2023届河北省石家庄市高三三模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省石家庄市2023届高三三模数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，集合均为的子集，表示的区域为（）A.I B.II C.III D.IV〖答案〗D〖解析〗由补集的概念，表示的区域如下图所示阴影区域，∴表示的区域为下图所示阴影区域，即为图中的区域Ⅳ.故选：D.2.已知函数同时满足性质：①；②对于，，则函数可能是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由函数奇偶性的定义，若函数满足，则函数为奇函数，由函数单调性的定义，若函数满足，，则函数在区间上单调递增，选项中四个函数定义域均为，，都有对于A，，故为奇函数，满足性质①，∵与均在上单调递增，∴在上单调递增，满足性质②；对于B，由指数函数的性质，为非奇非偶函数，在上单调递减，性质①，②均不满足；对于C，，故为奇函数，满足性质①，令，，解得，，∴的单调递增区间为，，故在不单调，不满足性质②；对于D，由幂函数的性质，为偶函数，在区间单调递增，不满足性质①，满足性质②.故选：A.3.观察下列四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0、方差为的随机变量的观测值.对于A选项，残差与观测时间有线性关系，故A错；对于B选项，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内；故B正确；对于C选项，残差与观测时间有非线性关系，故C错；对于D选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变大，故D错.故选：B.4.18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当很大时，（常数）.利用以上公式，可以估计的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意,所以,故选：C．5.已知函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗方法一：设的最小正周期为，由函数图象可知，，∴，∴，∴，∴，又∵当时，取最大值，∴，，∴，，∵，∴，∴.令，，解得，，∴的对称中心为，，当时，的一个对称中心为.方法二：设的最小正周期为，由函数图象可知，，∴，由图象可知，的一个对称中心为，∴的对称中心为，，当时，的一个对称中心为.故选：D.6.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，其中下列命题正确的是（）A.若，则B若，则C.若，则D若，则〖答案〗C〖解析〗若，则或，A错；若，与不一定垂直，因此不正确，B错误；由面面垂直的判定定理知C正确；若，则或，D错误．故选：C．7.已知直线经过圆的圆心，其中且，则的最小值为（）A9 B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗圆的圆心为，依题意，，即，由，知，令，则，因此，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值9.故选：A8.中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它原本是旧石器时代的缝衣打结，后推展至汉朝的仪礼记事，再演变成今日的装饰手艺.中国结显示的精致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为由一个大正方形（内部是16个边长为2的小正方形）和16个半圆所组成，如图，是中国结主体部分上的定点，点是16个半圆上的动点，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗抽取其中部分图形，建立如图所示的平面直角坐标系，作于，则，因此只要最大，则取得最大值，由图知当点是靠近点上方的半圆与垂直的切线的切点取得最大值．图中点上方最靠近点的圆的方程为，，，因此，设圆的斜率为的切线方程为，即，由，解得，由图可知图形中半圆的切线方程为，点到它的距离为，所以的最大值为，所以，故选：C．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.已知复数，复数满足，则（）A.B.C.复数在复平面内所对应的点的坐标是D.复数在复平面内所对应的点为，则〖答案〗AD〖解析〗由已知，其对应点坐标为，C错；，A正确；由知对应的点在以对应点为圆心，2为半径的圆上，，因此，B错误；对应点坐标为，因此D正确．故选：AD．10.设函数的定义域为是的极大值点，以下结论一定正确的是（）A. B.是的极大值点C.是的极小值点 D.是的极大值点〖答案〗BC〖解析〗是的极大值点．则存在区间，，对任意有，不一定是最大值，A错误；的图象与的图象关于轴对称，因此，对任意有，是的极大值点，B正确；的图象与的图象关于轴对称，因此对任意有，C正确；由BC的推理可知是的极小值点，D错误．故选：BC．11.已知函数图象上的点都满足，则下列说法中正确的有（）A.B.若直线与函数的图象有三个交点，且满足，则直线的斜率为.C.若函数在处取极小值，则.D.存在四个顶点都在函数的图象上的正方形，且这样的正方形有两个.〖答案〗ACD〖解析〗由得，，注意到两个高次项的底数与恰好满足，故有，令，，则等价于，即∵，奇函数，∴，又∵，∴在上单调递增，∴由得，即，由题意，即函数图象上的点都满足，∴，故选项A正确；对于B，∵，，∴，∴为奇函数，其图象关于原点对称.当直线过原点且斜率存在时，设直线的方程为，由直线和的对称性知，若直线与函数的图象有三个交点，且满足，则为坐标原点，不妨设，，（），则由，消去，整理得，即，∴，，∴，即，∴，解得或或，即满足题意的直线的斜率有，，，故选项B错误；对于C，∵，∴，∴，令，则或，当时，，，变化情况如下：单调递减极小值单调递增极大值单调递减当时，取极小值，解得（舍）或；当时，，，变化情况如下：单调递减极小值单调递增极大值单调递减当时，取极小值（舍），综上所述，若函数在处取极小值，则，故选项C正确；对于D，由正方形和的对称性知，设正方形四个顶点都在函数的图象上，则正方形的对角线与所在直线均过原点，斜率存在且不为，且，，不妨设所在直线为，则与选项B判断过程同理，，设所在直线为，同理可得，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，令，则，∴，∴，∴等价于，∵，∴有两解，即有两组斜率，使，，故存在四个顶点都在函数图象上的正方形，且这样的正方形有两个，选项D正确.故选：ACD.12.已知曲线为上一点，则（）A.与曲线有四个交点B.的最小值为1C.的取值范围为D.过点的直线与曲线有三个交点，则直线的斜率〖答案〗BCD〖解析〗当时，曲线方程为，即，曲线为双曲线一部分，当，曲线方程为，曲线不存在，当，曲线方程为，即，曲线为双曲线一部分，当，曲线方程为，即，曲线为椭圆一部分，综上，作曲线图象，如图，对A，由双曲线方程可知，渐近线方程为，直线与渐近线平行或重合，作渐近线的平行线，由图象可知，直线与曲线不存在四个交点，故A错误；对B，由双曲线、椭圆顶点性质可知，曲线上与原点距离最近的点为B，由曲线方程知，所以的最小值为1，故B正确；对C，表示曲线上的动点到直线的距离，可转化为两平行线与直线间的距离，且与曲线有交点，联立，可得，由，可解得或（舍去），结合图象可知，，即，故C正确；对D，由在曲线的切线上，设过点M与相切的直线方程为，联立，消元得：，所以，化简可得，解得或（与双曲线左支相切，不满足题意，舍去），由图象可知，当直线斜率满足时，直线与曲线有3个交点，故D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的常数项为___________.〖答案〗〖解析〗的展开式的通项为，，，，，.令，则，∴的展开式中的常数项为.故〖答案〗为：.14.已知数列的通项公式为，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则___________.〖答案〗502〖解析〗由题意可得：，，.所以故〖答案〗为：502.15.已知正四面体的棱长为是外接圆上的动点，是四面体内切球球面上的动点，则的取值范围是___________.〖答案〗〖解析〗如图，是正四面体的高，由对称性知其外接球与内切球球心重合为且在上，是底面正中心，，，设外接球半径为，即，由得，解得，因此内切球半径为，显然有，即，，，所以，故〖答案〗为：．16.我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用0~9这10个数字.而电子计算机用的数是二进制数，只需0和1两个数字，如四位一进制的数，等于十进制的数9，现有一组十进制表示的数列，定义（表示的乘积），若将表示成二进制数，其中有1011个数末位是0，若将表示成二进制数，则末位是0的数至多有______个.〖答案〗1012〖解析〗对于，且，，表示的二进制数为，当时，均为偶数，所以为偶数，要使中偶数最多，只需前面的偶数连续，例如取均为偶数，均为奇数，则均为偶数，均为奇数，此时中有1011个数的末位为0，此时表示成二进制至多有1012个末位是0，故〖答案〗为：1012四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知中，角，，的对边长分别是，，，，且.（1）证明：；（2）若，求外接圆的面积（1）证明：由已知，，∴，∴，∴，∴，易知上式中，，，∴由上式得，即.（2）解：∵，∴由正弦定理和余弦定理得，，化简得，∴.又∵，，∴，是以为斜边，为直角的直角三角形，∴外接圆的直径，外接圆的半径，∴外接圆的面积.18.如图，在中，，为的中点，将绕所在的直线逆时针旋转至形成如图所示的几何体，.（1）求几何体的体积；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）根据圆锥的定义易知，几何体为圆锥的一部分，且为圆锥的高，所以；（2）过点作，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：，则，设平面的法向量为，则，所以，令，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角正弦值为.19.已知为抛物线上不同两点，为坐标原点，，过作于，且点.（1）求直线的方程及抛物线的方程；（2）若直线与直线关于原点对称，为抛物线上一动点，求到直线的距离最短时，点的坐标.解：（1）如图，由点，得直线的斜率为1，又，则直线的斜率为，故直线的方程为，整理得直线的方程为设，联立，得，则，由，得，即，因为，所以，所以，解得，故抛物线方程为（2）设点是直线上任一点，则点关于原点的对称点在直线上，所以，即直线的方程为.设点，则，点到直线的距离，当时，的最小值是，此时，.20.已知各项均为正数的等比数列满足，数列的前项和，满足.（1）求数列和的通项公式；（2）若存在正整数，使得成立，求实数的取值范围..解：（1）设数列公比为，由已知得，即，解得或（舍），所以.因为，所以，当时，两式作差得，因为，所以，即数列是首项为，公差为的等差数列，所以（2），设，则小于等于数列的最大项.设时，最大，因为，所以由即，即，即，解得即，所以故数列的最大项是，所以，即实数的取值范围是.21.肝脏疾病是各种原因引起的肝脏损伤，是一种常见的危害性极大的疾病，研究表明有八成以上的肝病，是由乙肝发展而来，身体感染乙肝病毒后，病毒会在体内持续复制，肝细胞修复过程中形成纤维化，最后发展成肝病.因感染乙肝病毒后身体初期没有任何症状，因此忽视治疗，等到病情十分严重时，患者才会出现痛感，但已经错过了最佳治疗时机，对乙肝病毒应以积极预防为主，通过接种乙肝疫苗可以预防感染乙肝病毒､体检是筛查乙肝病毒携带者最好的方法，国家在《中小学生健康体检管理办法》中规定：中小学校每年组织一次在校学生健康体检，现某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验次数4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.（1）若，记每人血样化验次数为X，当k取何值时，X的数学期望最小，并求化验总次数；（2）若，设每人血样单独化验一次费用5元，k个人混合化验一次费用k+4元.求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求化验总费用.参考数据及公式：.解：（1）设每人血样化验次数为，由题意若混合血样呈阴性，则，若混合血样呈阳性，则，所以，令，则在上单调递减，在为单调递增，，且，取得最小值，最小值为0.1265.所以，按16人一组，每个人血样化验次数的数学期望最小，此时化验总次数为（次）.（2）设每组人，每组化验总费用为元，若混合血样呈阴性则，若混合血样为阳性，则，且，所以，每个人血样的化验费用为：，当且仅当，即时取等号，所以10个人一组，每个人血样化验费用的数学期望最小，化验总费用为（元）.22.若定义在区间上的函数，其图象上存在不同两点处的切线相互平行，则称函数为区间上的“曲折函数”，“现已知函数.（1）证明：是上的“曲折函数”；（2）设，证明：，使得对于，均有.证明：（1）证法一：要证是上的曲折函数，即证存在两个不同的，使得，令，即证：，使得.任取，考虑方程的正数解的情况.，判别式，故方程有两个不等实根，由韦达定理可知：，从而.即有两个不同的正实数解，所以，即是上的曲折函数.解法二.设是函数图象上两点，，等价于，即，即，即存在，使，所以是上的曲折函数.（2）设函数，代入及，可得则，因为，所以当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增.解法一：取代入函数，可得，令，其中，故，构造函数，则，从而在上单调递增，故，所以……①，再取代入函数，可得：，令，其中，则，构造函数，则，故在上单调递增，即，所以，……②解法二.取代入函数，可得：，设，则，所以在上单调递减，，所以……①.再取代入函数，可得：，设，，则，因为，所以在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，所以……②.又因为在上单调递减，结合①与②，由零点存在性定理，必存在唯一的，使得，且对任意的，均有.河北省石家庄市2023届高三三模数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，集合均为的子集，表示的区域为（）A.I B.II C.III D.IV〖答案〗D〖解析〗由补集的概念，表示的区域如下图所示阴影区域，∴表示的区域为下图所示阴影区域，即为图中的区域Ⅳ.故选：D.2.已知函数同时满足性质：①；②对于，，则函数可能是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由函数奇偶性的定义，若函数满足，则函数为奇函数，由函数单调性的定义，若函数满足，，则函数在区间上单调递增，选项中四个函数定义域均为，，都有对于A，，故为奇函数，满足性质①，∵与均在上单调递增，∴在上单调递增，满足性质②；对于B，由指数函数的性质，为非奇非偶函数，在上单调递减，性质①，②均不满足；对于C，，故为奇函数，满足性质①，令，，解得，，∴的单调递增区间为，，故在不单调，不满足性质②；对于D，由幂函数的性质，为偶函数，在区间单调递增，不满足性质①，满足性质②.故选：A.3.观察下列四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0、方差为的随机变量的观测值.对于A选项，残差与观测时间有线性关系，故A错；对于B选项，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内；故B正确；对于C选项，残差与观测时间有非线性关系，故C错；对于D选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变大，故D错.故选：B.4.18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当很大时，（常数）.利用以上公式，可以估计的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意,所以,故选：C．5.已知函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗方法一：设的最小正周期为，由函数图象可知，，∴，∴，∴，∴，又∵当时，取最大值，∴，，∴，，∵，∴，∴.令，，解得，，∴的对称中心为，，当时，的一个对称中心为.方法二：设的最小正周期为，由函数图象可知，，∴，由图象可知，的一个对称中心为，∴的对称中心为，，当时，的一个对称中心为.故选：D.6.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，其中下列命题正确的是（）A.若，则B若，则C.若，则D若，则〖答案〗C〖解析〗若，则或，A错；若，与不一定垂直，因此不正确，B错误；由面面垂直的判定定理知C正确；若，则或，D错误．故选：C．7.已知直线经过圆的圆心，其中且，则的最小值为（）A9 B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗圆的圆心为，依题意，，即，由，知，令，则，因此，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值9.故选：A8.中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它原本是旧石器时代的缝衣打结，后推展至汉朝的仪礼记事，再演变成今日的装饰手艺.中国结显示的精致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为由一个大正方形（内部是16个边长为2的小正方形）和16个半圆所组成，如图，是中国结主体部分上的定点，点是16个半圆上的动点，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗抽取其中部分图形，建立如图所示的平面直角坐标系，作于，则，因此只要最大，则取得最大值，由图知当点是靠近点上方的半圆与垂直的切线的切点取得最大值．图中点上方最靠近点的圆的方程为，，，因此，设圆的斜率为的切线方程为，即，由，解得，由图可知图形中半圆的切线方程为，点到它的距离为，所以的最大值为，所以，故选：C．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.已知复数，复数满足，则（）A.B.C.复数在复平面内所对应的点的坐标是D.复数在复平面内所对应的点为，则〖答案〗AD〖解析〗由已知，其对应点坐标为，C错；，A正确；由知对应的点在以对应点为圆心，2为半径的圆上，，因此，B错误；对应点坐标为，因此D正确．故选：AD．10.设函数的定义域为是的极大值点，以下结论一定正确的是（）A. B.是的极大值点C.是的极小值点 D.是的极大值点〖答案〗BC〖解析〗是的极大值点．则存在区间，，对任意有，不一定是最大值，A错误；的图象与的图象关于轴对称，因此，对任意有，是的极大值点，B正确；的图象与的图象关于轴对称，因此对任意有，C正确；由BC的推理可知是的极小值点，D错误．故选：BC．11.已知函数图象上的点都满足，则下列说法中正确的有（）A.B.若直线与函数的图象有三个交点，且满足，则直线的斜率为.C.若函数在处取极小值，则.D.存在四个顶点都在函数的图象上的正方形，且这样的正方形有两个.〖答案〗ACD〖解析〗由得，，注意到两个高次项的底数与恰好满足，故有，令，，则等价于，即∵，奇函数，∴，又∵，∴在上单调递增，∴由得，即，由题意，即函数图象上的点都满足，∴，故选项A正确；对于B，∵，，∴，∴为奇函数，其图象关于原点对称.当直线过原点且斜率存在时，设直线的方程为，由直线和的对称性知，若直线与函数的图象有三个交点，且满足，则为坐标原点，不妨设，，（），则由，消去，整理得，即，∴，，∴，即，∴，解得或或，即满足题意的直线的斜率有，，，故选项B错误；对于C，∵，∴，∴，令，则或，当时，，，变化情况如下：单调递减极小值单调递增极大值单调递减当时，取极小值，解得（舍）或；当时，，，变化情况如下：单调递减极小值单调递增极大值单调递减当时，取极小值（舍），综上所述，若函数在处取极小值，则，故选项C正确；对于D，由正方形和的对称性知，设正方形四个顶点都在函数的图象上，则正方形的对角线与所在直线均过原点，斜率存在且不为，且，，不妨设所在直线为，则与选项B判断过程同理，，设所在直线为，同理可得，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，令，则，∴，∴，∴等价于，∵，∴有两解，即有两组斜率，使，，故存在四个顶点都在函数图象上的正方形，且这样的正方形有两个，选项D正确.故选：ACD.12.已知曲线为上一点，则（）A.与曲线有四个交点B.的最小值为1C.的取值范围为D.过点的直线与曲线有三个交点，则直线的斜率〖答案〗BCD〖解析〗当时，曲线方程为，即，曲线为双曲线一部分，当，曲线方程为，曲线不存在，当，曲线方程为，即，曲线为双曲线一部分，当，曲线方程为，即，曲线为椭圆一部分，综上，作曲线图象，如图，对A，由双曲线方程可知，渐近线方程为，直线与渐近线平行或重合，作渐近线的平行线，由图象可知，直线与曲线不存在四个交点，故A错误；对B，由双曲线、椭圆顶点性质可知，曲线上与原点距离最近的点为B，由曲线方程知，所以的最小值为1，故B正确；对C，表示曲线上的动点到直线的距离，可转化为两平行线与直线间的距离，且与曲线有交点，联立，可得，由，可解得或（舍去），结合图象可知，，即，故C正确；对D，由在曲线的切线上，设过点M与相切的直线方程为，联立，消元得：，所以，化简可得，解得或（与双曲线左支相切，不满足题意，舍去），由图象可知，当直线斜率满足时，直线与曲线有3个交点，故D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的常数项为___________.〖答案〗〖解析〗的展开式的通项为，，，，，.令，则，∴的展开式中的常数项为.故〖答案〗为：.14.已知数列的通项公式为，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则___________.〖答案〗502〖解析〗由题意可得：，，.所以故〖答案〗为：502.15.已知正四面体的棱长为是外接圆上的动点，是四面体内切球球面上的动点，则的取值范围是___________.〖答案〗〖解析〗如图，是正四面体的高，由对称性知其外接球与内切球球心重合为且在上，是底面正中心，，，设外接球半径为，即，由得，解得，因此内切球半径为，显然有，即，，，所以，故〖答案〗为：．16.我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用0~9这10个数字.而电子计算机用的数是二进制数，只需0和1两个数字，如四位一进制的数，等于十进制的数9，现有一组十进制表示的数列，定义（表示的乘积），若将表示成二进制数，其中有1011个数末位是0，若将表示成二进制数，则末位是0的数至多有______个.〖答案〗1012〖解析〗对于，且，，表示的二进制数为，当时，均为偶数，所以为偶数，要使中偶数最多，只需前面的偶数连续，例如取均为偶数，均为奇数，则均为偶数，均为奇数，此时中有1011个数的末位为0，此时表示成二进制至多有1012个末位是0，故〖答案〗为：1012四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知中，角，，的对边长分别是，，，，且.（1）证明：；（2）若，求外接圆的面积（1）证明：由已知，，∴，∴，∴，∴，易知上式中，，，∴由上式得，即.（2）解：∵，∴由正弦定理和余弦定理得，，化简得，∴.又∵，，∴，是以为斜边，为直角的直角三角形，∴外接圆的直径，外接圆的半径，∴外接圆的面积.18.如图，在中，，为的中点，将绕所在的直线逆时针旋转至形成如图所示的几何体，.（1）求几何体的体积；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）根据圆锥的定义易知，几何体为圆锥的一部分，且为圆锥的高，所以；（2）过点作，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：，则，设平面的法向量为，则，所以，令，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角正弦值为.19.已知为抛物线上不同两点，为坐标原点，，过作于，且点.（1）求直线的方程及抛物线的方程；（2）若直线与直线关于原点对称，为抛物线上一动点，求到直线的距离最短时，点的坐标.解：（1）如图，由点，得直线的斜率为1，又，则直线的斜率为，故直线的方程为，整理得直线的方程为设，联立，得，则，由，得，即，因为，所以，所以，解得，故抛物线方程为（2）设点是直线上任一点，则点关于原点的对称点在直线上，所以，即直线的方程为.设点，则，点到直线的距离，当时，的最小值是，此时，.20.已知各项均为正数的等比数列满足，数列的前项和，满足.（1）求数列和的通项公式；（2）若存在正整数，使得成立，求实数的取值范围..解：（1）设数列公比为，由已知得，即，解得或（舍），所以.因为，所以，当时，两式作差得，因为，所以，即数列是首项为，公差为的等差数列，所以（2），设，则小于等于数列的最大项.设时，最大，因为，所以由即，即，即，解得即，所以故数列的最大项是，所以，即实数的取值范围是.21.肝脏疾病是各种原因引起的肝脏损伤，是一种常见的危害性极大的疾病，研究表明有八成以上的肝病，是由乙肝发展而来，身体感染乙肝病毒后，病毒会在体内持续复制，肝细胞修复过程中形成纤维化，最后发展成肝病.因感染乙肝病毒后身体初期没有任何症状，因此忽