）．将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）．（1）这次调查中，一共查了___________名学生；（2）请补全两幅统计图；（3）若该校共有1500名学生，试估计该校选择跳绳体育运动的学生有___________人．（4）若有3名最喜欢毽球运动的学生，1名最喜欢跳绳运动的学生组队外出参加一次联谊互活动，欲从中选出2人担任组长（不分正副），则两人均是最喜欢毽球运动的学生的概率___________．【答案】（1）（2）见解析（3）（4）【解析】【分析】此题考查了扇形图与概率的知识，解题时要注意认真审题，理解题意；在用列举法求概率时，一定要注意不重不漏．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．（1）根据A类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；（2）用整体减去A、C、D类所占的百分比，即可求出B所占的百分比；用总人数乘以C所占的百分比，求出C的人数，从而补全图形；（3）让全校总人数去乘以C组所占的百分比即可解题（4）根据题意采用列举法，举出所有的可能，注意要做到不重不漏，再根据概率公式即可得出答案．【小问1详解】解：调查的总学生是（名）；故答案为：．【小问2详解】B所占的百分比是，C的人数是：（名），补图如下：【小问3详解】解：（人）故答案为：．【小问4详解】用，，表示名喜欢毽球运动的学生，B表示名跳绳运动的学生，则从人中选出人的情况有：（，），（，），（，B），（，），（，B），（，B），共计种，选出的人都是最喜欢毽球运动的学生有（，），（，），（，）共计种，则两人均是最喜欢毽球运动的学生的概率．故答案为：．21.如图是某学校食堂楼梯部分的示意图，上楼楼梯是由两段互相平行并且与地面成角的楼梯和一段水平天台构成，已知楼梯顶部B到地面的垂直高度为9.6米，与地面垂直的平台立柱的高度为6米，整个楼梯的水平跨度为16米．（1）求楼梯的长度；（2）求水平天台的长度（结果保留整数）．（参考数据：，，）【答案】（1）10（2）3【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．（1）过点D作于F，根据正弦的定义求出；（2）延长交于G，根据正切的定义分别求出，计算即可．【小问1详解】解：如图，过点D作于F，则米，在中，，米，,（米），答：楼梯的长度约为10米；【小问2详解】解；如图，延长交于G，则米，（米），在中，，则（米），在中，米，则（米），（米），所以水平天台的长度约为3米，故答案为：3．22.已知点E是矩形的边上一点，于点F，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了矩形的性质：四个角都是直角．先利用等角的余角相等得到，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论．【详解】证明：∵四边形为矩形，∴，∴，∵于点，∴，∴，∴．23.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.（1）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天的盈利是1050元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最大？最大盈利是多少？【答案】（1）每件衬衫降价5元或25元时，商场平均每天的盈利是1050元.（2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天的盈利最大，最大盈利是1250元.【解析】【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，则每天多销售2x件，根据盈利=每件的利润×数量建立方程求出其解即可；

（2）根据盈利=每件的利润×数量表示出y与x的关系式，由二次函数的性质及顶点坐标求出结论．【详解】解：（1）设每件衬衫降价元根据题意，得整理，得解得答：每件衬衫降价5元或25元时，商场平均每天的盈利是1050元.（2）设商场每天的盈利为元.根据题意，得∵∴当时，有最大值，最大值为1250.答:每件衬衫降价15元时，商场平均每天的盈利最大，最大盈利是1250元.【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，销售问题的数量关系的运用，二次函数的运用，解答时求出函数的解析式是关键．24.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交点，，与y轴交于点C．（1）求一次函数的表达式；（2）结合图像直接写出不等式的解集；（3）点P是x轴上的一个动点，若，求点P的坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为；（2）或；（3）点P的坐标为或．【解析】【分析】（1）先求出B点的坐标，用待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据图象直接得出取值范围即可；（3）根据解析式求出点的坐标，设，分两种情况：点在轴负半轴上；点在轴正半轴上．根据面积公式分别列出方程进行解答便可．小问1详解】解：把代入反比例函数，得，∴反比例函数的解析式为：，把代入，得，∴，

把，代入，得，解得，

∴一次函数的解析式为；【小问2详解】由图象可知，当一次函数的图象不在反比例函数的图象下方时，自变量x的取值范围是或，∴不等式的解集为：或；【小问3详解】由可知，①当在轴负半轴上时，过点作轴于点，设P，∴，，∵，∴，解得，②当点在轴正半轴上时，如图，过点作轴于点，∴∵，∴，解得∴或．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识是解题的关键．25.综合与实践：综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”主题，开展数学活动．【问题发现】如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为______；【拓展探究】如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明．【解决问题】如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长．【答案】问题发现：；拓展探究：仍然成立，见解析；解决问题：或【解析】【分析】问题发现：先证，推出，利用等比的性质可得；拓展探究：由旋转的性质可得，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解；解决问题：分“点在线段上”和“点在线段延长线上”两种情况，证明，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】问题发现解：矩形中，，，，，，又，，，，，即，,故答案为：；拓展探究解：仍然成立．理由如下：图1中，，，∴，∴，图2中，由