2024年高考数学复习：反比例函数与几何图形综合问题（重点突围）(教师版)

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专题16反比例函数与几何图形综合问题

【中考考向导航】

目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一反比例函数中K值的几何意义】....................................................1

【考向二反比例函数与三角形的综合问题】..................................................8

【考向三反比例函数与矩形的综合问题】....................................................15

【考向四反比例函数与菱形的综合问题】...................................................22

【考向五反比例函数与正方形的综合问题】.................................................32

【考向六反比例函数与圆的综合问题】.....................................................42

J角【直击中考】

【考向一反比例函数中K值的几何意义】

例题：（2022•辽宁盘锦•校考一模）如图，点A、C为反比例函数y=±（x<0）图象上的点，过点A、C分别

X

作工x轴，CD轴，垂足分别为8、。，连接CM、AC,0C,线段。C交于点E,点E恰好为0c

3

的中点，当△NEC的面积为5时，上的值为

【答案】-4

【分析】设点C的坐标为（若）,则点吗明吴，岭

一）,根据三角形的面积公式可得出

m

SfEC=3_?=3+，由此即可求出左值.

o2

【详解】

解：设点C的坐标为（见X）,则点机，。A^m,—）,

m22mzm

c14/7b1、、3.3

S"c=5助ZE=一孙（Q蔡k一茄k）=获斤=5

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k=-4.

故答案为：-4.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点C的坐标，利用点C的横坐标

表示出A、E点的坐标.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐

标特征表示出点的坐标是关键.

【变式训练】

k

1.（2023•安徽宿州・统考一模）如图，若反比例函数y=i（x<0）的图像经过点/8/x轴于8,且V/08

【答案】-6

【分析】根据反比例函数比例系数4的几何意义，结合图像的分布计算即可.

【详解】设/（九〃）,

则OB-\m\=-m,AB=\n\=n,k=mn,

•••V/08的面积为3,

OBgAB=机曲4=-g加"=3,

解得加"=-6,

•••k——6,

故答案为：-6.

【点睛】本题考查了根据三角形面积确定反比例函数比例系数上熟练掌握反比例函数的性质是解题的关

键.

k

2.（2023•广东深圳•校考一模）如图，已知N是y轴负半轴上一点，点3在反比例函数y=£（x>0）的图像上,

48交x轴于点C,OA=OB,ZAOB=nO°,V40C的面积为26，则肚=.

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【答案】273

【分析】过点8作轴于点。，根据题意结合图形及含30度角的直角三角形的性质得出

再由三角形面积求解即可.

【详解】解：过点5作BDLx轴于点。，如图所示.

ZBOD=ZAOB-ZAOC=120。-90。=30°,

.-.BD=-OB.

2

又：OA=OB,

SWBD=।SMAOC=gX26=V3,

k—2SVOBD—2Xy/3—2>/3.

故答案为：2班.

【点睛】题目主要考查反比例函数与三角形面积及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是

解题关键.

3.(2022•黑龙江绥化•校考二模)如图，在VN03中，OC平分N2O3,您=:，反比例函数歹=々左<0)

(JD4X

图象经过点A、C两点，点8在x轴上，若V/O8的面积为9,则上的值为.

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CN4

【分析】先利用面积关系得到粉=＞利用人的几何意义得到S”c=S梯形"c=,再利用VBCNsV氏

得到对应边的关系进一步转化即可得到左得值.

【详解】解：过点。作CNLOB,CD10A,过点A作/

•・•OC平分,

:.CN=CD,

0A_5

砺―"

.S'OAC_3

SVBOC4

•••V403的面积为9,

S、Boc_CN=4

一一而一3

*/A:<0,

由反比例函数的性质可知：S7AoM=SVCON==_；k,

*S\JAOM+S梯形32饪=S\AOC+S\CON，

==

…S'AOCS梯形/MVC5，

\'CN//AM,

NBCNsVBAM,

.SvBCN/CN,J6

-SVBAMVAM)81

.S、BCN_16

S梯形/ACVC65

.s_竺s

一、7BCN—ruX3,

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解得左=_行,

【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是能作出辅助

线构造出相似三角形，能利用面积关系建立方程进行求解.

k

4.（2023秋•安徽池州•九年级统考期末）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数＞=一（左＞0）的

X

3

图象上，4C交歹轴于点3,若点5是4。的中点，V4O3的面积为J,贝北的值为.

3

【分析】根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得工8-加盟…牙进而得出

SACOD=3,由系数上的几何意义可得答案.

【详解】解：如图，过点C作轴于。,

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ZCDB=ZAOB=90°,

,・,点5是/。的中点，

/.AB=CB,

在VABO和△BCZ）中，

/AOB=/CDB

＜NABO=/CBD,

AB=BC

NCDB出AOB（S）,

BD=OB,

•S=，=，=—3

一口VCDB一°7AOB_2VBeO1，

•C—T.

••^MCOD~」，

=

••~IlS\COD=3,

、困=6,

•・•左＞0,

k=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查反比例函数系数左的几何意义以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解反比例函

数系数上的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质.

5.（2023•重庆黔江•校联考模拟预测）如图，两个反比例函数＞=&（左#0）和y=3在第一象限内的图像依次

Xx

是G和G，设点p在G上，2。，》轴于点。，交于点A,如，了轴于点。，交c?于点3,若四边形

尸/08的面积为5,则斤=.

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【答案】8

33

【分析】根据反比例函数中左的几何意义：S^B°D=3、SVA℃=3、S正方形PCOD=k，由图形可知

33

S正方形PCOD=S4BD0+^/\AOC+S四边粉双，根据四边形P/O8的面积为5,得到左.+5+5=8,从而得到答

案.

ka

【详解】解：.•・&：y=-（k^O）；C：y=-,点尸在G上，尸C，x轴于点C,交C2于点A,尸。，了轴

X2X

于点。，交Q于点3，

33

-S^BOD=5、SVAOC=5、S正方形PC8—k,

四边形尸力。5的面积为5,

故答案为：8.

【点睛】本题考查反比例函数人的几何意义，根据题中图像，数形结合得到图形面积关系是解决问题的关

键.

6.（2023•湖北省直辖县级单位•校考一模）如图，矩形CM8C与反比例函数必=与（匕是非零常数，x>0）

X

的图像交于点M,N,反比例函数%=&（质是非零常数，x>0）的图像交于点8,连接。诩,ON.若四边

X

形OMBN的面积为3,则2履-2%=.

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【答案】6

【分析】根据反比例函数中左的几何意义：反比例函数图像上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形

面积等于"，数形结合可以得到国'*=g，Svc°N=},S矩形3BC=|局，根据图像均在第一象限可知

人>04>0,再由四边形的面积为3,得到左2=g+g+3，即可得到答案.

【详解】解：；矩形。（8C与反比例函数必=幺（匕是非零常数，x>0）的图像交于点M,N,

X

=!，SVCON

••由反比例函数中左的几何意义知，S,AOM=1,

•••矩形O/3C与反比例函数%=与（e是非零常数，x>0）的图像交于点3,

X

•••由反比例函数中k的几何意义知，S矩形"BC=|月|，

四边形0MBN的面积为3,

由图可知，S矩形0Age=S7AoM+SyCON+S四边形OAffiN，

kk

即左2=寸+寸+3,解得左2-%=3,

/.2k2-2kl=6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查反比例函数中左的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用上的几何

意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键.

【考向二反比例函数与三角形的综合问题】

例题：（2022•江西抚州•校考二模）如图，在等腰三角形NO8中，点O是平面直角坐标系原点,

点/在反比例函数y=勺（x>0）的图象上，已知04=5,（95=6.

X

⑴求反比例函数的解析式；

（2）过点N作4P垂直CM,交反比例函数的图象于点尸，交x轴于点C.

①求直线NC的解析式；

②求点P的坐标.

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【答案】⑴反比例函数的解析式为y=—(x>0)；

X

⑵①直线/C的解析式为k,手；②点P的坐标为(?，：).

【分析】(1)利用等腰三角形的性质求出点/的坐标即可解决问题；

(2)①利用相似三角形的判定和性质求得。，即可求得C的坐标，利用待定系数法即可求得直线/C的

解析式；

②解析式联立成方程组，解方程组即可求得点P的坐标.

(1)

解：作ZDLOB于。，

"0=AB,OB=6.

-t•OD=BD=39

■■AD=^O^-OD2=452-32=4,

.■.A(3,4),

把/(3,4)代入(x>0),可得hl2,

X

12

・••反比例函数的解析式为产一(x>0)；

X

(2)

解：①•MCLCM,

是直角三角形，

-ADLOC,

.・2。4。+乙。/。=90°,AOAD+^DOA=90°,

:•乙DAC=乙DOA,

•••RtADAC〜Rt4DOA,

ADCD

,•历―茄’

••.AD2=OD・CD,即16=3*CD,

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；.OC=OD+CD二"，

3

25

C、。）,

.•・设直线AC的解析式为方办+6,

3。+6=4

把4。的坐标代入得，生i=o.

I3

3

a=——

4

解得

725

b=—

4

・•・直线/C的解析式为尸3%+亍25；

1216

片一X=——

x=33

②解，3二5得…或‘

9

V=——XH----

44

169

・••点尸的坐标为（丁-）

【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式,

等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求得/的坐标.

【变式训练】

1.（2022•辽宁盘锦•中考真题）如图，点/的坐标是（2,0）,AAB。是等边三角形，点8在第一象限，反

比例函数夕=上的图像经过点5

⑴求反比例函数的解析式；

⑵坐标平面内有一点。，若以N,O,B,。为顶点的四边形是菱形，请直接写出。的坐标.

【答案】⑴尸正

X

⑵（1,-g）或（-1,石）或（3,百）.

【分析】（1）过点8作BElx轴于点E,根据等边三角形的性质可得出点3的坐标，代入解析式可得出反

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比例函数的解析式；

(2)由题意可知△/IBO是等边三角形，根据菱形的性质可知，需要分三种情况:当04为对角线，当OB

为对角线，当为对角线，利用平行四边形的性质可直接得出点。的坐标.

(1)

过点8作BElx轴于点E,如图，

・•・A48O是等边三角形，A(2,0),

；.O4=OB=AB=2,必0/=48/0=60°,

.•.OE—AE—1,BE=拒,

..B(1,G),

k_

・••反比例函数V=—的图像经过点2(1,V3).

x

■■■k=V3.

・••反比例函数的解析式为尸YL

X

(2)

若以4,O,B,。为顶点的四边形是菱形，需要分三种情况:

①当。/为对角线，xO+xA=xB+xD,yO+yA=yB+yD,

■■o(0,0),A(2,0),B(1,V3),

•t-0+2=1+xD,0+0=V3+yD,

.•.xD=1,yD=-V3.

■.D(1,-V3).

②当OB为对角线，有xO+x8=x/+xD,yB+yO=yD+yA,

■.■o(0,0),A(2,0),B(1,V3),

•1-0+1=2+xZ),V3+0=0+yZ),

■■-xD=-1,yD=拒.

：.D(-1,V3).

③当为对角线，有x/+x8=xO+x£>,yA+yB=yO+yD,

■：o(0,0),A(2,0),B(1,百),

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•'-2+1—0+x。，0+y/3=0+yD,

■•■xD=3,yD=V3.

：.D（3,V3）.

综上，若以/,O,B,。为顶点的四边形是菱形，点。的坐标为（1,-6）或（-1,G）或（3,

V3）.

【点睛】本题属于反比例函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，菱形的性质与判定，分类讨论思

想等知识，解题关键是进行正确的分类讨论，并根据平行四边形的性质得出方程.

2.（2022•江苏苏州・统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△0/8与4400是等边三角形，边04,AC

k

在x轴上，点。在第一象限.反比例函数y=—（x>0）的图像经过边08的中点M与边ND的中点N,已

知等边△048的边长为4.

⑴求反比例函数的表达式；

⑵求等边△/CD的边长.

【答案】⑴反比例函数的表达式为y=@；

X

⑵等边的边长为4后-8.

【分析】（1）根据等边三角形的性质以及”是02的中点，通过作垂线构造直角三角形可求出点M的坐标,

进而确定k的值；

（2）设NO=CD=/C=4a,同理求得点N的坐标为（a+4,&）,代入夕=立，解方程求解即可.

（1）

解：•・,等边△CM8,

••・AB=BO=AO=4,Z-ABO=Z-BOA=Z-OAB=60°,

•.•点M是。2的中点，

：.OM二BM=2,

过点〃■作MRLO/,垂足为R

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y

：.OF=\,FM=y/3,

・•・点河的坐标为(1,百)，代入产勺得：仁省,

・••反比例函数的表达式为产且；

X

(2)

解：过点N作NELCM,垂足为E,

y

.-.AD=CD=AC,ZADC=^DCA=^CAD=6O°,

.•.设AD=CD=AC=4a,

,:氤N是AD的中点，

•••AN=DN=2a,

同理，得：AE=a,NE=Ma,

'-OE=a+4,

.••点N的坐标为（a+4,百a）,代入y=心得:

X

V3a（。+4）=6,

整理得：a2+4a-l=0,

解得：。=退-2或-石-2（负值，舍去），

二等边△NCD的边长为4遥-8.

【点睛】本题考查等边三角形的性质、反比例函数的图象和性质，正确求出点的坐标和函数的关系式是解

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决问题的关键.

3.（2022•四川雅安•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点/的坐

O

标为（a,2）,点2在x轴上，将A42。向右平移得到使点。恰好在反比例函数y=—（x>0）的

⑵求。尸所在直线的表达式；

⑶若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G,求SAEFG.

【答案】⑴机=-2,D（4,2）

⑵直线。尸的解析式为：y=-x+6.

⑶SvEFG~8.

【分析】（1）如图，过A作于“，利用等腰直角三角形的性质可得/〃=3〃=。"=2,从而可得力

的值，再由平移的性质可得。的纵坐标，利用反比例函数的性质可得。的坐标；

（2）由/（-2,2）,0（4,2）,可得等腰直角三角形向右平移了6个单位，则尸（6,0）,再利用待定系数法求解

一次函数的解析式即可；

（3）先联立两个函数解析式求解G的坐标，再利用三角形的面积公式进行计算即可.

【详解】（1）解：如图，过A作于〃，

\AH=BH=OH=2,

\4(-2,2),即加=-2,

2

由平移的性质可得：yD=yA=,

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O

\Xfl=|=4,即0(4,2),

(2)由/(-2,2),—4,2),

等腰直角三角形向右平移了6个单位，

\尸(6,0),

设。尸为V=京+”

、忆\4k+一b=八2，解得：\k入=-「l，

]6k+b=0]b=6

・•・直线。尸的解析式为：y=-x+6.

(3)如图，延长即交反比例函数于G,连结EG,

y=-x+6

<8，

y=-

1X

fx=2fx=4

解得：i.，经检验符合题意；

W=4]y=2

\G(2,4),

QEF=B0=4,

\SVEFG=；，EF，ya=；，4'4=8.

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，坐标与图形，反比例函数的图象与性质，函数的交点坐标

问题，一元二次方程的解法，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练是求解G的坐标是解本题的关键.

【考向三反比例函数与矩形的综合问题】

例题：(2022春•河南南阳•八年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数了=：(x>0)的图像和

矩形43cD都在第一象限，平行于x轴，且/8=1,2,点/的坐标为(1,4).

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(2)若将矩形向下平移，矩形的两个顶点4、C恰好同时落在反比例函数的图像上，请求出矩形的平移距离

和上的值.

【答案】⑴8(1,3),C(3,3),D(3,4)

⑵平移的距离为彳5，左=：3

【分析】(1)根据矩形性质得出4B=CO=1,AD=BC=2,即可得出答案；

(2)设矩形平移后4的坐标是(1,4-x),。的坐标是(3,3-x),得出左=1(4-x)=3(3-x),求出x,

即可得出矩形平移后/、C的坐标/(1,I),C(3,g),从而求得平移距离与左.

(1)

解：,•・四边形N8CD是矩形，4D〃x轴，且/8=1,4。=2,点/的坐标为(1,4),

■•■AB=CD=1,AD=BC=2,

：.B(1,3),C(3,3),D(3,4)；

(2)

解：设矩形平移后4的坐标是(1,4-x),。的坐标是(3,3-工)，

•・,/、。落在反比例函数的图像上，

••・左=1(4-x)=3(3-x),解得'="|,

即矩形平移后/(1,1),C(3,1),

・•・平移的距离=4一：3=:5，左=lx3==3：.

2222

【点睛】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式、矩形的性质及坐标与图形的变化-平移，熟知反

比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.

【变式训练】

1.(2022秋,湖南永州,九年级统考期中)如图，矩形ABCD的两边2c=4,CD=6,£是CD的中点，反比

k

例函数歹=—的图象经过点应与4B交于点F.

x

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(1)若点8点的坐标为(-6,0),求人的值；

(2)连接若AF=AE,求反比例函数的表达式.

【答案】(1)k=-6；(2)y=--.

x

【分析】(1)根据点8坐标为(-6,0),BC=4,CD=6,E是CD的中点，即可求出点£的坐标,进而

求得代

(2)根据/结合(1)利用勾股定理可得NE=5,进而得3尸=1,设点E(a,3),得点尸(4-4,

1),利用雨，=左列方程即可求得。，进而求得反比例函数的表达式.

【详解】解：(1)点2坐标为(-6,0),

■■.OB—6,

■■■BC=4,

「•OC=2,

•:CD=6,E是CD的中点，

：.DE=CE=3,

：.E(-2,3),

•••反比例函数y=-的图象经过点E,

X

•次=-6；

连接/E,

•••四边形/BCD为矩形,

.-.AD=BC=4,

•；DE=gcD=3,

根据勾股定理，得AE=d4)2+DE?=5,

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•：AF=AE=5,

•.BF=AB-AF=1,

设点E点的坐标为(a,3)

则点尸的坐标为(a-4,1),

,：E,b两点在函数歹=(的图象上，

x

­-a-4=3〃，

解得。=-2,

(-2,3)

••・£=-2x3=-6,

・••反比例函数的表达式为>=--.

X

【点睛】本题考查反比例函数的解析式，熟练使用了鼠=后是解题的关键

4

2.(2023春•辽宁大连•九年级专题练习)已知M、N为双曲线y=((x>0)上两点，且其横坐标分别为。,

a+2,分别过"、N作了轴、x轴的垂线，垂足分别为C、A,交点为3.

⑴若矩形O48C的面积为12,求。的值；

⑵随着。的取值的不同，M、N两点不断运动，判断”能否为8C边的中点，同时N为中点？请说明理

由；

⑶矩形。48c能否成为正方形？若能，求出此时。的值及正方形的边长，若不能，说明理由.

【答案】⑴a=l

(2)能，理由见解析

(3)能，a=-l+V5,正方形的边长为逐+1,祥见解析

【分析】(1)用含。的代数式表示OC、OA,因为矩形0/8C的面积=Q4-OC=12,得出含。的方程即可;

(2)当”为2C边的中点时，即a+2=2a,计算验证此时N是否为相中点即可；

(3)当矩形为正方形，即用含。的代数式表示OC、。/建立含。方程，求解检验即

可.

【详解】(1)解：因为“、N横坐标分别为。，a+2,

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L4

所以OC=—,0A=〃+2,

a

由矩形048。的面积为12得：OAOC=U

4

即一.(a+2)=12,

a

解得：a=l.

(2)解：若"为5C边的中点，根据题意有：Q+2=2Q,

解得，〃二2,

则M的坐标为(2,2),此时N的横坐标为a+2=4,

44

则纵坐标为一-=-=1,即4N=1,

。+24

而/8=2,即N是45中点，

故当〃=2时"为3C边的中点同时N是中点.

(3)解：若矩形CM5C为正方形，则

4

因为OC=—,0A=a+2,

a

.4。

••一=a+2,

a

整理得：Q2+2Q-4=0,

・"-2+@+笆=_]+5a-2-也2+16=_]—日(舍去)，

22

故a=-1+退时矩形04BC为正方形，

正方形边长为0+2=遥+1.

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，关键要掌握用代数的方法解决几何问题技巧，把几何问题转化为

方程求解问题.

3.(2023・全国•九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，矩形0/2C的顶点8的坐标为(&4),0A,0C

分别落在x轴和y轴上，将V04B绕点。逆时针旋转，使点8落在y轴上，得到V0DE,与C3相交于

点、F,反比例函数y=g(x>0)的图象经过点尸，交4B于点G.

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⑴求人的值.

⑵连接尸G,则图中是否存在与△EBG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行

证明；若不存在，请说明理由.

⑶点M在直线0。上，N是平面内一点，当四边形G式儿W是正方形时，请直接写出点N的坐标.

【答案】⑴左=8

⑵存在，△OCFs△尸8G,△qG,ABCOsAFBG,AOAB^AFBG；证明见解析

⑶（11,7）或（5,-5）

【分析】（1）根据矩形及旋转的性质得出△ODE也△043,再由相似三角形的判定和性质得出点尸的坐标

为（2,4）,代入解析式求解即可；

（2）根据题意得出相似三角形，再由相似三角形的判定证明即可；

（3）由（2）及正方形的判定得当方村=/6时，四边形是正方形，分两种情况分析：当点M在点尸

上方时，当点M在点尸下方时，分别利用全等三角形的判定和性质确定点河的坐标，再根据正方形的性质

即可求出点N的坐标.

【详解】（1）解：；四边形。/3。为矩形，点3的坐标为（8,4）,

•••ZOCB=ZOAB=ZABC=90°,OC=AB=4,OA=BC=S.

■MODE是MOAB旋转得到的,

.-./\ODE^AOAB,

ZCOF=ZAOB,

・•・△COFsAAOB,

CFOCCF4

••・——,即Rn——=一，

ABOA48

解得CF=2,

・・・点厂的坐标为（2,4）.

.••歹=*>°）的图象经过点”

/k

.•・4=5，

解得％=8.

（2）△0C尸s△用G,AODE^AFBG,ABCO^/\FBG,^OAB^^FBG.

选AOC产s△尸8G.

证明：丁点G在48上，

.••点G的横坐标为8,

二点G的坐标为（8,1）,

■.AG=1.

高考复习材料

VBC=OA=S,CF=2,AB=4,

；.BF=BC—CF=6,BG=AB-AG=3,

OC42CF2

"-6-i，^G~3"

PCCF

*5F-*

-ZOCF=ZFBG=90°,

:.AOCFs&FBG.

（3）由（2）知△OCFs^FBG,

・••NOFC=NFGB,

•：NBFG+NFGB=9G0,

・•・/BFG+/OFC=9。。,

・•.NOFG=900,

当何/=/6时，四边形GFW是正方形，

当点〃在点尸上方时，如图所示：过点M作轴，交BC于点、L,

・•・ML1BC,ZMLF=90°,

•・・/〃FG=90。，NMFL+NFML=9。。,NMFL+NBFG=9。。,

・•.ZFML=ZBFG,

,:FG=MF,

：.\IFLM^IGBF,

・•.ML=BF=6,FL=BG=3,

：,CL=CF+FL=5,MH=ML+LH=6+4=10f

・・・点〃（5,10）,

vCF=2,45=4,

“（2,4）,

,・•点G的坐标为（8,1）,

・•・设点N（x,歹），

高考复习材料

x+25+8y+41+10

♦•一,一，

2222

解得：x=lLV=7,

当点M在点尸下方时，如图所示：过点Af作轴，交8C延长线于点3

同理可得Vb/jW之VG3厂,

.-.ML=BF=6,FL=BG=3,

；.CL=FL—CF=1,MH=ML—LH=6—4=2,

.•.点M（T,-2）,

■：CF=2,AB=4,

，尸（2,4）,

•・,点G的坐标为（8,1）,

二设点N（x,刃，

x+2—1+8y+41-2

•,*=,=,

2222

解得：x=5,y=-5,

，N（5,-5）,

综上可得：点N的坐标为（11,7）或（5,-5）.

【点睛】题目主要考查正方形的性质及反比例函数的确定，相似三角形及全等三角形的判定和性质，坐标

与图形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键.

【考向四反比例函数与菱形的综合问题】

例题：&022・江苏常州•常州实验初中校考二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形N3CD的顶点C与原点。

重合，点3在J轴的正半轴上，点/在反比例函数y=&（x>0）的图象上，点。的坐标为（4,3）.

X

高考复习材料

(1)求人的值及月8所在直线的函数表达式；

(2)将这个菱形沿x轴正方向平移，当顶点。落在反比例函数图象上时，求菱形平移的距离.

【答案】(1)笈=32,y=—3x+5；(2)菱形/BCD平移的距离为2丁0.

43

【分析】(1)根据点。的坐标为(4,3),即可得出的长以及。。的长，即可得出/点坐标，进而求出

人的值；

(2)根据D尸的长度即可得出。点的纵坐标，进而利用反比例函数的性质求出。尸的长，即可得出答

案.

【详解】(1)作DE12。，。尸IX轴于点R

■■.FO=4,DF=3

■.DO=5

■■.AD=5

■•■A点坐标为：(4,8)

xy=4x8=32

:.k=32

由菱形的性质得到2(0,5)

(3

/、+b=8a=—

设直线48的方程为：y=ax+6(aw0),贝I](解得[4

“[b=5

“2所在直线的函数表达式：y=3+5

高考复习材料

(2)•・・将菱形/BCD向右平移，当点。落在反比例函数〉=g(x>0)的图像上

:.DF=3,DF=3

二。,点的纵坐标为3

,3-4="

33

二菱形/BCD平移的距离为：y

【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及菱形的性质，根据已知得出“点坐标是解题关键.

【变式训练】

1.(2022•贵州安顺,统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形/3C。的顶点。在了轴上，A,C两

点的坐标分别为(4,0),(4,加)，直线y="+”a/O)与反比例函数y=?左wO)的图象交于C,

尸(-8,-2)两点.

⑴求该反比例函数的解析式及加的值；

⑵判断点3是否在该反比例函数的图象上，并说明理由.

【答案】⑴V=3，机=4

⑵点3在该反比例函数的图象上，理由见解答

【分析】(1)因为点2)在双曲线>=人上，所以代入夕点坐标即可求出双曲线》二人的函数关系式，又

xx

因为点在了=白双曲线上，代入即可求出加的值；

X

(2)先求出点B的坐标，判断即可得出结论.

高考复习材料

k

【详解】(1)解：将点尸(-8,-2)代入片—中，得用=—8x(—2)=16,

x

・••反比例函数的解析式为片”，

X

将点C(4,加)代入>中，

X

得加=¥=4;

(2)解：因为四边形/BCD是菱形，44,0),C(4,4),

/.m=4,8(8,1■加),

8(8,2),

由(1)知双曲线的解析式为》="；

X

,.*2x8=16,

.,.点8在双曲线上.

【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，解题的关键是用加表示出点。

的坐标.

2.(2022•辽宁锦州•中考真题)如图，平面直角坐标系工⑦中，四边形CM8C是菱形，点/在y轴正半轴上,

点B的坐标是(-4,8),反比例函数y=8(x<0)的图像经过点C.

X

⑴求反比例函数的解析式；

⑵点。在边CO上，且C三D=：3，过点。作。EPX轴，交反比例函数的图像于点E,求点£的坐标.

DO4

12

【答案】(i)y=-一(x<o)；

x

⑵(-7,y);

【分析】(1)过点3作轴，垂足为尸，设点/为(0,m),根据菱形的性质和勾股定理求出

OA=BC=AB=5,然后求出点C的坐标，即可求出解析式;

高考复习材料

(2)作。Glx轴，Six轴，垂足分别为G、H,先证明△ODGs^OCH,求出。G=—,DG=—,然后

77

得到点。的纵坐标，再求出点E的坐标即可.

【详解】(1)解：根据题意，过点8作BFly轴，垂足为尸，如图：

•.•四边形。43c是菱形，

设点/为(0,%),

0A=BC=AB=m,

:点3为(-4,8),

BF=4,AF=8-m,

在直角AL8/中，由勾股定理，则

AB2=BF2+AF2，即加2=不+(8-加))

解得：w=5,

OA=BC=AB=5,

.••点C的坐标为(-4,3),

k

把点。代入>=一,得后=—4x3=—12,

x

12

・•・反比例函数的解析式为y=—(%<0)；

(2)解：作。Glx轴，CHLx轴，垂足分别为G、H,如图,

高考复习材料

02?4

~=—，

OC7

-DGWCH.

OG_DGOD4

"~OH~~CH~~OC~7f

・・,点C的坐标为（-4,3）,

.*.0/7=4,CH=3,

OGDG_4

•,丁一亍-7'

.1612

J.n（JGr=—,ULr=——,

77

12

・•・点D的纵坐标为—,

,:DEPx轴，

12

・••点E的纵坐标为了，

1212“日-

•'­-=----，解得x=-7,

7x

12

••・点£的坐标为（-7,—）；

【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识,

解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，从而进行解题.

3.（2022・广东广州•统考二模）如图，一次函数》=后述+1的图象与反比例函数＞=§（与＞0）的图象相交于

/、2两点，点C在无轴正半轴上，点。（1,-2）,连接。/、OD、OC、AC,四边形。4。为菱形.

⑴求一次函数与反比例函数的解析式；

⑵设点P是直线AB上一动点，且凡.=；$菱形38，求点P的坐标•

高考复习材料

【答案】⑴一次函数的解析式为y=x+l；反比例函数的解析式为了=2*；

x

⑵点尸的坐标为（-3,-2）或（5,6）.

【分析】（1）由菱形的性质可知/、。关于x轴对称，可求得/点坐标，把/点坐标分别代入两函数解析

式可求得3和上2值；

（2）根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设尸点坐标为。+1）,根据条件可得到关于

。的方程，可求得尸点坐标.

（1）

解：如图，连接4D,交x轴于点£,

•••四边形/ODC是菱形，

■■.ADVOA,AE=DE,EC=OE,

•：D(1,-2),

ED=2,

，AE=DE=2,EC=OE=\,

.S(1,2),

将4(1,2)代入直线丁=自％+1可得左1+1=2,

解得左i=l，

将/