2024年贵州省铜仁市万山区中考数学一模试卷（附答案解析）

2024年贵州省铜仁市万山区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1

1.（3分）在-3,-7,0,一四个数中，最大的数是（）

9

1

A.-3B.-7C.-D.0

9

2.（3分）根据《全国文化文物和旅游统计调查制度》，结合第三方抽样调查结果初步测算，

贵州省2023年国庆假期累计接待旅客4708万人次,实现旅游收入314.73亿元，请将4708

万用科学记数法表示为（）

A.47.08X106B.0.4708X10s

C.4.7X107D.4.708X107

3.（3分）某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下

了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“承”的对面是（）

|承|红|[色ft|]

Eki

A.传B.承C.文D.色

4.（3分）既要金山银山，又要绿水青山，贵阳市深入践行习近平总书记重要指示精神，在

抓经济大开发的同时，非常重视环境保护，经过多年的不懈努力，2023年十月贵阳市的

空气质量在全国省会城市排名第六名，下面是贵阳市2023年10月份某5天的空气质量

指数（A。/）：43,39,20,19,32,则这组数据的中位数是（）

A.32B.20C.39D.34

5.（3分）下列计算正确的是（）

A.（-3x）2=9x2

B.8x+2x=10无2

C.（x-3）2=7-9

D.（x-2y）（x+2y）—x2+4y2

6.（3分）如图，在口ABC。中,对角线AC与相交于点。，则下列结论一定正确的是（）

A.AC=BDB.OA=OCC.AC±BDD./ADC=/BCD

X1

7.（3分）计算一；+-7的结果是（）

8.（3分）为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会.班会上，他设计了一个如

图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为10cm,大圆半径为20c机，每个扇

形的圆心角为60度.如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞

镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（）

9.（3分）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块

完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块

被提起的时间无（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（）

10.（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这

样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木

长几何？其大意是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量长木，

长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长1尺，则可列方程为（）

11

A.-（x+4.5）=x-1B.-（x+4.5）=x+l

22

11

C.-（x+1）=x-4.5D.-（x-1）=x+4.5

22

H.（3分）如图，OO是△ABC的外接圆，若NC=25°,则N3A0=（）

12.（3分）如图，抛物线y=o?+bx+cb,。为常数）关于直线x=l对称.下列五个结

论：

①a6c>0；②2a+6=0；③4a+26+c>0；®arn2+bm>a+b；⑤3a+c>0.其中正确的有（）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13.（4分）因式分解：a2-3a=.

14.（4分）若点A（-3,yi）,B（-1,”）都在反比例函数y=—［的图象上，则yiy2

（选填“>”或

15.（4分）在平面直角坐标系xOy中，点尸（5,-1）关于y轴对称的点的坐标

是.

16.（4分）在平面直角坐标系中，点Ai,A2,A3,4…在x轴的正半轴上.点Bi,Bi,By-

F5

在直线尸芋X（x^O）上.若点Ai的坐标为（2,0）,且△48142、△?1222A3、△A3B3A4…

均为等边三角形.则点比024的纵坐标为.

三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

17.（12分）（1）计算：V4+2sin45°-（n-3）°+|V2-2|.

'2(%+2)-x<5①

（2）解不等式组:

空>x-1②.

18.（10分）2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓.引导学生

爱读书，读好书，善读书.贵阳市某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书

时间进行抽样调查，将调查结果的数据分成A、B、C、D、E五个等级并绘制成表格和扇

形统计图如下.

等级周平均读书时间，（单位；小时）人数

A0Wr<l4

B10<2a

C24V320

D3W/V415

E/245

（1）求统计图表中,m=：

（2）已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数

为;

（3）请写出一条你对读书的建议.

每个等级人数扇形统计图

19.（10分）近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注.某

单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A、2两种设备.每台B种设备价格比每台A

种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同.

（1）求A种、8种设备每台各多少万元？

（2）根据单位实际情况，需购进A、8两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A

种设备至少要购买多少台？

20.（10分）如图，在△ABC中，。是BC的中点，E是的中点，过点A作A尸〃2C交

CE的延长线于点F.

（1）求证：FA=BD-,

（2）连接若A3=AC,求证：四边形AD2P是矩形.

21.（10分）在直角坐标系中，已知人次2#0,设函数为=£与函数”=比（龙-2）+5的图

象交于点A和点艮已知点A的横坐标是2,点8的纵坐标是-4.

（1）求％1,ki的值.

（2）过点A作y轴的垂线，过点8作无轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴

的垂线，过点8作y轴的垂线，在第四象限交于点D求证：直线CD经过原点.

22.（10分）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜

爱.如图所示，秋千链子的长度为3加，当摆角/BOC恰为26。时，座板离地面的高度

BM为09m,当摆动至最高位置时，摆角NAOC为50°,求座板距地面的最大高度为多

少m?（结果精确到O.Lw；参考数据：sin26°^0.44,cos26°=0.9,tan26°^0.49,sin50°

仁0.77,cos50°^0.64,tan50°^1.2）

MN

23.（10分）如图，△ABC内接于。。，AB是。。的直径，过点C作O。的切线交AB的延

长线于点。，BELCD,即的延长线交。。于凡CF交于点G,ZBCF^ZBCD.

（1）求证：BE=BG；

（2）若BE=1,求。。的半径.

C

测试中，某生在。处将球垫偏，之后又在A、8两处先后垫球，球沿抛物线Ci-C2-C3

运动（假设抛物线Ci、C2、C3在同一平面内），最终正好在。处垫住，O处离地面的距

离为1米.如图所示，以。为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，龙轴平行于地

面水平直线机，已知点点8的横坐标为-掾，抛物线Ci表达式为尸公2-2办

和抛物线C3表达式为y=2a/+6x(a#0).

(1)求抛物线。的函数表达式；

(2)第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；

(3)为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处

25.(14分)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.在Rt

AD1

△ABC中，ZC=90°,AC=BC,。是4B边上一点，且一=一(”为正整数)，E是

BDn

AC边上的动点，过点。作OE的垂线交直线8C于点F.

【初步感知】：(1)如图1,当”=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=^-AB,请写

出证明过程；

【深入探究】：(2)如图2,当〃=2,且点/在线段BC上时，试探究线段AE,BF,AB

之间的数量关系，请写出结论并证明；

【拓展运用工(3)请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE,BF,A8之间数量关系的

一般结论(直接写出结论，不必证明).

图1图2

2024年贵州省铜仁市万山区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1.（3分）在-3,-7,0,扣个数中，最大的数是（

A.-3B.-7

【答案】c

【分析】运用有理数大小比较的知识进行求解.

【解答】解：：-7＜-3＜0＜本

二最大的数是

9

故选：C.

【点评】此题考查了有理数大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识.

2.（3分）根据《全国文化文物和旅游统计调查制度》，结合第三方抽样调查结果初步测算，

贵州省2023年国庆假期累计接待旅客4708万人次,实现旅游收入314.73亿元,请将4708

万用科学记数法表示为（）

A.47.08X106B.0.4708X108

C.4.7X107D.4.708X107

【答案】C

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中1W间＜10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值N10时，w是正整数；当原数的绝对值＜1时，〃是负整数.

【解答】解：4708万=47080000=4.708X107.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为。*10"的形式，其

中"为整数，正确确定a的值以及w的值是解决问题的关键.

3.（3分）某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下

了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“承”的对面是（）

色

A.传B.承C.文D.色

【答案】D

【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，

且没有公共的顶点，结合展开图很容易找到与“承”字所在面相对的面上的汉字.

【解答】解：根据图示知：“传”与“文”相对;

“承”与“色”相对；

“红”与“化”相对.

故选：D.

【点评】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，解决本题的关键是根据正方体的

平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点.

4.（3分）既要金山银山，又要绿水青山，贵阳市深入践行习近平总书记重要指示精神，在

抓经济大开发的同时，非常重视环境保护，经过多年的不懈努力，2023年十月贵阳市的

空气质量在全国省会城市排名第六名，下面是贵阳市2023年10月份某5天的空气质量

指数（AgZ）：43,39,20,19,32,则这组数据的中位数是（）

A.32B.20C.39D.34

【答案】A

【分析】先将这组数据按从小到大的顺序排列，取中间的数，即为中位数.

【解答】解：按从小到大顺序排列：19,20,32,39,43,

这组数据的中位数是32,

故选：A.

【点评】本题考查了中位数，关键是掌握中位数的定义.

5.（3分）下列计算正确的是（）

A.（-3无）2=9/

B.8x+2x=l。/

C.（x-3）2=7-9

D.（尤-2y）（x+2y）=x2+4y2

【答案】A

【分析】根据平方差公式的应用，完全平方公式的应用，合并同类项的方法，暴的乘方

与积的乘方的运算方法，逐项判断即可.

【解答】解：,/（-3x）2=9/,

••选项A符合题意;

*.*8x+2x=10x,

，选项8不符合题意；

（无-3）2=x2-6x+9,

选项C不符合题意；

,/（尤-2y）（x+2y）—x2-4j2,

选项D不符合题意.

故选：A.

【点评】此题主要考查了平方差公式的应用，完全平方公式的应用，合并同类项的方法，

塞的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：（1）（a+6）（a-b）=«2

-b2；（2）（a±6）2=a2±2ab+b2；（3）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得

结果作为系数，字母和字母的指数不变；（4）①（""）"=，"（如"是正整数）；②（加

（"是正整数）.

6.（3分）如图，在DABCD中,对角线AC与相交于点。，则下列结论一定正确的是（）

A.AC=BDB.OA=OCC.AC±BDD.ZADC=ZBCD

【答案】B

【分析】利用平行四边形的性质一一判断即可解决问题.

【解答】解：4错误.平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，不合题意;

8、正确.因为平行四边形的对角线互相平分，符合题意；

C、错误.平行四边形的对角线不一定垂直，不合题意；

。、错误.平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，不合题意；

故选：B.

【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

X1

7.（3分）计算一；+一的结果是（）

【答案】C

【分析】根据同分母的分式加减的法则计算，分母不变，分子相加减.

【解答】解：原式=冷=1,

故选：C.

【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的法则是解题的关键.

8.（3分）为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会.班会上，他设计了一个如

图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为10c相，大圆半径为20cm,每个扇

形的圆心角为60度.如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞

镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（）

【答案】B

【分析】根据“免一次作业”部分的面积占大圆的比例得出结论即可.

z:no77"X2r）2_1

【解答】解：投中“免一次作业”的概率是一；X--------------=

360°7rx2028

故选：B.

【点评】本题主要考查几何概率的知识，熟练掌握几何面积比例和概率的关系是解题的

关键.

9.（3分）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块

完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块

被提起的时间无（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（）

y

A.0x

【答案】A

【分析】根据题意可将铁块被拉起的过程分为三段：当铁块露出水面之前，根据尸拉+F浮

=G分析得出弹簧测力计的读数不变；当铁块逐渐露出水面的过程中，根据F拉+/浮=6

分析得弹簧测力计的读数逐渐增大；当铁块完全露出水面之后，根据尸拉=G分析得弹簧

测力计的读数不变.以此即可判断函数图象.

【解答】解：根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，/拉+/浮=6,

此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数不变；

当铁块逐渐露出水面的过程中，F故+F产G,

此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数逐渐增大；

当铁块完全露出水面之后，尸拉=G,

此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数不变.

综上，弹簧测力计的读数先不变，再逐渐增大，最后不变.

故选：A.

【点评】本题主要考查函数的图象，涉及与浮力有关物理知识，利用分类讨论思想分析

得出不同过程中弹簧测力计读数的变化情况是解题关键.

10.（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这

样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木

长几何？其大意是:用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量长木，

长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（）

11

A.-(x+4.5)=x-1B.-(x+4.5)=x+l

22

11

C.-(x+1)-4.5D.-(x-1)=x+4.5

22

【答案】A

【分析】设木长x尺，根据题意列出方程解答即可.

【解答】解：设木长x尺，根据题意可得：

1

-(x+4.5)=x—1,

故选：A.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出，元，次方程，正确得出等量关系是解题的

关键.

11.(3分)如图，。。是△ABC的外接圆，若NC=25°,则N3A0=()

A.25°B.50°C.60°D.65°

【答案】D

【分析】由圆周角定理求得NA08的度数,再根据等腰三角形的两个底角相等和三角形

的内角和定理可得结论.

【解答】解：连接

VZC=25°,

.•.NAO2=2NC=50°,

\'OA^OB,

：.ZBAO=ZABO=180°-50°=65°.

故选：D.

B[C

【点评】本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半.解题时，

借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理.

12.（3分）如图，抛物线y=a/+6x+c（a,6,c为常数）关于直线x=l对称.下列五个结

论：

①a6c>0；®2a+b=0；③4a+26+c>0；®ain2+bm>a+b；⑤3a+c>0.其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】由抛物线开口方向以及与y轴的交点可知。>0,c<Q,根据对称轴为直线x=l

得出b=-2a<0,即可判断①；由对称轴为直线x=l得出2a+b=0,即可判断②；由抛

物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④，由x=-l时，y>0,得出a-

b+c>0,由b--2a得出3a+c>0即可判断⑤.

【解答】解：•••抛物线y=/+6x+c（a,b,c为常数）关于直线尤=1对称，

.b_

••一而一L

•.,〃>（）,

：.b=-2〃V0,

Vc<0,

abc>3

故①正确；

b=-la,

2〃+Z?=0,

故②正确；

：x=0时，j<0,对称轴为直线x=l,

；.x=2时，y<0,

*.4a+2Z?+cV0,

故③错误；

•••抛物线开口向上，对称轴为直线x=l,

arrr+bm+c^a+b+c,即aiiT+bm^a+b,

故④错误；

-1时，y>0,

.,.a-b+c>0,

■:b=-2a,

.'.3a+c>0.

故⑤正确.

故选：B.

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌

握二次函数的图象与性质是解题的关键.

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

13.(4分)因式分解：a2-3a—a(a-3)

【答案】a(a-3).

【分析】直接把公因式a提出来即可.

【解答】解：cr-3a—a(a-3).

故答案为：a(a-3).

【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是。是解题的关键.

14.(4分)若点A(-3,yi),B(-1,>2)都在反比例函数y=一如勺图象上，则yi<

"(选填“>"或

【答案】<.

【分析】根据反比例函数的性质得出答案即可.

【解答】解：：尸一］中左=-6<0,

.•.在每个象限内，y随x的增大而增大，

:-3<-1<0,

.*.yi<y2.

故答案为：V.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能熟记反比例函数的性质是解此

题的关键，反比例函数y=5，①当%>0时，在每个象限内，y随尤的增大而减小，②当

左C0时，在每个象限内，y随x的增大而增大.

15.（4分）在平面直角坐标系尤Oy中，点尸（5,-1）关于y轴对称的点的坐标是（-

5,-1）.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出

答案.

【解答】解：••・关于y轴对称，

二.横坐标互为相反数，纵坐标不变，

...点尸（5,-1）关于y轴对称的点的坐标是（-5,-1）.

故答案为：（-5,-1）.

【点评】本题考查了关于x轴,y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴的对称点的坐标特点：

横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键.

16.（4分）在平面直角坐标系中，点Ai,&2,A3,4…在x轴的正半轴上.点81,B2,By-

F5

在直线y=芋x（x^O）上.若点Ai的坐标为（2,0）,且△48也、222A3、A4383A4…

均为等边三角形.则点82024的纵坐标为,X对

【答案】V3X22023.

【分析】设等边△及的边长为an,可得△3//九+1的高为即・sin60°=~^an,即

「V3-

为的纵坐标为三即，由点4的坐标为（2,0）,可得m=2,〃2=2+2=4,〃3=2+〃1+〃2

=8,3=2+〃1+〃2+。3=16,•­­,故丽=2",即可得到答案.

【解答】解：设等边△&A+1的边长为斯，

,**/\BnAnAn+l是等边三角形，

/\BnAnAn+\的高为劭・sin60°=亨即，即Bn的纵坐标为日M

•・•点Ai的坐标为（2,0）,

.,.41=2,42=2+2=4,。3=2+。1+“2=8,〃4=2+。1+〃2+〃3=16,•

n

:.an=2f

；.瓦的纵坐标为百x2〃-i,

当”=2024时，

.•出的纵坐标为gX22023

故答案为：V3X22023.

【点评】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握等边三角形的性质，

能熟练应用含30°角的直角三角形三边的关系.

三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

17.（12分）（1）计算：V4+2sin45°-（TT-3）°+|V2-2|.

'2(%+2)-x<5①

（2）解不等式组:

竽>x-1②1

【答案】(1)3；(2)-4<xWl.

【分析】（1）分别根据算术平方根的定义，特殊角的三角函数值，零指数幕的定义以及

绝对值的性质计算即可；

（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可.

【解答】解：（1）原式=2+2x孝—1+2—

—2+V2-1+2—V2

=3；

（2（x+2）—xW5①

（），

2（竽4x+1>x—1②

解不等式①，得了W1,

解不等式②，得x>-4,

所以原不等式组的解集为-4<x（l.

【点评】本题考查了实数的运算以及解一元一次不等式组，掌握相关定义与运算法则是

解答本题的关键.

18.（10分）2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓.引导学生

爱读书，读好书，善读书.贵阳市某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书

时间进行抽样调查，将调查结果的数据分成4B、C、D、E五个等级并绘制成表格和扇

形统计图如下.

等级周平均读书时间f（单位；小时）人数

A0W/V14

BlWr<2a

C2WY320

D3W/V415

E自45

（1）求统计图表中。=6,m=40；

（2）已知该校共有2800名学生,试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为1120

（3）请写出一条你对读书的建议.

每个等级人数扇形统计图

【答案】（1）6,40；

（2）1120人；

（3）建议开展读书活动竞赛（答案不唯一）.

【分析】（1）先根据。等级人数及其所占百分比求出样本容量，再根据各等级人数之和

等于总人数可求得a的值，用C等级人数除以总人数看求得m的值；

（2）用总人数乘以样本中。、E组人数和占被调查人数的比例即可得出答案；

（3）建议开展读书活动竞赛（答案不唯一）.

【解答】解:（1）:样本容量为15・30%=50,

.,.a—50-（4+20+15+5）—6,

m%=X100%=40%,即机=40,

故答案为：6,40；

（2）估计该校每周读书时间至少3小时的人数为2800X铸=1120（人），

故答案为：1120人；

（3）建议开展读书活动竞赛（答案不唯一）.

【点评】此题考查的是用列表法求概率以及频数分布表、扇形统计图等知识，解题的关

键是正确获取统计图中的信息.

19.（10分）近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注.某

单位计划在室内安装空气净化装置，需购进两种设备.每台2种设备价格比每台A

种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同.

（1）求A种、8种设备每台各多少万元？

（2）根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A

种设备至少要购买多少台？

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）设每台A种设备x万元，则每台8种设备（x+0.7）万元，根据数量=总价

・单价结合花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同，即可得出关

于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；

（2）设购买A种设备加台，则购买B种设备（20-加）台，根据总价=单价义数量结合

总费用不高于15万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范

围，取其内的最小正整数即可.

【解答】解：（1）设每台A种设备x万元，则每台8种设备（x+0.7）万元，

372

根据题意得：-=^―.

X%+0.7

解得：x=0.5.

经检验，x=0.5是原方程的解，

.,.x+0.7=l.2.

答：每台A种设备0.5万元，每台8种设备1.2万元.

（2）设购买A种设备加台，则购买B种设备（20-相）台，

根据题意得：0.5m+1.2（20-m）W15,

解得：m＞芋.

:加为整数，

答：A种设备至少要购买13台.

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)

根据数量=总价+单价结合花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相

同，列出关于x的分式方程；(2)根据总价=单价义数量结合总费用不高于15万元，列

出关于根的一元一次不等式.

20.(10分)如图，在△ABC中，。是的中点，£是A。的中点，过点A作A尸〃2C交

CE的延长线于点F.

(1)求证：FA=BD-,

(2)连接若AB=AC,求证：四边形AO3E是矩形.

【答案】(1)(2)证明见解析.

【分析】(1)证明aAE尸之△DEC(AAS),由全等三角形的性质得出AF^DC,则可得

出结论；

(2)证出四边形AZJ8尸是平行四边形，由等腰三角形的性质得出则可得出结

论.

【解答】⑴证明：

/AFE=ZDCE,NFAE=ZCDE,

又为A。的中点，

；.AE=DE,

:.AAEF丝ADEC(A4S),

J.AF^DC,

又•.•。为BC的中点，

：.BD=CD,

：.AF=BD；

(2)证明：；AF=BD,AF//BD,

四边形ADBF是平行四边形，

•：AB=AC,。为BC的中点，

：.AD.LBC,

：.ZAZ)B=90°,

四边形A。即是矩形.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，

矩形的判定，证明也△OEC是解题的关键.

21.(10分)在直角坐标系中，已知左次2#0,设函数yi=勺与函数”=42(无-2)+5的图

象交于点A和点艮已知点A的横坐标是2,点8的纵坐标是-4.

(1)求左1,to的值.

(2)过点A作y轴的垂线，过点8作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴

的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D.求证：直线CD经过原点.

【答案】(1)左1=10,fo=2；(2)证明见解析.

【分析】(1)将x=2分别代入两表达式中得与=fo(2-2)+5,即可求出ki的值，再

把y=-4代入函数yi=T■中即可求出点5的坐标，再将点B的坐标代入”=%2(%-2)

+5中即可得出答案；

(2)由已知可得点C的坐标为(-母5),点。的坐标为(2,-4),用待定系数法求

出直线8的表达式，即可得证.

【解答】解：⑴,••函数月=?与函数”=七(尤-2)+5的图象交于点A和点3,且点

A的横坐标是2,

—k2(2-2)+5,

2

Zi=10,

,*,点B的纵坐标是-4,

­=UX,

••X='ry,

-4=/C2（—2—2）+5,

"2=2,

综上所述：灯=10,42=2.

（2）由已知可得，点A的坐标为（2,5）,点8的坐标为（一|,-4）,

则点C的坐标为（-|,5）,点。的坐标为（2,-4）,

设CD的表达式为y=kx+bf

则5=—|什》，-4=25+6,

解得：k=-2,b=0,

则CD的表达式为y=-2x,

当x—0时，y=0,

所以直线。经过原点.

【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用交点的特征找

到等量关系式.

22.（10分）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜

爱.如图所示，秋千链子的长度为3加，当摆角/BOC恰为26。时，座板离地面的高度

BM为0.9m,当摆动至最高位置时，摆角/AOC为50°,求座板距地面的最大高度为多

少机？（结果精确到O.Lw；参考数据：sin26°^0.44,cos26°-0.9,tan26°-0.49,sin50°

仁0.77,cos50°^0.64,tan50°^1.2）

【答案】座板距地面的最大高度为1.7m.

【分析】过B作BT_LON于T,过A作AK±ON于K,在RtzX08T中，求出。7=03cos26°

=2.7(m),可得ON=OT+TN=36(m),在RtAAOK中，得0K=OA・cos50°=1.92

(机)，故KN=ON-0K=L68(机)，从而可知座板距地面的最大高度为1.68加.

【解答】解：过8作BT_LON于T,过A作AK_LON于K,如图：

在RtZ\0BT中，

OT=O3・cos26°=3X09=2.7(m),

VZM=ZMNT=ZBTN=90°,

四边形8MNT是矩形，

TN=BM=09m,

：.ON=OT+TN=3.6Gn),

在RtZ\AOK中，

OK=OA'cos5Q°=3X0.64=1.92(m),

:.KN=ON-OK=3.6-1.92^1.7(m),

座板距地面的最大高度为17m.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决

问题.

23.(10分)如图，△ABC内接于。。，A2是。。的直径，过点C作O。的切线交AB的延

长线于点BELCD,仍的延长线交。。于凡CF交AB于点G,ZBCF^ZBCD.

(1)求证：BE=BG；

(2)若BE=L求。。的半径.

C

【答案】(1)证明见解析过程;

（2）OO的半径为2.

【分析】（1）由切线的性质可得NOC5+NBCD=90°,由,可证

BG1CF,可得BE=BG；

（2）由A8是。。的直径，可知又因为N3CF=N8CZ）,可知NO8C=60°,

△05。为等边三角形，即可求出答案.

【解答】（1）证明：如图，连接0C,

C

•「CD是。。的切线，

JOCLCD,

：.ZOCB+ZBCD=9Q°,

•・•OC=OB,

：.ZOCB=ZOBCf

•：/BCF=/BCD,

：.ZBCF+ZOBC=90°,

：.ZBGC=90°,BPBGLCF,

•：/BCF=/BCD,BELCF,

：.BE=BG；

(2)解：TAB是。。的直径，CFLAB,

：.BC=BF,

:・BC=BF,

；・NBCF=NF,

9：BELCD,NBCF=NBCD,

：.ZBCF=ZBCD=ZF=30°,

：.ZOBC=60°,

・：BE=1,

:.BC=2,

•：OB=OC,ZOBC=60°,

...△OBC为等边三角形,

：.OB=BC=2,

即。。的半径为2.

【点评】本题主要考查了切线的性质，角平分线的性质，垂径定理，圆周角定理，三角

形的外接圆与外心，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理.

24.（12分）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米.某次模拟

测试中，某生在。处将球垫偏，之后又在A、8两处先后垫球，球沿抛物线C1-C2-C3

运动（假设抛物线Ci、C2、C3在同一平面内），最终正好在。处垫住，。处离地面的距

离为1米.如图所示，以。为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地

面水平直线相，已知点力段各，点8的横坐标为-楙，抛物线C1表达式为尸--2ax

和抛物线C3表达式为y=2af+bx（aHO）.

（1）求抛物线Ci的函数表达式；

（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；

（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处

B离地面的高度至少为多少米？

【答案】（1）y--|^2+

（2）最大高度未达到要求，理由见解析；

（3）1.75米.

【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出抛物线0的函数表达式；

（2）将抛物线Ci表达式化为顶点式，得到顶点坐标（1,求出实际最大高度，即可

得到答案；

（3）由（1）可知，a=,得到抛物线C3表达式为y=-进而得到对称轴为

直线“冬顶点坐标为3%根据最大高度的要求和对称轴，求出代-2,再根据

9

点的横坐标为-怖，得到犯=-求出中的最小值即可得到答案.

34fb,

【解答】解：⑴・・,抛物线G表达式为尸62-2以，且经过点破，

333

=(一)7a—2ax—,

822

i

解得：a=-)，

・•・抛物线G的函数表达式为：y=-^x2+x；

(2)最大高度未达到要求，理由如下：

由(1)得，抛物线。的函数表达式为y=-*%2+第，

Vy=—i%2+x=(x2—2%)=—^(x—l)2+

...抛物线Ci的顶点坐标为(1,1),

:。处离地面的距离为1米，

...球在运动中离地面的最大高度为1+3=|<2,

最大高度未达到要求；

(3)解：由(1)可知，a=

:抛物线C3表达式为y=-7+bx,

对称轴为直线x=1顶点坐标为名,(),

V球在运动中离地面的最大高度达到要求，

b2

——+1>2,

4

・・・g2或-2,

•・•对称轴在％轴负半轴，

:.bW-2,

・・•点8的横坐标为-9，

._93,

・・知=一,一2b，

QQQ

.•.当6=-2时，ye有最小值，最小值为—学—/（—2）=本

.,.点3离地面的高度至少为1+2=1.75（米）.

4,

【点评】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二

次函数的图象和性质是解题关键.

25.（14分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.在Rt

TW1

△ABC中，ZC=90°,AC=BC,。是A5边上一点，且一=一（〃为正整数），E是

BDn

AC边上的动点，过点。作。E的垂线交直线8c于点F.

【初步感知】：（1）如图1,当”=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=^AB,请写

出证明过程；

【深入探究】：（2）如图2,当〃=2,且点E在线段BC上时，试探究线段AE,BF,AB

之间的数量关系，请写出结论并证明；

【拓展运用】：（3）请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE,BF,AB之间数量关系的

一般结论（直接写出结论，不必证明）.