2023届高三下学期开学摸底考数学试卷（北京专用）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12023届高三下学期开学摸底考试卷（北京专用）数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知复数z在复平面内对应点是，则（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因为复数z在复平面内对应点是，所以，则；故选：C.2．已知集合，则（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗故选：C.3．在的展开式中，的系数是(

)A．4 B．5 C．－5 D．－4〖答案〗B〖解析〗展开式的通项为，当r＝4时，系数为.故选：B.4．下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗对于A，为奇函数，在定义域内不单调，不符合题意；对于B，，定义域为，，所以为奇函数，在和上分别单调递增，不符合题意；对于C，定义域为R，关于原点对称，但，故函数不是奇函数，不符合题意；对于D，定义域为R，关于原点对称，又，则是奇函数，，则单调递增，符合题意.故选：D.5．在四个正方体中，均在所在棱的中点，过作正方体的截面，则在各个正方体中，直线与平面不垂直的是（）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗对于选项D中图形，由于为，的中点，所以，故为异面直线所成的角且，即不为直角，故与平面不可能垂直，故选D.6．若函数在上存在两个零点，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗因为所以令，则因为，所以若函数在上存在两个零点，问题转化为与图像有两个交点如图由图可得：解得：故选：A.7．已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗设，，则，，.选项A，，，，则，故A正确；选项B，，，，下面比较的大小关系，因为，，，所以，即，又，所以，即，故B不正确；选项C，，，，因为，又，所以，即，故C正确；选项D，，因为，所以，又，所以，故D正确；故选：B.8．已知数列的前n项和为，则“为常数列”是“，”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗C〖祥解〗利用常数列、数列前n项和的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.〖解析〗数列为常数列，则，，，，，则当时，，即，有，因此，，，数列为常数列，所以“为常数列”是“，”的充分必要条件.故选：C9．如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由题意，该组合体是一个正方体和个球体的组合体，其体积为.故选：A.10．阻滞增长模型是描述自然界中生物种群数量增长的一种常见模型，其表达式为，其中为初始时刻的种群数量，为自然条件所能容纳的最大种群数量，为从初始时刻起经历个单位时间后的种群数量，为初始时刻种群数量增长率.某高中生物研究小组进行草履虫种群数量增长实验，初始时刻在培养液中放入了5个大草履虫，2天后观测到培养液中草履虫数量在100个左右.若大草履虫初始时刻的种群数量增长率，用阻滞增长模型估计这培养液中能容纳的大草履虫最大种群数量为（

）（参考数据，，，）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗因为，由已知可得，，，，将数据代入阻滞增长模型，可得.∴

，又由可得解得.故选：B.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．双曲线C过点，且与双曲线有共同的渐近线，则双曲线C的方程为______．〖答案〗〖解析〗因为双曲线C与双曲线有相同的渐近线，所以设双曲线C的方程为，又因为双曲线C过点，所以，解得，所以，所以双曲线C的方程为．故〖答案〗为：．12．设等比数列满足，，若为数列的前项积，则的最大值为___________.〖答案〗〖解析〗设等比数列的公比为，由，可得则，所以，因此，当时，，所以为使数列的前项积最大，只需或，此时的最大值为.故〖答案〗为：.13．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容触”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为_________种.〖答案〗12〖解析〗①小明和小李必须安装不同的吉祥物，则有种情况;②剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有，然后分配到参与两个吉祥物的安装，有;则共有种.故〖答案〗为：12.14．在中，是边上的高，且，又满足，，则的长为________.〖答案〗〖解析〗如图所示:过分别作、平行线交于点、交于点，则，又，所以，，因为，所以，所以四边形是菱形，且，所以，，因为，则是中点，即与重合，，，所以，所以.故〖答案〗为：.15．心脏线，也称心形线，是一个圆上的固定一点在该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名.心脏线的平面直角坐标方程可以表示为，，则关于这条曲线的下列说法：①曲线关于轴对称；②当时，曲线上有4个整点（横纵坐标均为整数的点）；③越大，曲线围成的封闭图形的面积越大；④与圆始终有两个交点.其中，所有正确结论的序号是___________.〖答案〗〖解析〗根据曲线方程，可画图像，根据曲线的方程结合图形可知，曲线关于轴对称，①错误；当时，曲线方程可写为时，或令，上述方程可化为结合上图得，的整数取值为0，-1，-2.时，或；时，上述曲线方程写为，解得，此时不为整数；时，.所以时，曲线上有4个整点分别为②正确；由图像可知曲线围成的封闭图形面积随的增大而增大，③正确；由圆的方程可知，圆心坐标为，半径为，且圆经过原点所以曲线与圆恒有两个交点，④正确.故〖答案〗为：.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定的〖解析〗式；（2）若函数在区间上的最小值为，求的取值范围.条件①：的最小值为；条件②：图象的一个对称中心为；条件③；的图象经过点.解：（1）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为,所以的最小正周期,故，此时．选条件①②︰因为的最小值为，所以．因为图象的一个对称中心为，所以，所以，因为，所以，所以.选条件①③︰因为的最小值为，所以．因为函数的图象过点，即，即，因为，以，所以则，所以.选条件②③︰因为函数的一个对称中心为，所以，所以．因为，所以，此时．所以,因为函数的图象过点，所以,即,即所以，所以.（2）因为，所以,函数在区间上的最小值为，则，即，所以a的取值范围为.17．（14分）如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面平面，，，是线段上异于点，的动点.（1）当是线段的中点时，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）当二面角的余弦值为时，求的值.（1）证明：连接，，连接.因为四边形为正方形，所以是的中点，因为当是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）解：取的中点，的中点，连接，，则.因为，所以，又因为平面平面，平面平面，所以平面.如图，建立空间直角坐标系.所以，，，，.所以，，.设平面的法向量为，则，解得，令，则平面的一个法向量.所以.设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）解：由（2）所作的空间直角坐标系，如下：设点，且，则，所以.所以，，设平面的法向量为，则，解得，令，则平面的一个法向量.因为平面的法向量为，所以，由已知，得，整理得，解得（舍），或，即.18．（13分）PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值做为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测（1）现从制造业的10个观测组中任取一组，（ⅰ）求组内三个PMI值至少有一个低于50．0的概率；（ii）若当月的PMI值大于上一个月的PMI值，则称该月的经济向好.设表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求的分布列与数学期望；（2）用表示第月非制造业所对应的PMI值，表示非制造业12个月PMI值的平均数，请直接写出取得最大值所对应的月份．解：（1）（ⅰ）从制造业的10个观测组中任取一组的基本事件有，共有10个，设“组内三个PMI值至少有一个低于50．0”为事件，则事件包含的结果有共4个，由古典概型的计算公式，得（ii）的可能取值为，，，.的分布列为所以随机变量的数学期望.（2）月份，理由如下由某年12个月的非制造业PMI值趋势图中的数据，得根据某年12个月的非制造业PMI值趋势图，可知当时，取得最大值为.19．（15分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：当时，；（3）若对恒成立，求实数k的最大值．（1）解：

，即切线的斜率为，又因为所以切线方程为：，即.（2）证明：令，则，当时，设，则所以在单调递减，即，所以所以在上单调递减，所以，所以.（3）解：原题等价于对恒成立，即对恒成立，令，则.易知，即在单调递增，所以，所以，故在单调递减，所以.

综上所述，的最大值为.20．（15分）已知椭圆，焦距为2，为椭圆的左焦点，若椭圆上的点到的距离的最大值是最小值的3倍.（1）求椭圆的方程；（2）不平行于坐标轴的直线过右焦点与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使得为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.解：（1）由焦距为2知，由题意，解得，所以，故椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，故设直线，联立消元得，，，设的中点为，则，假设存在点，则的直线方程为，，.若为正三角形，则，即，化简得，显然方程无实数解，故不存在点，使得为正三角形.21．（15分）已知数列为无穷递增数列，且．定义：数列：表示满足的所有i中最大的一个．数列：表示满足的所有i中最小的一个（，2，3…）（1）若数列是斐波那契数列，即，，（，2，3，…），请直接写出，的值；（2）若数列是公比为整数的等比数列，且满足且，求公比q，并求出此时，的值；（3）若数列是公差为d的等差数列，求所有可能的d，使得，都是等差数列．解：（1）数列是斐波那契数列,则的项分别是当时,则;当时,则,当时,则;当时,则以此类推,可知当时,表示满足的所有i中最大的一个,所以,表示满足的所有i中最小的一个,所以（2）因为数列是公比为整数的等比数列,故公比当时,的项为,表示满足的所有i中最大的一个,所以,同理;表示满足的所有i中最小的一个,所以,同理,符合题意.当时,的项为,表示满足的所有i中最大的一个，不符合,当时,的项增长的更快速,此时,故不符合题意.综上,,,（3）由数列是公差为d的等差数列,且单调递增,所以,又因为,设数列,的公差分别为,则则,当时,满足,由于是任意正整数,故可知同理可知当时,满足,由于是任意正整数,故可知,综上可知,又因为,所以可以是任意一个正整数.故2023届高三下学期开学摸底考试卷（北京专用）数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知复数z在复平面内对应点是，则（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因为复数z在复平面内对应点是，所以，则；故选：C.2．已知集合，则（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗故选：C.3．在的展开式中，的系数是(

)A．4 B．5 C．－5 D．－4〖答案〗B〖解析〗展开式的通项为，当r＝4时，系数为.故选：B.4．下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗对于A，为奇函数，在定义域内不单调，不符合题意；对于B，，定义域为，，所以为奇函数，在和上分别单调递增，不符合题意；对于C，定义域为R，关于原点对称，但，故函数不是奇函数，不符合题意；对于D，定义域为R，关于原点对称，又，则是奇函数，，则单调递增，符合题意.故选：D.5．在四个正方体中，均在所在棱的中点，过作正方体的截面，则在各个正方体中，直线与平面不垂直的是（）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗对于选项D中图形，由于为，的中点，所以，故为异面直线所成的角且，即不为直角，故与平面不可能垂直，故选D.6．若函数在上存在两个零点，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗因为所以令，则因为，所以若函数在上存在两个零点，问题转化为与图像有两个交点如图由图可得：解得：故选：A.7．已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗设，，则，，.选项A，，，，则，故A正确；选项B，，，，下面比较的大小关系，因为，，，所以，即，又，所以，即，故B不正确；选项C，，，，因为，又，所以，即，故C正确；选项D，，因为，所以，又，所以，故D正确；故选：B.8．已知数列的前n项和为，则“为常数列”是“，”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗C〖祥解〗利用常数列、数列前n项和的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.〖解析〗数列为常数列，则，，，，，则当时，，即，有，因此，，，数列为常数列，所以“为常数列”是“，”的充分必要条件.故选：C9．如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由题意，该组合体是一个正方体和个球体的组合体，其体积为.故选：A.10．阻滞增长模型是描述自然界中生物种群数量增长的一种常见模型，其表达式为，其中为初始时刻的种群数量，为自然条件所能容纳的最大种群数量，为从初始时刻起经历个单位时间后的种群数量，为初始时刻种群数量增长率.某高中生物研究小组进行草履虫种群数量增长实验，初始时刻在培养液中放入了5个大草履虫，2天后观测到培养液中草履虫数量在100个左右.若大草履虫初始时刻的种群数量增长率，用阻滞增长模型估计这培养液中能容纳的大草履虫最大种群数量为（

）（参考数据，，，）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗因为，由已知可得，，，，将数据代入阻滞增长模型，可得.∴

，又由可得解得.故选：B.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．双曲线C过点，且与双曲线有共同的渐近线，则双曲线C的方程为______．〖答案〗〖解析〗因为双曲线C与双曲线有相同的渐近线，所以设双曲线C的方程为，又因为双曲线C过点，所以，解得，所以，所以双曲线C的方程为．故〖答案〗为：．12．设等比数列满足，，若为数列的前项积，则的最大值为___________.〖答案〗〖解析〗设等比数列的公比为，由，可得则，所以，因此，当时，，所以为使数列的前项积最大，只需或，此时的最大值为.故〖答案〗为：.13．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容触”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为_________种.〖答案〗12〖解析〗①小明和小李必须安装不同的吉祥物，则有种情况;②剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有，然后分配到参与两个吉祥物的安装，有;则共有种.故〖答案〗为：12.14．在中，是边上的高，且，又满足，，则的长为________.〖答案〗〖解析〗如图所示:过分别作、平行线交于点、交于点，则，又，所以，，因为，所以，所以四边形是菱形，且，所以，，因为，则是中点，即与重合，，，所以，所以.故〖答案〗为：.15．心脏线，也称心形线，是一个圆上的固定一点在该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名.心脏线的平面直角坐标方程可以表示为，，则关于这条曲线的下列说法：①曲线关于轴对称；②当时，曲线上有4个整点（横纵坐标均为整数的点）；③越大，曲线围成的封闭图形的面积越大；④与圆始终有两个交点.其中，所有正确结论的序号是___________.〖答案〗〖解析〗根据曲线方程，可画图像，根据曲线的方程结合图形可知，曲线关于轴对称，①错误；当时，曲线方程可写为时，或令，上述方程可化为结合上图得，的整数取值为0，-1，-2.时，或；时，上述曲线方程写为，解得，此时不为整数；时，.所以时，曲线上有4个整点分别为②正确；由图像可知曲线围成的封闭图形面积随的增大而增大，③正确；由圆的方程可知，圆心坐标为，半径为，且圆经过原点所以曲线与圆恒有两个交点，④正确.故〖答案〗为：.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定的〖解析〗式；（2）若函数在区间上的最小值为，求的取值范围.条件①：的最小值为；条件②：图象的一个对称中心为；条件③；的图象经过点.解：（1）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为,所以的最小正周期,故，此时．选条件①②︰因为的最小值为，所以．因为图象的一个对称中心为，所以，所以，因为，所以，所以.选条件①③︰因为的最小值为，所以．因为函数的图象过点，即，即，因为，以，所以则，所以.选条件②③︰因为函数的一个对称中心为，所以，所以．因为，所以，此时．所以,因为函数的图象过点，所以,即,即所以，所以.（2）因为，所以,函数在区间上的最小值为，则，即，所以a的取值范围为.17．（14分）如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面平面，，，是线段上异于点，的动点.（1）当是线段的中点时，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）当二面角的余弦值为时，求的值.（1）证明：连接，，连接.因为四边形为正方形，所以是的中点，因为当是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）解：取的中点，的中点，连接，，则.因为，所以，又因为平面平面，平面平面，所以平面.如图，建立空间直角坐标系.所以，，，，.所以，，.设平面的法向量为，则，解得，令，则平面的一个法向量.所以.设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）解：由（2）所作的空间直角坐标系，如下：设点，且，则，所以.所以，，设平面的法向量为，则，解得，令，则平面的一个法向量.因为平面的法向量为，所以，由已知，得，整理得，解得（舍），或，即.18．（13分）PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值做为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测（1）现从制造业的10个观测组中任取一组，（ⅰ）求组内三个PMI值至少有一个低于50．0的概率；（ii）若当月的PMI值大于上一个月的PMI值，则称该月的经济向好.设表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求的分布列与数学期望；（2）用表示第月非制造业所对应的PMI值，表示非制造业12个月PMI值的平均数，请直接写出取得最大值所对应的月份．解：（1）（ⅰ）从制造业的10个观测组中任取一组的基本事件有，共有10个，设“组内三个PMI值至少有一个低于50．0”为事件，则事件包含的结果有共4个，由古典概型的计算公式，得（ii）的可能取值为，，，.的分布列为所以随机变量的数学期望.（2）月份，理由如下由某年12个月的非制造业PMI值趋势图中的数据，得根据某年12个月的非制造业PMI值趋势图，可