2023届吉林省延边州高三教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省延边州2023届高三教学质量检测数学试题——★参考答案★——一、单选题1.〖答案〗C〖解析〗集合有一个元素，即方程有一解，当时，，符合题意，当时，有一解，则，解得：，综上可得：或，选：C.2.〖答案〗B〖解析〗，，故z的虚部为，，，，所以B正确3.〖答案〗B〖解析〗因为a=(-1,1),b=(3,1)，所以a⋅b=-1×3+1×1=-2，b=34.〖答案〗D〖解析〗三人挑四种书，每人有4种选法，共有种方法，恰有2人选同一种书的方法有种，即36种方法，.故恰有2人选同一种的概率，.故选：D.5.〖答案〗C〖解析〗根据题意列出方程组，指数式化为对数式，结合对数运算法则，求出，结合，得到.6．〖答案〗D〖解析〗（1）当切线的斜率不存在时，直线x=2是圆的切线；（2）当切线斜率存在时，设切线方程为l:y-3=kx-2，由0,0到切线距离为d=2k-3k2+1=2得k=57.〖答案〗C〖解析〗取的中点为，连接，因为，，所以由面面平行的判定可知，平面平面，则点在线段上，当时，线段最短，，即，，故，故故选：C.8.〖答案〗A〖解析〗因为fx+6=fx因此a=f2021因为y=fx+3为偶函数，所以f所以a=f(5)=f(1)lne>ln4>lne⇒12<ln2<1，因为0<1二、多选题9.〖答案〗ABC〖解析〗A：，正确；B：，正确；C：，正确.D：，错误；故选：ABC10.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为，所以为增函数，故A正确；对于B，由，，所以为增函数，故B正确；对于C，，则等价于，又为增函数，所以，解得，所以的解集为，故C错误；对于D，等价于，即，又为增函数，所以，解得，所以的解集为，故D正确；故选：ABD.11.〖答案〗BD〖解析〗若直线l⊥y轴，则直线l与抛物线y2=2px设点Ax1,y1、Bx2,y2，设直线AB的方程为x=my+p2，联立y2=2pxx=my+p=-m2p所以，直线AB的斜率为1m=±33，A错误；抛物线上一点E2,t到焦点的距离为3，则2+p2抛物线的焦点F到准线的距离为2，则p=2，所以，抛物线的方程为y2所以，y1+y2=4m所以，圆P的直径为2r=AB=x1+x2+2=4m∴sin∠PMN=dr=2m即sin∠PMNmin=12，12.〖答案〗ABD〖解析〗因为BDEF是矩形，所以DE⊥DB，又因为矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD相交于BD，所以DE⊥平面ABCD，而AD,DC⊂平面ABCD，所以DE⊥AD,DC⊥DE，而ABCD是正方形，所以AD⊥DC，因此建立如下图所示的空间直角坐标系，则有A(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0),E(0,0,4),F(4,4,4)，因为AE=(-4,0,4),所以有AE⋅CF=-16+16=0⇒当G为线段AE的中点时，G(2,0,2)，GB=(2,4,-2)，CE设平面CEF的法向量为m=(x,y,z)于是有m⊥因为GB⋅m=2×1+4×(-1)+(-2)×(-1)=0,GB⊄所以选项A正确；设G=(x1,BG2+CG2CB=(4,0,0)，cos所以点B到平面CEF的距离为CB⋅cos〈CB三、填空题13.〖答案〗560〖解析〗二项式的展开式的通项公式为，令，所以的展开式中的系数为14.〖答案〗〖解析〗，且且∴当且仅当取等号，又，即，时取等号15.〖答案〗3〖解析〗因为若函数在处有极小值，所以，解得或，（1）当时，，当时，，当时，，则函数在处取得极小值（2）当时，，当时，，当时，，则函数在处取得极大值，综上，.16.〖答案〗5〖解析〗不妨设点M在第二象限，设M(m,n)，F2由D为MF2的中点，O、I、D三点共线知直线OD垂直平分MF故有nm-c=-a，且12⋅n=1a⋅m+c2，解得m=a2-1c，n=2ac四、解答题17.解：（1）依题意c=2bcosB，由正弦定理得sinC=2sinBcosB由于0<B<π3,0<2B<2π（2）如图所示，设D为BC的中点，则AD为BC边上的中线.若选①，由（1）知A=π设BC=AC=2x，由C=2π3，得cos2π3=4x2+4x2-AB22⋅2x⋅2x，则AB=23.则在△ABD中，由余弦定理得cosB=解得AD=7.10若选②，已知S△ABC=334则CD=32，在△ACD中，由余弦定理得A=3+3∴AD=212.因此BC边上的中线长为2118.解：（1）由题意可得即又因为，所以3分所以．4分（2）∵，∴．7分∵存在，使得成立．∴存在，使得成立．即存在，使得成立．8分∵（当且仅当时取等号）．∴，即实数的取值范围是．12分19.（1）证明：因为在中，，分别为，的中点，所以，.所以，又为的中点，所以.因为平面平面，且平面，所以平面，所以.4分（2）解：取的中点，连接，所以.由（1）得，.如图建立空间直角坐标系.由题意得，，，，.所以，，.设平面的法向量为.则即令，则，，所以.6分设直线和平面所成的角为，则.7分故所求角的正弦值.8分（3）解：线段上存在点适合题意.设，其中.设，则有，所以，，，从而，所以，又，所以10分令，整理得.解得.所以线段上存在点适合题意，且.12分20．解：（1）x=2+3+4+5+6+8+9+118=6，又因为a=y-bx所以年收入的附加额y与投入额x的线性回归方程为y=0.625x+2.325．5（2）8个投入额中，“优秀投资额”的个数为5个，故X的所有可能取值为0，1，2，3，6分P(X=0)=C则X的分布列为X0123P11515510分EX=1×1521．解：（1）过F1且斜率为24的直线的方程为y=2令x=1，得y=22，由题意可得a2解得a2=2，b2=1.∴椭圆E的方程为：（2）由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC：y=kx+2，D(x1,y1)∴x1+x2=-8k∴y1=k直线AD的方程为y=y1+1x1x-1，令y=0，解得x=x∴=3422.解：（1）Fx=1即F'x=cosx-1a-1x令φx=xcos当x∈0,1时，cosx-1>0所以φx>0，即φx在0,1上单调递增，所以当x∈所以a≥15分（2）a=1时，Fx=sinx-1-lnx>F1=0令x=kk+1得sin1-所以sin=ln即，n,k∈N吉林省延边州2023届高三教学质量检测数学试题——★参考答案★——一、单选题1.〖答案〗C〖解析〗集合有一个元素，即方程有一解，当时，，符合题意，当时，有一解，则，解得：，综上可得：或，选：C.2.〖答案〗B〖解析〗，，故z的虚部为，，，，所以B正确3.〖答案〗B〖解析〗因为a=(-1,1),b=(3,1)，所以a⋅b=-1×3+1×1=-2，b=34.〖答案〗D〖解析〗三人挑四种书，每人有4种选法，共有种方法，恰有2人选同一种书的方法有种，即36种方法，.故恰有2人选同一种的概率，.故选：D.5.〖答案〗C〖解析〗根据题意列出方程组，指数式化为对数式，结合对数运算法则，求出，结合，得到.6．〖答案〗D〖解析〗（1）当切线的斜率不存在时，直线x=2是圆的切线；（2）当切线斜率存在时，设切线方程为l:y-3=kx-2，由0,0到切线距离为d=2k-3k2+1=2得k=57.〖答案〗C〖解析〗取的中点为，连接，因为，，所以由面面平行的判定可知，平面平面，则点在线段上，当时，线段最短，，即，，故，故故选：C.8.〖答案〗A〖解析〗因为fx+6=fx因此a=f2021因为y=fx+3为偶函数，所以f所以a=f(5)=f(1)lne>ln4>lne⇒12<ln2<1，因为0<1二、多选题9.〖答案〗ABC〖解析〗A：，正确；B：，正确；C：，正确.D：，错误；故选：ABC10.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为，所以为增函数，故A正确；对于B，由，，所以为增函数，故B正确；对于C，，则等价于，又为增函数，所以，解得，所以的解集为，故C错误；对于D，等价于，即，又为增函数，所以，解得，所以的解集为，故D正确；故选：ABD.11.〖答案〗BD〖解析〗若直线l⊥y轴，则直线l与抛物线y2=2px设点Ax1,y1、Bx2,y2，设直线AB的方程为x=my+p2，联立y2=2pxx=my+p=-m2p所以，直线AB的斜率为1m=±33，A错误；抛物线上一点E2,t到焦点的距离为3，则2+p2抛物线的焦点F到准线的距离为2，则p=2，所以，抛物线的方程为y2所以，y1+y2=4m所以，圆P的直径为2r=AB=x1+x2+2=4m∴sin∠PMN=dr=2m即sin∠PMNmin=12，12.〖答案〗ABD〖解析〗因为BDEF是矩形，所以DE⊥DB，又因为矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD相交于BD，所以DE⊥平面ABCD，而AD,DC⊂平面ABCD，所以DE⊥AD,DC⊥DE，而ABCD是正方形，所以AD⊥DC，因此建立如下图所示的空间直角坐标系，则有A(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0),E(0,0,4),F(4,4,4)，因为AE=(-4,0,4),所以有AE⋅CF=-16+16=0⇒当G为线段AE的中点时，G(2,0,2)，GB=(2,4,-2)，CE设平面CEF的法向量为m=(x,y,z)于是有m⊥因为GB⋅m=2×1+4×(-1)+(-2)×(-1)=0,GB⊄所以选项A正确；设G=(x1,BG2+CG2CB=(4,0,0)，cos所以点B到平面CEF的距离为CB⋅cos〈CB三、填空题13.〖答案〗560〖解析〗二项式的展开式的通项公式为，令，所以的展开式中的系数为14.〖答案〗〖解析〗，且且∴当且仅当取等号，又，即，时取等号15.〖答案〗3〖解析〗因为若函数在处有极小值，所以，解得或，（1）当时，，当时，，当时，，则函数在处取得极小值（2）当时，，当时，，当时，，则函数在处取得极大值，综上，.16.〖答案〗5〖解析〗不妨设点M在第二象限，设M(m,n)，F2由D为MF2的中点，O、I、D三点共线知直线OD垂直平分MF故有nm-c=-a，且12⋅n=1a⋅m+c2，解得m=a2-1c，n=2ac四、解答题17.解：（1）依题意c=2bcosB，由正弦定理得sinC=2sinBcosB由于0<B<π3,0<2B<2π（2）如图所示，设D为BC的中点，则AD为BC边上的中线.若选①，由（1）知A=π设BC=AC=2x，由C=2π3，得cos2π3=4x2+4x2-AB22⋅2x⋅2x，则AB=23.则在△ABD中，由余弦定理得cosB=解得AD=7.10若选②，已知S△ABC=334则CD=32，在△ACD中，由余弦定理得A=3+3∴AD=212.因此BC边上的中线长为2118.解：（1）由题意可得即又因为，所以3分所以．4分（2）∵，∴．7分∵存在，使得成立．∴存在，使得成立．即存在，使得成立．8分∵（当且仅当时取等号）．∴，即实数的取值范围是．12分19.（1）证明：因为在中，，分别为，的中点，所以，.所以，又为的中点，所以.因为平面平面，且平面，所以平面，所以.4分（2）解：取的中点，连接，所以.由（1）得，.如图建立空间直角坐标系.由题意得，，，，.所以，，.设平面的法向量为.则即令，则，，所以.6分设直线和平面所成的角为，则.7分故所求角的正弦值.8分（3）解：线段上存在点适合题意.设，其中.设，则有，所以，，，从而，所以，又，所以10分令，整理得.解得.所以线段上存在点适合题意，且.12分20．解：（1）x=2+3+4+5+6+8+9+118=6，又因为a=y-bx所以年收入的附加额y与投入额x的线性回归方程为y=0.625x+2.325．5（2）8个投入额中，“优秀投资额”的个数为5个，故X的所有可能取值为0，1，2，3，6分P(X=0)=C则X的分布列为X0123P11515510分EX=1×1521．解：（1）过F1且斜率为24的直