数学（选修44）练习专题训练1

第1章坐标系1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是________.解析：该圆的平面直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，故圆心的平面直角坐标为(0，－1)，化为极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2)))2．(2015·北京卷)在极坐标系中，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到直线ρ(cosθ＋eq\r(3)sinθ)＝6的距离为________.解析：点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))对应的平面直角坐标为(1，eq\r(3))，直线ρ(cosθ＋eq\r(3)sinθ)＝6对应的平面直角坐标方程为x＋eq\r(3)y－6＝0.由点到直线的距离公式，得d＝eq\f(|1＋\r(3)×\r(3)－6|,\r(1＋\r(3)2))＝1.答案：13．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，则实数a的值为________.解析：将极坐标方程化为平面直角坐标方程，得圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1；直线的方程为3x＋4y＋a＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有eq\f(|3×1＋4×0＋a|,\r(32＋42))＝1.解得a＝－8或a＝2.故a的值为－8或2.答案：－8或24．(2015·安徽卷)在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)距离的最大值是________.解析：圆ρ＝8sinθ可变形为ρ2＝8ρsinθ，∴x2＋y2＝8y.∴x2＋(y－4)2＝16.∵θ＝eq\f(π,3)，即y＝eq\r(3)x，∴eq\r(3)x－y＝0.∴如图，所求的最大距离为|AB|＝|AC|＋|CB|＝4＋2＝6.答案：65．在极坐标系中，求直线ρ(eq\r(3)cosθ－sinθ)＝2与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标．解：将ρ(eq\r(3)cosθ－sinθ)＝2化为平面直角坐标方程，得eq\r(3)x－y＝2，即y＝eq\r(3)x－2.ρ＝4sinθ可化为x2＋y2＝4y.把y＝eq\r(3)x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－8eq\r(3)x＋12＝0，即x2－2eq\r(3)x＋3＝0.∴x＝eq\r(3)，y＝1.∴直线与圆的交点坐标为(eq\r(3)，1)，化为极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6))).6．在极坐标系中，已知曲线C的方程为ρ2＝eq\f(3,1＋2sin2θ)，点Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4))).(1)以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标．(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时点P的平面直角坐标．解：(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的平面直角坐标方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1，点R的平面直角坐标为R(2,2)．(2)设P(eq\r(3)cosθ，sinθ)，根据题意可得|PQ|＝2－eq\r(3)cosθ，|QR|＝2－sinθ.∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋eq\f(π,3))．当θ＝eq\f(π,6)时，|PQ|＋|QR|取最小值2，∴矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的平面直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2))).7．在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为eq\f(π,3).(1)求直线的极坐标方程．(2)求极点到该直线的距离．解：(1)如图，由正弦定理，得eq\f(ρ,sin\f(2π,3))＝eq\f(1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ)))，即ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2).∴所求直线的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2).(2)如图，作OH⊥l，垂足为H.在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝eq\f(π,2)，∠OAH＝eq\f(π,3)，则OH＝OAsineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).故极点到该直线的距离为eq\f(\r(3),2).8．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))上的动点，试求PQ的最大值．解：以极点O为原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系xOy.将方程ρ＝12sinθ化为平面直角坐标方程为x2＋y2＝12y，它表示圆心为(0,6)，半径为6的圆．将ρ＝12coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))化为平面直角坐标