重难点05两种数学思想方法 -【寒假预习】2022-2023学年九年级数学核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（解析版）VIP

重难点05两种数学思想方法目录考点一：分类讨论思想考点二：数形结合思想【考点剖析】考点一：分类讨论思想一．填空题（共4小题）1．（2022•奉贤区二模）如图，在等边△ABC中，AB＝2，如果以BC为直径的⊙D和以A为圆心的⊙A相切，那么⊙A的半径r的值是3﹣或3+．【分析】分两圆外切和两圆内切两种情形讨论解答：利用相切时圆心距与利用半径的关系列出方程即可求解．【解答】解：连接AD，如图，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AC＝2，∠B＝60°．∵D为BC的中点，∴BD＝CD＝，AD⊥BC，∴⊙D的半径为，AD＝AB•sin60°＝3．①以BC为直径的⊙D和以A为圆心的⊙A相外切时，∴r+＝AD＝3，∴r＝3﹣．②以BC为直径的⊙D和以A为圆心的⊙A相内切时，∴r﹣＝AD＝3，∴r＝3+．综上，如果以BC为直径的⊙D和以A为圆心的⊙A相切，那么⊙A的半径r的值是3﹣或3+．故答案为：3﹣或3+．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，两圆相切的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．2．（2022春•徐汇区期末）定义：如果一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，把这条对角线称为“界线”，已知在“等腰四边形”ABCD中，AB＝BC＝AD，∠BAD＝90°，且AC为界线，则∠BCD的度数为135°或90°或45°．【分析】由AC是四边形ABCD的等腰线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图1，图2，图3三种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．【解答】解：∵AC是四边形ABCD的界线，∴△ACD是等腰三角形．∵AB＝AD＝BC，如图1，当AD＝AC时，∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC∴△ABC是正三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°．∵∠BAD＝90°，∴∠CAD＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝75°∴∠BCD＝60°+75°＝135°．如图2，当AD＝CD时，∴AB＝AD＝BC＝CD．∵∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°如图3，当AC＝CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，∵AC＝CD．CE⊥AD，∴AE＝AD，∠ACE＝∠DCE．∵∠BAD＝∠AEF＝∠BFE＝90°，∴四边形ABFE是矩形．∴BF＝AE．∵AB＝AD＝BC，∴BF＝BC，∴∠BCF＝30°．∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC．∵AB∥CE，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠ACB＝∠ACE＝∠BCF＝15°，∴∠BCD＝15°×3＝45°．综上，∠BCD的度数为135°或90°或45°．故答案为：135°或90°或45°．【点评】本题考查了“等腰四边形”的定义和性质的运用，“等腰四边形”的判定，等边三角形的性质和判定的运用，正方形的性质和判定的运用，30°的直角三角形的性质的运用．解答如图3这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键．3．（2022春•静安区校级期中）如图，线段AB两点的坐标分别为A（﹣4，0）、B（﹣2，﹣4），在x轴的下方存在点C，使以点A，B，C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标为（﹣6，﹣4）或（﹣，﹣）．【分析】存在两种情况，画出图形，根据A的坐标和全等三角形的性质求出即可；【解答】解：∵A（﹣4，0）、B（﹣2，﹣4），∴OB＝＝2，AB＝＝2，∴OB＝AB，当以点A，B，C为顶点的三角形与△ABO全等，存在两种情况：①△ABO≌△BAC，如图1，∴OA＝BC，AC＝BO，∴四边形ACBO是平行四边形，∵A（﹣4，0）、B（﹣2，﹣4），O（0，0），∴C（﹣6，﹣4）；②△ABO≌△ABC，如图2，连接OC交AB于P，过点P作PF⊥x轴于F，过点C作CE⊥x轴于E，∵AC＝AO，BC＝OB，∴AB是OC的垂直平分线，∴∠APO＝90°，∵S△ABO＝×4×4＝×2×OP，∴OP＝，由勾股定理得：AP＝＝＝，∵S△APO＝×4PF＝××，∴PF＝，∴OF＝＝＝，∵PF∥CE，OP＝PC，∴OE＝2OF＝，CE＝2PF＝，∴C的坐标是（﹣，﹣）；综合上述：C的坐标是（﹣6，﹣4）或（﹣，﹣）．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，坐标与图形性质，勾股定理，直角三角形的性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力，用了分类讨论思想，有一定的难度．4．（2020秋•普陀区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于12或3．【分析】根据题意可知，需要分两种情况，∠BDE＝90°，∠DBE＝90°，画出对应的图形，再根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可求解．【解答】解：①当∠BDE＝90°时，如图，此时，四边形ACDE是正方形，则CD＝DE＝AC＝6，又△BDE是等腰直角三角形，所以BD＝DE＝6，所以BC＝CD+BD＝12；②当∠DBE＝90°时，如图，设BD＝x，则BE＝x，DE＝x，由折叠可知，CD＝DE＝x，由题意可知，∠BDE＝∠DEB＝45°，∴∠CDE＝135°，∴∠CAE＝45°，即△ACF是等腰直角三角形，∴AC＝CF＝6，∠F＝45°，∴BE＝BF＝x，∴x+x+x＝6，解得x＝6﹣3，∴BC＝+x＝3．故答案为：12或3．【点评】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．二．解答题（共3小题）5．（2022春•长宁区校级期末）如图矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点P是边AD上一点，联结BP，过点P作PE⊥BP，交DC于E点，将△ABP沿直线PE翻折，点B落在点B′处，若△B′PD为等腰三角形，求AP的长．【分析】设AP＝x，则PD＝4﹣x，若△B'PD为等腰三角形，则需分以下三种情况进行讨论：①若B'P＝PD，即BP＝PD；根据BP＝PD列出方程即可解出；②若B'P＝B'D，过点B'作B'F⊥AD，交AD于点F，证明△ABP≌△FB'P（AAS），根据等腰三角形的性质得出PF＝DF＝（4﹣x），再结合全等三角形的性质得到AP＝PF，列出方程求解即可；③若PD＝B'D，在Rt△FB'D中运用勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：设AP＝x，则PD＝4﹣x，∵PE⊥BP，∴翻折后，PE⊥BB’，∵矩形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，∴BP＝＝，①若B'P＝PD即BP＝PD，∴＝4﹣x，解得：x＝；②若B'P＝B'D，过B'作B'F⊥AD于F，则PF＝DF＝（4﹣x），又∵B'P＝BP，∠A＝∠B'FP＝90°，∠APB＝∠B'PF，∴△ABP≌△FB'P（AAS），∴AP＝PF，即x＝（4﹣x），解得：x＝；③若PD＝B'D，同②可得△ABP≌△FB'P，∴PF＝AP＝x，B'F＝AB＝2，∴FD＝4﹣2x，PD＝B'D＝4﹣x，在Rt△FB'D中，B'D2＝B'F2+FD2，即（4﹣x）2＝（4﹣2x）2+22，整理，得：3x2﹣8x+4＝0，解得：x＝2或x＝，综上所述，AP的长为或或或2．【点评】本题考查了矩形与折叠的问题，涉及到了全等三角形和等腰三角形的判定与性质，解题的关键是通过数形结合思想，根据几何图形的性质列出方程，注意分类讨论思想的运用．6．（2022•松江区校级模拟）如图1，点C是半圆AB上一点（不与A、B重合），OD⊥BC交弧BC于点D，交弦BC于点E，连接AD交BC于点F．（1）如图1，如果AD＝BC，求∠ABC的大小；（2）如图2，如果AF：DF＝3：2，求∠ABC的正弦值；（3）连接OF，⊙O的直径为4，如果△DFO是等腰三角形，求AD的长．【分析】（1）连接OC，利用圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理解得即可；（2）连接AC，利用垂径定理和勾股定理解答即可；（3）利用分类讨论的思想方法，分①当DF＝OF时，②当DF＝OD＝2时两种情况解答：利用平行线分线段成比例定理，勾股定理解答即可．【解答】解：（1）连接OC，如图，∵AD＝BC，∴，∴∠AOD＝∠BOC．∴∠AOC＝∠BOD．∵OD⊥BC，∴∠COD＝∠BOD，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD．∵∠COD+∠BOD+∠AOC＝180°∴∠AOC＝60°．∴∠ABC＝∠AOC＝30°；（2）连接AC，如图，∵OD⊥BC，∴E是BC中点，∵OA＝OB，∴OE∥AC，AC＝2OE，∵AF：DF＝3：2，∴AC：DE＝AF：DF＝3：2．设AC＝3x，则DE＝2x，∴OE＝x，∴OD＝OB＝x．∴sin∠ABC＝OE：OB＝；（3）①当DF＝OF时，如图，∵FE⊥DO，∴DE＝OE＝OD＝1，∴AC＝2OE＝2，BE＝＝．∴CE＝BE＝．∴BC＝2BE＝2．∵OD∥AC，∴CF：EF＝AC：DE＝AF：DF＝2：1．∴EF＝CE＝．∴DF＝＝，∴AF＝2DF＝．∴AD＝AF+DF＝2；②当DF＝OD＝2时，如图，设OE＝x，则DE＝2﹣x，AC＝2x，∵OD∥AC，∴DF：AF＝DE：AC，∴AF＝．∴AD＝．过点O作OH⊥AD于H，则AD＝2DH．在△DHO和△DEF中，，∴△DHO≌△DEF（AAS）．∴DH＝DE，∴AD＝2DE，∴．解得：或（舍去），∴AD＝2DE＝﹣1．综上所述，AD长或2．【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2022春•金山区月考）已知：△ABC内接于半径为2的⊙O，BC＝，射线BO交边AC于点E．（1）如果点E恰好是边AC的中点，求边AB的长；（2）如果△ABE∽△ACB，求∠ABC的大小；（3）当△AEO为等腰三角形时，求∠ABC的大小．【分析】（1）利用垂径定理的推论得到BE是AC的垂直平分线，再利用垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等即可得出结论；（2）延长BE交⊙O于点F，连接CF，则BF为圆的直径，利用直角三角形的边角关系可得∠FBC＝30°；利用相似三角形的性质，同圆的比较相等，圆周角定理和三角形的内角和定理可求得∠ABO，则结论可得；（3）延长BE交⊙O于点F，连接CF，利用（2）的结论可得∠BAC＝60°，设∠ABO＝∠BAO＝α，则用α可以表示出△AEO的三个内角，利用分类讨论的思想方法即可求得α的值，则结论可得．【解答】解：（1）∵AE＝BE，∴OE⊥AC．∴BE是AC的垂直平分线．∴AB＝BC＝2；（2）延长BE交⊙O于点F，连接CF，如图，∵⊙O的半径为2，∴BF＝3．∵BF为圆的直径，∴∠BCF＝90°．∴cos∠FBC＝．∴∠FBC＝30°．∵△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠ABO＝∠BAO＝∠ACB．∵∠ACB＝∠AOB，∴∠ABO＝∠BAO＝∠AOB．设∠ABO＝∠BAO＝x°，则∠AOB＝2x°．∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，∴x+x+2x＝180．解得：x＝45．∴∠ABC＝∠ABO+∠FBC＝75°；（3）延长BE交⊙O于点F，连接CF，如图，由（2）知：∠FBC＝30°．∴∠F＝90°﹣∠FBC＝60°．∴∠BAC＝∠F＝60°．设∠ABO＝∠BAO＝α，则∠AOE＝2α，∠OAE＝∠BAC﹣∠BAO＝60°﹣α，∠AEO＝180°﹣∠ABO﹣∠BAC＝120°﹣α．当△AEO为等腰三角形时，①如果∠AOE＝∠AEO，则2α＝120°﹣α．解得：α＝40°．∴∠ABC＝40°+30°＝70°；②如果∠AOE＝∠OAE，则2α＝60°﹣α．解得：α＝20°．∴∠ABC＝20°+30°＝50°；③如果∠OAE＝∠AEO，则60°﹣α＝120°﹣α，无解．综上，当△AEO为等腰三角形时，∠ABC＝70°或50°．【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，利用分类讨论的思想解答是解题的关键．考点二：数形结合思想一．选择题（共2小题）1．（2022•青浦区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC至点E，使CE＝2BC，联结DE，设＝，＝，那么可表示为（）A．+2 B．﹣2 C．﹣+2 D．﹣﹣2【分析】由平面向量和平行四边形的性质可得，＝，＝2，则＝+＝．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∴，＝，∵CE＝2BC，∴＝2，∴＝+＝．故选：A．【点评】本题考查平面向量、平行四边形的性质，熟练掌握平面向量和平行四边形的性质是解答本题的关键．2．（2022•松江区校级模拟）如图，已知△ABC，AD为三角形ABC的中线，，，则＝（）A． B． C． D．【分析】由已知可得BD＝CD＝BC，则＝，则＝．【解答】解：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD＝BC，∴＝，∴＝．故选：C．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的运算是解题的关键．二．填空题（共6小题）3．（2022春•浦东新区校级期中）已知OA，OB，OM均是⊙O的半径，OA⊥OB，＝．如果+＝k，那么k的值是或﹣．【分析】分别讨论点M在劣弧AB上或点M在优弧AB上两种情况，再利用平面向量的定义即可得出答案．【解答】解：当点M在劣弧AB上时，过点A作AC∥OB且AC＝OB，连接BC，如图．∵OA，OB，OM均是⊙O的半径，∴OA＝OB＝OM，∵OA⊥OB，＝，∴点O，M，C三点在同一条直线上，+＝，设圆O的半径为x，∴＝x，，∴||＝，∴k＝．当点M在优弧AB上时，过点A作AC∥OB且AC＝OB，连接BC，如图．同理可得，点O，M，C三点在同一条直线上，设圆O的半径为x，则＝x，，∴||＝，∴，∴k＝﹣．故答案为：或﹣．【点评】本题考查圆的定义、平面向量的定义，熟练掌握圆的定义和平面向量的定义是解答本题的关键．4．（2022•奉贤区二模）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E是腰BC的中点，联结AE．如果设＝，＝，那么＝2+（含、的式子表示）．【分析】由题可得＝2，＝，再根据＝+可得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，AB＝2CD，＝，∴＝2，∵E是腰BC的中点，＝，∴＝，∴＝+＝2+．故答案为：2+．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的运算是解答本题的关键．5．（2022•宝山区二模）如图，已知AC、BD是梯形ABCD的对角线，AD∥BC，BC＝2AD，如果设＝，＝，那么向量用向量、表示为3+．【分析】由已知条件可得＝2＝2，则＝＝2，再根据＝可得出答案．【解答】解：∵AD∥BC，BC＝2AD，∴＝2＝2，∵＝，∴＝＝2，∴＝＝2++＝3+．故答案为：3+．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的计算是解答本题的关键．6．（2022•松江区校级模拟）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，，将△ABC翻折，使点C与点A重合，折痕DE交边BC于点D，交边AC于点E，那么的值为．【分析】过点A作AF⊥BC于点F，连接AD．由翻折可知，AE＝CE，DE⊥AC，设AF＝x，在Rt△ABF中，tan∠B＝，可求得BF＝CF＝2x，再利用勾股定理求出AB＝AC＝x，在Rt△CDE中，tan∠C＝tan∠B＝，即可求得DE＝，结合勾股定理可得CD＝＝，则BD＝BC﹣CD＝2BF﹣CD＝，进而可得出答案．【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，连接AD．由翻折可知，AE＝CE，DE⊥AC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，BF＝CF．设AF＝x，在Rt△ABF中，tan∠B＝，∴BF＝CF＝2x，∴AB＝AC＝x，在Rt△CDE中，tan∠C＝tan∠B＝，∵CE＝，∴DE＝，∴，则BD＝BC﹣CD＝2BF﹣CD＝，∴．故答案为：．【点评】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．7．（2022春•普陀区校级期中）如图，已知在Rt△ABC中，两条直角边AC＝6，BC＝8，将Rt△ABC绕着点C顺时针旋转，其中AB的对应点分别记为点A′和点B′，当A′B′与边BC的交点E恰好是A′B′的中点时，则AA′的长为．【分析】连接AA'，过点A'作A'F⊥AC于点F，过点E作EG⊥CB'于点G．【解答】解：如图，连接AA'，过点A'作A'F⊥AC于点F，过点E作EG⊥CB'于点G．由旋转可得∠ACA'＝∠BCB'，∠ACB＝∠A'CB'＝90°，AC＝A'C＝6，BC＝B'C＝8，AB＝A'B'，在Rt△ABC中，AB＝＝10，∴A'B'＝10，∵E为A'B'的中点，∴CE＝A'B'＝5，∵∠A'CB'＝∠EGB'＝90°，∴A'C∥EG，∴EG＝A'C＝3，CG＝B'G＝B'C＝4，在Rt△CEG中，sin∠ECG＝，cos∠ECG＝，在Rt△A'CF中，sin∠A'CF＝，cos∠A'CF＝，∴A'F＝，CF＝，∴AF＝AC﹣CF＝，在Rt△AA'F中，由勾股定理可得，AA'＝＝．故答案为：．【点评】本题考查旋转的性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．8．（2022春•金山区月考）如图，已知AC、BD是平行四边形ABCD的对角线．设向量＝，向量＝，那么向量可以表示为2+（用向量、表示）．【分析】利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∴＝＝，∵＝+＝+，∴＝＝+，∵＝+，∴＝++＝2+，故答案为：2+．【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三．解答题（共5小题）9．（2022秋•奉贤区月考）如图，已知平行四边形ABCD，BC＝2AB，点E在边BC上，AE平分∠BAD．（1）写出与相等的向量是；（2）求作：（要求保留作图痕迹）；（3）联结DE，如果，那么|+|＝8．【分析】（1）根据平行四边形的性质以及角平分线的定义，可得∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE，进而可得点E为BC的中点，即可得．（2）由＝＝，画图即可．（3）过点A作AF⊥BE于点F，过点D作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，由题意可得，AB＝BE＝EC＝5，AD＝FG＝10，AE＝6，设BF＝x，则EF＝5﹣x，由勾股定理得52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，求出x的值，即可求得EF，DG，EG的值，再根据DE＝可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∵BC＝2AB，∴BC＝2BE，即点E为BC的中点，∴．故答案为：．（2）如图，即为所求．（3）过点A作AF⊥BE于点F，过点D作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，由题意可得，AF＝DG，AD＝FG，∵＝5，∴AB＝BE＝EC＝5，∴AD＝FG＝10，∵＝6，∴AE＝6，设BF＝x，则EF＝5﹣x，由勾股定理得52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得x＝，∴BF＝，EF＝，AF＝DG＝，∴EG＝FG﹣EF＝10﹣＝，∴DE＝＝8．∴|+|＝＝8．故答案为：8．【点评】本题考查平行四边形的性质、平面向量、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．10．（2021秋•普陀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x+1交于点A（m，0），B（﹣3，n），与y轴交于点C，联结AC．（1）求m、n的值和抛物线的表达式；（2）点D在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当∠ACD＝90°时，求点D的坐标；（3）将△AOC平移，平移后点A仍在抛物线上，记作点P，此时点C恰好落在直线AB上，求点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求出A，B两点坐标即可解决问题．（2）过点D作DH⊥y轴于点H，由直角三角形的性质得出tan∠ACO＝tan∠CDH，则，可列出方程求出CH的长，则可得出答案；（3）设P（t，），得出N（t﹣3，），由点N在直线AB上可得出t的值，则可得出答案．【解答】解：（1）将A（m，0）代入y＝﹣x+1，解得m＝3，∴A（3，0），将B（﹣3，n）代入y＝﹣x+1，解得n＝2，∴B（﹣3，﹣2），把A（3，0），B（﹣3，2）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．（2）如图1，过点D作DH⊥y轴于点H，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝，∴DH＝，∵∠ACD＝90°，∴∠ACO+∠DCH＝90°，又∵∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠ACO＝∠CDH，∴tan∠ACO＝tan∠CDH，∴，由（1）可知OA＝3，OC＝2，∴，∴CH＝，∴D（，﹣）；（3）如图2，若平移后的三角形为△PMN，则MN＝OC＝2，PM＝OA＝3，设P（t，t﹣2），∴N（t﹣3，t﹣2﹣2），∵点N在直线y＝﹣x+1上，∴（t﹣3）+1，∴t＝3或t＝﹣3，∴P（3，4﹣）或P（﹣3，4+）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，平移的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数构建方程确定点的坐标．11．（2021秋•松江区期末）如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．①当＝时，求t的值；②当CD平分∠ACB时，求△ABC的面积．【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）证明△ADE∽△BDC，由相似三角形的性质得出∠DAE＝∠DBC，证出AE∥BC，得出C点的纵坐标为2，则可求出答案；（3）设C（t，﹣t+2），过点B作BH⊥CE于点H，得出tan∠BCH＝tan∠ACE，则，解方程求出t的值，则可求出答案．【解答】解：（1）由y＝﹣x+2可得：当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝3，∴A（3，0），B（0，2），把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；（2）①如图1，∵DE∥OB，∴，∵，∴，又∵∠ADE＝∠BDC，∴△ADE∽△BDC，∴∠DAE＝∠DBC，∴AE∥BC，∴C点的纵坐标为2，∴2＝﹣x2+x+2，∴x＝0或x＝2，∴C（2，2），∴t＝2；②如图2，设C（t，﹣t+2），过点B作BH⊥CE于点H，∵∠BCH＝∠ACE，∴tan∠BCH＝tan∠ACE，∴，∴，∴t＝，∴C（，），∴S△ACB＝S△ACE+S梯形BOCE﹣S△ABO＝﹣＝．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．12．（2022秋•黄浦区月考）如图，在△ABC中AB＝AC＝4，cos∠B＝，点D是边BA延长线上过的点，点E是边BC上一点（不与端点重合），联结DE交AC于点F，联结DC，且DE＝DC，设AD＝x，EC＝y．（1）求证：；（2）求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）联结AE，当△AEF与△DFC相似时，求AD的长．【分析】（1）证明△EFC∽△CDB即可；（2）过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，求出BC＝6，再由＝，可得＝，则y＝6﹣x，（0＜x＜4）；（3）当AE∥CD时，△AFE∽△CFD，由＝，可得＝，再结合（2），解出x即可求AD＝﹣2+2；当△AFE∽△DFC时，∠ACF＝∠ACD，AD＝AE＝x，求出AM＝，再由勾股定理可得x2＝7+（y﹣3）2，结合（2）y＝6﹣x，求出x即可求AD＝．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DE＝CD，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠B+∠BDE＝∠ACB+∠ACD，∴∠FEC＝∠BCD，∴△EFC∽△CDB，∴；（2）解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，∵cosB＝，∴＝，∴BM＝3，∴BC＝6，∵EC＝y，∴NC＝EN＝y，∴＝，∴＝，∴y＝6﹣x，（0＜x＜4）；（3）解：当AE∥CD时，△AFE∽△CFD，∴＝，∴＝，∴4y﹣6x+xy＝0，∵y＝6﹣x，∴24﹣12x+6x﹣x2＝0，解得x＝﹣2+2，∴AD＝﹣2+2；当△AFE∽△DFC时，∠ACF＝∠ACD，∴∠ACD＝∠ADE，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE＝x，∵EC＝y，BM＝3，∴ME＝3﹣y，∵cosB＝，∴AM＝，∴x2＝7+（y﹣3）2，∵y＝6﹣x，∴x2＝7+（3﹣x）2，解得x＝4或x＝，∵0＜x＜4，∴x＝，∴AD＝；综上所述：AD的长为﹣2+2或．【点评】本题考查三角形相似的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．13．（2022秋•徐汇区校级期中）已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是边AD上一点，将△ABP沿直线PB翻折，使点A落在点E处，联结DE，直线DE与射线CB相交于点F．（1）如图1，当F在边BC上，若PD＝BF时，求AP的长；（2）若射线AE交BC的延长线于Q，设AP＝x，QC＝y，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）①如图2，直线DE与边AB相交于点G，若△PDE与△BEG相似，求∠AEG的度数；②如图3，当直线DE与BP的延长线相交于点H时，若S△PDH＝S△BEP．求