2023届高三上学期期中考前必刷数学试卷02（全国数学试卷文）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12023届高三上学期期中考前必刷卷02（全国卷文）数学第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则中的元素个数为（

）A．8 B．9 C．10 D．11〖答案〗B〖解析〗解不等式得：，即，而，由解得：，又，显然满足的自然数有9个，所以中的元素个数为9.故选：B.2．已知复数，则（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因为，因此，.故选：C.3．已知非零向量、满足，且，则（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因为，则，，可得，因为，因此，.故选：C.4．在区间内任取一实数，则成立的概率为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由可得，解得，由几何概型可知，，故选：A5．我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（dăo），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的表面积约为（

）（注:1丈=10尺，取3）A．1088平方尺 B．912平方尺 C．720平方尺 D．656平方尺〖答案〗B〖解析〗由1丈=10尺，则4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下图：则，，解得，则圆柱底面积为，侧面积为,则圆柱的表面积(平方尺)，故选：B.6．已知不等式组，表示的平面区域不包含点则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因为不等式组，表示的平面区域不包含点，所以或，解得：.故选：B7．设数列满足且，则（

）A． B． C． D．3〖答案〗D〖解析〗由题意可得：，，，，据此可得数列是周期为4的周期数列，则.故选：D8．已知函数在处取得最大值，则（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗，其中为锐角，.因为当处取得最大值，所以，，即，，所以.故选：A9．已知定义域为的偶函数满足，且当时，，则（

）A． B． C．1 D．3〖答案〗D〖解析〗因上的偶函数满足，即有，则，因此，函数是周期为8的周期函数，.故选：D10．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，其中，若，则（

）A．2 B． C． D．〖答案〗D〖解析〗利用三角函数定义求出，再利用二倍角的余弦公式结合齐次式法求解作答.依题意，，又，得，从而得，所以.故选：D11．设抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，若轴，且，则（

）A．或 B．或 C．或 D．〖答案〗A〖解析〗抛物线的焦点，准线方程为：，因轴，由抛物线的对称性，不妨取，设点B的横坐标为，依题意，，解得，则或，点，则直线斜率为，其倾斜角为，有，若，则直线斜率为，其倾斜角为，有，所以为或.故选：A12．已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗设，，，则，两式作差，并化简得，，所以，因为为线段的中点，即所以，即，由，得.第Ⅱ卷填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为_____.〖答案〗〖解析〗因为、是夹角为的两个单位向量，则，所以，，，，所以，，，所以，.故〖答案〗为：.14．函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积是_____.〖答案〗〖解析〗,切线方程为：,即,横截距为,纵截距为,∴切线与两坐标轴围成的三角形面积是，故〖答案〗为：.15．双曲线的焦距为，圆与及的渐近线分别在第一象限交于点、．若、关于直线对称，则的离心率为________．〖答案〗〖解析〗由题意，双曲线的其中一条渐近线方程为，设，其中，联立方程组，可得，因为，可得，所以，即点的横坐标为，联立方程组，整理得，即，可得，解得，即点的纵坐标为，因为点与点关于直线对称，可得，即，即，又由，可得，即，解得或，又因为双曲线的离心率，所以.故〖答案〗为：.16．分别为菱形的边的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下命题正确的是___________.（写出所有正确命题的序号）

①平面；②异面直线与所成的角为定值；③在二面角逐渐渐变小的过程中，三棱锥的外接球半径先变小后变大；④若存在某个位程，使得直线与直线垂直，则的取值范围是.〖答案〗①②④〖解析〗①由分别为菱形的边的中点，故，平面ABD，故平面；②取AC中点P，连接DP，BP，由于菱形ABCD，所以，可证得平面DPB，故，又，故，异面直线与所成的角为定值.③借助极限状态，当平面DCA与平面BCA重合时，三棱锥的外接球即为以三角形ABC的外接圆为圆心，半径为半径的球，当二面角变大时球心离开平面ABC，但球心在平面ABC的投影仍然为三角形ABC的外接圆的圆心，故二面角不为0时，外接球半径一定大于三角形ABC的外接圆半径，故三棱锥的外接球半径不可能先变小后变大.④过A在平面ABC中作交BC于H，若为锐角，H在线段BC上；若为直角，H与B点重合；为钝角，H在线段BC的延长线射线CB上.若存在某个位程，使得直线与直线垂直，由于，因此平面AHD，故.若为直角，H与B点重合，即，由于，不可能成立.若为钝角，则原平面图中，为锐角，由于立体图中，故立体图中一定比原图中更小，因此为锐角，，故H在线段CB上，与H在线段BC的延长线射线CB上矛盾，因此的取值范围是.故〖答案〗为：①②④.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．（12分）在中，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）的值；（2）和面积的值．条件①:；条件②:.解：（1）若选①：在中，,即，而，故或，则或，因为，故,所以；若选②：在中，,即，而，故或，则或，由得：且，故A为最大角，故,所以；（2）若选①：由正弦定理得：,则,由知：，，故,则，所以，；若选②：，由正弦定理得：,故,而,故,所以,.18．（12分）如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，底面ABCD，，，且．（1）在线段AB上是否存在点M，使得平面BCF；（2）求三棱锥的体积．解：（1）存在，理由如下：如图，分别取AB，AF靠近点A的三等分点M，G，连接GE，GM，AE，ME，则，所以．又平面BCF，平面BCF，所以平面BCF．因为，，，所以，，所以四边形ADEG是平行四边形，所以，因为，所以．又平面BCF，平面BCF，所以平面BCF，且，所以平面平面BCF，平面GME，所以平面BCF．（2）由题意可知为等边三角形，因为底面ABCD，所以平面平面ADEF，平面平面ADEF，过点C作，所以平面ADEF，因为为等边三角形，所以，则点C到平面ADEF的距离，，．19．（12分）在2021年的一次车展上，某国产汽车厂家的一个品牌推出了1.5升混动版和纯电动版两款车型，自这两款车型上市后，便获得了不错的口碑，汽车测评人老李通过自媒体平台，分8个指标对这两款车型进行了综合评测打分（满分：5分），如图所示：（1）求综合评测分数的平均值；从上图8个指标中任选1个，求指标分数为4.93的概率；（2）老李对两款车型的车主的性别作了统计，得到数据如下2×2列联表：混动版纯电动版合计男25女1560合计70请将上述列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为喜欢哪款车型和性别有关．附：，其中．0.100.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）平均值为，8个指标中分数为4.93的指标有3个，故从8个指标中任选1个，指标分数为4.93的概率为;（2）混动版纯电动版合计男552580女154560合计7070140由于,所以有99.9%的把握认为喜欢哪款车型和性别有关．20．（12分）已知函数．（1）设函数，若是区间上的增函数，求的取值范围；（2）当时，证明函数在区间上有且仅有一个零点．（1）解：．设，则．∵函数是区间上的增函数，在区间上恒成立若，则恒成立，此时；若，此时，恒成立，即恒成立；．综合上：的取值范围是．（2）证明：当时，，则．在区间上单调递增．，，∴存在，使得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．又，，∴函数在区间上有且仅有一个零点．21．（12分）已知椭圆C：＝1的左焦点为F，右顶点为A，离心率为，M为椭圆C上一动点，面积的最大值为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M的直线l：y=kx+1与椭圆C的另一个交点为N，P为线段MN的中点，射线OP与椭圆交于点D．点Q为直线OP上一动点，且，求证：点Q到x轴距离为定值．（1）解：设椭圆的半焦距为，由椭圆的几何性质知，当点位于椭圆的短轴端点时，的面积取得最大值，此时，，．由离心率得，，解得，，，∴椭圆的标准方程为；（2）证明：由题意作下图：设，．由得．∵点在这个椭圆内部，所以，，，，∴点的坐标为当时，直线的斜率为，∴直线的方程为，即，将直线的方程代入椭圆方程得，，设点，由得，化简得，化简得，∴点在直线上，当直线的斜率时，此时，，由得，也满足条件，∴点在直线上；所以点Q到x轴距离为定值（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线l过点，倾斜角为α．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程，并写出l的一个参数方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求cosα．解：（1）因为，，，所以曲线C的直角坐标方程为．因为直线l过点，倾斜角为α，所以其参数方程为，（t为参数）．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，，整理得．设A，B两点对应的参数分别为，，则因为，所以．所以解得或所以．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）若，求的解集；（2）若恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）由题知，即．当时，．当时，，解得，；当时，，恒成立，；当时，，解得，，的解集为．（2）由，即．令，，当且仅当时等号成立，，，∴，解得或，实数a的取值范围为.2023届高三上学期期中考前必刷卷02（全国卷文）数学第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则中的元素个数为（

）A．8 B．9 C．10 D．11〖答案〗B〖解析〗解不等式得：，即，而，由解得：，又，显然满足的自然数有9个，所以中的元素个数为9.故选：B.2．已知复数，则（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因为，因此，.故选：C.3．已知非零向量、满足，且，则（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因为，则，，可得，因为，因此，.故选：C.4．在区间内任取一实数，则成立的概率为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由可得，解得，由几何概型可知，，故选：A5．我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（dăo），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的表面积约为（

）（注:1丈=10尺，取3）A．1088平方尺 B．912平方尺 C．720平方尺 D．656平方尺〖答案〗B〖解析〗由1丈=10尺，则4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下图：则，，解得，则圆柱底面积为，侧面积为,则圆柱的表面积(平方尺)，故选：B.6．已知不等式组，表示的平面区域不包含点则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因为不等式组，表示的平面区域不包含点，所以或，解得：.故选：B7．设数列满足且，则（

）A． B． C． D．3〖答案〗D〖解析〗由题意可得：，，，，据此可得数列是周期为4的周期数列，则.故选：D8．已知函数在处取得最大值，则（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗，其中为锐角，.因为当处取得最大值，所以，，即，，所以.故选：A9．已知定义域为的偶函数满足，且当时，，则（

）A． B． C．1 D．3〖答案〗D〖解析〗因上的偶函数满足，即有，则，因此，函数是周期为8的周期函数，.故选：D10．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，其中，若，则（

）A．2 B． C． D．〖答案〗D〖解析〗利用三角函数定义求出，再利用二倍角的余弦公式结合齐次式法求解作答.依题意，，又，得，从而得，所以.故选：D11．设抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，若轴，且，则（

）A．或 B．或 C．或 D．〖答案〗A〖解析〗抛物线的焦点，准线方程为：，因轴，由抛物线的对称性，不妨取，设点B的横坐标为，依题意，，解得，则或，点，则直线斜率为，其倾斜角为，有，若，则直线斜率为，其倾斜角为，有，所以为或.故选：A12．已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗设，，，则，两式作差，并化简得，，所以，因为为线段的中点，即所以，即，由，得.第Ⅱ卷填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为_____.〖答案〗〖解析〗因为、是夹角为的两个单位向量，则，所以，，，，所以，，，所以，.故〖答案〗为：.14．函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积是_____.〖答案〗〖解析〗,切线方程为：,即,横截距为,纵截距为,∴切线与两坐标轴围成的三角形面积是，故〖答案〗为：.15．双曲线的焦距为，圆与及的渐近线分别在第一象限交于点、．若、关于直线对称，则的离心率为________．〖答案〗〖解析〗由题意，双曲线的其中一条渐近线方程为，设，其中，联立方程组，可得，因为，可得，所以，即点的横坐标为，联立方程组，整理得，即，可得，解得，即点的纵坐标为，因为点与点关于直线对称，可得，即，即，又由，可得，即，解得或，又因为双曲线的离心率，所以.故〖答案〗为：.16．分别为菱形的边的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下命题正确的是___________.（写出所有正确命题的序号）

①平面；②异面直线与所成的角为定值；③在二面角逐渐渐变小的过程中，三棱锥的外接球半径先变小后变大；④若存在某个位程，使得直线与直线垂直，则的取值范围是.〖答案〗①②④〖解析〗①由分别为菱形的边的中点，故，平面ABD，故平面；②取AC中点P，连接DP，BP，由于菱形ABCD，所以，可证得平面DPB，故，又，故，异面直线与所成的角为定值.③借助极限状态，当平面DCA与平面BCA重合时，三棱锥的外接球即为以三角形ABC的外接圆为圆心，半径为半径的球，当二面角变大时球心离开平面ABC，但球心在平面ABC的投影仍然为三角形ABC的外接圆的圆心，故二面角不为0时，外接球半径一定大于三角形ABC的外接圆半径，故三棱锥的外接球半径不可能先变小后变大.④过A在平面ABC中作交BC于H，若为锐角，H在线段BC上；若为直角，H与B点重合；为钝角，H在线段BC的延长线射线CB上.若存在某个位程，使得直线与直线垂直，由于，因此平面AHD，故.若为直角，H与B点重合，即，由于，不可能成立.若为钝角，则原平面图中，为锐角，由于立体图中，故立体图中一定比原图中更小，因此为锐角，，故H在线段CB上，与H在线段BC的延长线射线CB上矛盾，因此的取值范围是.故〖答案〗为：①②④.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．（12分）在中，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）的值；（2）和面积的值．条件①:；条件②:.解：（1）若选①：在中，,即，而，故或，则或，因为，故,所以；若选②：在中，,即，而，故或，则或，由得：且，故A为最大角，故,所以；（2）若选①：由正弦定理得：,则,由知：，，故,则，所以，；若选②：，由正弦定理得：,故,而,故,所以,.18．（12分）如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，底面ABCD，，，且．（1）在线段AB上是否存在点M，使得平面BCF；（2）求三棱锥的体积．解：（1）存在，理由如下：如图，分别取AB，AF靠近点A的三等分点M，G，连接GE，GM，AE，ME，则，所以．又平面BCF，平面BCF，所以平面BCF．因为，，，所以，，所以四边形ADEG是平行四边形，所以，因为，所以．又平面BCF，平面BCF，所以平面BCF，且，所以平面平面BCF，平面GME，所以平面BCF．（2）由题意可知为等边三角形，因为底面ABCD，所以平面平面ADEF，平面平面ADEF，过点C作，所以平面ADEF，因为为等边三角形，所以，则点C到平面ADEF的距离，，．19．（12分）在2021年的一次车展上，某国产汽车厂家的一个品牌推出了1.5升混动版和纯电动版两款车型，自这两款车型上市后，便获得了不错的口碑，汽车测评人老李通过自媒体平台，分8个指标对这两款车型进行了综合评测打分（满分：5分），如图所示：（1）求综合评测分数的平均值；从上图8个指标中任选1个，求指标分数为4.93的概率；（2）老李对两款车型的车主的性别作了统计，得到数据如下2×2列联表：混动版纯电动版合计男25女1560合计70请将上述列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为喜欢哪款车型和性别有关．附：，其中．0.100.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）平均值为，8个指标中分数为4.93的指标有3个，故从8个指标中任选1个，指标分数为4.93的概率为;（2）混动版纯电动版合计男552580女154560合计7070140由于,所以有99.9%的把握认为喜欢哪款车型和性别有关．20．（12分）已知函数．（1）设函数，若是区间上的增函数，求的取值范围；（2）当时，证明函数在区间上有且仅有一个零点．（1）解：．设，则．∵函数是区间上的增函数，在区间上恒成立若，则恒成立，此时；若，此时，恒成立，即恒成立；．综合上：的取值