广东省汕头市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题

试卷类型：A汕头市2020~2021学年度普通高中期末教学质量监测高二数学本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．考生注意：1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3.考试结束后，监考员将答题卡交回．第Ⅰ卷选择题一、单项选择题：本题共8小题，毎小题5分，共40分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，则集合（）A.B.C.D.2.设复数（i为虚数单位，则（）A.B.C.D.23.已知平面向量，则k＝2是与平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知等差数列的前n项和为的展开式中含的项的系数恰为，则（）A.－96B.96C.－80D.805.已知三棱锥P－ABC中，PA＝4，AB＝AC＝，BC＝6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的体积为（）A.B.C.D.6.定义2×2知阵，若，则（）A.图象关于中心对称B.图象关于直线对称C.在区间上的最大值为D.周期为的奇函数7.点A在直线y＝x上，点B在曲线上，则的最小值为（）A.B.1C.D.28.已知数列的前n项和，则（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范国．目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好！某商城统计了5个月的5G销量，如下表所示：月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020年10月月份编号x12345销量y（部）5295a185227若y与x线性相关，由上表数据求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（）A.a＝152B.5G的销量逐月增加，平均每个月增加约30台C.y与x正相关D.预计12月份该商城的5G销量约为318部10.设分别是双曲线C：的左、右焦点，且，则下列结论正确的是（）A.s＝8B.到渐近线的距离随着t的增大而增大C.t的取值范围是（－32，32）D.当t＝4时，C的实轴长是虚轴长的倍11.在棱长为1的正方体中，M是线段上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.四面体的体积恒为定值B.直线与平面所成角正弦值的最大值为C.异面直线BM与AC所成角的范围是D.当时，平面BDM截该正方体所得的截面图形为等腰梯形12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L．E．J．Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f（x），存在一个点，使得f（）＝，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A.B.C.D.第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，则．14.已知抛物线C：的焦点为F，直线l过F与C交于A、B两点，若，则y轴被以线段AB为直径的圆截得的弦长为．15.六个同学重新随机调换座位，则恰有两人坐在自己原来的位置上的概率为．16.已知函数，则函数f（x）的最大值是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C，设△ABC的面积为S，已知．任选一个条件①；=2\*GB3②，补充在上面横线处，然后解答补充完整的题目．（1）求sinB的值；（2）若S＝42，a＝10，求b的值．注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．18.（本小题满分12分）已知等差数列的前n项和为，且满足．（1）求的通项公式；（2）记，求的前n项和．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，∠PAB＝90°，PB＝PD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）是否存在点F，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分12分）端午假期即将到来，某超市举办“高考高棕”有奖促销活动，凡持高考准考证考生及家长在端年节期间消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖箱里有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球有3个，黑球有7个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折．方案二：从抽奖箱中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．（1）若小清、小北均分別消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求他们至多一人享受免单优惠的概率；（2）若小杰消费恰好满1000元，试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？21.（本小题满分12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，焦距为．（1）求圆C的方程；（2）过点D（0，3）作直线l与椭圆C交于A、B两点，点N满足（O为坐标原点），求四边形OANB面积的最大值．22.（本小题满分12分）已知函数．（1）证明：对任意的，都有；（2）设m＞n＞0，比较与的大小，并说明理由．高二数学测试参考答案一、单选题DCCBAAAB二、多选题CDADABDACD三、填空；；；1.D【详解】∵集合．2.C【详解】复数，则．3.C【详解】由与平行得k×1－2×1＝0，∴k＝2，所以k＝2是与平行的充要条件．4.B【详解】因为的展开式的通项公式为，所以当r＝2时，含的项的系数恰为，又等差数列的前n项和为，的展开式中含的项的系数恰为，所以．5.A【详解】∵底面△ABC中，AB＝AC＝，BC＝6，，∴△ABC的外接圆半径为．∵PA⊥面ABC，∴三棱锥外接球的半径，所以三棱维P－ABC外接球的体积．6.A【详解】由题意得，故图象关于中心对称．7.A【详解】设平行于直线y＝x的直线y＝x＋b与曲线相切，则两平行线间的距离即为的最小值．设直线y＝x＋b与曲线的切点为，则由切点还在直线y＝x＋b上可得，由切线斜率等于切点的导数值可得，联立解得m＝1，b＝－1，由平行线间的距离公式可得的最小值为．8.B【详解】，当时，，所以，又，所以9CD【详解】由表中数据可知，又因为回归方程为，代入回归方程，解得，所以，得a＝151，由此知5G的销量逐月增加，平均每个月增加约40台左右，将x＝7代入回归方程得，因为44＞0，所以y与x正相关，10.AD【详解】因为，所以s＝8，故A正确；因为到渐近线的距离等于虚半轴长为，其在上单递减，故B错误；因为双曲线焦点在x轴上，由，且s＝8，得t的取值范国是（－8，8），故C错误；当t＝4时，C的实轴长为，虚轴长4，C的实轴长是虚轴长的倍，故D正确．11.ABD【详解】对于A选项，根据正方体的特征可得，所以//平面，所以线段上的点到平面的距离相等，因为三角形的面积为定值，M是线段上一个动点，所以四面体的体积为定值，故A正确；对于B选项，设直线与平面所成的角为，M到平面的距离为d，则，因为，所以//平面，所以M到平面的距离与到平面的距离相等，连接，由可得，又，所以，易知当M为的中点时，最小，为，此时取得最大值，为，故B正确；对于C选项，设异面直线BM与AC所成的角为，当M与或重合时，取得最小值，为60°，当M为的中点时，取得最大值，为90°，故C选项错误；对于D选项，过点M作EF//BD，分别交于点E，F，连接DE，BF，则四边形DEFB为等腰梯形，故D正确．12.ACD【详解】根据定义可知：若f（x）有不动点，则f（x）＝x有解．A.令，所以，易知x＝1是方程的一个解，故f（x）是“不动点”函数；B．令，所以，方程的，故方程无解，所以f（x）不是“不动点”函数；C．当x≤1时，令，所以或x＝1，所以f（x）是“不动点”函数；D．令，所以，所以f（x）是“不动点”函数．13.【详解】14.【详解】如图所示：由于，所以l⊥x轴，所以圆心坐标为F（1，0），半径为r＝2，弦长为15.【详解】根据题意，分2步分析：①先从6个人里选2人，其位置不变，有种选法，②对于剩余的四人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有三种站法，被站了自己位置的那个人只能站在另外三个位置中的一个，选定后此时剩下两人只有一种站法，因此四个人调换有3×3＝9种调换方法，故不同的调换方法有15×9＝135种．而基本事件总数为，所以所求概率为．16.【解析】当x≤0时，；当x＞0时，，令，当且仅当，即x＝1时取等号，即当x＝1时，，令，又因为，则，故函数f（x）的最大值是．四、解答题17.【详解】选择条件①（1），所以………………1整理得：．即．………………2整理可得，………………3又sinB＞0，所以cosB＞0，所以．………………4故sinB＝．……5（2）由（1）知sinB＝，又S＝42，a＝10，则，……6解得c＝14………7将S＝42，a＝10，c＝14代入中，得，…9解得．……10选择条件②（1）因为，由正弦定理得，，……………1，………………2即，………………3在△ABC中，，所以，…4故．……5（2）由（1）知，又S＝42，a＝10，则，…………6解得c＝14……7由余弦定理得……9．………………1018.【解析】（1）设等差数列的公差为d，…1则……2，………………3解得……4故…5（2）当时，，……8当n＞6时，，……11所以．……1219.【详解】解：（1）∵△PAD≌△PAB（SSS）∴∠PAD＝∠PAB＝90°∴PA⊥AB，PH⊥AD，又∵PA⊥平面ABCD，BC⸦平面ABCD∴PA⊥BC∵ABCD为正方形∴AB⊥BC又，PA，AB⸦平面PAB∴BC⊥平面PAB∴AE⸦平面PAB∴AE⊥BC……2∵PA＝AB，E为线段PB的中点∴AE⊥PB…………3又，……4PB，BC⸦半由PBC∴AE⊥PBC……5（2）存在定点F，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，………………6不妨设正方形ABCD的边长为2，则A（0，0，0），C（0，2，2），D（0，0，2），P（2，0，0），E（1，1，0）设，则设平向AEF的一个法向量为则……7令，则……8设平面PCD的一个法向量为则……9令，则……10∵平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°，，解得．………………11∴当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°……………1220.【详解】解：（1）方案一若享受到免单优惠，则需摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A，则．……2所以小清、小北二人至多一人享受到免单的概率为．…………4（2）若小杰选择方案一，设付款金额为X元，则可能的取值为0、600、700、1000……6故X的分布列为X06007001000P所以（元）…7若小杰选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z＝1000－200Y……………8由已知可得，故．……9所以（元）………10因为，………11所以小杰选择第一种抽奖方案更合算．………1221.【详解】（1）设椭圆的焦距为………1∵离心率为．………………2…………3∴椭圆C的方程为．……4（2）四边形OANB为平行四边形，当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意；…5当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，直线l与椭圆于两点，由．……6由．………………7，……8点O到直线l的距离，，…………10令，则（由上式知t＞0），．当且仅当，即时取等号，……………11∴当k＝±时，平行四边