专题04 数形结合之实数与数轴难点专练（解析版）-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年七年级数学下册专题训练（沪教版）

编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题04数形结合之实数与数轴难点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，数轴上有O，A，B，C，D五点，根据图中各点所表示的数，表示数的点会落在（）A．点O和A之间 B．点A和B之间 C．点B和C之间 D．点C和D之间【标准答案】B【思路指引】将化简得，先估算的取值范围，再估算出的取值范围，进而确定在数轴上的位置即可．【详解详析】∵∴∴∴在点A和点B之间故选：B．【知识点】本题主要考查了数轴上表示实数的点所在位置的确定，准确对实数进行计算并估算取值范围是解决本题的关键．2．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【标准答案】B【思路指引】首先判断出b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可．【详解详析】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则①ab+ac＞0，故原结论正确；②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；③+＝1﹣1+1＝1，故原结论错误；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．故正确结论有2个．故选：B．【名师指路】本题考查了实数大小比较、绝对值、数轴等知识；理解相关定义是关键．3．如图，在数轴上，，，四个点中，点最可能表示的实数是（）．

A． B． C． D．【标准答案】C【思路指引】先观察数轴上得到点C的大体范围为2-3之间，再对下方无理数进行估算，选择范围在2-3之间的数字即可．【详解详析】解：观察数轴可知,A：∵，∴，A错误；B：∵，∴，B错误；C：∵，∴，C正确；D：∵，∴，D错误．故选：C．【名师指路】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得的无理数的大致范围并结合数轴进行对应是解题的关键．4．数轴上表示1，的对应点分別为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（）

A． B． C． D．【标准答案】C【思路指引】根据数轴上两点之间的距离计算、对称的性质即可解决．【详解详析】根据对称的性质得：AC=AB设点C表示的数为a，则解得：故选：C．【名师指路】本题考查了数轴上两点之间的距离，图形对称的性质，关键是由对称的性质得到AC=AB．5．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数都是带根号的数；③负数没有立方根；④的平方根是±8．其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【标准答案】B【思路指引】直接利用实数与数轴的关系以及无理数的定义、立方根、平方根的定义分别分析得出答案．【详解详析】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，符合题意；②无理数是无限不循环小数，原说法不合题意；③负数也有立方根，原说法不合题意；④8的平方根是±2，原说法不合题意．故选：B．【名师指路】此题主要考查了实数与数轴的关系以及无理数的定义、立方根、平方根的定义，正确掌握相关定义是解题关键．6．下列说法错误的是（）A．平方根与立方根都等于本身的数是0和1 B．算术平方根是无理数C．所有无理数都是无限小数 D．实数与数轴上的点一一对应【标准答案】A【思路指引】根据平方根、立方根、算术平方根、无理数的定义以及实数和数轴上点的关系进行解答即可．【详解详析】解：A.1的平方根是±1，故A选项错误，符合题意；B.算术平方根是，是无理数，故B选项正确，不符合题意；C.所有无理数都是无限小数，故C选项正确，不符合题意；D.实数与数轴上的点一一对应,故D选项正确，不符合题意．故选A．【名师指路】本题主要考查了根据平方根、立方根、算术平方根、无理数的定义以及实数和数轴上点的关系，灵活运用相关概念成为解答本题的关键．7．设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3<a<4；④a是18的算术平方根。其中，所有正确说法的序号是A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④【标准答案】C根据勾股定理，边长为3的正方形的对角线长为，是无理数，故说法①正确。根据实数与数轴上的一点一一对应的关系，a可以用数轴上的一个点来表示，故说法②正确。∵，∴，故说法③错误。∵，∴根据算术平方根的定义，a是18的算术平方根，故说法④正确。综上所述，正确说法的序号是①②④。故选C。8．设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3<a<4；④a是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④【标准答案】C【详解详析】根据勾股定理，边长为3的正方形的对角线长为，是无理数，故说法①正确．根据实数与数轴上的一点一一对应的关系，a可以用数轴上的一个点来表示，故说法②正确．∵，∴，故说法③错误．∵，∴根据算术平方根的定义，a是18的算术平方根，故说法④正确．综上所述，正确说法的序号是①②④．故选C．9．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【标准答案】D【思路指引】分①若原点的位置为A点时，②若原点的位置为B点或C点时，③若原点的位置为D点时，结合有理数的加法法则和点在数轴上的位置分析即可得出正确选项．【详解详析】解：根据数轴可知，①若原点的位置为A点时，x＞0，则，，，∴，舍去；②若原点的位置为B点或C点时，，则或，，∴，舍去；③若原点的位置为D点时，则，∴，符合条件，∴最有可能是原点的是D点，故选：D．【名师指路】本题考查实数与数轴，有理数的加法法则，化简绝对值．熟记有理数的加法法则是解题关键．10．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的实数分别为a，b，c，下列结论中①若abc0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；②若a+b+c＝0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；③若a+c＝2b，则点B为线段AC的中点；④O为坐标原点且A，B，C均不与O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则bc0，所有正确结论的序号是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④【标准答案】D【思路指引】①根据乘法法则判定a，b，c至少有一个大于0，据此可解；②根据加法法则判定a，b，c至少有一个大于0，据此可解；③根据两点距离公式可判断；④分情况讨论：B、C都在点O的右侧；B、C都在点O的左侧；B、C在点O的两侧且点A在点C的右侧；B、C在点O的两侧且点A在O、C之间（不与O重合）；B、C在点O的两侧且点A在O、B之间（不与O重合）；B、C在点O的两侧且点A在B右侧时；逐一画出图形进行判断，据此可解．【详解详析】解：①若abc0，则a，b，c不可能都小于0，至少有一个大于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧，故①正确；②若a+b+c＝0，因为a，b，c不能都为0，则a，b，c中至少有一个大于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧，故②正确；③若a+c＝2b，则a-b＝b-c，点B为线段AC的中点，故③正确；④如图1,B、C都在点O的右侧,∵OB﹣OC＝BC，AB﹣AC=BC，∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc0，如图2,B、C都在点O的左侧,∵OB﹣OC＝BC，AB﹣AC=BC，∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc0，如图3,B、C在点O的两侧时，若点A在点C的右侧，显然OB﹣OC≠AB﹣AC，如图4,B、C在点O的两侧时，若点A在O、C之间（不与O重合），显然OB﹣OC≠AB﹣AC，如图5,B、C在点O的两侧时，若点A在O、B之间（不与O重合），显然OB﹣OC≠AB﹣AC，如图6,B、C在点O的两侧时，若点A在B右侧时，显然OB﹣OC≠AB﹣AC，综上所述，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则B、C在点O的同一侧，所以b和c同号，即bc0，故④正确；故选：D．【名师指路】本题考查了数轴的有关知识及实数的运算法则，掌握运算法则及数形结合思想是解题关键．二、填空题11．如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为________．【标准答案】-3【思路指引】先求出D点表示的数，再得到m的取值范围，最后在范围内找整数解即可．【详解详析】解：∵点B关于原点O的对称点为D，点B表示的数为，∴点D表示的数为，∵A点表示，C点位于A、D两点之间，∴，∵m为整数，∴；故答案为：．【名师指路】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解等问题，解决本题的关键是牢记相关概念和性质，本题蕴含了数形结合的思想方法．12．如图，数轴上，两点表示的数分别为和4.1，则，两点之间表示整数的点共有____个．【标准答案】3【思路指引】根据无理数的估算、结合数轴求解即可【详解详析】解：∴∴∴在到4.1之间由2，3，4这三个整数故答案为：3.【名师指路】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，掌握无理数的估算方法是解题关键．13．如图，半径为1的圆与数轴的一个公共点与原点重合，若圆在数轴上做无滑动的来回滚动，规定圆向右滚动的周数记为正数，向左滚动周数记为负数，依次滚动的情况如下（单位：周）：﹣3，﹣1，＋2，﹣1，＋3，＋2，则圆与数轴的公共点到原点的距离最远时，该点所表示的数是_______．【标准答案】﹣8π．【思路指引】根据每次滚动后，所对应数的绝对值进行解答即可．【详解详析】解：半径为1圆的周长为2π，滚动第1次，所对应的周数为0﹣3＝﹣3（周），滚动第2次，所对应的周数为0﹣3﹣1＝﹣4（周），滚动第3次，所对应的周数为0﹣3﹣1＋2＝﹣2（周），滚动第4次，所对应的周数为0﹣3﹣1＋2﹣1＝﹣3（周），滚动第5次，所对应的周数为0﹣3﹣1＋2﹣1＋3＝0（周），滚动第6次，所对应的周数为0﹣3﹣1＋2﹣1＋3＋2＝2（周），所以圆与数轴的公共点到原点的距离最远是﹣4周，即该点所表示的数是﹣8π，故答案为：﹣8π．【名师指路】题目主要考察数轴上的点及圆的滚动周长问题，确定相应滚动周数是解题关键．14．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．【标准答案】4+或6﹣或2﹣．【思路指引】先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可．【详解详析】解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：3+（3+1）＝7．与C重合的点表示的数：3+（3﹣）＝6﹣．第二次折叠，折叠点表示的数为：（3+7）＝5或（﹣1+3）＝1．此时与数轴上的点C重合的点表示的数为：5+（5﹣6+）＝4+或1﹣（﹣1）＝2﹣．故答案为：4+或6﹣或2﹣．【名师指路】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键．15．数轴上A，B两点表示的数分别为﹣2和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为___．【标准答案】或【思路指引】先根据对称点可以求出AC的长度，根据C在原点的左侧，进而可求出C点坐标．【详解详析】解：∵点B关于点A的对称点为C，∴CA=AB=|-（-2）|=+2，设点C所表示的数是x，∴CA=|-2-x|=+2，∴x=-2±（+2）=-4±，∵C点在原点左侧，∴C表示的数：-4-，故答案为：．【名师指路】本题考查了实数与数轴，掌握用数轴理解题意，用x表示线段的长是解决本题的关键．16．已知实数、与在数轴上的对应位置如图所示，则下列说法中：①；②；③；④，正确的是（填序号）：__________．【标准答案】③④【思路指引】依题意可得，，进而在数轴上将表示出来，根据有理数的乘法运算，乘方运算，以及有理数的乘法运算进行判断即可．【详解详析】依题意可得，，将表示在数轴上，如图，故①不正确，故②不正确，，故③正确，，故④正确综上所述，正确的有③④，故答案为：③④【名师指路】本题考查了数轴，绝对值，有理数的乘法运算，乘方运算，以及有理数的乘法运算，数形结合是解题的关键．17．已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简=_________.【标准答案】-根据数轴可知1＜a＜2，可知a＜，即a-＜0，因此根据绝对值的性质和二次根式的性质，可得=-a+a-2=-.故答案为-.点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是利用绝对值的非负性，和二次根式的性质，注意在解题时二次根式的估算.18．等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和-1，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2015次后，点B所对应的数是________．【标准答案】2014【思路指引】先求出翻转4次，点B所对应的数分别是多少，再归纳总结出一般规律，由此即可得出答案．【详解详析】由题意，翻转1次后，点B所对应的数为1翻转2次后，点B所对应的数为1翻转3次后，点B位于数轴的上方翻转4次后，点B所对应的数为4归纳类推得：翻转以3次为一个循环，每一个循环对应数依次增加3，且第一次和第二次、第四次和第五次、第七次和第八次、对应数值相等，，因此，翻转2014次和2015次，点B所对应的数相等则翻转2015次后，点B所对应的数是故答案为：2014．【名师指路】本题考查了实数的规律型问题，依据题意，正确归纳出一般规律是解题关键．19．已知数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，那么数轴上到点B的距离与点A到点B的距离相等的另一点C表示的数是______________．【标准答案】【详解详析】试题分析：根据数轴上点的对称性，可知AB=|-1-（-）|=，因此可知C点的数值为-1+=.20．在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为|m﹣n|．（1）若数轴上的点M，N分别对应的数为2﹣和﹣，则M，N间的距离为___，MN中点表示的数是___．（2）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为___．【标准答案】2【思路指引】（1）直接根据定义，代入数字求解即可得到两点间的距离；根据两点之间的距离得出其一半的长度，然后结合其中一个端点表示的数求解即可得中点表示的数；（2）先根据|a﹣c|＝|b﹣c|与a≠b推出C为AB的中点，然后根据题意分类讨论求解即可．【详解详析】解：（1）由题意，M，N间的距离为；∵，∴，由题意知，在数轴上，M点在N点右侧，∴MN的中点表示的数为；（2）∵且，∴数轴上点A、B与点C不重合，且到点C的距离相等，都为1，∴点C为AB的中点，，∵，∴，即：数轴上点A和点D的距离为，讨论如下：1>若点A位于点B左边：①若点D在点A左边，如图所示：此时，；②若点D在点A右边，如图所示：此时，；2>若点A位于点B右边：①若点D在点A左边，如图所示：此时，；②若点D在点A右边，如图所示：此时，；综上，线段BD的长度为或，故答案为：2；；或．【名师指路】本题考查数轴上两点间的距离，以及与线段中点相关的计算问题，理解数轴上点的特征以及两点间的距离表示方法，灵活根据题意分类讨论是解题关键．三、解答题21．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中c为8的立方根，求代数式的值．【标准答案】2．【思路指引】先根据数轴的定义可得，从而可得，再根据立方根的定义可得，然后根据算术平方根的定义、化简绝对值即可得．【详解详析】解：由数轴的定义得：，，为8的立方根，，则，，，．【名师指路】本题考查了实数与数轴、立方根与算术平方根等知识点，熟练掌握数轴的定义是解题关键．22．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，．

（1）求的值；（2）已知的小数部分是，的小数部分是，求的平方根．【标准答案】（1）；（2）【思路指引】（1）根据A点在数轴上的位置，可以知道2＜a＜3，根据a的范围去绝对值化简即可；

（2）先求出b＋2，得到它的整数部分，用b＋2减去整数部分就是小数部分，从而求出m；同理可求出n．然后求出2m＋2n＋1，再求平方根．【详解详析】解：（1）由图知：，，，；（2），整数部分是3，；的整数部分是6，，，的平方根为．【名师指路】本题主要考查了无理数的估算，考核学生的运算能力，解题时注意一个正数的平方根有两个．23．如图，数轴的正半轴上有，，三点，点，表示数和．点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的数为．（1）请你求出数的值．（2）若为的相反数，为的绝对值，求的整数部分的立方根．【标准答案】（1）；（2）2【思路指引】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为c的值；（2）根据题意及c的值求出m和n的值，再把m，n代入所求代数式进行计算即可．【详解详析】解：（1）点．分别表示1，，，；（2），，，，，，，的整数部分是8，．【名师指路】此题考查了估算无理数的大小，正确估算及是解题的关键．24．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．（1）求实数m的值；（2）求|m＋1|＋|m﹣1|的值；（3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且|2c＋d|与互为相反数，求2c﹣3d的算术平方根．【标准答案】（1）；（2）2；（3）4【思路指引】（1）点表示，沿着轴向右移动2个单位到达点，可得所表示的数；（2），则，，进而化简，并求出代数式的值；（3）根据非负数的意义，列方程求出、的值，进而求出的值，再求出的算术平方根．【详解详析】解：（1）；（2），则，，；答：的值为2．（3）与互为相反数，，，且，解得：，，或，，①当，时，所以，无平方根．②当，时，，的算术平方根为4．【名师指路】本题考查数轴、非负数的性质、绝对值的意义，分类讨论是常用的方法．25．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．当，，三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题，（1）当时，求______，当时，求______．（2）请根据，，三个数在数轴上的位置，求的值．（3）请根据，，三个数在数轴上的位置，化简：．【标准答案】（1）1；；（2）；（3）．【思路指引】（1）当时，点a在原点右边，由题意可知，此时，代入即可求值；当时，点b在原点左边，由题意可知，此时，代入即可求值；（2）由图中获取三点的位置信息后，结合题意即可求原式的值；（3）由图获取的正、负信息和三个数绝对值的大小后，就可确定原式中绝对值符号里面式子的值的符号，就可化简原式．【详解详析】解：（1）当时，；当时，，故答案是：1，-1；（2）由数轴可得：，，，∴=；（3）由数轴可知：且，∴，∴．【名师指路】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．在解第3小问这类题时，需注意以下两点：（1）根据在数轴上表示的数中，左边的总小于右边的，确定好所涉及数的大小关系及每个数的正、负信息（涉及异号两数相加的还要获取它们绝对值的大小关系）；（2）根据有理数加、减法法则确定好需化简式子中绝对值符号里的式子的正、负，然后再根据绝对值的代数意义将绝对值符号去掉．26．有理数a＞0，b＞0，c＜0，且|a|＜|c|＜|b|．（1）在数轴上将a，b，c三个数在数轴上表示出来如图所示；（2）化简：|2a﹣c|+|b+c|﹣|a﹣b|．【标准答案】（1）见解析；（2）3a【思路指引】（1）根据a＞0，b＞0，c＜0，且|a|＜|c|＜|b|．即可求解．

（2）先判断2a-c、b+c、a-b的正负号，即可化简．【详解详析】解：（1）∵a＞0，b＞0，且|a|＜|c|＜|b|．∴c＜6＜a＜b．在数轴上将a，b，c三个数在数轴上表示出来如图所示：（2）根据数轴位置关系，可得：2a﹣c＞0、a﹣b＜5．∴|2a﹣c|+|b+c|﹣|a﹣b|＝2a﹣c+b+c+a﹣b＝3a．【名师指路】本题考查了整式的加减，数轴以及绝对值，解决本题的关键是2a-c、b+c、a-b的正负性．27．在数轴上点A表示a，点B表示b，且a，b满足．（1）a+b=；（2）x表示a+b的整数部分，y表示a+b的小数部分，则求y的值？（3）若点A与点C之间的距离表示AC，点B与点C之间的距离表示BC，请在数轴上找一点C，使得AC=2BC，求点C在数轴上表示的数？【标准答案】（1）；（2）；（3）或【思路指引】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可求得a+b的值，（2）根据无理数的估算可求得a+b整数部分，a+b的小数部分；

（3）设C点表示的数为x，根据AC=2BC列出方程，解方程即可．【详解详析】解：（1）故答案为：；（2）；（3）或设点C表示的数为m，当点C在A，B之间时，当点C在点B的左边时，，综上所述C点在数轴上表示的数为或．【名师指路】本题考查了数轴，数轴上两点间的距离可用右边的点表示的数减去左边的点表示的数．28．我们将称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．例如：．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．（1）分母有理化的值为________；（2）如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，求的值．【标准答案】（1）；（2）4【思路指引】（1）根据题意，分子分母都乘以进而即可分母有理化