四川省成都2024届高三年级下册第三次模拟考试数学理科试卷（含答案与解析）

2024届成都蓉城名校联盟高三第三次模拟考试

数学（理科）

考试时间120分钟，满分150分

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填

写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净

后再填涂其它答案：非选择题用05毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题

区域答题的答案无效：在草稿纸上、试卷上答题无效.

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设全集"={123,4,5},若集合加满足{1,4}口必"，则（）

A.41MB.

C.26MD.3c/

2.若复数z满足z(l+i)=2—i,则z=()

1i1i

A.—+-B.----

2222

13.13.

C.-+-iD.----1

2222

131

3.2-3,23,sin：,log2（四个数中最大的数是（)

,3,1

A.2-3B.C.sin—D.log,—

223

4.地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命起源和演化的时钟》

可能给出了一种答案.该论文的作者根据生物功能性基因组里的碱基排列数的大小定义了基因库的复杂度y

（单位：1）,通过研究各个年代的古代生物化石里基因库的复杂度，提出了一个有趣的观点：生物基因库的

复杂度近似是随时间呈指数增长的，只要知道生物基因库的复杂度就可以推测该生物体出现的年代.如图

是该论文作者根据生物化石（原核生物，真核生物，蠕虫，鱼类，哺乳动物）中的基因复杂度的常用对数igy

与时间X（单位：十亿年）的散点图及回归拟合情况（其中回归方程为：lgy=0.89x+8.64,相关指数

R2=O.97）.根据题干与图中的信息，下列说法错误的是（）

d

M

W一

K

M

K

rt辙l

女

x/十亿年

A.根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取y取常用对数的做法，

我们也可采用函数模型y=〃xl（T+上来拟合

B.根据回归方程可以得到，每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的10°89a7.76倍

C.虽然拟合相关指数为0.97,但是样本点只有5个，不能很好地阐释其统计规律，所以增加可靠的样本点

可以更好地完善回归方程

D.根据物理界主流观点：地球的形成始于45亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初时生物的复杂度大约

为lO&a,可以推断地球生命可能并非诞生于地球

5.若正实数。力满足片+。2=m，则最大值为（）

A.B.y[2mC.2yfmD.2m

6.若a，b是平面上两个非零的向量，贝广口+0=同+忖”是“卜力卜瓦恸”的（）

A充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3

7.在平面直角坐标系xQy中，角名尸的始边均为3,终边相互垂直，若cosa=',则cos2〃=（）

9977

A.—B.------C.—D.------

25252525

8.已知公比不为1的等比数列｛4｝的前几项和为S“，若数列｛£,+为｝是首项为1的等差数列，贝!]%=

()

1215

A.-B.-C.一D.-

2388

9.某电子竞技队伍由1名队长、1名副队长与3名队员构成，按需要担任第1至5号位的任务，由于队长需

要分出精力指挥队伍，所以不能担任1号位，副队长是队伍输出核心，必须担任1号位或2号位，则不同的

位置安排方式有()

A.36种B.42种C.48种D.52种

10.已知正方体以某直线为旋转轴旋转戊角后与自身重合，则戊不可能为()

兀2兀3兀

A.-B.—C.—D.兀

234

11.若函数/(x)=e£-近2大于o的零点有且只有一个，则实数上的值为()

A.4B.2x/eC.-DW

24

12.已知点P,Q分别是抛物线=以和圆E：x2+y2_i0x+2i=o上的动点，若抛物线。的焦点为

尸，则2|尸。|+町的最小值为()

A.6B.2+2&C.46D.4+2百

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若双曲线C渐近线方程为0x±y=O,则C的标准方程可以是(写出一个你认为正确的答

案即可).

14.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是.

15.已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，/(x)=x(l-lax),则当x<0时，的单

调递增区间为.

16.若实数X1,%是方程J^sin2x—cos2x=—耳在区间(0,兀)上不同的两根，则%)=-

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.在_ABC中，BC=5,AC=6,cosB=—.

8

(1)求AB的长；

(2)求AC边上高.

18.已知在四棱锥P-ABCD中，上41.平面A3CD,四边形A3CD是直角梯形，满足

AD//BC,ADLDC,若？A=AO=DC=2,5。=3,点M为PD的中点，点N为PC的三等分点(靠

近点P).

(1)求证：PC,平面4WN；

(2)若线段依上的点。在平面4WN内，求篝的值.

19.RAID10是一种常见的独立兮余磁盘阵列，因为先做镜像存储再做条带存储，使得RAID10同时具有

RAID0的快速与RAID1的可靠的优点，同时阵列中若有几块磁盘损坏可以通过阵列冗余备份进行数据恢

复.某视频剪辑公司购进100块拆机磁盘组建一台存储服务器，考虑到稳定性，拟采取RAID10组建磁盘阵

列，组建之前需要对磁盘进行坏道扫描，每块需要2小时，若扫描出磁盘有坏道，则更换为没有坏道的正常

磁盘.现工作小组为了提升效率，打算先扫描其中的10块，再根据扫描情况，决定要不要继续扫描剩下的

所有磁盘，设每块磁盘有坏道的概率为x(xe(0,1)),且每块磁盘是否有坏道相互独立.

(1)将扫描10块中恰有2块有坏道的概率，表示成关于x的函数，并求该函数的最大值点%；

(2)现扫描的10块中恰有2块有坏道，考虑到安全性，工作小组决定用(1)中的％作为x值来预测.已

知有坏道磁盘直接投入使用会造成该盘上的数据丢失或损坏，每块投入使用的有坏道磁盘需要10.5小时进

行更换和数据恢复，请根据现有扫描情况，以整个组建过程所花费的时间的期望为决策依据，判断是否需

要扫描剩下的所有磁盘.

20.已知椭圆E:=+与=1(。〉6〉0)上的点M(2,l)到焦点耳,心的距离之和为4亚.

a~b~

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点N(4,0)的直线交E于两点，直线AM,3M分别交直线x=4于P,Q两点，求证:

|PN|=|QN|.

21.已知函数/(x)=hix,若数列｛qJ的各项由以下算法得到：

①任取6=。(其中a>0),并令正整数，=1；

②求函数/(%)图象在。于(«,))处的切线在y轴上的截距4+1；

③判断4+1>0是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；

④令i=i+l，返回第②步；

⑤结束算法，确定数列｛%｝的项依次为…，q+i.

根据以上信息回答下列问题：

(1)求证：q+i=lna,.-1；

⑵是否存在实数ae化女+1)(左eN)使得｛%｝为等差数列，若存在，求出左的值；若不存在，请说明

理由.参考数据：

(二)选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题

计分.

［选修4—4：坐标系与参数方程］(10分)

22.在平面直角坐标系xQy中，直线G的参数方程为1/(/为参数)，曲线。2的参数方程为

、y=K

x=a+cosa,

\々为参数)，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

y=sina

(1)求与C2的极坐标方程；

(2)若C］与。2的两不同交点A,3满足。4=208,求。的值.

［选修4—5：不等式选讲］(10分)

23.己知函数/(%)=%—"2,8(兀)=%+2.

⑴当m=1时，解不等式|/(x)|+|g㈤<5；

(2)若xe(-l,+oo),［(x)|g(x-2)+/(x)|g(x)|>。成立,求加的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,设全集0=｛1'234,5｝,若集合加满足｛1,4｝口令加，则()

A.41MB.

C2eMD.3^M

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得.

【详解】全集。={1,2,3,4,5},由{1,4}口短以，知1c瘵0,4eVM,则1走A错误，B

正确;

不能判断2eM,也不能判断3c",CD错误.

故选：B

2.若复数z满足z(l+i)=2—i,则z=()

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用复数除法运算计算即得.

2-i(2-i)(l-i)l-3i_l3.

【详解】依题意,T+7-(l+i)(l-i)-2~2~2r'

故选：D

13i

3.2-3,23,sin]log2；四个数中最大的数是()

.i.3,1

A.2-3B.2?C.sin—D.log2—

【答案】B

【解析】

【分析】引入0,1,分别比较这四个数和0,1的大小，即可得到结论.

11O1

【详解】因为2-3=唠=§<1,2|>2o=rsin-<l,log2-=-log23<0.

所以[最大.

故选：B

4.地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命起源和演化的时钟》

可能给出了一种答案.该论文的作者根据生物功能性基因组里的碱基排列数的大小定义了基因库的复杂度y

（单位：1）,通过研究各个年代的古代生物化石里基因库的复杂度，提出了一个有趣的观点：生物基因库的

复杂度近似是随时间呈指数增长的，只要知道生物基因库的复杂度就可以推测该生物体出现的年代.如图

是该论文作者根据生物化石（原核生物，真核生物，蠕虫，鱼类，哺乳动物）中的基因复杂度的常用对数igy

与时间x（单位：十亿年）的散点图及回归拟合情况（其中回归方程为：lgy=0.89x+8.64,相关指数

R2=O.97）.根据题干与图中的信息，下列说法错误的是（）

d

M

W一

K

M

K

rt辙l

女

x/十亿年

A.根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取y取常用对数的做法，

我们也可采用函数模型y=bxlQax+k来拟合

B.根据回归方程可以得到，每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的10°89。7.76倍

C.虽然拟合相关指数为0.97,但是样本点只有5个，不能很好地阐释其统计规律，所以增加可靠的样本点

可以更好地完善回归方程

D.根据物理界主流观点：地球的形成始于45亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初时生物的复杂度大约

为lO&a,可以推断地球生命可能并非诞生于地球

【答案】B

【解析】

【分析】利用指数式与对数式互化判断A；利用回归方程的意义判断B；利用相关指数的意义判断C；求出

地球在诞生之初时生物的复杂度，结合描述判断D.

【详解】对于A,由lgy=0.89x+8.64,得y二1-64=10864310°，8期,

令£=1（）864,&=0.89,攵=0,满足y=i?xl（T+旌A正确；

对于B,观察散点图，所给5个点不全在回归直线lgy=0.89x+8.64上，回归拟合是近似,

不能说每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的10°69°7.76倍，B错误；

对于C,数据越多，拟合的准确性越高，因此增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程，C正确;

对于D,当x=0时，y=10864,即地球在诞生之初时生物的复杂度大约为10&64,

可以推断地球生命可能并非诞生于地球，D正确.

故选：B

5.若正实数a力满足^+廿=m，则a+b的最大值为（）

A.y]2mB.y/2mC.2^[mD.2m

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，利用不等式巴史〈，忆"求解a+b最大值.

2V2

【详解】因为/+廿=m，a>0,b>0,

所以审《产¥，即a+/,W夜.正寿=同，

当且仅当a=b=^时等号成立，

所以a+Z?的最大值为J砺.

故选：A.

6.若。，人是平面上两个非零的向量，贝广卜+。|=何+忖”是“卜力卜瓦恸”的（）

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由|a+q=,|+W，两边平方化简可得cos<a/〉=1,即a，b同向，可判断充分性成立,

由卜同=,恸，可得cos<a1〉=±l,即a，b共线，可举反例）=—，，判断必要性不成立.

【详解】因为卜+b卜口+恸，所以(卜+。『=(忖+”『，

即|«|2++2a-b=卜1+W+2忖•“，即a•A=\a\•忖，

由于a,。是平面上两个非零的向量，所以cos<a,/?>=1,所以a，Z?同向，

所以有卜/=|«|-|/?|cos<«,/?>=，,,，故充分性成立；

因为卜/=卜'目，则卜os<a,Z?〉|=l,即cos<a,6〉=±l,

由于a力是平面上两个非零的向量，所以。，匕共线.，

不妨取工工，此时。，/,共线.，但卜+4=0,1+"=21,0,

故必要性不成立，

所以"a+0=|a|+%”是“,为|=3愀”的充分不必要条件.

故选：A

3

7.在平面直角坐标系xQy中，角名尸的始边均为3，终边相互垂直，若cosa=g,则cos2〃=()

9977

A.——B.——C.—D.——

25252525

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式计算即得.

兀3

【详解】依题意，P=6/+—+2foi,^GZ,贝！Jsin^=cosa=《，

兀3

或，=。一5+2也,左wZ,则sin/?=-cos。=——,

所以cos2/?=l-2sin2[3.

故选：C

8.己知公比不为1的等比数列｛4｝的前几项和为S,,,若数列｛S〃+a“｝是首项为1的等差数列，则%=

()

1215

A.—B.—C.-D.一

2388

【答案】C

【解析】

【分析】设等比数列｛4｝的公比为q,根据题意可得改=4+4,即26+02）=201+83+的,化简整

理得2/_3q+l=0,求得4,q得解.

【详解】令2=S”+%,,伪=S]+q=2%=1,q=；,

又2仇=4+4,即2（$2+。,）=2%+S3+4,即2（4+2劣）=3q+4+2g,

整理得3g—2%=0,设等比数列｛4｝的公比为4，则3%q—%—2%/=0,即2/_3q+l=0,

解得q=1'或1，又q丰\，所以q=g,

而z21（1?1

所以%=%•“=-x-=--

ZJo

故选：C.

9.某电子竞技队伍由1名队长、1名副队长与3名队员构成，按需要担任第1至5号位的任务，由于队长需

要分出精力指挥队伍，所以不能担任1号位，副队长是队伍输出核心，必须担任1号位或2号位，则不同的

位置安排方式有（）

A.36种B.42种C.48种D.52种

【答案】B

【解析】

【分析】按：“特殊元素（位置）优先法”解决.先分类：按副队长担任1号位和2号位分成两类；再分步：副

队长担任1号位时，其余4个位置没有任何限制，副队长担任2号位时，先从3名队员中选1人担任1号

位，其他3个位置无任何限制.

【详解】若副队长担任1号位，其他位置就没有任何限制，有A：=24种安排方式；

若副队长担任2号位，则从3名队员中选1人担任1号位，后面的3个位置无限制条件，有

人么；=3、6=18种安排方式.

所以一共有：24+18=42种安排方式

故选：B

10.已知正方体以某直线为旋转轴旋转a角后与自身重合，则戊不可能为（）

【答案】C

【解析】

【分析】分直线经过正方体对面中心、直线经过正方体的体对角线、直线穿过正方体的对棱中点及其它情形

四种情况讨论，分别确定旋转角，即可判断.

【详解】依题意直线必过正方体的体对角线的交点，

当直线经过正方体对面中心时，正方体绕直线旋转万（左eZ）时，与自身重合;

当直线经过正方体的体对角线时,

如图，连接A#,BD，A{D,此时三角形A3。为等边三角形,

设正方体的体对角线A。与面48。交于点则/为45。的中心，连接A"，BM，则

2兀

ZA,MB=—

当直线穿过正方体的对棱中点时，正方体绕直线旋转配传eZ）时，与自身重合;

其它情况，正方体绕直线旋转2E(左eZ)时，与自身重合;

故选：C

11.若函数/(x)=e£—近2大于o的零点有且只有一个，则实数上的值为()

A.4B.2x/eC.-D.—

24

【答案】D

【解析】

/、ex

【分析】根据题意，函数/(X)有且仅有一个正零点，转化为方程攵=二有且仅有一个正根，令

X

x

g(x)二e三，利用导数研究函数单调性、极值，数形结合判断得解.

【详解】函数/(X)有且仅有一个正零点，即方程左=:■有且仅有一个正根，

X

令g(x)==，则g，(x)=e(X2),

x-x

当x<0时，g'(x)>0,当0cx<2时，g'(x)<0,当x>2时，g'(x)>0,

2

即函数g(x)在(-8,0)和(2,+8)上单调递增，在(0,2)上单调递减，且g(2)=:,

X-0时，g(x)f+8,时，g(x)f0,Xf+oo时，g(x)f+oo,可作出图象如下,

故选：D.

12.已知点P,Q分别是抛物线C：V=4x和圆石：炉+产―10尤+21=0上的动点，若抛物线。的焦点为

尸，则2|尸Q|+|QF|的最小值为（）

A.6B.2+2亚C.4君D.4+273

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，将2|PQ|+|Q同转化为2（卢。|+［。川）的形式，寻求定点M,使得［。用=|。回

恒成立，2归。|+|0同转化为2（卢9+|。闾），当且仅当MRQ在一条直线上时，2（卢。|+|。闾）取得

最小值，即可求解.

【详解】由抛物线C：V=4x,可得焦点坐标为尸（L。），

又由圆/+10》+21=0,可化为（x—Sy+V=4,

可得圆心坐标为E（5,0）,半径厂=2,

设定点M«,0）,满足g|QE|=|QM|成立，且。（毛,％）

即go7）2+［=|J（x0_l）2+y：恒成立，

其中（％-5y+尤=4,代入两边平方可得：

（4—。无0=16—产，解得/=4,河（4,0）,

所以定点M满足;司=|。叫恒成立，

可得2|PQ|+|Q耳=2（|PQ|+|QM|）|,

如图所示，当且仅当在一条直线上时,

此时|P0+|QM|取得最小值\PM\,

即2\PQ\+\QF\^2(\P^+\QM|)|>2\PM\,

设P(x,y),满足y2=4x,

所以2|P9+|Q周>2\PM\=2^x-4)2+y2,

2\PQ\+\QF\>2j(x-4)2+4%=2«x-2y+12>2712=4^,

当尤=2时，等号成立，

故选：C.

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将所求转化为三点共线时，线段的长的问题，结合抛物线方程即可

求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若双曲线C的渐近线方程为缶±y=0,则C的标准方程可以是(写出一个你认为正确的答

案即可).

2

【答案】2L=i(答案不唯一)

2

【解析】

【分析】由双曲线渐近线的表达式得到一组再写出标准方程即可.

【详解】因为双曲线。的渐近线方程可表示为y=±±x,

a

所以4=1,b=A/2,

2

所以C的标准方程可以是——匕=1,

2

2

故答案为：妙—匕=].

2

14.己知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是.

【答案】唐

【解析】

【分析】根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，求得圆锥的底面半径，进而利用勾股定理求高.

【详解】试设圆锥的母线为/,底面半径为「，

则1=2R=2兀丁，1=2r,r=l,

因此圆锥的高是=6.

故答案为：5

15.已知函数〃%）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，/（x）=x（l-lnx）,则当x<0时，〃%）的单

调递增区间为.

【答案】（—1,0）

【解析】

【分析】利用导数求当x>。时/（尤）的单调递增区间，再根据奇函数的对称性求得结果.

详解】当x>0时，/'（%）=—lux,

由/'（x）>0,解得0<x<l,所以/（九）在区间（0,1）上单调递增，

因为函数〃尤）是定义在R上的奇函数，

所以函数外力图象关于原点对称，

所以"％）在区间（-1,0）上单调递增.

故答案为：（—1,0）.

16.若实数xt,x2是方程J§sin2x-cos2x=-g在区间（0,兀）上不同的两根，则cos（%2.

2

【答案】j

【解析】

2/、

【分析】根据题意得到sinsin结合工£（。,兀）和正弦函数对称性得到

%1+%2='|兀，故COS(%2—xJ=COS71兀2

——+—=-sin

623

2

【详解】V3sin2x-cos2x=-—=>2sinf2%--n-—sin71

36363

2

故sinsin

3

因为1£（0,兀），所以2%-巳£兀11兀

6,~6~

.7兀.11兀1―21

其中sinsm——=sin------=nu

662

兀

故2石-'+2x25

6_3兀，即花十%=—71，

3

22

COSf-71—j—cosf—7—1—2%]

则COS（X2一石）=

3

71兀2

=cos——+—=-sin

623

2

故答案为：—

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.在ABC中，BC=5,AC=6,cosB=—.

8

（1）求AB的长;

（2）求AC边上的高.

5A/7

【答案】（1）4(2)

~T~

【解析】

【分析】（1）根据题意,由余弦定理代入运算得解;

(2)求出sinB,由等面积法求解.

【小问1详解】

由题，<7=5,b=6>cosB=-,由余弦定理得,

8

■•■-=25+C-36,解得c=4,即AB=4.

82x5c

【小问2详解】

在。中，cosB=L,；,sinB=迫,设AC边上的高为

88

则工b/z='acsin3,即6/z=5x4x^^,解得用=豆工.

2284

所以AC边上的高为迫.

4

18.已知在四棱锥P-ABCD中，24,平面A3CD,四边形A3CD是直角梯形，满足

AD//BC,ADLDC,若PA=AO=DC=2,3。=3,点M为PD的中点，点N为PC的三等分点(靠

近点P).

(1)求证：尸平面4VW；

(2)若线段PB上的点。在平面4WN内，求黑的值.

PB

【答案】(1)证明见解析

⑵PQ-2

PB3

【解析】

【分析】(1)连接AC,利用余弦求得AN,可证PC1AN,由已知可证CDJ_平面APO,可得

PA±CD,进而证明AM，平面CP。，可得AM,尸C,可证结论成立；

P0

(2)连接。N,求得尸5,在三角形尸8。中，利用余弦定理可求得cosNBPC,进而可得尸。，可求得

PB

的值.

【小问1详解】

连接AC,由AO〃BC,ADJ_£)C,若必=&。=。。=2,

可得AC=20，由24,平面ABC。，因为ACu平面ABC，PAYAC,

______________21

所以PC=JB42+AC2=^7i=2指,cosZAPC=—=^=-^r,

因为点N为PC的三等分点(靠近点尸)，所以PN=空,

3

Q

在三角形PAN中，由余弦定理可得AN2=AP~+PN2-2AP.PN.cosZAPC=—,

3

0o84o

所以AN2+PN?=—+—=4=242,所以三角形以N是直角三角形，所以PC1AN,

33

因为上4,平面ABCDCDu平面A8C。,，所以K4LCD,又CDLAD,PAr>AD=A,

所以CD,平面APD,闻lu平面APD,所以CDLAM,

由点加为「。的中点，所以PDIAM,又PDcCD=D,所以AM,平面CP。，

CPu平面PCD,所以AMLPC,ANAM=A,所以尸CL平面AMN,

P

r小问2样解j

BC

连接QN,因为QNu平面AMV,所以QNLPC,

在直角三角形B4B中，由勾股定理可得PB?=AP?+AB?=2?+(,2?+付了=9,

所以尸出3,

PB~+PC2一BC29+12-91

在三角形PBC中，由余弦定理可得cos4BPC=--------------------------=———=7,

2PB7PC127373

PN1PO2

在三角形尸。N中，cosZBPC=-=-j=,所以PQ=2,所以蝙=§.

19.RAID10是一种常见的独立兮余磁盘阵列，因为先做镜像存储再做条带存储，使得RAID10同时具有

RAID0的快速与RAID1的可靠的优点，同时阵列中若有几块磁盘损坏可以通过阵列冗余备份进行数据恢

复.某视频剪辑公司购进100块拆机磁盘组建一台存储服务器，考虑到稳定性，拟采取RAID10组建磁盘阵

列，组建之前需要对磁盘进行坏道扫描，每块需要2小时，若扫描出磁盘有坏道，则更换为没有坏道的正常

磁盘.现工作小组为了提升效率，打算先扫描其中的10块，再根据扫描情况，决定要不要继续扫描剩下的

所有磁盘，设每块磁盘有坏道的概率为（0,1））,且每块磁盘是否有坏道相互独立.

（1）将扫描的1。块中恰有2块有坏道的概率。表示成关于x的函数，并求该函数的最大值点%；

（2）现扫描的10块中恰有2块有坏道，考虑到安全性，工作小组决定用（1）中的为作为x值来预测.已

知有坏道磁盘直接投入使用会造成该盘上的数据丢失或损坏，每块投入使用的有坏道磁盘需要10.5小时进

行更换和数据恢复，请根据现有扫描情况，以整个组建过程所花费的时间的期望为决策依据，判断是否需

要扫描剩下的所有磁盘.

28

【答案】⑴/?（%）=Cl0x（1-%）,xe（0,1）,%=g

（2）需要扫描剩下的所有磁盘

【解析】

【分析】⑴根据独立重复事件概率公式可得?（力的解析式，求导，利用导数判断?（力的单调性和最值，

即可得吃;

（2）先求扫描剩下的所有磁盘花费时间，再结合二项分布求不扫描剩下的所有磁盘花费时间，两者对比分

析即可结果.

【小问1详解】

28

由题意可知：P（x）=Cf0x（1-X）G（0,1）,

则P'（X）=C；o[2x（1-X）8-8/（1-x）7]=C；o«（2x）-（l-x）7-（1-5%）,

因为x£（0,1）,可知C；o.（2%）.（1—x）7>0,

令夕解得0<%<2；令夕解得

可知?（x）在1o，£|内单调递增，在内单调递减，

所以M%）的最大值点％=g.

【小问2详解】

由（1）可知：x0=—,

若扫描剩下的所有磁盘，则花费时间为90x2=180（小时）；

若不扫描剩下的所有磁盘，设剩余90块磁盘中有坏道的块数为x,花费时间为y,

则X:小0，!卜=10",

可得E（y）=10.5E（X）=10.5x90x（=189（小时）；

因为180＜189,所以需要扫描剩下的所有磁盘.

22

20.已知椭圆E:==1（。〉6〉0）上的点"（2,1）到焦点耳心的距离之和为4亚.

a~b"

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点N（4,0）的直线交E于两点，直线加0,3河分别交直线x=4于P,Q两点，求证：

网=|QM

22

【答案】（1）土+匕=1（2）证明见详解

82

【解析】

【分析】（1）根据条件和椭圆定义建立。力的方程组求出。力，得解；

（2）根据题意直线A3的斜率存在，当直线AB的斜率为0时，易求得A（20,O）,B（-272,0）,易证

|PN|=|QN|；当直线A3的斜率不为0时，设直线A5的方程为x=》+4,4（%,乂），8（々,%），与

椭圆方程联立可得韦达定理%+%，%%，求出直线的方程，令》=4,求得力，打，结合韦达定

理验证丹＞+V。=°即可得证.

【小问1详解】

因为椭圆上点”（2,1）到焦点耳,心的距离之和为4夜，

2a=4^/2

所以＜41,,WWa=2A/2,b=A/2,

--------1--------二1

a2b2

22

所以椭圆E的方程为土+乙=1.

82

【小问2详解】

根据题意直线AB的斜率存在，

当直线A5的斜率为0时，可得A（20,O）,B（-2V2,0）,

直线40的方程为y—1=—上半（x—2），令x=4,求得”=—也，同理求得了。：山,所以

|叫孙|；

当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为X=9+4,A（玉,％），5（乙,%），

由题意直线AB不过点M（2,1）和（2,—1）,所以［*±6,

冗2+4y2—8/\9

联立《”,消去工整理得仁+4）,2+89+8=。，

x=ty+4'7

—818

则A〉。，所以»>4,且%+T，-----，

r+4r+4

易知直线AM,的斜率均存在，则：>—1=上二!（x—2）,令*=4,得

玉一Z

v=2（弘-1）.2（x-l）门］+2）匕

%—2tyy+2ty^+2

同理可得为=曰『'

Q+2）x«+2）%（2r+4。％%+（2/+4）（%+丁2）

所以外+%=--------+--------=--------7--------77---------；-----------

01+2优+2（01+2）（仇+2）

又%+%=一%％，

所以小百（”+：）丝：3+：）.=0.

2（步+2）（仇+2）

所以|PN|=|QN|.

综上，|PN|=|QN|.

【点睛】思路点睛：本题第二问，要分直线A3的斜率为0和不为。两种情况讨论，当直线A3的斜率为

。时，易求得点A,3坐标，进而求得力，人易得证；当直线A5的斜率不为。时，设出直线A3的方程为

x=）+4与椭圆联立，可得%+%，%为，再求出直线AM,5M的方程，进而求得力，为，结合韦达定

理验证+yQ=0.

21.已知函数/(x)=hix,若数列｛叫的各项由以下算法得到：

①任取。(其中a>0),并令正整数，=1；

②求函数八％)图象在(«„/(«,))处的切线在，轴上的截距一；

③判断q+1〉0是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；

④令i=i+l，返回第②步；

⑤结束算法，确定数列｛4｝的项依次为…，4+i.

根据以上信息回答下列问题：

(1)求证：aM=lna,.-1；

(2)是否存在实数ae(左水+1)伏eN)使得｛