易错07 整式中的规律探究问题（解析版）-【突破易错·冲刺满分】2021-2022学年七年级数学上册期末突破易错挑战满分（人教版）

【突破易错·冲刺满分】2021-2022学年七年级数学上册期末突破易错挑战满分（人教版）易错07整式中的规律探究问题【易错1例题】数字问题的规律探究问题1．（2020·浙江杭州·七年级期末）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；…青解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：______________．（2）用含有n的代数式表示第n个等式：______=_______（n为正整数）；（3）求的值．【答案】（1）；（2），；（3）【分析】（1）根据题目中的式子的特点，可以写出第五个等式；（2）根据题目中的式子的特点，可以写出第n个等式；（3）根据（2）中的结果，可以写出所求式子的值．【详解】解：（1）由题意可得，第5个等式：，故答案为：；（2），故答案为：，；（3）．【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值．【易错2例题】图形问题的规律探究问题2．（2020·浙江七年级期末）某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式：（1）对于方式一、方式二，4张桌子拼在一起分别可坐多少人？（2）对于方式一、方式二，张桌子拼在一起分别可坐多少人？（3）该餐厅有40张这样的长方形桌子，按方式一每5张拼成一张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？【答案】（1）方式一：18人，方式二：12人；（2）方式一：（4n+2）人，方式二：（2n+4）人；（3）176人【分析】（1）仔细观察图形并找到规律求解即可；（2）根据所得规律可列出代数式；（3）求出方式一中当n=5时，每张大桌的人数，再乘以8即可．【详解】解：（1）对于方式一，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人，4张桌子可以坐6+3×4=18人；对于方式二，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，4张桌子可以坐6+3×2=12人；（2）由题意可得：方式一：n张桌子时是6+4（n-1）=4n+2；方式二：n张桌子可以坐6+2（n-1）=2n+4；（3）由题意可得：当n=5时，4×5+2=22人，22×8=176人，∴40张桌子拼成8张大桌子可以坐176人．【点睛】本题考查了图形的变化规律，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题．【专题训练】选择题1．（2021·日照市新营中学七年级期中）观察下列各式数：−2x，4x2，−8x3，16x4，−32x5，…则第n个式子是()A．−2n−1xn B．(−2)n−1xn C．−2nxn D．(−2)nxn【答案】D【分析】观察各式：第一个：−2x；第二个：；第三个：；第四个：；由此发现规律，即可求解．【详解】解：第一个：−2x；第二个：；第三个：；第四个：；第n个式子：．故选：D．【点睛】本题主要考查了数字规律题，明确题意，准确找到规律是解题的关键．2．（2021·云南西双版纳·七年级期末）有一列按一定规律排列的式子：﹣3m，9m，﹣27m，81m，﹣243m，…，则第n个式子是（）A．（﹣3）nm B．（﹣3）n+1m C．3nm D．﹣3nm【答案】A【分析】根据观察，可发现规律：系数是（−3）n，字母因式均为m，可得答案．【详解】由﹣3m，9m，﹣27m，81m，﹣243m，…，得出规律：系数分别是（﹣3）1，（﹣3）2，（﹣3）3，（﹣3）4，（﹣3）5，…，字母因式均为m，∴第n个式子是（﹣3）nm；故选：A．【点睛】本题考查了单项式，观察式子发现规律是解题关键．3．（2021·河南周口市·七年级期中）如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案①需要10根小棒，图案②需要16根小棒，图案③需要22根小棒，技此规律摆下去，第图案需要小棒多少根？（）①，②，③，…A． B． C． D．【答案】D【分析】观察图案可知，每下一幅图案比前一幅图案多6根小棒，找出6与n的联系即可．【详解】解：如图可知，后一幅图总是比前一幅图多两个菱形，且多6根小棒，

图案（1）需要小棒：6×2−2＝10（根），

图案（2）需要小棒：6×3−2＝16（根），图案（3）需要小棒：6×4−2＝22（根），

则第n个图案需要小棒：根．

故选：D．【点睛】本题主要考查图形的变化规律：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．4．（2021·四川达州市·八年级期末）如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成…按照此规律，第20个图中正方形和等边三角形的个数之和为（）A．180 B．183 C．186 D．190【答案】B【分析】根据图形的变化规律可总结出第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为9n+3，即可得出．【详解】解：由题知，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，正方形和等边三角形的和为：6+6＝12＝9+3；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成，正方形和等边三角形的和为：11+10＝21＝9×2+3；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成，正方形和等边三角形的和为：16+14＝30＝9×3+3；…第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为9n+3，故第20个图中正方形和等边三角形的个数之和为9×20+3＝183，故选：B．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，归纳出第n个图中正方形和等边三角形的个数和为(9n+3)是解题的关键．二、填空题5．（2021·河南周口市·七年级期中）观察一组关于的单项式：，，，，…．按照排列规律，第个单项式是______．【答案】【分析】通过观察发现单项式的系数和次数的变化规律，

即可求解．【详解】解：观察发现：第一个单项式：第二个单项式：第三个单项式：第四个单项式：…第n个单项式：故答案为：．【点睛】本题考查了单项式的规律探索，解答的关键是仔细观察前几项单项式系数及次数的变化规律，总结出一般的规律．6．（2021·云南临沧市·八年级期末）观察下列一组代数式：a，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个代数式为___．【答案】．【分析】观察a，，，，…，的分母上的变化规律为1，3，5，7，9，..．第n个代数式的分母应是2n﹣1，分子上的变化规律为a，a2，a3，a4，a5，..．第n个代数式的分子应是an，由此即可得到答案.【详解】解：a，，，，…，的分母上的变化规律为1，3，5，7，9，..．∴第n个代数式的分母应是2n﹣1，分子上的变化规律为a，a2，a3，a4，a5，..．∴第n个代数式的分子应是an，∴第n个代数式是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了数字类的规律，解题的关键在于能够准确找到分子和分母所包含的规律.7．（2021·辽宁朝阳市·七年级期末）观察下列图形：第1个图形中一共有4个小圆圈，第2个图形中一共有10个小圆圈，第3个图形中一共有18个小圆圈…，按此规律排列，则第n个图形中小圆圈的个数是_________．【答案】n2+3n【分析】分两部分：上面部分是由小圆圈围成的三角形，下面部分是小圆圈围成的正方形，由此分别计算出前4个图形的小圆圈的个数，得到规律，即可得第n个图形中小圆圈的个数．【详解】观察图形得：第1个图形有12+3×1＝4个圆圈，第2个图形有22+3×2＝10个圆圈，第3个图形有32+3×3＝18个圆圈，第4个图形有42+3×4＝18个圆圈，…第n个图形有n2+3n个圆圈，故答案为：n2+3n．【点睛】本题规律性问题，主要考查用代数式表示图形类规律，学生分析问题、观察总结规律的能力，解题的关键是通过观察分析找出规律．8．（2021·山东七年级期末）如图是用棋子摆成的“H”，摆成第一个“H”需要7个棋子，第二个“H”需要棋子12个；按这样的规律摆下去，摆成第2021个“H”需要__个棋子．【答案】10107【分析】仔细观察图形的变化规律，找到题目变化的规律，然后代入求值即可．【详解】解：图形①用棋子的个数＝2×（2×1+1）+1；图形②用棋子的个数＝2×（2×2+1）+2；图形③用棋子的个数＝2×（2×3+1）+3；…由此得出规律：摆成第n个“H”字需要棋子的个数为摆成第2021个“H”字需要棋子的个数＝2×（2×2021+1）+2021＝10107（个）．故答案为：10107．【点睛】本题考查了图形的变化类问题，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力；本题的关键规律为各个图形中两竖行棋子的个数均为2n+1，横行棋子的个数为n．三、解答题9．（2021·浙江七年级期末）一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2＝，a3＝，…，an＝．（1）求a2，a3的值；（2）求a1+a2+a3+…+a2021的值．【答案】（1），；（2）1009【分析】（1）将代入计算可得，再将代入，可求出；（2）根据规律可得出结果．【详解】解：（1）把代入得，，把代入得，，∴，；（2）将代入得，同理，，，，，所以．【点睛】本题考查有理数的混合运算，探索数字的变化规律，正确的计算，，，进而得出变化规律是解决问题的关键．10．（2021·安徽合肥市五十中学新校九年级二模）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：______；（2）写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明．【答案】（1）3×42+4=4×（12+1）；（2）3×n2+n=n（3n+1），证明见解析【分析】（1）观察等式的左边第一数字均为3，第二个数字与等式的序号相同的数的平方，第三个数字也与等式序号相同，等号右边的第一个数字与等式序号相同，第二个数字是等式序号的3倍，第三个数字均为1，依此规律答案可得；（2）利用（1）中发现的规律可得结论，证明时通过运算说明左右相等即可．【详解】解：（1）第4个等式为：3×42+4=4×（12+1）．故答案为：3×42+4=4×（12+1）．（2）第n个等式为：3×n2+n=n（3n+1）．证明：∵右边=n（3n+1）=3n2+1，左边=3n2+1，∴左边=右边．∴等式成立．故答案为：3×n2+n=n（3n+1）．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，列代数式，准确找出数字的变化与序号的关系是解题的关键．11．（2020·吉林七年级期末）某展览馆选用规格为60×60cm2（边长为60cm的正方形）的黑白两种颜色的大理石地砖，按下图的方式铺设通向展厅的走廊地面．（1）依据上图规律，第个图形中需要黑色大理石地砖块；（2）铺设完毕后，施工人员发现整个走廊地面恰好是符合上图规律的一个完整图形，且用去的黑色大理石地砖是白色大理石地砖的，求走廊的长度．【答案】（1）1＋3n；（2）10.2米【分析】（1）结合图形，发现：第一个图中有4块黑色的正方形瓷砖，后边依次多3块黑色瓷砖；

（2）第n个图形中的大理石地板数量=5×（2n+1），由（1）可知其中的白色大理石的个数，根据白色大理石地砖是黑色人理石地砖的，求出n即可计算．【详解】解：（1）结合图形，得第一个图中有4块黑色的正方形瓷砖，后边依次多3块黑色瓷砖；

∴第n个图案有黑色瓷砖4+3（n-1）=3n+1（块），

故答案为：3n+1．（2）观察图形可知：第n个图形中的大理石地板数量=5×（2n+1），

∴白色大理石的个数=5（2n+1）-（3n+1）=7n+4．

∴，

解得：n=8．

∴走廊长度=（2n+1）×60cm=（2×8+1）×60cm=1020cm=10.2m．【点睛】【点睛】考查了规律型：图形的变化，此类题中要注意能够正确发现规律：在4的基础上，依次多3块黑色瓷砖，即第n个图案有黑色瓷砖4+3（n-1）=3n+1（块）．12．（2020·浙江杭州·七年级期末）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一系列图案，请仔观察，并回答下列问题：（1）第5个图案中有白色纸片多少张？（2）第n个图案中有白色纸片多少张？（3）第几个图案有白色纸片有2020张？（写出必要的步骤）【答案】（1）16张；（2）（3n+1）张；（3）673个【分析】（1）观察图形的变化可得第5个图案中有白色纸片有3×5+1=16张；（2）结合（1）即可得规律，第n个图案中有白色纸片（3n+1）张；（3）结合（2）发现的规律即可求得白色纸片有2020张是第几个图案．【详解】解：（1）观察图形的变化可知：第1个图案中有白色纸片张数为：3×1+1=4；第2个图案中有白色纸片张数为：3×2+1=7；第3个图案中有白色纸片张数为：3×3+1=10；第4个图案中有白色纸片张数为：3×4+1=13；第5个图案中有白色纸片张数为：3×5+1=16；（2）根据（1）发现规律：第n个图案中有白色纸片张数为：（3n+1）张．（3）根据（2）可知：3n+1=2020，解得n=673．答：第673个图案有白色纸片有2020张．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．13．（2021·石家庄市第四十四中学）如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，…，的小桶，其中任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等．（1）求的值．（2）若，则这些小桶内所放置的小球数之和是多少？（3）用含（为正整数）的代数式表示装有“3个球”的小桶序号．【答案】（1）；（2）这些小桶内所放置的小球数之和是105；（3）装有“3个球”的小桶序号为．【分析】（1）根据任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等即可求解；（2）根据任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等，先求出前28个小桶的和，再加上后两个球的个数即可；（3）根据第3,7,11…个小桶内“3个球”即可发现规律求解．【详解】（1）依题意可得5+2+3+4=3+4+x+y故（2）∵30÷4=7……2∴，则这些小桶内所放置的小球数之和是7×（5+2+3+4）+5+2=105；（3）∵任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等∴第3,7,11…个小桶内“3个球”故含（为正整数）的代数式表示装有“3个球”的小桶序号为3+4（n-1）=∴装有“3个球”的小桶序号为．【点睛】此题主要考查代数式的规律探索，解题的关键是根据题中任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等找到规律进行求解．14．（2021·河北七年级期末）下列是用火柴棒拼出的一列图形．仔细观察，找出规律，解答下列各题：（1）第4个图形中共有_______根火柴，第6个图形中共有_______根火柴；（2）第n个图形中共有_______根火柴（用含n的式子表示）；（3）请判断上组图形中前2021个图形火柴总数是2021的倍数吗？请说明理由．（参考：，例如求解）【答案】（1）17，25；（2）；（3）第2021个图形火柴总数是2021的倍数，理由见解析．【分析】（1）观察发现，每增加一个图案，火柴增加3根，从而得到规律，代入求解即可；（2）根据（1）中规律即可得到；（3）求出前2021个图形中火柴的总数即可求