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文档简介
天津市八校联考2024届高三上学期期末质量调查数学试卷
第I卷(选择题)
一、选择题
1.已知全集。={L2,3,4,5},集合人但5},於{1,2,5},则)
A.{2}B.{1,2}C.{2,4}D.{1,2,4}
k答案1B
K解析』U={1,2,3,4,5},A={3,5},B={1,2,5},
.-.^A={1,2,4},
•・I&A)={1,2}.
故选:B.
YX
2.若孙WO,则“炉=y2”是“_+_=_2„的()
A,充分不必要条件B.必要不充分条件
c.充要条件D.既不充分也不必要条件
[答案XB
K解析?因为必=>2,解得左=丁或1=-y,
yx
当%=y时,上十—二2;
yx八
当、=_y时,-+-=-2;
%y
所以炉=2不是上Y+—X=—2的充分条件;
■%)
22
当,+二=―2时,即)+二二*十)=-2n(1—,J=on%=y=J=,2,
%yxy孙
所以必要性成立,
YX
故若PW。,贝犷/=2,是,上+_=_2”的必要不充分条件,
^y
故选:B
3.已知Ing,Z?=log1.5,
03)
A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a
K答案』c
(解析1/?=log1.5<logl=00=lnl<ln—=a<lne=l,
03032
故选:C
4.函数/(x)的部分图象如下图所示,则/(%)的K解析X式可能为()
B./(x)=ex+ex-sinx--
4
D.〃x)=e"+ex+siwc--
4
K答案工A
K解析X由图象可得"0)=0,据此排除BCD.
故选:A.
5.已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为3:1,货车和客车中途停车修理的概率分
别为0.03和0.01,则一辆汽车中途停车修理的概率为()
111
A.1B.—C.—D.—
504030
[答案XC
k解析》事件A表示一辆汽车中途停车修理,
事件B表示该汽车是货车,
事件C表示该汽车是客车,
则尸(B)=jP(A|B)=0.03,
P(C)=1,P(A|C)=0.01,
则P(A)=尸(AB+AC)=P(AB)+尸(AC)
=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)
311
=-xO.O3+-xO.Ol=—.
4440
故选:C
6.已知a=(U),b=(^n,—l),m为实数,若耳,则向量a在匕上的投影向量
为()
(答案』D
K解析胃根据题意可知a-6=(1,2),
由a可得a-(a-Z?)=lx(l—7%)+1*2=0,解得机=3,所以匕=(3,—1);
i-bb3-11717(31)
所以向量。在6上的投影向量为
故选:D.
7.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蓑藜形多面体”,其可由相同的两个正交的正四面体
组合而成(如图1),也可由正方体切割而成(如图2).在“蓑藜形多面体”中,若正四面体
的棱长为2,则该几何体的体积为()
C.2&D.4
(答案IA
[解析H因为AH=2,所以AB=V2,AE=BE=1,
设ACBD=O,则。到A3的距离为注,
2
所以美藜形多面体体积为正方体体积减去12V°_ABE,
即(立了一i2x;xgxlxlx4=VL
故选:A
22
8.已知过原点。的直线/与双曲线E:彳一/=l(a〉O力〉0)交于A,B两点(点A在第
一象限),可,心分别为双曲线E的左.右焦点,延长A8交E于点C,若忸月|=仙。|,
7T
有加2=_,则双曲线片的渐近线方程为()
3
Ay=±y/2xB.x=±y/2y
C.y=±y/3xD.x=±6y
K答案』A
K解析X如下图所示:
连接AFi,CFl,
由直线/过原点。并利用双曲线的对称性可知,关于原点对称,4,B也关于原点对称;
可得四边形人46a为平行四边形,所以忸阊二|4娟=|AC|,
由双曲线定义可得|M|=2a,即|4?|—|班|=|。阊=20,
5L\CFl\-\CF2\=2a,可得|C£|=4a,
由NRBF]=|可得ZF,AF2=1,又|4耳|=|AC|可得zXA大C为正三角形,
所以|M|=|C4|=Wq=4«,可得内阊=2&a=2c,即。=扃;
又/=a2+匕2=3/,所以52=242,即Z?=J5a
可得渐近线方程为y=±-x=土0X;
a
故选:A
9.已知函数/(x)=Asin(ox+。)/〉0,A〉0,附<]卜勺对称中心到对称轴的最小距离
为:,将/(X)的图象向右平移三个单位长度后所得图象关于y轴对称,且
产(xj—/(々)1ax=1关于函数/(”有下列四种说法:
①X=g是/(X)的一个对称轴;②[一],。]是/(X)的一个对称中心;
③/(x)在。,]]上单调递增;④若/(%)=/(々)=0,则可―X2=g,(ZGZ).
以上四个说法中,正确的个数为()
A.1B.2C.3D.4
k答案》B
jr17r27r
[解析]根据题意由对称中心到对称轴的最小距离为一可得上7=二,即7=3=兀,得
4440)
口=2;
将/(x)的图象向右平移g个单位长度后可得/(x)=Asin[2x-g+°],
QJTJT
其图象关于y轴对称,所以/(%)为偶函数,则—三+夕=]+&,左eZ,
/TTTTTT
解得9=N~+E,kwZ,由网<5可知当上=一1时,°=w符合题意;
由/(%)—/(%)|2=2人=1可得A=g;
因此/(x)=夫1112%+胃;
对于①,当x=g时,7R^sinl2XT+Tpl)取得最大值,
62166J2
所以x=$是/(X)的一个对称轴,即①正确;
6
对于②,当x=_g时,/[一高=齐11[一,+看]=一;/0,
3^3>2<36>2
所以1-三,。]不是“X)的一个对称中心,即②错误;
(711兀(717兀、[兀7兀、
对于③,当xeOq时,可得2%+不6亍不,又丁=5:11^在个不上不单调,
所以/(x)在[o,^]上不是单调递增的,所以③错误;
对于④,若/(菁)=/(%)=0,由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期,
所以任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍,
由/(X)=gsin(2x+《J的周期为兀可得玉—%=g,(ZGZ),即④正确;
所以正确的个数只有①和④共2个.
故选:B.
第II卷(非选择题)
二、填空题
10.若复数z满足z=二3(其中i是虚数单位),则z的虚部为
1-1
K答案H2
l+3i_(l+3i)(l+i)_l+i+3i+3i?_-2+4i
=—l+2i;
k解析I由题意可得2=1-i-(l-i)(l+i)—l^P-—2-
由虚部定义可得z的虚部为2.
故(答案』为:2
11.的展开式中,/项的系数为..(用数字作答)
(答案X-10
K解析工展开式的通项公式为=c;口=eq/2,,
由5—2r=3得r=l,所以的展开式中V项的系数为(-2)仁=-10,
故[答案』为:-10
12.已知直线%—阳+2=0与。。:k+/=4交于48两点,写出满足“一45。面积
为后”的实数加的一个值______(写出其中一个即可)
K答案X73((答案》不唯一)
k解析》设圆心C(0,0)到直线X—冲+2=0的距离为〃,则M却=2,4—/,
由周4-h2=6,解得:"=1或/?=不
2广广
若/z=l,则/——7=1===6或m=—6;
Vl+m
若h=y/3,则/2~nm=或加=—43.
Vl+m233
故K答案』为:拒(-白,昱,—走任意一个也对)
33
13.学习于才干信仰,犹如运动于健康体魄,持之已久、行之愈远愈受益.为实现中华民族
伟大复兴,全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮.某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”
由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数尤之间是相关(填“正”或“负”),
其相关系数r土(结果保留两位小数)
[答案X正0.99
K解析X由表中数据得y随x的增大而增大,
所以该老师每天一次最多答对题数y与天数%之间是正相关,
7
£仪-75
r=:,.
600—7x4x191
=生j—
7140-7x42A/2695-7X1922V72V427X2.45
故(答案》为:正;0.99.
14.己知点A为抛物线/=2x上一点(点A在第一象限),点尸为抛物线的焦点,准线为
I,线段A尸的中垂线交准线/于点。,交x轴于点E(。、E在AF的两侧),四边形ADEE
为菱形,若点P、。分别在边D4、胡上,DP=ADA>EQ=piEA,若24+〃=|■,则尸尸.FQ
的最小值为,tFA-^FE+^tFA-FE^teR)的最小值为.
(答案53叵
2
k解析》对于第一个空:
因为四边形ADEE为菱形,所以AD=£>尸,AO/AEF,又由抛物线的定义知,AD=AF,
所以NAED=60°,ZAFx=60°,川),0,
所以川的方程为>=
31
12d—20x+3=0,得玉二/1*2
6
ZM=(2,0),DF=(l,-V3),FE=(2,0),£A=(-l,^),
FP=DP-DF=ADA-DF=(2A-l,y/3y
又22+〃=上,22=3—〃e[0,2],0<〃<1所以〃e-,1
222
FP.FQ=(24—1)(2—〃)+3〃=导〃—1](2—〃)+3〃=〃2_g〃+3,收1,1
当〃=|■时,FPPQ取最小值3.
对于第二个空:
FA=(l,73),FE=(2,0)jFA-^FE=f/-1,V3/LFA-FE=(Z-2,73z),
P,,、行)在直线y=氐上,设N(2,0)关于直线丁=也%对称的点N'(%,%),
y。=#)
—23
由,0广得所以N1—1,6)
yp_+2)
工一2
|PF|+\PN\=|PF|+|p^|>\FN'\=>当且仅当N',R,尸三点共线时,等号成立.
故/E4—+\tFA-FE\的最小值为YU
4।12
故(答案》为:①3,②叵.
2
ln(x+2),x>-2
15.函数/(x)=<函数g(x)=a]九一2|,若函数
(x+2)+(a+3)(x+2)+3a,xV—2
/z(x)=/(x—2)—g(x+2)—2恰有2个零点,则实数”的取值范围是
K答案X(-®,0]U
]nx尤〉0
(解析》由题意可得了(x-2)=*;g+3)x+3a,x«0'g(x+2)=a凡
当时,/z(x)=x2+(。+3)]+3〃+改一2=12+(2Q+3)X+3Q-2,
A=(2Q+3)2—4(3Q—2)=4/+12Q+9—12Q+8=4/+17>0,
2a+3_
---------<02
当/z(x)在(-0),0]上存在2个零点时,2解得〃2—;
3
3ct—220
2
当人⑺在(—8,0]上存在唯一零点时,3a—2<0,解得a<§;
2〃+3_
--------->0
当h(x)在(-8,0]上不存在零点时,<2无解.
3d—2>0
当%>0时,/z(x)=lnx-6a-2,则"'(4)=!一〃=^—,
xx
当a«0时,(x)>0,%在(0,+。)单调递增,
/z(l)=—a—2<0,/z(e?)=—ae?>0,由/z(2)♦/z(e2)vO,
则丸(力在(1,e2)上存在唯一零点,此时符合题意;
当〃〉0时,令〃(x)=。,解得%=:,
当0<%<,时,/zr(x)>0,则/z(x)单调递增,当工<工时,〃(力〈。,则力⑴单调递减,
d〃
所以丸(x)</z]:]=-Lna_3,令lna—3=0,解得。=占3,
当口=1时,入⑺在(0,+。)上存在唯一零点,此时符合题意;
2?2
当时,/z(x)<-ln4z-3<-ln--3=-ln—e3<0,此时符合题意;
当0<〃<。一3时,—lna—3>。,/Z(1)=-4Z-2<0,<0,
由丸⑴丸]£|<0,«£|“(3)<°,则人⑺在(o,+“)存在2个零点,此时不合题意;
2
当3<口<§时,—lna—3<0,则人⑺在(0,+。)不存在零点,此时不合题意.
综上所述,cie(―o?,0]u—,+ooju<—>
三、解答题
16.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c—2Z?+2acosC=0.
(1)求角A的大小;
(2)若a=6,c=—,
2
①求sin(2C+A)的值;
②求..ABC的面积.
解:(1)法一:由。-2Z?+2(xosC=0,
根据正弦定理有sinC-2sinB+2sinAcosC=0,
因为sinB=sin(A+C),
所以sinC-2sin(A+C)+2sinAcosC
=sinC-2sinAcosC-2cosAsinC+2sinAcosC=0,
整理得sinC-2cosAsinC=0,
因为sinCwO,所以cosA=」,
2
因为Ae(O,7i),所以A=1.
法二:由c—2Z?+2比osC=0,根据余弦定理有c—2b+2〃•巴士——=0.
2ab
整理得be—2Z?2++人2_。2=0,即Z?2+=人。.
b1+C1-a1be_i
cosA=
2bc2b^~2
因为4«0,兀),所以A=1.
(2)因为a=,c="5,由(1)知4=—,
23
①由正弦定理-^―=C,=~~~>sinC=Y5,
sinAsinC73sinC4
~2
又因为c<a,所以ZC为锐角,,cosC=-----,
4
J]51
所以sin2C=2sinCcosC=-----,cos2C=1-2sin0C=—,
44
所以sin(2C+A)=sin2CcosA+cos2CsinA=x—+—x十
v742428
②法一:由。一2/?+勿cosC=0,将a=g,c=—,cos。=41代入,
24
解得〃一通+圆-V-lx、Qx«+廊x#—3—+3而
4AABC224416
法二:sinB=sin(C+A),
.3"…八…底八、屈、,乖)娓+国
•,sin3—sinCcosA+cosCsinA——x—i-------x——------------,
42428
.c1.n15«76+730373+3715
・・S^=—acsmB=一x,3x——x------------=----------------•
ABC222816
17.如图,正方形与梯形A5CD所在平面互相垂直,已知.AB//CD,ADLCD,
B
(1)求证:跖〃平面CDE;
(2)求直线。P与平面8£>尸所成角的正弦值;
(3)求平面3D尸与平面C0E夹角的余弦值.
(1)证明:因为AB〃CD,AB<Z面COE,CDu面CDE,所以AB〃平面COE,
同理,川〃平面CDE,又ABAF=A,AB,Abu面AB产,
所以平面AB尸〃平面CDE,
因为5户u平面ARF,所以M〃平面CDE.
(2)解:因为平面ADEF_L平面ABCD,平面A0EF平面A6CD=AZ),CDLAD,
CDu平面ABC。,
所以CD,平面ADEF,又DEu平面AD石下,故CD,瓦).
而四边形ADE户是正方形,所以A£>J_DE,
又CDJLAD,以。为原点,DA,DC,OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空
间直角坐标系。-孙z
AD=l,则。(0,0,0),4(1,0,0),B(1,1,0),F(1,0,1),C(0,2,0),£(0,0,1),
尸。」,万,DP=。,七.
设平面BDF的法向量为n=(%,y,z),
n-DB=0,fx+y=0,
则〈♦即〈八
n-DF―0,%+z=°,
令X=l,则y=z=—l,所以〃=。,—1,—1).
设直线DP与平面及加所成角的大小为a,
nl.\DPnA/15
则sma=cos(DP,n)=,M---口R口=----
所以直线与平面BDF所成角的正弦值为巫.
5
(3)解:取平面C0E的一个法向量94=(1,0,0),
设平面BDF与平面CDE夹角的大小为6,
…八\DAnv3
则cos"cos{DA,n)=(---=——
'/|DA|.|n|3
所以平面BDF与平面CDE夹角的余弦值是昱.
l(a〉6〉0),耳,工分别是椭圆C的左、右焦点,点A为左
顶点,椭圆上的点到左焦点距离的最小值是焦距的,.
(1)求椭圆。的离心率;
(2)直线/过椭圆C的右焦点工,与椭圆C交于P,。两点(点P在第一象限).且
面积的最大值为2个5,
①求椭圆C的方程;
3
②若直线”,AQ分别与直线x=—交于M,N两点,求证:以MV为直径的圆恒过右
焦点F2.
(1)解:先求椭圆上任意一点到左焦点的距离的最小值:
22
设w(“,v)(―aWMWa)是椭圆,+£=1.〉6〉0)上任意一点,耳(-c,0)是左焦点,
22,2、2
UV12721"b
则=+77=l,u=b1----鼻=b2—2
aba1
所以=J(〃+c)2+u?=^u2*4+2cu+c2+b2~—^u2
I2
22/122
1——u+2CM+a—A--u+2cu+ci,
a)va
?2ca2
「~Y---------------
二次函数丁==/+2«/+。2的开口向上,对称轴2c2C
a-y
a
所以二次函数在[-a,a]上单调递增,
所以|皿用的最小值为J—-—a)+2cx(—。)+。2=J(a-c)-=a—c-
由题意可得a-c=^・2c,2a=3c,
4
(J2
椭圆的离心率为e=—=—.
a3
a5(3、
(2)①解:由(1)可知。*=—c?,b1=—c2,:.A—c,0,
44I2)
2
4x4V2
设椭圆方程为"7+20=1,
9c25c2
法一:
由题意可知直线PQ的斜率显然不为0,
设直线尸。方程为:x=my+c,
222
联立《20x+36y=45c,
x=my+c
2
消去x整理得(2。府+36)丁+40mcy-25c=0,
由题意知A〉0恒成立,
-IQmc-25c2
贝ij必+%=
5疗+9'20加2+36
i
则S”0=;|A玛Hx—=•,(%+为『一=|c25ym+
5m2+9
令则
75275/1
=一c"•—:=一c-
45r+445?+4,
4r、
因为y=5/+—在[1,+c。)上单调递增,
当/=1时,S有最大值,
75125
(SAPQ|-...Q2.-----=---
max45+43
c2=4>c=2,a=3,b=\[5,
22
椭圆方程为:土+匕=1.
95
法二:当直线PQ的斜率存在时,由题知,k*0,
此时,设PQ:y=k[x-c),
222
20x+36y=45c/八,,999
联立.、,(20+36k2)x2-12k1ex+36k2c2-45c2=0,
-kyx-c)'7
设P(玉,%),由题意知A>0恒成立,
72丘3642c2—45。2
X1+X,=-------7,X,-X9=---------
'20+36左21220+36左2
Sa%=g|AgH%-=|x|c.|fcx1-fcx2|=|c.|Z:|
5+9k2
[-----Pq_75c2_____t75c2t_75c21
1-1APQ2--
令/=+p>,1'-45(/—1)+945r+4^,5/+4,
4,、
因为y=5/+:在(1,+。)上单调递增,
75c2175c225c2
~T~912,
当直线P。的斜率不存在时,此时PQ:x=c,代入驾+鸳=1中,
9c2
J乙乙乙JJ.乙
,522
...△4尸。面积的最大值为曾02=",...02=4,椭圆方程为\_+1_=1.
②证明:法一:由(i)知4(—3,0),7%(2,0),
%%
X1+3,x2+3
直线AP的方程为:y=』w(x+3),直线AQ的方程为:y=Tw(x+3),
/\/\
•FM=\-———FN=|-工一1次—
..2〔4'4(石+3”’27V〔4'41+3»
—20m-25
由c=2,得%+%=%%=x=my+2,
5m2+95m2+9
25225
F2M,F?N=---1----
1616(石+3)(X2+3)
25,225%%
-----1-------•--------------------------
1616+5)(根%+5)
25,225%%
-----1------•------------------------------------
1616加A%+5加(凶+%)+25
/.F2M±F2N,
...以"N为直径的圆恒过右焦点.
法二:由(i)知4(—3,0),7^(2,0),
当直线的斜率不存在时,有eu,-|5
3
13353_5
直线AP:y=—%+l,令%=—,得",同理N,-
344;444
555_5
此时F2M-FN=0,
24544,-4
当直线PQ的斜率存在时,y=k(x-^,
%为
$+3,
x2+3
%
,直线AP的方程为:y=•(x+3),直线AQ的方程为:y=•(x+3),
%+3x,+3
215%、;15%'
:.M〔4'4&+3)/N&'45;3),'
f515%、(515%、
:.FM=-,FN=-
24'4a+3)J24'4(%+3)7
36k23642—45
由c=2,+x=-----,X-X=r
25+9左72125+9左2
..…=II+H.瓜+状+3)=f1+If:'3郡3:)
左236左2—45236k2।
_25225左2[玉*2—2(%+X2)+4]_25225[5+9k25+9严
1616X]/+3(芯+%)+9161636k2-4536k2
5+9-2+65+9—2+
2
_25+225/[36左2—45—72公+20+36左之]_25_22525k
-16163612—45+108)2+45+81产―记~\6-225k2~,
F2M±F2N,
...以肱V为直径的圆恒过右焦点.
19.己知数列{4}是正项等比数列,{%}是等差数列,且。1=2伪=2,%=",%=4%,
(1)求数列{4}和也}通项公式;
⑵国表示不超过x的最大整数,&表示数列1)⑸封[的前4”项和,集合
A="XV与心乜共有4个元素,求X范围;
--——/v,n=2K-1,KeN,、
(3)cn=\an+2-yl^+2bn,数列{1}的前2〃项和为邑“,求证:
an-bn,n=2k,keN*
⑴解:设数列{4}首项4=2,设公比q(q>0),设数列也}首项4=1,设公差d,
a-4%〃闷4-4qq2
<5即《
。2=々axq=bx+3d
/.q=2,q=-2(舍去),d=l>
a.=2"•b“=n;
(2)解:%=仅;尻+%)+(%一反—斤+,)+…+(况-3_%”.2一%—1+
其中成一3一或一2-或T+或=(4〃—3)2—(4〃-2)2-(4M-I)2+(4n)2=4,
.,工=4",生人=当巨
an+2,
n(n+2)n(n+2)
集合A<,neN*k设£)=
Tn
("+1)(〃+3)n(n+2)_-n2+3
D”+i-D”=
2"+i2"2'+i
所以当”=1时,D2>Dx,当“之2时,D2>D3>D4>■■■.
315335
计算可得2=7,2=2,D=-,D=~,D=—
ZoZ3JZ45
因为集合有4个元素,353=.
322
——-I',n=2k-l,kGN
(3)证明:cn=<。"+2,击;+2”
an-bn,n=2k,k&
2462n
=C2+C4+C6+---+C2„=2-2+4-2+6-2+---+277-2@,
4\=2-2^+4-26+---+(2n-2^-2rn+2n-^n+2@,
上式①-②得,
—3A〃=8+2(24+26+28+---+22n)-2n-22n+2=8+22~24,4-2n-22w+2
2n+2g—2“22"+2,
322-2.c2,+28
=8o——+-----------2n-22n+2=+
333
Q2222/24-2
所以A,=5+一〃—
39
-----------------------------------------------
2吟杀(“+2)2"2•]〃(“+2)2”•62/2•旧工
则3”=G+G+G+…+C2n-1
<52nl2n+1
[^2~2^/3)+Q.石-2-75卜…+^2--yj2n-l~2-+1?
111
=----------<—
222n+1-V2«+l2)
Q
§2n=4+纥<§+/+9||+
20.已知函数/(x)=eX—xeX-aliJ(e是自然对数的底数).
(1)当0=1时,求函数/(X)在点。,/⑴)处的切线方程;
(2)当a〉e时,
①求证:函数/(x)存在唯一的极值点占;
5Xi+X3
②在①的条件下,若/(%)=。且不〉药,求证:x0<'.
N4]rJ.
(1)解:当a=l时,/(x)=e-v-xex+lnx,可得/''(x)=-xe"+工
所以/'(1)=—e+1,且/(1)=0,所以切线方程为:y=(l-e)x-l+e.
(2)证明:(i)当a〉e时,函数/(x)=alnx-(x-l)e”,
可得r(x)"_e£.x="eJ
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