2024高考数学一轮复习讲义+练习：二次函数与一元二次方程、不等式一（解析版）

专题8二次函数与一元二次方程、不等式（1）

题型一解含有参数的一元二次不等式

1.已知不等式ax2-3x+2>0的解集为｛小<1或%>。｝

（1）求。、b；

（2）解关于x的不等式〃—+（ac+b）x+bc<0.

【答案】（1）2,（2）见解析

【解析】（1）由题意知。>0且1,b是方程依2一3%+2=0的根,

l+b=-

所以,“，解得"=1，b=2.

b=—

.a

（2）不等式可化为无2+（c+2）x+2c>0,即（尤+c）（尤+2）>0.

当2,即c>2时，不等式的解集为｛尤|-c<x<—2｝,

当-c=-2,即c=2时，不等式的解集为｛x|xw-2｝,

当-c>-2,即c<2时，不等式的解集为｛xl-2〈尤〈-c｝.

2.已知函数/（x）=必-5ax+6a2（。eR）.

（1）解关于x的不等式/（尤）<0；

（2）若关于％的不等式，（元）22。的解集为4或尤41｝,求实数。的值.

【答案】（1）①当。=0时，不等式的解集为0；

②当。>0时，由3。>2。，则不等式的解集为（2a,3a）；

③当。<0时，由3a<2“，则不等式的解集为（3a,2a）；

（2）a=l

【解析】（1）不等式可化为：（x-2a）（x—3。）<0.

①当。=0时，不等式的解集为0；

②当。>0时，由3。>2。，则不等式的解集为（2a,3a）；

③当q<0时，由3a<2a,则不等式的解集为（3a,2a）；

(2)不等/(x)N2a可化为：X2-5ax+6a2-2a>0.

由不等式/（x）22a的解集为｛x|x24或xV1｝可知，1和4是方程£一5分+—2“=0的两根.

5a=1+4

故有解得4=1.

6a2-2a=1x4

由〃=1时方程为了2—5x+4=0的根为1或4,则实数"的值为1.

3.已知以2一（。+1）工+1<（）,求不等式的解集.

【答案】见解析

【解析】当a=0时，不等式化为T+1V0,则不等式的解集为

当awO时，不等式可因式分解为。（尤-、（无-1）<0

当”0时，不等式可化为则不等式的解集为｛x|x>l或无<4｝；

aa

当“=1时，不等式可化为（x-l）2<0,则不等式的解集为九

当。>1时，不等式可化为（X-工则不等式的解集为｛x[L<x<l｝；

aa

当0<。<1时，不等式可化为（x-3（x-l）<0,则不等式的解集为｛x|l<x<L

aa

题型二由一元二次不等式的解确定参数

1.不等式以2—Zu+c>0的解集为｛刈-2<%<1｝,则函数>=以2+法+。的图像大致为（）

【解析】•••不等式o^+bx+oO的解集为｛x|-2<x<l｝,

-2+1」

ab=-a

-2xl=-c=-2a,

a

a<Q

。<0

y=ax2+bx+c=ax2-ax—2a=a(x2-x-2),图象开口向下，两个零点为2,-1.

故选：C.

X2-x-2>Q

2.若不等式组的整数解只有一2,则上的取值范围是

2%2+(5+2k)x+5k<0

【答案】-3少<2

【解析】不等式/一天一2>0的解集为（2,y）,

不等式2x?+（2左+5）x+5左<0可转化为：（x+左）（2x+5）<0,

根据已知条件不等式组的整数解只有-2,

不等式2/+(2左+5)彳+5左<0的解集为<一左

再借助数轴可得上的取值范围为-2〈-左<3,解得-3"<2,

3.设函数/(%)=加+(♦-2)x+3(aw0).

(1)若不等式/(力>。的解集(Tl),求。，6的值；

(2)若/(1)=2,

14

①a>0,b>0,求一+7的最小值；

ab

②若/(">1在R上恒成立，求实数。的取值范围.

伍=一3

【答案】⑴]C；(2)①9；②3-2后<〃<3+2后.

【解析】(1)由已知可得，G：2+U_2)X+3=0的两根是—1,1

^^=-1+1=0

a=-3

所以a，解得

b=2

-=(-l)xl=-l

、a

(2)①/(l)=a+Z?—2+3=2=>a+b=l

144lJ。4aLe

—l—=+a++——+5>2J—xF5=9

ablb1uab

〃

当2b=《4时等号成立,

ab

19

因为a+b=l,a>0,b>0,解得〃=§,匕=§时等号成立,

14

此时±+；的最小值是9.

ab

②cu3+(/?—2)x+3>1=>cu3+(/?—2)%+2>0在R上f旦成立,

[a>G/、2

•"△<0="一2)一8。<。，

又因为Q+b=l代入上式可得(a+l)2-8〃<0=/一6々+1V。

解得：3-2&<〃<3+2后.

4.若关于1的不等式(1—a)x2—4x+6<0的解集是{x|x<—3或x>1}.

(1)求实数〃的值；

(2)解关于1的不等式2x?+(2—a)x—a>0.

【答案】(1)3(2)卜尔一1或81]

【解析】(1)由题意，知1—a<0且一3和1是方程(1—a)x?—4x+6=0的两根,

l-a<0

解得a=3.

(2)由(1)得不等式2x?+(2—a)x—a>0即为2x2—x—3>0,

解得X<—1或x>g.所求不等式的解集为1x|或.

5.关于了的不等式〃解一2元+利<0,其中优为大于0的常数.

(1)若不等式的解集为0,求实数小的取值范围；

(2)若不等式的解集为A,且A中恰好含有三个整数，求实数，"的取值范围.

Q3

【答案】(1)m>7；(2)—<m<-

175

【解析】(1)由题意得一元二次不等式对应方程的判别式A=4-4/K0,

结合相>0,解得根21.

(2)由题意得一元二次不等式对应方程的判别式/=4-4毋>0,解得-1V小vl.

又加>0,所以0<机<1.

^f(x)=mx2-2x+m,其对称轴为％=’.

m

注意至U/(l)=2m-2<0,/(0)=m>Q,对称轴x=—>1,

m

所以不等式如2_2x+相v0解集A中恰好有三个整数只能是1、2、3,

/(2)=5m-4<0

Qq

此时A中恰好含有三个整数等价于：/⑶=10*6<0,解得皆<加<：.

,(4)=17*820'

题型三一元二次方程根的分布问题

1.若实数。，/为方程一2如+根+6=0的两根，则(。-1)2+(2-1)2的最小值为()

49

A.8B.14C.-14D.——

4

【答案】A

【解析】A=(-2m)2-4(m+6)..0,

/.m2-m-6..O,「.帆..3或图,-2.

(Q—1尸+(/7—1尸=a2+p2+(3)+2=(a+j3)2--2aB一2(a+4)+2=(2m)2

49

-2(m+6)-2(2m)+2=4m2-6m-10=--

V

机.3或列，-2,且3离对称轴更近，

当%=3时，(a-1)?+(£-1)?取得最小值8.

故选：A.

2.若关于1的方程/+(m-1)%+/-2=0的一个实根小于—1,另一个实根大于1,则实数用的取值范

围是()

A.1m|-2<m<21B.1m|—2<m<01

C.1m|—2<m<11D.^m|0<m<11

【答案】D

【解析】令y=f+(a—1)%+机2_2,作出函数大致的图象如图所示,

.由图象知，当％=-1时；y=m2-m＜0,解得0＜相＜1；

2

当％=1时，y=m+m-2＜0f解得一2＜〃z＜l.

综上可得，0＜用＜1,故选D.

3.已知关于元的方程无2+(相-3)尤+m=0,下列结论正确的是()

A.方程/+(根-3卜+%=0有实数根的充要条件是用£｛同加＜1,或加＞9｝

B.方程尤2+(m-3)x+相=。有一正一负根的充要条件是相£｛时机＜。｝

C.方程尤?+(m-3)x+相=。有两正实数根的充要条件是机£｛司0＜机01｝

D.方程/+(m-3卜+根=。无实数根的必要条件是根直同根＞1｝

E.当根=3时，方程的两实数根之和为0

【答案】BCD

【解析】在A中，由A=(m—3)2一4功N0得加£1或加29,故A错误；

在8中，当％=0时，函数y=f+(加-3卜+机的值为加，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件

是机w｛司机＜0｝,故S正确；

A=(m-3)2-4m>0,

在C中，由题意得＜3-m>0,解得0<m41,故C正确；

m>0,

在D中，由A=(〃L3)2-4〃?<0得1<〃?<9,又{〃巾<m<9}a{冲w>l},故Z)正确;

在E中，当m=3时,方程为f+3=0,无实数根，故E错误.

故选：BCD.

4.若方程上/-(2k+3)》+4k+2=0的根满足下列条件，分别求出实数上的取值范围.

(1)方程两实根均大于1；

(2)方程有一根比1大，一根比1小.

【答案】(1)(2)

363

【解析】设x=t+l,原方程可化为％产-3f+34-1=0,

A>0

(1)由题意，关于/的方程的两根均为正数，得卜+巧〉。，

印2〉0

32-4A:(3A:-l)>0

B|J<|>0,解得

k36

型>0

、k

故当[〈左《二工也时，原方程两实根均大于1;

36

(2)因为关于f的方程的两根为一正根和一负根，

[A>0[32-4^-1)>0

所以，,八，即3k—1八，解得0<k<q,

m<o—<o3

、k

故当。〈人<:时，原方程有一根比1大，一根比1小.

5.已知关于龙的一元二次方程/+(2俏-l)x+苏一3=0有实数根.

(1)求实数机的取值范围；

(2)当机=2时，方程的根为小%，求代数式(无：+2占)(%+4々+2)的值.

13

【答案】(1)m<—；(2)1.

4

【解析】(1)△=(2m-l)2-4xlx(m2-3)=4m2-4m+l-4m2+12=-4m+13

•・•原方程有实根，・•・△=Ym+1320

解得加(下

4

(2)当加二2时，方程为N+3x+l=0,

Xl+X2=-3,X1X2=1,

•・•方程的根为XI,X2,

/.xi2+3xi+l=0,%22+3X2+1=0,

(xi2+2xi)(X22+4X2+2)

=(X12+2为+X\-X\)(X22+3X2+JC2+2)

=(-1-X1)(-1+X2+2)

=（-1-X1）（垃+1）

=-X2-XiX2-l-Xl

=-X2-Xl-2

=3-2

=1.

题型四一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系

1.若关于X的不等式-炉+3―L0有解，则实数加的取值范围是

A.｛训小，一2或m.2｝B.2｝

C.｛切m<—2或m>2｝D.|m|-2<m<2|

【答案】A

【解析】因为关于工的不等式-炉+如_Lo有解，所以△=/—4.o,解得m.2或办，-2.

故选A.

2.已知函数y二一+双+人（。>0）有且只有一个零点，则（）

A.

1

B.a29+->4

b

C.若不等式f+办-6<o的解集为（%<三），则为尤2>0

D.若不等式x2+ox+b<c的解集为｛x|xi<x<w｝（占<马），且上一%|=4,贝!Jc=4

【答案】ABD

【解析】因为,=/+办+6（a>0）有且只有一个零点，

故可得公=/一4方=0,即。2=46>0,

对A：〃-加W4等价于〃-46+420,显然（6-2y20,故A正确；

2

对8：a+l=4/7+->2.4/7X-I-=4,故5正确；

bb\b

对C：因为不等式炉+办_6<0的解集为（X],尤2）,

故可得芯％=-》<0,故C错误；

对。：因为不等式尤2+G+6<C的解集为（X],%）,且上-々|=4,

则方程x?+ox+b-c=0的两根为网，x2>

故可得+3）2=yja2—4（fo-c）=A/4C=2-Jc=4,

故可得c=4,故。正确.

故选：ABD.

3.己知函数y=（a，-1）尤2+（a+l）x+l

（1）若对任意x,有V>0,求实数。的取值范围；

（2）若y能取到不小于0的任意值，求实数”的取值范围.

【答案】(1){x[a<T或。；(2)ja

【解析】⑴当a2-1=0时，得。=±1

若。=1,y=2x+l>0不恒成立，不合题意；若。=-1,y=l>0恒成立，符合题意

—1>04

当/Two时，<22八，解得：或。>二

△二(〃+1)-4(〃-1)<0:

综上所述：”的取值范围为徊。4-1或

⑵当。2_1=0时，得。=±1

若。=1,y=2x+leR,符合题意；若。=-1,>=1,不合题意

—1>05

当/Two时，<,、,解得：1<〃工彳

A=(〃+l)2-4(a2-l)>03

综上所述：”的取值范围为{alWawg}

4.若关于x的不等式加+法+00的解集为{无卜3<x<4},求关于x的不等式法?+2依-c-3)<0的解

集.

【答案】卜-3<尤<5}

【解析】,•*ax2+bx+c>0的解集为{x|-3Vx<4},

/.。<0且-3和4是一元二次方程依2+bx+c=o的两根,

-3+4=--

ab=-a

解得

c=-12Q

-3x4=-

a

*,•不等式"2+2ax—c—3Z?<0可化为一ax?+2ax+\