专题02 破角与添角解答四大平行线模型讲义（解析版）

专题02破角与添角解答四大平行线模型讲义【模型一】二师兄的脚（猪蹄型）如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C；【破角】过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∴∠1=∠2，∠3=∠4【加】∴∠APC=∠2+∠3=∠1+∠4.【添角】连接AC，∵AB∥CD∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°，又∠2+∠3+∠APC=180°∴∠APC=∠1+∠4.②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD.过点P作PQ∥AB，∴∠1=∠2，∵∠APC=∠1+∠4=∠2+∠3∴∠3=∠4，∴PQ∥CD∴AB∥CD.【猪蹄变形记】已知：AB∥CD，结论：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3.【模型二】铅笔头如图，①已知：AB∥CD，结论：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；证法一：【破角】过点P作PQ∥AB则AB∥CD∥PQ∴∠BAP+∠APQ=180°，∠CPQ+∠PCD=180°【加】∴∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360°即∠PAB+∠APB+∠PCD=360°.证法二：连接AC，易知，∠1+∠4=180°，∠2+∠3+∠P=180°∴∠1+∠4+∠2+∠3+∠P=360°即∠PAB+∠APB+∠PCD=360°.②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，结论：AB∥CD.请同学们自己完成证明：【铅笔头变形记】已知：AB∥CD，结论：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.【模型三】拐弯型【类型一】如图，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3.证法一：【添角】过点P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ∴∠2+∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°∴∠1=∠2+∠3.证法二：延长AB交PD于Q，则∠2=∠4，∠1+∠5=180°，∠5+∠3+∠4=180°∴∠1=∠3+∠4=∠2+∠3.【类型二】如图，AB∥CD，结论：∠2=∠1+∠3.请同学们自行完成证明.【模型四】“5”字型如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.过P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ∴∠1+∠4=180°，∠4+∠5=∠3，∠5=∠2∴∠1+∠3－∠2=180°.【题型一】例1.（2021·山东青岛期末）如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（）（1）；（2）；（3）；（4）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B.【解析】解：过点E作EF∥AB，（1）无法判断；（2）∵AB//CD，AB//EF，∴EF//CD，∴∠AEF=70°，∠DEF=15°，∴∠AED=85°，正确；（3）由（2）得：∠A=∠CEF=∠CED+∠DEF，∠DEF=∠D∴∠A=∠CED+∠D，正确；（4）无法判断；故答案为：B．【变式1】如图，，，则，，之间的关系是（）

A． B．C． D．【答案】C.【解析】解：分别过C、D作AB的平行线CM和DN，

则AB∥CM∥DN∥EF∴∠α=∠BCM，∠DCM=∠CDN，∠NDE=∠γ而∠β=∠CDN+∠NDE=∠DCM+∠γ=90°－∠BCM+∠γ=90°－∠α+∠γ.即∠α+∠β－∠γ=90°，

故答案为：C．例2．（2020·浙江金华期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．

（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：过点E作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D.（2）∠E+∠B+∠D=360°，理由如下：过点E作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°∴∠B+∠3+∠4+∠D=360°即∠E+∠B+∠D=360°.（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：过点E，F，G作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD，则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.【变式2】（2021·山西八年级期末）综合与探究问题情境综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．（1）如图1，，点分别为直线上的一点，点为平行线间一点且，求度数；问题迁移（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交于点，直线分别交于点，点在射线上运动．①当点在（不与重合）两点之间运动时，设．则之间有何数量关系？②若点不在线段上运动时（点与点三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．【答案】（1）110°；（2）①∠CPD=α+β；②当P在BA延长线时，∠CPD=β－α；；当P在OB之间时，∠CPD=α－β.【解析】解：（1）过P作PG∥EF，则PG∥EF∥MN，∴∠PAF+∠GPA=180°，∠PBN+∠GPB=180°∴∠GPA=180°－130°=50°∠GPB=180°－∠PBN=60°∴∠APB=∠GPA+∠GPB=50°+60°=110°.（2）①∠CPD=∠α+∠β.②当P在BA延长线时，∠CPD=β－α.过P作PE∥AD交AD于E，∵AD∥BC，∴∠DPE=α，∠CPE=β∴∠CPD=β－α.当P在OB之间时，∠CPD=α－β过P作PE∥AD交CD于E，同理，得：∠CPD=α－β.【变式3】（2020·河南新乡期末）把一块含60°角的直角三角尺放在两条平行线之间．（1）如图1，若三角形的60°角的顶点放在上，且，求的度数；（2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；（3）如图3，若把三角尺的直角顶点放在上，30°角的顶点落在上，请直接写出与的数量关系．【答案】（1）40°；（2）∠AEF+∠FGC=90°；（3）∠AEG+∠CFG=300°.【解析】解：(1)∵AB∥CD，∴∠1=∠EGD，∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠2=2∠1，∴2∠1+60°+∠1=180°，∴∠1=40°；(2)过点F作FP∥AB，∵CD∥AB，∴FP∥AB∥CD，∴∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠GFP.∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG，∵∠EFG=90°，∴∠AEF+∠FGC=90°；(3)∠AEG+∠CFG=300°，理由如下：∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，即∠AEG−30°+∠CFG−90°=180°，整理得：∠AEG+∠CFG=300°．【题型二】例1．（2021·福建泉州期末）问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．经过讨论形成的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．（1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出∠APC的度数；（2）问题迁移：如图3，∥，点在、两点之间运动时，，．请你判断、、之间有何数量关系？并说明理由；（3）拓展应用：如图4，已知两条直线∥，点在两平行线之间，且的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，求的度数．【答案】（1）110°；（2）∠CPD＝α＋β，见解析；（3）360°.【解析】解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD．∴∠A＋∠APE＝180°，∠C＋∠CPE＝180°∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝110°．（2）∠CPD＝α＋β，理由如下：过P作PE∥AD交CD于E．∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠DPE＝α，∠CPE＝β，∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝α＋β．（3）由（1）可得，∠P+∠BEP+∠DFP=360°又∵QE平分∠PEB，QF平分∠PFQ∴∠BEP=2∠BEQ，∠DFP=2∠DFQ∴∠P+2∠Q=∠P+2（∠BEQ+∠DFQ）=∠P+∠BEP+∠DFP=360°.例2．（2020·陕西省西安月考）下列各图中的MA1与NAn平行．（1）图①中的∠A1+∠A2=度，图②中的∠A1+∠A2+∠A3=度，图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=度，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=度，…，第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=度（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=．【答案】（1）180；360；540；720；1620；（2）180°（n﹣1）．【解析】解：（1）∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2=180°，如图，分别过A2、A3、A4作MA1的平行线，图②中的∠A1+∠A2+∠A3=360°，图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720°，…，第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=1620°；（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=180°（n﹣1）．故答案为180，360，540，720，1620；180°（n﹣1）．【变式1】．（2020·洛阳市期中）已知：如图1，，．（1）判断图中平行的直线，并给予证明；（2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明．【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，见解析；（2）∠P=3∠Q，见解析．【解析】解：（1）AB∥CD，EF∥HL，∵∠1=∠AMN，∴∠1+∠2=180°，

∴∠AMN+∠2=180°，

∴AB∥CD；

延长EF交CD于F1，

∵AB∥CD，

∴∠AEF=∠EF1L，∵∠AEF=∠HLN，∴∠EF1L=∠HLN，

∴EF∥HL；

（2）∠P=3∠Q，由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，

∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，

∴∠RQN=∠QND，

∴∠MQN=∠QMB+∠QND，

∵AB∥CD，PL∥AB，

∴AB∥CD∥PL，

∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，

∴∠MPN=∠PMB+∠PND，

∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，

∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，

∴∠MPN=3∠MQN，

即∠P=3∠Q.【变式2】．（2020·莆田月考）AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC＝80°．（1）若∠ABC＝50°，求∠BED的度数；（2）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC＝120°，求∠BED的度数．【答案】（1）65°；（2）160°.【解析】解：(1)过E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠ABC＝25°，∠EDC＝∠ADC＝40°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∵∠BEF＝∠ABE＝25°，∠FED＝∠EDC＝40°，∴∠BED＝25°+40°＝65°；(2)过E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠ABC＝60°，∠EDC＝∠ADC＝40°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∵∠BEF＝180°﹣∠ABE＝120°，∠FED＝∠EDC＝40°，∴∠BED＝120°+40°＝160°．【变式3】．（2020·佛山顺德区月考）问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足关系．（直接写出结论）问题情境2如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；（2）如图5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝．【答案】问题情境1：∠B+∠BPD+∠D＝360°，∠P＝∠B+∠D；（1）140°；（2）∠E+∠M＝60°（3）.【解析】（1）∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝80°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∴∠EBF+∠EDF＝140°，∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；（2）∠E+∠M＝60°，理由是：设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，即∠E＝60﹣x﹣y，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，∴∠E+∠M＝60°；（3）设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝360°，∴x+y＝，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，∴∠M＝；故答案为：∠M＝．【题型三】例1.（2020·余干县期末）如图1，ADBC，的平分线交BC于点G，．（1）求证：；（2）如图2，若，的平分线交于点E，交射线GA于点F，的度数．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】解：（1）∵DA∥BC∴∠DAG=∠AGB∵AC平分∠BAD∴∠BAG=∠DAG∴∠BAG=∠AGB.（2）∵∠ABC=50°∴∠BGA=∠BAG=65°，∴∠AGC=115°∵CE平分∠DCB∴∠ECB=45°，∴∠AFC=180°－∠AGC－∠ECB=20°.例2．（2020·忠县月考）如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；（4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．【答案】（1）见详解；（2）∠3＝∠2﹣∠1；（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．【解析】（1）证明：过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF，∴∠EPF＝∠1+∠2．（2）∠3＝∠2﹣∠1；过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，则：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF∵∠EPF＝∠QPF﹣∠QPE，∴∠EPF＝∠2﹣∠1．（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，∴∠EPQ+∠1＝180°，∠FPQ+∠2＝180°，∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ；∴∠EPQ+∠FPQ+∠1+∠2＝360°，即∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）点P在线段DC延长线上运动时，∠3＝∠1﹣∠2．过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；∵∠QPE﹣∠QPF=∠EPF；∴∠3＝∠1﹣∠2．【变式】．（2020·福建三明期中）一、问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动．二、操作发现：（1）如图1，小明把三角尺的角的顶点G放在CD上，若，求的度数；（2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明与之间的数量关系；三、结论应用：（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，角的顶点E落在AB上．若，求的度数用含的式子表示．图1图2图3【答案】（1）40°；（2）∠AEF+∠FGC=90°；（3）∠CFG=60°－α.【解析】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1=∠EGD．又∵∠2=2∠1，∴∠2=2∠EGD．又∵∠FGE=60°，∴∠EGD=（180°﹣60°）=40°，∴∠1=40°；（2）∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE=180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180°．又∵∠FEG+∠EGF=90°，∴∠AEF+∠FGC=90°；（3）∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC=180°．又∵∠GFE=90°，∠GEF=30°，∠AEG=α，∴∠GFC=180°﹣90°﹣30°﹣α=60°﹣α．【题型四】例1．（2020·江苏淮安期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠3－∠2的度数等于__________．【答案】180°.【解析】解：∵AB∥CD∴∠1=∠EFD∵∠2+∠EFC=∠3，∠EFD=180°－∠EFC∴∠1+∠3－∠2=180°故答案为：180°.例2．（2020·湖北咸宁市期末）（感知）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、BE，试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC；（探究）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°；（应用）点E、F、G在直线AB与CD之间，连结AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.【答案】【感知】见解析；【探究】∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°；【应用】396°.【解析】解：【感知】过E点作EF//AB∵AB//CD∴EF//CD∵AB//CD∴∠BAE=∠AEF∵EF//CD∴∠CEF=∠DCE∴∠BAE+∠DCE=∠AEC.【探究】过E点作AB//EG.∵AB//CD∴EG//CD∵AB//CD∴∠BAE+∠AEG=180°∵EG//CD∴∠CEG+∠DCE=180°∴∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°.【应用】过点F作FH∥AB.∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH=360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD=360°，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD=720°，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG=720°+36°，∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=720°-360°+36°=396°故答案为396°.【变式1】