山西省侯马市2023-2024学年八年级数学第一学期期末考试试题含解析

山西省侯马市2023-2024学年八年级数学第一学期期末考试试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列运算错误的是（）

A.a~2-ax=\B.（a-2）-3=«6C.a2+a~3=-D.3-2=f-^

aa\3y

2.下列命题的逆命题是假命题的是（）

A.有两个角相等的三角形是等腰三角形

B.对顶角相等

C.等边三角形的三个内角相等

D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

3.下列说法正确的是（）.

①若人=2。+!。，则一元二次方程ar2+陵+。=0必有一根为-1.

2

②已知关于X的方程（左—2）尤2+JTH+l=0有两实根，则k的取值范围是—1WkW3.

③一个多边形对角线的条数等于它的边数的4倍，则这个多边形的内角和为1610度.

④一个多边形剪去一个角后，内角和为1800度，则原多边形的边数是11或11.

A.①③B.①②③C.②④D.②③④

4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

美B丽。校。园

5.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2,26），作ABLx轴于点B,连接AO,绕原点B将AAOB逆时针

旋转60。得到△CBD,则点C的坐标为（）

A.(-1,73)B.(-2,73)C.(-73.1)D.(-若，2)

6.如图，在AABC中，AB=AC,AE是AABC的角平分线，点。是AE上的一点，则下列结论错误的是（）

A.AELBCB.ABED=ACEDC.ABAD=ACADD.ZABD=ZDBE

7.如图，将一副直角三角板拼在一起得四边形ABCD,ZACB=45°,NACD=30。，点E为CD边上的中点，连接AE,

将AADE沿AE所在直线翻折得到AAD，E,D，E交AC于F点，若AB=6及cm,点D倒BC的距离是（）

a7、

——：(za>b)

a-b

8.定义运算“。”：,若5ex=2,则x的值为)

b

-------(a<b)

a

55一

A.-B.-或10C.10

22

9.如图，是一高为2m,宽为1.5m的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m,宽2.7m；②号木板长

2.8m,宽2.8m；③号木板长4m,宽2.4m.可以从这扇门通过的木板是（）

A.①号B.②号C.③号D.均不能通过

10.如图，NAO3=10。，点P是乙4。3内的定点，且OP=L若点拉、N分别是射线04、。3上异于点。的动点,

则APMN周长的最小值是()

二、填空题(每小题3分，共24分)

11.将一组数据中的每一个数都加上1得到一组新的数据，那么在众数、中位数、平均数、方差这四个统计量中，值

保持不变的是.

12.命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是

13.若f+g；+i6是一个完全平方式，则桃=

14.计算2019x2017-2018?=.

15.今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道

题:-3孙(4A2*-1)=-12孙2+6丹+□，口的地方被墨水弄污了，你认为口处应填写.

16.当x分别取-2019、-2018、-2017、...、-3、-2、-1、0、1、—>—————>一一匚时，计算分

23201720182019

式N%2—」1的值，再将所得结果相加，其和等于________

x2+l

17.如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角ACDE,使AD=DE=CE,ZDEC=90°,且点E在平行四边形内

部,连接AE、BE,则NAEB的度数是()

D

18.如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是.

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A(-2,-1),B(1,3)两点，并且交x轴于点C,交y轴于

点D.

(1)求一次函数的解析式；

(2)求点C和点D的坐标；

(3)求aAOB的面积.

20.(6分)阅读下列题目的解题过程：

已知a、b、c为4ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断AABC的形状.

Va2c2-b2c2=a4-b4(A)

c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)(B)

c2=a2+b2(C)

△ABC是直角三角形

问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；

(2)错误的原因为：；

(3)本题正确的结论为：.

21.(6分)山地自行车越来越受中学生的喜爱.一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，

二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元.

(1)求二月份每辆车售价是多少元？

(2)为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%,求每辆山地自行车的

进价是多少元？

22.(8分)若一个正整数M能表示为四个连续正整数的积，即：乂=々(〃+1)3+2)9+3)(其中。为正整数)，则称乂

是“续积数”，例如：24=1x2x3x4,360=3x4x5x6,所以24和360都是“续积数”.

⑴判断224是否为“续积数”，并说明理由；

(2)证明：若M是“续积数”，则M+1是某一个多项式的平方.

23.(8分)已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E为直线BC上一点.

(1)如图1,当E在线段BC上，且DE=AD时，求BE的长；

(2)如图2,点E为BC延长长线上一点，若BD=BE,连接DE,M为ED的中点，连接AM,CM,求证：AM±CM；

(3)如图3,在(2)条件下，P,Q为AD边上的两个动点，且PQ=5,连接PB、MQ、BM,求四边形PBMQ的

周长的最小值.

24.（8分）已知：如图，AB=AC,AD=AE,Z1=Z1.求证：△45。0△ACE.

25.(10分)先阅读下列材料，再解答下列问题:

材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+l.

解：将“x+y”看成整体，令x+y=a,刚

原式—u+2a+1—(a+1)?♦

再将还原，得原式=(x+y+l)2.

上述解题用到的是“整体思想”，这题数学解题中常用的一种思想方法，请你回答下列问题,

(1)因式分解：(x—y)2—4(x—y)+4=；

⑵因式分解：(x+y)(x+y-4)+4；

(3)请将(x+l)(x+2)(V+3x)+1化成某一个整式的平方.

26.(10分)在每个小正方形的边长为1的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系.

(1)在网格中画出耳G，使它与△ABC关于V轴对称；

(2)点A的对称点A的坐标为—；

(3)求△4与£的面积.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、C

【分析】根据负整数指数塞，逐个计算，即可解答.

【详解】A.a^-a1=—,正确，故本选项不符合题意；

a

B.(。一21=。6,正确，故本选项不符合题意；

C.cr+a3=a-+~,错误，故本选项符合题意；

a

D.,正确，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了负整数指数幕的运算.负整数指数为正整数指数的倒数.

2、B

【分析】先交换命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后根据等腰三角形的性质、对顶角的定义、等边三角形

的判定方法、线段的垂直平分线定理的逆定理对四个逆命题进行判断.

【详解】解：A、有两个角相等的三角形是等腰三角形的逆命题为等腰三角形的两底角相等，此逆命题为真命题；

B、对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；

C、等边三角形的三个内角相等的逆命题为三个内角相等的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题；

D、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题为到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，此逆

命题为真命题.

故选：B.

【点睛】

本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确

性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

3、A

【分析】①由人=2。+工。可得4a-lb+c=0,当x=-l时，4a-lb+c=0成立，即可判定；②运用一元二次方程根的判别式

2

求出k的范围进行比较即可判定；③设这个多边形的边数为n,根据多边形内角和定理求得n即可判定；④分剪刀所

剪的直线过多边形一个顶点、两个顶点和不过顶点三种剪法进行判定即可.

【详解】解：①b=la+；c,则4a-lb+c=0,

一元二次方程依2+法+。=o必有一个根为」.故①说法正确；

②：（左—2）/+扃&+1=0有两实数根，

:原方程是一元二次方程.

:.k-2手Ok手2,故②说法错误;

③设这个多边形的边数为n,

n（n-3\

贝!）-------=

2

解得n=ll或0（舍去）

:这个多边形是11边形.

:这个多边形的内角和为：

(11-1)X180°=9X180O=1610°.

故③说法正确；

一个多边形剪去一个角的剪法有过多边形一个顶点、两个顶点和不过顶点三种剪法，会有三个结果，故④错.

故选：A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解和根的判别式以及多边形内角和定理，灵活应用所学知识是正确解答本题的关键.

4、A

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意.

故选A.

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

5、A

【分析】首先证明NAOB=60。，NCBE=30。，求出CE,EB即可解决问题.

VA（2,2出），

/.OB=2,AB=23

ARtAABO中，tan/AOB=巫=,

2

.,.ZAOB=60°,

XVACBD是由△ABO绕点B逆时针旋转60。得到,

；.BC=AB=25

ZCBE=30°,

/.CE=1-BC=73,BE=7^EC=3,

；.OE=L

点C的坐标为（-1,6），

故选：A.

【点睛】

此题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟知正切的性质.

6、D

【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质及全等三角形的判定即可确定正确的结论.

【详解】,：AB=AC,AE是△ABC的角平分线，

.♦.AE垂直平分BC,

.,.故A正确.

垂直平分BC,

：.BE=CE,ZBED=ZCED.

,:DE=DE,

:.ABED"4CED,故B正确；

是△△3c的角平分线，

：.ZBAD=ZCAD.

'：AB=AC,AD=AD,

：.ABAD^ACAD,故C正确；

•.•点。为AE上的任一点，

二ZABD=ZDBE不正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，属于等腰三角形的基础题，比较简单.

7、C

【解析】分析：连接CD，，BDS过点D作D，GJ_BC于点G,进而得出AABD，名△CBD。于是得到

ZD,BG=45°,DrG=GB,进而利用勾股定理求出点D，到BC边的距离.

详解：连接CD，，BD，，过点D，作DCBC于点G,

E

VAC垂直平分线EDS

.,.AE=AD，，CE=CD，，

,,

VAE=EC,.*.AD=CD=4A/3,

在AABD，和ACBD，中，

AB=BCBD=BDAD,=CD,,

.,.△ABD,^ACBD,(SSS),

...ND，BG=45。，

，D，G=GB,

设D，G长为xcm,则CG长为(6a-x)cm,

在RtAGDC中

x2+(672-x)2=(4白)2,

解得：xi=3j^-6,X2=3^/2+6(舍去)，

.•.点D，到BC边的距离为(372-6)cm.

故选C.

点睛：此题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质和锐角三角函数关系以及等边三角形的判定与性质等知

识，利用垂直平分线的性质得出点E,D，关于直线AC对称是解题关键.

8、B

【分析】已知等式利用题中的新定义分类讨论，计算即可求出工的值.

nX

【详解】当5Vx时，5九二——,即：——二2

b-ax-5

解得：x=10；

经检验x=10是分式方程的解；

当5>x时，5)x=—,即!=2,

a-b5-x

解得：x=—；

2

经检验x=2是分式方程的解；

2

故答案为：2或io

2

故选：B

【点睛】

本题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意检验.

9、C

【分析】根据勾股定理，先计算出能通过的最大距离，然后和题中数据相比较即可.

【详解】解：如图，由勾股定理可得：

EF=y]OF2+OE2=J4+2.25=2.5,

所以此门通过的木板最长为2.5m,

所以木板的长和宽中必须有一个数据小于2.5米.所以选③号木板.

故选C.

【点睛】

本题考查的是勾股定理的实际应用，掌握勾股定理的应用，理解题意是解题的关键.

10、D

【分析】根据题意，作点P关于OA、OB的对称点E、D,连接DE,与OA相交于点M,与OB相交于点N,则此

时APMN周长的最小值是线段DE的长度，连接OD、OE,由NAO5=10。，得到NDOE=60。，由垂直平分线的性

质，得至I]OD=OE=OP=1,则AODE是等边三角形，即可得到DE的长度.

【详解】解：如图：作点P关于OA、OB的对称点E、D,连接DE,与OA相交于点M,与OB相交于点N,则此

时APMN周长的最小值是线段DE的长度，连接OD、OE,

由垂直平分线的性质，得DN=PN,MP=ME,OD=OE=OP=1,

PMN周长的最小值是：PN+PM+MN=DN+MN+ME=DE,

由垂直平分线的性质，得NDON=NPON,ZPOM=ZEOM,

/.ZDOE=ZDOP+ZEOP=2(ZPON+ZPOM)=2ZMON=60°,

.,.△ODE是等边三角形，

.".DE=OD=OE=1,

PMN周长的最小值是：PN+PM+MN=DE=1；

故选：D.

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定，垂直平分线的性质，轴对称的性质，以及最短路径问题，解题的关键是正确作出辅助

线，确定点M、N的位置，使得△PMN周长的最小.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、方差

【分析】设原数据的众数为a、中位数为b、平均数为最、方差为S2,数据个数为n,根据数据中的每一个数都加上1,

利用众数、中位数的定义，平均数、方差的公式分别求出新数据的众数、中位数、平均数、方差，与原数据比较即可

得答案.

【详解】设原数据的众数为a、中位数为b、平均数为最、方差为S2,数据个数为n,

•.•将一组数据中的每一个数都加上1,

•••新的数据的众数为a+1,

中位数为b+1,

1_

平均数为一(X1+X2+…+Xn+n)=x+l,

n

1_

方差=—[(xi+Lx-1)2+(X+1--l)2+...+(x+l-x-1)2]=S2,

n2xn

.•.值保持不变的是方差，

故答案为：方差

【点睛】

本题考查的知识点众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握方差和平均数的计算公式是解答本题的关键.

12、有两个角相等的三角形是等腰三角形

【分析】根据逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件写出即可.

【详解】•••原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，二命题“等腰三角形的两

个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”.

故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.

【点睛】

本题考查命题与逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个

命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.

13、±1

【分析】利用完全平方公式的结构特征可确定出m的值.

【详解】解：•••多项式％2+〃氏+16=/+〃,+42是一个完全平方式，

.♦.m=±2xlx4,即m=±l,

故答案为：±1.

【点睛】

此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键.

14、-1

【分析】设2018=。,把原式化为2019x2017—2018?=(。+1)9-1)一片，从而可得答案.

【详解】解：设2018=。，

2019x2017-20182=(a+l)(tz-l)-a2

二一］一〃2

=-1,

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，掌握平方差公式是解题的关键.

15>3xy

【解析】试题解析：根据题意，#-3xy(4y-2x-l)=-12xy2+6x2y+3xy.

故答案为3犯.

16>-1

Q1—11—(J1+1

【分析】设。为负整数，将代入得—将工=-一代入得-4^，故此可知当*互为负倒数时，两分式的和

a'+laa~+1

为0,然后求得分式的值即可.

2-l

【详解】解：・・•将时，代入得a

a2+l

1(_-)2-1工十]

将无=时，代入得：T=_2~7~9

a(-与2+]a+1

a

A£1+^±1^0,即当X互为负倒数时，两分式的和为0,

a+1ci+1

当尤=0时，代入占1=一1

02+1

故互为负倒数的相加全为0,只有x=0时为-1.

...所有结果相加为-1.

故答案为：-1.

【点睛】

本题主要考查的是数字的变化规律和分式的加减，发现当X的值互为负倒数时，两分式的和为0是解题的关键.

17、135°

【分析】本题考查的是平行四边形的性质和等腰三角形的性质解决问题即可.

【详解】•・•四边形ABCD是平行四边形，

AAD=BC,AD//BC,

AZADC+ZBCD=180o,

•••△CDE是等腰直角三角形，

AZEDC=ZECD=45°,

贝(1NADE+NBCE=NADC+NBCD-NEDCNECD=9O。，

VAD=DE,

Z.ZDEA=ZDAE=—(180°-ZADE),

2

VCE=AD=BC,

/.ZCEB=ZCBE=—(180°-ZBCE),

2

AZDEA+ZCEB=—(360°-ZADE-ZBCE)=—x270°=135°

22

:.ZAEB=360°-ZDEC-ZDEA-ZCEB=360o-90o-135o=135°

故答案为：135。.

18、1

【解析】试题解析：平方根和它的立方根相等的数是1.

三、解答题(共66分)

19、(1)y=—x+-；(2)C点坐标为(一°,0),D点坐标为(0,-),(3)—.

33432

【解析】分析：(D先把A点和B点坐标代入y=kx+b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得

到一次函数的解析式；

45_

(2)令x=0,y=0,代入y=1X+§即可确定C、D点坐标；

(3)根据三角形面积公式和AAOB的面积=SAAOD+SABOD进行计算即可.

详解：(1)把A(-2,-1),B(1,3)代入y=kx+b得

-2k+b=-1

k+b=3

3

解得，

b=-

[3

45

所以一次函数解析式为y=yx+-;

455

(2)令y=0,贝!]0=—x+—,解得x=--,

334

所以C点的坐标为0),

4

455

把x=0代入y=]X+]得y=g,

所以D点坐标为(0,-),

3

(3)AAOB的面积=SAAOD+S^BOD

1515

=­x—x2+—x—xl

2323

_5_

=•

2

点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式：①先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设

y=kx+b；②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解

方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式.

20、(1)C；(2)没有考虑a=b的情况；(3)4ABC是等腰三角形或直角三角形.

【解析】(1)根据题目中的书写步骤可以解答本题；

(2)根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；

（3）根据题意可以写出正确的结论.

【详解】（1）由题目中的解答步骤可得,

错误步骤的代号为：C,

故答案为C；

（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况,

故答案为没有考虑a=b的情况;

（3）本题正确的结论为：AABC是等腰三角形或直角三角形,

故答案为AABC是等腰三角形或直角三角形.

【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问

题要全面.

21、（1）二月份每辆车售价是900元；（2）每辆山地自行车的进价是600元.

【解析】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据数量=总价+单价，即可得出关

于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论;

（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价-进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论.

【详解】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元,

根据题意得：义喘=空2

元+100x

解得：x=900,

经检验，x=900是原分式方程的解,

答：二月份每辆车售价是900元;

（2）设每辆山地自行车的进价为y元,

根据题意得：900x(1-10%)-y=35%y,

解得：y=600,

答：每辆山地自行车的进价是600元.

【点睛】

本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.

22、（1）不是，理由见解析；（2）见解析.

【分析】（1）根据“续积数”的定义，只要将224分解因数，看能否等于4个连续的正整数之积即可;

（2）由于M是“续积数”，可设M=a（a+l）（a+2）（a+3）,然后只要将M+1分解因式为一个多项式的完全平方即

可，注意把/+3。看作一个整体.

【详解】解：（1）V224=1x4x7x8,不是4个连续正整数之积，.•.224不是“续积数”；

(2)证明：•••"是"续积数”，可设M=a(a+l)(a+2)(a+3),

贝[]M+1=a(a+l)(a+2)(a+3)+1

=(a?+3a)(a?+3a+2)+1

=(a?+3a)+2(矿+3a)+1

=(a,+3a+l)•

即M+l是多项式a2+3a+l的平方.

【点睛】

本题是新定义型试题，主要考查了对“续积数”的理解和多项式的因式分解，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方

法是解题的关键.

23、(1)BE=8-2"(2)证明见解析；(3)屈+5+3斤.

【分析】(1)先求出DE=AD=4,最后用勾股定理即可得出结论；

(2)先判断出NBMD=90。，再判断出△ADM之Z\BCM得出NAMD=NBMC,即可得出结论；

(3)由于BM和PQ是定值，只要BP+QM最小，利用对称确定出MG，就是BP+QM的最小值，最后利用勾股定理

即可得出结论.

【详解】解：(1)如图1中，•••四边形ABCD是矩形，

.*.NC=90°,CD=AB=6,AD=BC=8,

ADE=AD=8,

在R3CDE中，CE=7DE2-CD2=V82-62=277»

.,.BE=BC-CE=8-2V7;

(2)如图2,连接BM,

•••点M是DE的中点，

•\DM=EM,

；BD=BE,

.\BM_LDE,

.•.ZBMD=90°,

•点M是RtACDE的斜边的中点，

.•.DM=CM,

/.ZCDM=ZDCM,

NADM=NBCM

在4人口乂和小BCM中，

AD=BC

<ZADM=ZBCM,

DM=CM

.,.△ADM^ABCM(SAS),

.*.ZAMD=ZBMC,

:.NAMC=NAMB+NBMC=NAMB+NAMD=NBMD=90。，

.*.AM±CM；

(3)如图3中，过点Q作QG〃BP交BC于G,作点G关于AD的对称点GT连接QGT当点G=Q,M在同一条

线上时，QM+BP最小，而PQ和BM是定值，

此时，四边形PBMQ周长最小，

VQGZ/PB,PQ/7BG,

二四边形BPQG是平行四边形，

/.QG=BP,BG=PQ=5,

；.CG=