天津市八校联考2024届高三年级上册期末质量调查数学试卷（解析版）

天津市八校联考2024届高三上学期期末质量调查数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题

1.已知全集。={L2,3,4,5},集合人但5},於{1,2,5},则）

A.{2}B.{1,2}C.{2,4}D.{1,2,4}

k答案1B

K解析』U={1,2,3,4,5},A={3,5},B={1,2,5},

.-.^A={1,2,4},

•・I&A）={1,2}.

故选：B.

YX

2.若孙WO,则“炉=y2”是“_+_=_2„的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

c.充要条件D.既不充分也不必要条件

［答案XB

K解析?因为必=>2,解得左=丁或1=-y,

yx

当％=y时，上十—二2；

yx八

当、=_y时，-+-=-2；

%y

所以炉=2不是上Y+—X=—2的充分条件;

■%)

22

当，+二=―2时，即）+二二*十）=-2n（1—,J=on%=y=J=,2,

%yxy孙

所以必要性成立，

YX

故若PW。，贝犷/=2，是,上+_=_2”的必要不充分条件,

^y

故选：B

3.已知Ing,Z?=log1.5,

03)

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

K答案』c

(解析1/?=log1.5<logl=00=lnl<ln—=a<lne=l,

03032

故选：C

4.函数/(x)的部分图象如下图所示，则/(%)的K解析X式可能为()

B./(x)=ex+ex-sinx--

4

D.〃x)=e"+ex+siwc--

4

K答案工A

K解析X由图象可得"0)=0,据此排除BCD.

故选：A.

5.已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为3:1,货车和客车中途停车修理的概率分

别为0.03和0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为()

111

A.1B.—C.—D.—

504030

［答案XC

k解析》事件A表示一辆汽车中途停车修理，

事件B表示该汽车是货车，

事件C表示该汽车是客车，

则尸（B）=jP（A|B）=0.03,

P（C）=1,P（A|C）=0.01,

则P（A）=尸（AB+AC）=P（AB）+尸（AC）

=P（B）P（A|B）+P（C）P（A|C）

311

=-xO.O3+-xO.Ol=—.

4440

故选：C

6.已知a=（U），b=（^n,—l）,m为实数,若耳，则向量a在匕上的投影向量

为（）

（答案』D

K解析胃根据题意可知a-6=（1,2）,

由a可得a-（a-Z?）=lx（l—7%）+1*2=0,解得机=3,所以匕=（3,—1）；

i-bb3-11717（31）

所以向量。在6上的投影向量为

故选：D.

7.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蓑藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体

组合而成（如图1）,也可由正方体切割而成（如图2）.在“蓑藜形多面体”中，若正四面体

的棱长为2,则该几何体的体积为（）

C.2&D.4

（答案IA

［解析H因为AH=2,所以AB=V2，AE=BE=1,

设ACBD=O,则。到A3的距离为注，

2

所以美藜形多面体体积为正方体体积减去12V°_ABE，

即（立了一i2x；xgxlxlx4=VL

故选：A

22

8.已知过原点。的直线/与双曲线E:彳一/=l（a〉O力〉0）交于A,B两点（点A在第

一象限），可，心分别为双曲线E的左.右焦点，延长A8交E于点C,若忸月|=仙。|,

7T

有加2=_,则双曲线片的渐近线方程为（）

3

Ay=±y/2xB.x=±y/2y

C.y=±y/3xD.x=±6y

K答案』A

K解析X如下图所示：

连接AFi,CFl,

由直线/过原点。并利用双曲线的对称性可知，关于原点对称，4,B也关于原点对称;

可得四边形人46a为平行四边形，所以忸阊二|4娟=|AC|,

由双曲线定义可得|M|=2a,即|4?|—|班|=|。阊=20,

5L\CFl\-\CF2\=2a,可得|C£|=4a,

由NRBF］=|可得ZF,AF2=1,又|4耳|=|AC|可得zXA大C为正三角形，

所以|M|=|C4|=Wq=4«,可得内阊=2&a=2c,即。=扃；

又/=a2+匕2=3/,所以52=242，即Z?=J5a

可得渐近线方程为y=±-x=土0X；

a

故选：A

9.已知函数/(x)=Asin(ox+。)/〉0,A〉0,附＜］卜勺对称中心到对称轴的最小距离

为:，将/(X)的图象向右平移三个单位长度后所得图象关于y轴对称，且

产(xj—/(々)1ax=1关于函数/(”有下列四种说法：

①X=g是/(X)的一个对称轴；②［一］，。］是/(X)的一个对称中心；

③/(x)在。,］］上单调递增；④若/(%)=/(々)=0,则可―X2=g，(ZGZ).

以上四个说法中，正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

k答案》B

jr17r27r

［解析］根据题意由对称中心到对称轴的最小距离为一可得上7=二，即7=3=兀，得

4440)

口=2；

将/(x)的图象向右平移g个单位长度后可得/(x)=Asin［2x-g+°］,

QJTJT

其图象关于y轴对称，所以/(%)为偶函数，则—三+夕=］+&，左eZ,

/TTTTTT

解得9=N~+E，kwZ,由网＜5可知当上=一1时，°=w符合题意;

由/(%)—/(%)|2=2人=1可得A=g；

因此/（x）=夫1112%+胃；

对于①，当x=g时，7R^sinl2XT+Tpl）取得最大值，

62166J2

所以x=$是/（X）的一个对称轴，即①正确；

6

对于②，当x=_g时，/［一高=齐11［一,+看］=一；/0,

3^3>2<36>2

所以1-三,。］不是“X）的一个对称中心，即②错误；

（711兀（717兀、［兀7兀、

对于③，当xeOq时，可得2%+不6亍不，又丁=5：11^在个不上不单调，

所以/（x）在［o,^］上不是单调递增的，所以③错误；

对于④，若/（菁）=/（%）=0,由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期,

所以任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍,

由/（X）=gsin（2x+《J的周期为兀可得玉—%=g,（ZGZ）,即④正确;

所以正确的个数只有①和④共2个.

故选：B.

第II卷（非选择题）

二、填空题

10.若复数z满足z=二3（其中i是虚数单位），则z的虚部为

1-1

K答案H2

l+3i_(l+3i)(l+i)_l+i+3i+3i?_-2+4i

=—l+2i；

k解析I由题意可得2=1-i-(l-i)(l+i)—l^P-—2-

由虚部定义可得z的虚部为2.

故（答案』为：2

11.的展开式中，/项的系数为..（用数字作答）

（答案X-10

K解析工展开式的通项公式为=c;口=eq/2,,

由5—2r=3得r=l,所以的展开式中V项的系数为（-2）仁=-10,

故［答案』为：-10

12.已知直线%—阳+2=0与。。：k+/=4交于48两点，写出满足“一45。面积

为后”的实数加的一个值______（写出其中一个即可）

K答案X73（（答案》不唯一）

k解析》设圆心C（0,0）到直线X—冲+2=0的距离为〃，则M却=2,4—/,

由周4-h2=6，解得:"=1或/?=不

2广广

若/z=l,则/——7=1===6或m=—6；

Vl+m

若h=y/3，则/2~nm=或加=—43.

Vl+m233

故K答案』为：拒（-白，昱,—走任意一个也对）

33

13.学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益.为实现中华民族

伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮.某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”

由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数尤之间是相关（填“正”或“负”）,

其相关系数r土（结果保留两位小数）

［答案X正0.99

K解析X由表中数据得y随x的增大而增大，

所以该老师每天一次最多答对题数y与天数%之间是正相关,

7

£仪-75

r=：,.

600—7x4x191

=生j—

7140-7x42A/2695-7X1922V72V427X2.45

故（答案》为：正；0.99.

14.己知点A为抛物线/=2x上一点（点A在第一象限），点尸为抛物线的焦点，准线为

I,线段A尸的中垂线交准线/于点。，交x轴于点E（。、E在AF的两侧），四边形ADEE

为菱形,若点P、。分别在边D4、胡上，DP=ADA＞EQ=piEA，若24+〃=|■，则尸尸.FQ

的最小值为,tFA-^FE+^tFA-FE^teR）的最小值为.

（答案53叵

2

k解析》对于第一个空:

因为四边形ADEE为菱形，所以AD=£＞尸，AO/AEF,又由抛物线的定义知，AD=AF,

所以NAED=60°,ZAFx=60°,川）,0,

所以川的方程为＞=

31

12d—20x+3=0,得玉二/1*2

6

ZM=(2,0),DF=(l,-V3),FE=(2,0),£A=(-l,^),

FP=DP-DF=ADA-DF=(2A-l,y/3y

又22+〃=上，22=3—〃e[0,2],0<〃<1所以〃e-,1

222

FP.FQ=(24—1)(2—〃)+3〃=导〃—1](2—〃)+3〃=〃2_g〃+3,收1,1

当〃=|■时，FPPQ取最小值3.

对于第二个空：

FA=(l,73),FE=(2,0)jFA-^FE=f/-1,V3/LFA-FE=(Z-2,73z),

P，,、行）在直线y=氐上，设N（2,0）关于直线丁=也%对称的点N'（%,%）,

y。=#)

—23

由,0广得所以N1—1,6)

yp_+2)

工一2

|PF|+\PN\=|PF|+|p^|>\FN'\=>当且仅当N',R,尸三点共线时,等号成立.

故/E4—+\tFA-FE\的最小值为YU

4।12

故(答案》为：①3,②叵.

2

ln(x+2),x>-2

15.函数/(x)=<函数g(x)=a］九一2|,若函数

(x+2)+(a+3)(x+2)+3a,xV—2

/z(x)=/(x—2)—g(x+2)—2恰有2个零点，则实数”的取值范围是

K答案X(-®,0]U

]nx尤〉0

(解析》由题意可得了(x-2)=*；g+3)x+3a,x«0'g(x+2)=a凡

当时，/z(x)=x2+(。+3)]+3〃+改一2=12+(2Q+3)X+3Q-2,

A=(2Q+3)2—4(3Q—2)=4/+12Q+9—12Q+8=4/+17>0,

2a+3_

---------<02

当/z(x)在(-0),0］上存在2个零点时,2解得〃2—；

3

3ct—220

2

当人⑺在(—8,0］上存在唯一零点时，3a—2<0,解得a<§；

2〃+3_

--------->0

当h(x)在(-8,0］上不存在零点时,<2无解.

3d—2>0

当%>0时，/z(x)=lnx-6a-2,则"'(4)=!一〃=^—,

xx

当a«0时，(x)>0,%在(0,+。)单调递增,

/z(l)=—a—2<0,/z(e?)=—ae?>0,由/z(2)♦/z(e2)vO,

则丸(力在(1,e2)上存在唯一零点，此时符合题意；

当〃〉0时，令〃（x）=。，解得％=：,

当0<%<,时，/zr（x）>0,则/z（x）单调递增，当工<工时，〃（力〈。，则力⑴单调递减,

d〃

所以丸（x）</z］：］=-Lna_3,令lna—3=0,解得。=占3,

当口=1时，入⑺在（0,+。）上存在唯一零点，此时符合题意；

2?2

当时，/z（x）<-ln4z-3<-ln--3=-ln—e3<0,此时符合题意；

当0<〃<。一3时，—lna—3>。,/Z（1）=-4Z-2<0,<0,

由丸⑴丸］£|<0,«£|“（3）<°，则人⑺在（o,+“）存在2个零点，此时不合题意；

2

当3<口<§时，—lna—3<0,则人⑺在（0,+。）不存在零点，此时不合题意.

综上所述，cie（―o?,0］u—,+ooju<—>

三、解答题

16.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c—2Z?+2acosC=0.

（1）求角A的大小；

（2）若a=6,c=—,

2

①求sin（2C+A）的值；

②求..ABC的面积.

解：（1）法一：由。-2Z?+2（xosC=0,

根据正弦定理有sinC-2sinB+2sinAcosC=0,

因为sinB=sin（A+C）,

所以sinC-2sin（A+C）+2sinAcosC

=sinC-2sinAcosC-2cosAsinC+2sinAcosC=0,

整理得sinC-2cosAsinC=0,

因为sinCwO,所以cosA=」，

2

因为Ae(O,7i),所以A=1.

法二：由c—2Z?+2比osC=0,根据余弦定理有c—2b+2〃•巴士——=0.

2ab

整理得be—2Z?2++人2_。2=0,即Z?2+=人。.

b1+C1-a1be_i

cosA=

2bc2b^~2

因为4«0,兀)，所以A=1.

(2)因为a=，c="5,由(1)知4=—,

23

①由正弦定理-^―=C，=~~~>sinC=Y5，

sinAsinC73sinC4

~2

又因为c<a,所以ZC为锐角，，cosC=-----，

4

J]51

所以sin2C=2sinCcosC=-----，cos2C=1-2sin0C=—,

44

所以sin(2C+A)=sin2CcosA+cos2CsinA=x—+—x十

v742428

②法一：由。一2/?+勿cosC=0,将a=g,c=—,cos。=41代入,

24

解得〃一通+圆-V-lx、Qx«+廊x#—3—+3而

4AABC224416

法二：sinB=sin(C+A),

.3"…八…底八、屈、，乖)娓+国

•,sin3—sinCcosA+cosCsinA——x—i-------x——------------,

42428

.c1.n15«76+730373+3715

・・S^=—acsmB=一x，3x——x------------=----------------•

ABC222816

17.如图，正方形与梯形A5CD所在平面互相垂直，已知.AB//CD,ADLCD,

B

（1）求证：跖〃平面CDE；

（2）求直线。P与平面8£>尸所成角的正弦值；

（3）求平面3D尸与平面C0E夹角的余弦值.

（1）证明：因为AB〃CD，AB<Z面COE,CDu面CDE,所以AB〃平面COE,

同理，川〃平面CDE,又ABAF=A,AB,Abu面AB产，

所以平面AB尸〃平面CDE,

因为5户u平面ARF,所以M〃平面CDE.

（2）解：因为平面ADEF_L平面ABCD,平面A0EF平面A6CD=AZ）,CDLAD,

CDu平面ABC。，

所以CD,平面ADEF，又DEu平面AD石下，故CD,瓦）.

而四边形ADE户是正方形，所以A£>J_DE,

又CDJLAD,以。为原点，DA,DC,OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空

间直角坐标系。-孙z

AD=l,则。(0,0,0),4(1,0,0),B(1,1,0),F(1,0,1),C(0,2,0),£(0,0,1),

尸。」,万,DP=。，七.

设平面BDF的法向量为n=(%,y,z),

n-DB=0,fx+y=0,

则〈♦即〈八

n-DF―0,%+z=°,

令X=l,则y=z=—l,所以〃=。,—1,—1).

设直线DP与平面及加所成角的大小为a，

nl.\DPnA/15

则sma=cos(DP,n)=,M---口R口=----

所以直线与平面BDF所成角的正弦值为巫.

5

(3)解：取平面C0E的一个法向量94=(1,0,0),

设平面BDF与平面CDE夹角的大小为6,

…八\DAnv3

则cos"cos{DA,n)=(---=——

'/|DA|.|n|3

所以平面BDF与平面CDE夹角的余弦值是昱.

l(a〉6〉0),耳，工分别是椭圆C的左、右焦点，点A为左

顶点，椭圆上的点到左焦点距离的最小值是焦距的,.

(1)求椭圆。的离心率；

(2)直线/过椭圆C的右焦点工，与椭圆C交于P,。两点(点P在第一象限).且

面积的最大值为2个5，

①求椭圆C的方程；

3

②若直线”，AQ分别与直线x=—交于M,N两点，求证：以MV为直径的圆恒过右

焦点F2.

(1)解：先求椭圆上任意一点到左焦点的距离的最小值:

22

设w(“,v)(―aWMWa)是椭圆，+£=1.〉6〉0)上任意一点,耳(-c,0)是左焦点,

22，2、2

UV12721"b

则=+77=l,u=b1----鼻=b2—2

aba1

所以=J(〃+c)2+u?=^u2*4+2cu+c2+b2~—^u2

I2

22/122

1——u+2CM+a—A--u+2cu+ci,

a)va

?2ca2

「~Y---------------

二次函数丁==/+2«/+。2的开口向上，对称轴2c2C

a-y

a

所以二次函数在［-a,a］上单调递增,

所以|皿用的最小值为J—-—a)+2cx(—。)+。2=J(a-c)-=a—c-

由题意可得a-c=^・2c,2a=3c,

4

(J2

椭圆的离心率为e=—=—.

a3

a5(3、

(2)①解：由(1)可知。*=—c?，b1=—c2，:.A—c,0,

44I2)

2

4x4V2

设椭圆方程为"7+20=1,

9c25c2

法一：

由题意可知直线PQ的斜率显然不为0,

设直线尸。方程为：x=my+c,

222

联立《20x+36y=45c,

x=my+c

2

消去x整理得(2。府+36)丁+40mcy-25c=0,

由题意知A〉0恒成立,

-IQmc-25c2

贝ij必+%=

5疗+9'20加2+36

i

则S”0=；|A玛Hx—=•,(%+为『一=|c25ym+

5m2+9

令则

75275/1

=一c"•—：=一c-

45r+445?+4，

4r、

因为y=5/+—在［1,+c。）上单调递增,

当/=1时，S有最大值,

75125

(SAPQ|-...Q2.-----=---

max45+43

c2=4>c=2,a=3,b=\[5，

22

椭圆方程为：土+匕=1.

95

法二：当直线PQ的斜率存在时，由题知，k*0,

此时，设PQ：y=k[x-c),

222

20x+36y=45c/八,，999

联立.、，(20+36k2)x2-12k1ex+36k2c2-45c2=0,

-kyx-c)'7

设P（玉,%），由题意知A>0恒成立,

72丘3642c2—45。2

X1+X,=-------7，X,-X9=---------

'20+36左21220+36左2

Sa%=g|AgH%-=|x|c.|fcx1-fcx2|=|c.|Z:|

5+9k2

[-----Pq_75c2_____t75c2t_75c21

1-1APQ2--

令/=+p>,1'-45（/—1）+945r+4^,5/+4,

4,、

因为y=5/+：在（1,+。）上单调递增,

75c2175c225c2

~T~912，

当直线P。的斜率不存在时，此时PQ：x=c,代入驾+鸳=1中,

9c2

J乙乙乙JJ.乙

,522

...△4尸。面积的最大值为曾02=",...02=4，椭圆方程为\_+1_=1.

②证明：法一：由（i）知4（—3,0）,7%（2,0）,

%%

X1+3，x2+3

直线AP的方程为：y=』w（x+3）,直线AQ的方程为：y=Tw（x+3），

/\/\

•FM=\-———FN=|-工一1次—

..2〔4'4（石+3”’27V〔4'41+3»

—20m-25

由c=2,得%+%=%%=x=my+2,

5m2+95m2+9

25225

F2M,F?N=---1----

1616（石+3）（X2+3）

25,225%%

-----1-------•--------------------------

1616+5）（根%+5）

25,225%%

-----1------•------------------------------------

1616加A%+5加（凶+%）+25

/.F2M±F2N,

...以"N为直径的圆恒过右焦点.

法二：由(i)知4(—3,0),7^(2,0),

当直线的斜率不存在时，有eu,-|5

3

13353_5

直线AP:y=—%+l,令％=—,得",同理N，-

344；444

555_5

此时F2M-FN=0,

24544，-4

当直线PQ的斜率存在时，y=k(x-^,

%为

$+3，

x2+3

%

，直线AP的方程为:y=•(x+3),直线AQ的方程为：y=•(x+3),

%+3x,+3

215%、；15%'

：.M〔4'4&+3)/N&'45；3),'

f515%、(515%、

：.FM=-,FN=-

24'4a+3)J24'4(%+3)7

36k23642—45

由c=2,+x=-----，X-X=r

25+9左72125+9左2

..…=II+H.瓜+状+3)=f1+If：'3郡3：)

左236左2—45236k2।

_25225左2[玉*2—2（%+X2）+4]_25225[5+9k25+9严

1616X]/+3（芯+%）+9161636k2-4536k2

5+9-2+65+9—2+

2

_25+225/[36左2—45—72公+20+36左之]_25_22525k

-16163612—45+108）2+45+81产―记~\6-225k2~，

F2M±F2N,

...以肱V为直径的圆恒过右焦点.

19.己知数列｛4｝是正项等比数列，｛%｝是等差数列，且。1=2伪=2,%="，%=4%，

(1)求数列｛4｝和也｝通项公式;

⑵国表示不超过x的最大整数，&表示数列1)⑸封［的前4”项和，集合

A="XV与心乜共有4个元素，求X范围；

--——/v,n=2K-1,KeN,、

(3)cn=\an+2-yl^+2bn，数列｛1｝的前2〃项和为邑“，求证:

an-bn,n=2k,keN*

⑴解：设数列｛4｝首项4=2,设公比q(q>0),设数列也｝首项4=1，设公差d,

a-4%〃闷4-4qq2

<5即《

。2=々axq=bx+3d

/.q=2,q=-2(舍去)，d=l>

a.=2"•b“=n；

(2)解:%=仅;尻+%)+(%一反—斤+，)+…+(况-3_%”.2一%—1+

其中成一3一或一2-或T+或=(4〃—3)2—(4〃-2)2-(4M-I)2+(4n)2=4,

.,工=4",生人=当巨

an+2,

n(n+2)n(n+2)

集合A<,neN*k设£)=

Tn

("+1)(〃+3)n(n+2)_-n2+3

D”+i-D”=

2"+i2"2'+i

所以当”=1时，D2>Dx,当“之2时，D2>D3>D4>■■■.

315335

计算可得2=7,2=2,D=-,D=~,D=—

ZoZ3JZ45

因为集合有4个元素，353=.

322

——-I',n=2k-l,kGN

(3)证明：cn=<。"+2,击；+2”

an-bn,n=2k,k&

2462n

=C2+C4+C6+---+C2„=2-2+4-2+6-2+---+277-2@,

4\=2-2^+4-26+---+(2n-2^-2rn+2n-^n+2@,

上式①-②得,

—3A〃=8+2(24+26+28+---+22n)-2n-22n+2=8+22~24,4-2n-22w+2

2n+2g—2“22"+2,

322-2.c2,+28

=8o——+-----------2n-22n+2=+

333

Q2222/24-2

所以A,=5+一〃—

39

-----------------------------------------------

2吟杀(“+2)2"2•]〃(“+2)2”•62/2•旧工

则3”=G+G+G+…+C2n-1

<52nl2n+1

[^2~2^/3)+Q.石-2-75卜…+^2--yj2n-l~2-+1？

111

=----------<—

222n+1-V2«+l2)

Q

§2n=4+纥<§+/+9||+

20.已知函数/(x)=eX—xeX-aliJ(e是自然对数的底数).

(1)当0=1时，求函数/(X)在点。，/⑴)处的切线方程；

(2)当a〉e时，

①求证：函数/(x)存在唯一的极值点占；

5Xi+X3

②在①的条件下，若/(%)=。且不〉药，求证：x0<'.

N4]rJ.

(1)解：当a=l时，/(x)=e-v-xex+lnx,可得/''(x)=-xe"+工

所以/'(1)=—e+1,且/(1)=0,所以切线方程为：y=(l-e)x-l+e.

(2)证明：(i)当a〉e时，函数/(x)=alnx-(x-l)e”,

可得r(x)"_e£.x="eJ