专题1.3 二次根式的混合运算与化简求值（重点题专项讲练）（浙教版）（解析版）

专题1.3二次根式的混合运算与化简求值【典例1】若x=a-【思路点拨】先根据x=a-1a求出x的值，表示出（x+2）与（x2【解题过程】解：∵x=∴x＝a+1a∴x+2＝a+1∴x2+4x＝x（x+4）＝（a+1a-2）（a+1a+2）=(a∵x≥0，∴a≥∴a≥1，1a≤∴a-1a原式=(=(=(=[当a≥1原式=(a+1．（2021春•广西月考）在二次根式8，75，150，127，15中与A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】将二次根式进行化简，然后根据同类二次根式的概念进行判断．【解题过程】解：8=22，75=53，150∴75，127与3是同类二次根式，共2故选：B．2．（2020秋•平房区期末）若最简二次根式3a-b4a+3bA．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【思路点拨】根据题意得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．【解题过程】解：∵最简二次根式3a-b∴3a-b①×2+②得：7a＝7，解得：a＝1，把a＝1代入②得：1+2b＝3，解得：b＝1．故选：D．3．（2021春•浦东新区校级期中）设x、y都是负数，则x-A．(x-y)2 B．(-x-【思路点拨】根据x、y都是负数，可以将所求式子变形，然后即可化简题目中的式子，本题得以解决．【解题过程】解：∵x、y都是负数，∴x＝﹣（﹣x+2xy-y＝﹣（-x+-故选：D．4．（2021秋•南召县期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※3结果为（）A．33 B．-23 C．32【思路点拨】根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减．【解题过程】解：原式＝（﹣2）2×3-（﹣2）×＝43+23-＝33，故选：A．5．（2021•遵化市模拟）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（）A．8 B．19 C．67 D．230-【思路点拨】根据题意求出两个小正方形的边长，可得出大正方形的边长，进而得出答案．【解题过程】解：∵两个小正方形面积分别为12，10，∴两个小正方形的边长分别为23，10，∴两个小正方形重合部分的边长为23+∴两个小正方形的重合部分是正方形，∵两个小正方形重合部分的面积为3，∴重合部分的边长为3，∴大正方形的边长是23+∴空白部分的面积为（3+10）2﹣（12+10﹣3）＝230故选：D．6．（2021春•九龙坡区校级月考）已知x+y＝﹣5，xy＝4，则yxA．-52 B．52 C．±5【思路点拨】根据已知条件得出x、y同号，并且x、y都是负数，求出x＝﹣1，y＝﹣4或x＝﹣4，y＝﹣1，再求出答案即可．【解题过程】解：∵x+y＝﹣5，xy＝4，∴x、y同号，并且x、y都是负数，解得：x＝﹣1，y＝﹣4或x＝﹣4，y＝﹣1，当x＝﹣1，y＝﹣4时，y＝2+=5当x＝﹣4，y＝﹣1时，y=1=5则yx+x故选：B．7．（2021春•海淀区校级期末）已知x，y为实数，xy＝5，那么xyx+yA．5 B．25 C．±25 D．5【思路点拨】先化简所求式子，然后利用分类讨论的方法，可以求得所求式子的值．【解题过程】解：xyx+=x∵x，y为实数，xy＝5，∴x、y同号，当x＜0，y＜0时，原式=xxy-当x＞0，y＞0时，原式=xxyx由上可得，xyx+yxy故选：C．8．（2020•武昌区校级自主招生）已知x=12020-2019，则x6﹣22019x5﹣x4+x3﹣22020x2A．0 B．1 C．2019 D．2020【思路点拨】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．【解题过程】解：∵x=1∴x6﹣22019x5﹣x4+x3﹣22020x2+2x-＝x5（x﹣22019）﹣x4+x2（x﹣22020）+2x-＝x5（2020+2019-22019）﹣x4+x2（2020+2019-＝x5（2020-2019）﹣x4+x2（2019-2020＝x4[x（2020-2019）﹣1]+x2（2019-2020＝0+x（2020+2019）（2019-2020＝﹣x+2x-＝x-=2019故选：C．9．（2021秋•宽城县期末）（1）计算：(5（2）计算：125+9（3）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：92=9=3=3=9①以上化简步骤中第一步化简的依据是：；②第步开始出现错误，请写出错误的原因，该运算正确结果应是．【思路点拨】（1）利用平方差公式计算；（2）先把各二次根式化简，然后合并即可；（3）①第一步化简的依据为二次根式的除法法则；②第二步去括号错误，然后计算出正确的结果．【解题过程】解：（1）原式＝5﹣3+1＝3；（2）原式＝55+9×69＝55+＝55+5（3）①化简步骤中第一步化简的依据是商的算术平方根，等于算术平方根的商；故答案为：商的算术平方根，等于算术平方根的商；②第二步开始出现错误，请写出错误的原因括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；，该运算正确结果应是-33故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；-3310．（2021秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值：[xx+y-yy-x-2xyx-y]÷（【思路点拨】根据二次根式的化简求值即可求解．【解题过程】解：原式＝（xy-x-y-xy=-(y-x)=-(y-=-xy当x＝3，y＝2时，原式=-6答：原式的值为-611．（2020•杭州模拟）最简根式12(2x-y)x【思路点拨】根据同类根式的定义，即可推出12（2x﹣y）=12（y+6），x+y＝3x+y﹣2，通过解二元一次方程组即可推出x【解题过程】解：假设他们是同类根式，则：12解得x=1∵当x=1y=-2时，x+y＝﹣1，3x+y﹣2∴两根式皆无意义，∴假设错误，它们不能是同类根式．12．（2021秋•浦东新区校级月考）已知x＝3+22，求：x2【思路点拨】利用完全平方公式把原式变形，根据二次根式的除法法则求出1x【解题过程】解：原式＝x2+2+1x2+6（＝（x+1x）2+6（x+＝（x+1x+1）（x∵x＝3+22，∴1x=13+22∴x+1x=3+22+3﹣∴原式＝（6+1）×（6+5）＝77．13．（2021秋•雨花区校级期末）已知x＝3+7，y＝3-（1）x2+y2；（2）yx【思路点拨】（1）根据完全平方公式对原式进行变形，然后利用二次根式加减法和平方差公式求得x+y与xy的值，从而代入求值；（2）原式进行通分计算，然后利用整体思想代入求值．【解题过程】解：（1）原式＝（x+y）2﹣2xy，∵x＝3+7，y＝3-∴x+y＝（3+7）+（3-7）＝3+7+xy＝（3+7）（3-7）＝9﹣7＝∴原式＝62﹣2×2＝36﹣4＝32；（2）原式=y当xy＝2，x2+y2＝32时，原式=32214．（2021春•思明区校级期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S=p(p如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．（1）求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．【思路点拨】（1）根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；（2）按照三角形的面积等于12×底×高分别计算出h1和h【解题过程】解．（1）根据题意知p=a所以S=p(∴△ABC的面积为66；（2）∵S=12ch1=12bh∴12×6h1=12×5∴h1＝26，h2=∴h1+h2=2215．（2020秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）设a+2b＝（m+2n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+2b＝m2+2n2+2∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+2b请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+6b＝（m+6n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝（2）若a+43=（m+3n）2，且a、m、n均为正整数，求（3）化简：7-21+【思路点拨】（1）利用完全平方公式展开得到（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，从而可用m、n表示a、b（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【解题过程】解：（1）∵（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，a+6b＝（m+6n∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案为m2+6n2，2mn；（2）∵（m+3n）2＝m2+3n2+23mn，a+43=（m+3n∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均为正整数，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）21+80=20+45则7-=7-2=6-2=(=5-16．（2020秋•渝中区校级月考）先阅读，再解答问题：恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．例如：当x=3+1时，求12x3﹣x2﹣为解答这道题，若直接把x=3+方法：将条件变形，因x=3+1，得x﹣1由x﹣1=3，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x+2原式=12x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若x=2-1，求2x3+4x2﹣3x（2）已知x＝2+3，求x【思路点拨】（1）变形已知条件得到x+1=2，两边平方得到x2+2x＝1，再利用降次和整体代入的方法表示原式化为﹣x+1，然后把x（2）变形已知条件，利用平方的形式得到x2﹣4x＝﹣1或x2＝4x﹣1，再利用降次和整体代入的方法化简原式，从而得到原式的值．【解题过程】解：（1）∵x=2-∴x+1=2∴（x+1）2＝2，即x2+2x+1＝2，∴x2+2x＝1，∴原式＝2x（x2+2x）﹣3x+1＝2x﹣3x+1＝﹣x+1＝﹣（2-1）＝2-2（2）∵x＝2+3∴x﹣2=3∴（x﹣2）2＝3，即x2﹣4x+4＝3，∴x2﹣4x＝﹣1或x2＝4x﹣1，∴原式==12（16x2﹣8x+1﹣4x2+x﹣36x+9﹣5x=12[12（4x﹣1）﹣48x=12（48x﹣12﹣48x=1=317．（2020秋•成都期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=34解：将第二个方程，变形为4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5．然后把第一个方程，代入得2×3+y＝5，∴y＝﹣1．把y＝﹣1代入第一个方程，得x＝4．∴方程组的解为x=4请你解决下列两个问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组3x（2）已知正数x，y满足3x2-【思路点拨】（1）把第2个方程变形为3（3x﹣2y）+2y＝19，则利用整体代换消去x，求出y的值，然后利用代入法求出x得到方程组的解；（2）利用整体代换的方法把原方程组转化为方程组x+2y=5xy=2，再利用完全平方公式得到（【解题过程】解：（1）3x把②变形为9x﹣6y+2y＝19，即3（3x﹣2y）+2y＝19③．把①代入③，得3×5+2y＝19，∴y＝2．把y＝2代入①，得3x﹣2×2＝5，∴x＝3．∴方程组的解为x=3（2）3x把①变形为3x2+1.5xy+12y2﹣3.5xy＝47，即1.5（2x2+xy+8y2）﹣3.5xy＝47③．把②代